课时素养评价二十三 同角三角函数的基本关系
(20分钟 35分)
1.sin
α=,则sin2α-cos2α的值为
( )
A.- B.- C. D.
【解析】选B.因为sin
α=,
所以cos2α=1-sin2α=,
则原式=-=-.
2.等于
( )
A.sin
2-cos
2
B.cos
2-sin
2
C.±(sin
2-cos
2)
D.sin
2+cos
2
【解析】选A.
==
==sin
2-cos
2.
3.若=2,则sin
θ·cos
θ=
( )
A.-
B.
C.±
D.
【解析】选D.由=2,得tan
θ=4,
sin
θcos
θ===.
4.已知A为锐角,lg(1+cos
A)=m,lg=n,则lgsin
A的值为 .?
【解析】因为m-n=lg(1+cos
A)+lg(1-cos
A)
=lg(1-cos2A)=lgsin2A=2lgsin
A,
所以lgsin
A=(m-n).
答案:(m-n)
5.已知α为第二象限角,则+cos
α的值是 .?
【解析】由题意,α为第二象限角,可得sin
α>0,cos
α<0,则+cos
α
=+cos
α=2+cos
α
=2+cos
α×=1.
答案:1
6.化简下列各式:
(1);
(2)(1-cos
α).
【解析】(1)原式=
==1.
(2)原式=(1-cos
α)
=(1-cos
α)==sin
α.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知tan
α=-2,则2sin
αcos
α的值是
( )
A.
B.3
C.-
D.-3
【解析】选C.原式=
===-.
2.已知sin
α,cos
α是方程3x2-2x+a=0的两根,则实数a的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解题指南】根据根与系数的关系表示出sin
α+cos
α及sin
αcos
α,利用同角三角函数间的基本关系得出关系式,把表示出的sin
α+cos
α及sin
αcos
α代入得到关于a的方程,求出方程的解可得a的值.
【解析】选B.由题意,根据根与系数的关系得:sin
α+cos
α=,sin
αcos
α=,因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α+cos2α=-2sin
αcos
α=-=1,解得:a=-,把a=-代入原方程得:3x2-2x-=0,因为Δ>0,所以a=-符合题意.
3.已知sin+3cos=sin(-θ),则
sin
θcos
θ+cos2θ=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为sin+3cos
=cos
θ-3cos
θ=-2cos
θ=-sin
θ,
所以tan
θ=2,则sin
θcos
θ+cos2θ
===.
4.若α∈[0,2π),且+=sin
α-cos
α,则α的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为+=|sin
α|+|cos
α|=sin
α-cos
α,所以sin
α≥0且cos
α≤0,
所以α∈.
【误区警示】本题中易将,转化为=sin
α和=cos
α,从而出错.
5.已知α∈,sin
2α=,则tan
2α=
( )
A.-2
B.2
C.
D.-
【解析】选D.因为α∈,所以2α∈,
又因为sin
2α=,所以cos
2α=-,
故tan
2α===-.
【补偿训练】
化简:=
.?
【解析】因为2∈,所以sin
2>0,cos
2<0,
所以
=
=
==sin
2-cos
2.
答案:sin
2-cos
2
【光速解题】本题还可以将1化为sin2(π-2)+cos2(π-2),
所以=
=
=|sin
(π-2)+cos
(π-2)|
=|sin
2-cos
2|,因为2∈,所以sin
2>0,cos
2<0,所以原式=sin
2-cos
2.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若sin
α+sin2α=1,则cos2α+cos4α等于 .?
【解题指南】利用同角三角函数关系式sin2α+cos2α=1,将sin2α用1-cos2α代替.
【解析】因为sin
α+sin2α=1,sin2α+cos2α=1,
所以sin
α=cos2α,
所以cos2α+cos4α=sin
α+sin2α=1.
答案:1
7.已知sin
θ=,cos
θ=,则tan
θ= .?
【解析】由sin2θ+cos2θ=1得,m=0或8.
当m=0时,sin
θ=-,cos
θ=,tan
θ=-;
当m=8时,sin
θ=,cos
θ=-,tan
θ=-.
答案:-或-
8.求值:= .?
【解析】原式=
=
=
=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知0<α<π,tan
α=-2,
(1)求cos
α的值.
(2)求2sin2α-sin
αcos
α+cos2α的值.
【解析】(1)因为0<α<π,tan
α=-2,
所以=-2,sin
α=-2cos
α,α为钝角且cos
α<0.
再由
sin2α+cos2α=1,求得cos
α=-.
(2)原式=
==.
10.已知sin
θ,cos
θ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根.求:
(1)sin3θ+cos3θ.
(2)tan
θ+.
【解题指南】根据根与系数的关系,表示出a与sin
θ,cos
θ间的关系,然后利用(sin
θ+cos
θ)2=1+
2sin
θcos
θ求出a值,最后再求(1)、(2)的值.
【解析】根据题意,方程判别式Δ≥0,
即(-a)2-4a≥0,所以a≤0或a≥4,
且sin
θ+cos
θ=a,
sin
θ·cos
θ=a,
因为(sin
θ+cos
θ)2=1+2sin
θcos
θ,
即a2-2a-1=0,所以a=1-(1+舍去).
所以sin
θ+cos
θ=sin
θcos
θ=1-.
(1)sin3θ+cos3θ=(sin
θ+cos
θ)(sin2θ-sin
θcos
θ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.
(2)tan
θ+=+=
==--1.
已知θ为第一象限角,a=,b=
.
(1)若a∥b,且角θ的终边经过点,求x的值;
(2)若=,求tan
θ的值.
【解题指南】(1)根据a∥b得到tan
θ==,再根据终边经过点,代入计算得到答案.
(2)根据=平方得到sin
θcos
θ=,再利用齐次式计算得到答案.
【解析】(1)a=,b=,
因为a∥b,所以sin
θ=cos
θ,
因为θ为第一象限角,所以tan
θ==,又tan
θ=,所以x=.
(2)因为a+b=,又=,所以=.即sin
θcos
θ=,
所以=,
即=,所以tan
θ=或.
【补偿训练】
已知sin
θ=asin
φ,tan
θ=btan
φ,其中θ为锐角,求证:cos
θ=.
【证明】由sin
θ=asin
φ,tan
θ=btan
φ,
得=,即acos
φ=bcos
θ,
而asin
φ=sin
θ,得a2=b2cos2θ+sin2θ,
即a2=b2cos2θ+1-cos2θ,得cos2θ=,
而θ为锐角,所以cos
θ=.
PAGE课时素养评价
二十四 两角差的余弦函数 两角和与差的正弦、余弦函数
(20分钟 35分)
1.在△ABC中,若sin
Asin
B
Acos
B,则△ABC一定为
( )
A.等边三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】选D.因为sin
Asin
BAcos
B,
所以cos
Acos
B-sin
Asin
B>0,
所以cos(A+B)>0,
因为A,B,C为三角形的内角,
所以A+B为锐角,所以C为钝角.
2.已知cos=-(α为锐角),则sin
α=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为cos=-(α为锐角),
所以sin=,则sin
α=sin
=sin-cos=×-×=.
3.已知函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)为偶函数,且在上为增加的,则θ的一个值可以是
( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选D.根据题意f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2
=2sin.
若f(x)为偶函数,则有θ+=kπ+,即θ=kπ+,k∈Z,综合选项可知,当k=-1时,θ=-,f(x)=2sin=-2cos
2x满足偶函数且在上为增加的,满足题意.
4.计算:sin
119°sin
181°-sin
91°sin
29°= .?
【解析】原式=sin(29°+90°)sin(1°+180°)-sin(1°+90°)·sin
29°
=cos
29°(-sin
1°)-cos
1°sin
29°
=-(sin
29°
cos
1°+cos
29°
sin
1°)
=-sin(29°+1°)=-sin
30°=-.
答案:-
5.在△ABC中,cos
A=,且cos
B=,则cos
C等于 .?
【解析】由cos
A>0,cos
B>0知A,B都是锐角,
所以sin
A==,
sin
B==,
所以cos
C=-cos(A+B)
=-(cos
Acos
B-sin
Asin
B)
=-=.
答案:
6.设cos=-,sin=,其中α∈,β∈,求cos.
【解题指南】观察已知角和所求角,可知=-,故可利用两角差的余弦公式求解.
【解析】因为α∈,β∈,
所以α-∈,-β∈,
所以sin=
==.
cos===.
所以cos=cos
=coscos+sin·
sin=-×+×=.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在△ABC中,若2cos
Bsin
A=sin
C,则△ABC的形状一定是
( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
【解题指南】根据sin
C=sin(A+B),利用两角和的正弦公式展开求解.
【解析】选C.在△ABC中,sin
C=sin(A+B)
=sin
Acos
B+cos
Asin
B,
所以2cos
Bsin
A=sin
Acos
B+cos
Asin
B,
即sin
Acos
B-cos
Asin
B=0,
亦即sin(A-B)=0,
所以A-B=0,A=B,则△ABC是等腰三角形.
2.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=-,则=
( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选D.由已知sin(α+β)=,
sin(α-β)=-,得sin
αcos
β+cos
αsin
β=,
sin
αcos
β-cos
αsin
β=-,
两式分别相加减得sin
αcos
β=-,cos
αsin
β=,
所以===-.
3.已知角α,β∈,sin
α=,cos(α+β)=,则sin
β=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为角α,β∈,所以0<α+β<π,
又sin
α=,cos(α+β)=,
所以cos
α==,
sin
(α+β)===,
所以sin
β=sin
=sin
cos
α-cos
sin
α=×-×=.
4.若f(x)=cos
x-sin
x在上是减少的,则m的最大值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.f(x)=cos
x-sin
x=cos,由2kπ≤x+≤π+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z.
取k=0,得-≤x≤.
又f(x)=cos
x-sin
x在上是减少的,所以解得05.已知α,β均为锐角,则下列不等式一定成立的是
( )
A.sin>sin
α+sin
β
B.sinα+sin
β
C.cos>cos
α+cos
β
D.cosα+sin
β
【解析】选B.对于A选项,当α=β=时,sinα+sin
β,故A选项不一定成立.
对于B选项,由于α,β均为锐角,所以sin
α,cos
α,sin
β,cos
β的范围均为,所以sin=sin
αcos
β+sin
βcos
αα+sin
β,故B选项不等式一定成立.
对于C选项,当α=β=时,cosα+
cos
β,故C选项不一定成立.
对于D选项,当α=β=时,cos=cos
=,sin
=sin=×-×=,所以sin
α+sin
β=×2=,cos>sin
α+sin
β,故D选项不一定成立.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知向量a=,b=(4,4cos
α-),若a⊥b,则sin= .?
【解题指南】由a⊥b,知a·b=0,利用两向量数量积坐标表示整理可得.
【解析】由题意,得4sin+4cos
α-=0,
即4sin
αcos+4cos
αsin+4cos
α-=0,
所以2sin
α+6cos
α=,
整理,得4sin=,
故sin=,
sin=-.
答案:-
7.函数f=sin-2sin
φcos的最大值为 ,最小值为 .?
【解析】因为f=sin-2sin
φcos
=sin-2sin
φcos(x+φ)
=sincos
φ-sin
φ·cos=sin
x,
所以函数f的最大值为1,最小值为-1.
答案:1 -1
8.若8sin
α+5cos
β=6,8cos
α+5sin
β=10,则sin(α+β)= .?
【解析】由8sin
α+5cos
β=6,两边平方,
得64sin2α+80sin
αcos
β+25cos2β=36.①
由8cos
α+5sin
β=10,两边平方,
得64cos2α+80cos
αsin
β+25sin2β=100.②
①+②,得64+25+80(sin
αcos
β+cos
αsin
β)=136.
所以sin(α+β)=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(1)已知sin
α=,cos
β=,其中α∈,β∈,求cos(α+β);
(2)已知cos
α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值.
【解析】(1)因为α∈,β∈,sin
α=,cos
β=,所以cos
α=-,sin
β=,
所以cos=cos
αcos
β-sin
αsin
β=×-×=-1.
(2)因为0<α<,cos
α=,所以sin
α=,
因为0<β<α<,cos=,所以0<α-β<,所以sin=,所以sin
β=sin
[α-(α-β)]=sin
αcos(α-β)-cos
αsin(α-β)
=×-×=.所以β=.
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于直线x=对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值.
(2)若f=,
求cos的值.
【解析】(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又因为f(x)的图像关于直线x=对称,
所以2·+φ=kπ+,k=0,±1,±2,….
由-≤φ<,
得k=0,所以φ=-=-.
(2)由(1)得f=sin=,
所以sin=.
由<α<得0<α-<,
所以cos=
==.
因此cos=sin
α=sin
=sincos+cossin
=×+×=.
若cos(α-β)=,cos
2α=,并且α,β均为锐角,且α<β,则α+β的值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解题指南】根据α+β=2α-(α-β),先求cos(α+β),再根据α+β的范围求值.
【解析】选C.因为0<α<β<,
所以-<α-β<0,0<2α<π,
所以由cos(α-β)=,
得sin(α-β)=-,
由cos
2α=,
得sin
2α=.
所以cos(α+β)=cos
=cos
2αcos(α-β)+sin
2αsin(α-β)
=×+×=-.
又α+β∈(0,π),所以α+β=.
【补偿训练】
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知·=2,
cos
B=,b=3,求:
(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.
【解析】(1)由·=2得,c·acos
B=2,
又cos
B=,所以ac=6.
由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos
B.
又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.
解得a=2,c=3或a=3,c=2.
因为a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中sin
B===.
由正弦定理,得sin
C=sin
B=×=,又因为a=b>c,所以C为锐角,因此
cos
C===.
于是cos(B-C)=cos
Bcos
C+sin
Bsin
C=×+×=.
PAGE课时素养评价
二十五 两角和与差的正切函数
(20分钟 35分)
1.若tan=2,则=
( )
A. B.2 C.-2 D.-
【解析】选D.已知tan=2,
所以=2,则=2,
所以=
=-=-.
【补偿训练】
已知cos=2cos,则tan=
( )
A.
B.-3
C.
D.3
【解析】选B.由cos=2cos(π-α),
可得-sin
α=-2cos
α,所以tan
α=2,
则tan===-3.
2.已知tan
α,tan
β是方程x2+3x+4=0的两个根,且α、β∈,则α+β的值是
( )
A.
B.-
C.或-
D.-或
【解析】选B.由题意得tan
α+tan
β=-3,tan
αtan
β=4,所以tan
α<0,tan
β<0,所以α,β∈,
因为tan(α+β)===,α+β∈(-π,0),所以α+β=-.
3.已知tan
α+tan
β=2,tan(α+β)=4,则tan
α·tan
β等于
( )
A.4
B.2
C.1
D.
【解析】选D.因为tan(α+β)=,
又tan
α+tan
β=2,tan(α+β)=4,
所以4=,
所以tan
αtan
β=.
4.已知tan=7,α∈,则cos
α= .?
【解析】因为tan
α=tan==,又α∈,由tan
α>0可得α∈,所以cos
α==
===.
答案:
5.若(tan
α-1)(tan
β-1)=2,则α+β= .?
【解析】(tan
α-1)(tan
β-1)=2?tan
αtan
β-tan
α-tan
β+1=2?tan
α+tan
β=tan
αtan
β-1?=-1,
即tan(α+β)=-1,所以α+β=kπ-,k∈Z.
答案:kπ-,k∈Z
6.已知α是第二象限角,其终边上的一点为P,且cos
α=.
(1)求x的值.(2)求tan的值.
【解析】(1)由P得cos
α=,
由cos
α=得=,
解得x=0或x=12或x=-12.
α是第二象限角,则x<0,所以x=-12.
(2)由(1)得cos
α=-,sin
α=,所以tan
α==-,所以tan===.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设α,β是一个钝角三角形的两个锐角,下列四个不等式中不正确的是
( )
A.tan
βtan
α<1
B.sin
α+sin
β<
C.cos
α+cos
β>1
D.tan(α+β)【思路导引】取两个特殊锐角,且其和小于,代入每一选项,逐一验证其正确性.
【解析】选D.取特例,令β=α=可得,
tan(α+β)=,
tan=,
所以tan(α+β)>tan,所以D不正确.
2.若tan
α=lg(10a),tan
β=lg
且α+β=,则实数a的值为
( )
A.1
B.
C.1或
D.1或10
【解析】选C.tan
α+tan
β=lg(10a)+lg
=lg
10=1.因为α+β=,所以tan=tan(α+β)===1,
所以tan
αtan
β=0,所以tan
α=lg(10a)=0或tan
β=lg=0,即a=或1.
3.设A,B,C是△ABC的三个内角,且tan
A,tan
B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是
( )
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
【解析】选D.由题意知,tan
A+tan
B=,
tan
Atan
B=.
所以tan
C=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)
=-
=-=-<0.
所以4.θ为锐角,sin=,则tan
θ+=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.
因为θ为锐角,且sin=,所以θ-∈,所以cos=,
所以tan=,即=,解得tan
θ=,所以tan
θ+=+=.
【误区警示】由sin正确求解cos是本题求解的关键.
5.(2020·泸州高一检测)在△ABC中,若tan
Atan
B>1,那么△ABC是
( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形或钝角三角形
【解析】选B.在△ABC中,A,B,C为三个内角,
由tan
Atan
B>1,可知A,B都是锐角,故tan
A,tan
B都是正数,所以tan(A+B)=<0,故A+B为钝角,由三角形内角和为180°,可知C为锐角,故△ABC为锐角三角形.
【光速解题】由条件可令A=B=,则C=,此时为锐角三角形,选项只有B符合.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.tan
23°+tan
37°+tan
23°tan
37°= .?
【解题指南】观察式子可以看出23°+37°=60°,故可借助tan(23°+37°)=tan
60°或其变形求解.
【解析】因为tan
60°==,
所以tan
23°+tan
37°=-tan
23°tan
37°,
所以tan
23°+tan
37°+tan
23°tan
37°=.
答案:
【补偿训练】
tan+tan+tantan= .?
【解析】tan+tan+tantan
=tan+
tantan
=+tantan=.
答案:
7.若=3,tan(α-β)=2,则tan(β-2α)= .?
【解析】因为==3,
所以tan
α=2.又tan(α-β)=2,
所以tan(β-2α)=tan
[(β-α)-α]=-tan
[(α-β)+α]=-=.
答案:
8.已知α∈,且tan=3,则log5(sin
α+2cos
α)+log5(3sin
α+cos
α)= .?
【解析】利用两角和的正切公式得tan==3,解得tan
α=,所以log5(sin
α+2cos
α)+log5(3sin
α+cos
α)
=log5
=log5
=log5=log55=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan(α+β)的值.
(2)求α+2β的值.
【解析】由条件得cos
α=,cos
β=.
因为α,β为锐角,所以sin
α==,
sin
β==.
因此tan
α=7,tan
β=.
(1)tan(α+β)=
==-3.
(2)因为tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]
=
=
=-1.又因为α,β为锐角,
所以0<α+2β<,
所以α+2β=.
10.已知tan=,tan=2,
(1)求tan的值.
(2)求tan(α+β)的值.
【解析】(1)tan
=tan
=
=
=-.
(2)tan(α+β)=tan
=
==2-3.
1.在△ABC中,∠C=120°,tan
A+tan
B=.求tan
A·tan
B.
【解析】因为A+B+C=180°,∠C=120°,
所以tan(A+B)=tan
60°=.
又tan(A+B)=,
所以=,
解得tan
A·tan
B=.
2.已知tan
α,tan
β是方程x2-3x-3=0的两根,试求sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)的值.
【解析】由已知有
所以tan(α+β)===.
所以sin2(α+β)-3sin(α+β)cos(α+β)-3cos2(α+β)
=
=
==-3.
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二十七 二倍角的三角函数(二)
(20分钟 35分)
1.已知sin
α-cos
α=,则sin
2α=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.sin
2α=2sin
αcos
α==-.
【补偿训练】
已知cos
α-sin
α=,则cos=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选C.因为cos
α-sin
α=,
所以cos2α-2sin
αcos
α+sin2α=1-sin
2α=,所以sin
2α=,所以cos=sin
2α=.
2.若sin=,则cos=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.由题意,可得cos
=-cos=-cos
=-cos
=-=-.
3.若tan
θ=,则cos
2θ=
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.cos
2θ=cos2θ-sin2θ=.
分子分母同时除以cos2θ,得:cos
2θ===.
4.已知α∈,sin
2α=,则sin=
.?
【解析】因为1-2sin2
=cos=-sin
2α,
所以sin2=,因为α∈,
所以α+∈,所以sin=.
答案:
5.已知α是第二象限角,且sin=-,
则= .?
【解析】由sin=-,得cos
α=-,
又因为α是第二象限角,所以tan
α=-2,
所以=
=·=.
答案:
6.若θ∈,sin
2θ=,求sin
θ.
【解析】因为θ∈,所以2θ∈,
所以cos
2θ≤0,
所以cos
2θ=-
=-=-.
又cos
2θ=1-2sin2θ,
所以sin2θ===,
因为θ∈,所以sin
θ>0,所以sin
θ=.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.=
( )
A.-
B.-1
C.
D.1
【解析】选D.
=
=2×
=2sin
30°=1.
2.设α∈,β∈,且=,则
( )
A.2α+β=
B.2α-β=
C.α+2β=
D.α-2β=
【解析】选B.由=,可得:sin
α-sin
αsin
β=cos
αcos
β.
所以sin
α=cos
αcos
β+sin
αsin
β=cos(α-β),
因为α∈,β∈,
所以cos(α-β)>0,所以α+α-β=,即2α-β=.
3.若sin(α+β)cos
β-cos(α+β)sin
β=0,则sin(α+2β)+sin(α-2β)等于( )
A.1
B.-1
C.0
D.±1
【解析】选C.因为sin(α+β)cos
β-cos(α+β)sin
β
=sin(α+β-β)=sin
α=0,
所以sin(α+2β)+sin(α-2β)=2sin
αcos
2β=0.
4.计算:4cos
50°-tan
40°=
( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选A.4cos
50°-tan
40°=4cos
50°-
=
=
=
=
==.
【误区警示】由于50°+40°=90°,故想用其中一个表示另外一个,没有考虑到其他特殊角,从而思路断掉.
5.已知sin
α+cos
α=,则2cos2-1=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选C.由sin
α+cos
α=平方得,1+sin
2α=,故sin
2α=-,故2cos2-1=
cos=sin
2α=-.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数f(x)=sin-3cos
x的最小值为 .?
【解题指南】首先应用诱导公式,转化得到二倍角的余弦,进一步应用二倍角的余弦公式,得到关于cos
x的二次函数,从而得解.
【解析】f(x)=sin-3cos
x=-cos
2x-
3cos
x=-2cos2x-3cos
x+1=-2+,因为-1≤cos
x≤1,所以当cos
x=1时,f(x)min=-4.
答案:-4
7.已知θ∈,且sin=,则tan
2θ= .?
【解析】由sin=得,
=?sin
θ-cos
θ=,
解方程组:
得或因为θ∈,
所以sin
θ>0,所以不合题意,舍去.
所以tan
θ=,
所以tan
2θ===-.
答案:-
8.·cos
10°+sin
10°tan
70°-2cos
40°= .?
【解析】原式=+
-2cos
40°
=+-2cos
40°
=-2cos
40°
=-2cos
40°
=-2cos
40°
=4cos220°-2(2cos220°-1)=2.
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知2sin
θ-cos
θ=1,求的值.
【解析】已知等式变形得:2sin
θ=1+cos
θ,
即4sin
cos
=2cos2,
即2sin
=cos
或cos
=0,
当2sin
=cos
时,
原式=
==
==2.
当cos
=0时,原式=0,
综上所述,原式的值为0或2.
10.设A,B,C是△ABC的三个内角,求证:sin
2A+
sin
2B+sin
2C=4sin
Asin
Bsin
C.
【证明】左边=(sin
2A+sin
2B)+sin2[π-(A+B)]
=2sin(A+B)cos(A-B)-sin2(A+B)
=2sin(A+B)cos(A-B)-2sin(A+B)cos(A+B)
=2sin(A+B)[cos(A-B)-cos(A+B)]
=2sin(π-C)·(cos
Acos
B+sin
Asin
B-cos
Acos
B+sin
Asin
B)=2sin
C·2sin
A·sin
B
=4sin
Asin
Bsin
C=右边.所以原式得证.
1.函数f(x)=sin2x+sin
xcos
x在区间上的最小值为 .?
【解析】f(x)=+sin
2x
=+=sin+,
又x∈,所以2x-∈,
所以sin∈,故f(x)min=+=1.
答案:1
2.求证:=.
【证明】原式等价于1+sin
4θ-cos
4θ
=(1+sin
4θ+cos
4θ),即1+sin
4θ-cos
4θ
=tan
2θ(1+sin
4θ+cos
4θ).(
)
而(
)式右边=tan
2θ(1+cos
4θ+sin
4θ)
=(2cos22θ+2sin
2θcos
2θ)
=2sin
2θcos
2θ+2sin22θ=sin
4θ+1-cos
4θ=左边.
所以(
)式成立,原式得证.
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二十六 二倍角的三角函数(一)
(20分钟 35分)
1.（2020·全国Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（
）
A.cos
2α>0
B.cos
2α<0
C.sin
2α>0
D.sin
2α<0
【解析】选D.方法一：因为α为第四象限角，所以sin
α<0，cos
α>0，所以sin
2α=2sin
αcos
α<0，而cos
2α=的符号不确定.
方法二：因为α为第四象限角，所以2kπ-＜α＜2kπ，k∈Z，所以4kπ-π＜2α＜4kπ，k∈Z，所以2α为第三或第四象限角或终边落在y轴负半轴上，所以sin
2α<0，
cos
2α的符号不确定.
2.化简:=
( )
A.sin
4+cos
4
B.-sin
4-cos
4
C.sin
4
D.cos
4
【解析】选B.=
==|sin
4+cos
4|,
而4∈,有sin
4<0,cos
4<0,
故sin
4+cos
4<0,
即=-sin
4-cos
4.
3.若tan
α=,则cos2α+2sin
2α=
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选A.由tan
α==,cos2α+sin2α=1,得sin
α=,cos
α=或sin
α=-,cos
α=-,所以sin
2α=2sin
αcos
α=,则cos2α+2sin
2α=+=.
4.(2020·德州高一检测)已知sin=,则sin的值为
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.由sin=,可得cos
=1-2sin2=1-2×=,
所以sin=cos=.
5.已知tan
α=3,则sin2α-sin
2α= .?
【解析】因为tan
α=3,
所以sin2α-sin
2α=sin2α-2sin
αcos
α
==
==.
答案:
6.已知tan
2θ=-2,π<2θ<2π,求的值.
【解析】因为π<2θ<2π,所以<θ<π,所以tan
θ<0.
因为tan
2θ==-2,所以tan
θ=-(正值舍去).所以原式====tan===3+2.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.化简+的结果是
( )
A.sin
B.cos
C.2sin-cos
D.2cos-sin
【解析】选B.+
=+
=cos-sin+sin=cos.
2.已知α是第四象限角,且sin4α+cos4α=,那么sin
2α等于
( )
A. B.- C. D.-
【解析】选B.若α是第四象限角,则2α为第三、四象限角或终边在y轴的负半轴上,而sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=,所以sin22α=,sin
2α=-.
3.若sin
x·tan
x<0,则=
( )
A.cos
x
B.-cos
x
C.sin
x
D.-sin
x
【解析】选B.因为sin
x·tan
x<0,所以x为第二或第三象限角,所以cos
x<0,所以==|cos
x|=-cos
x.
4.已知α∈(0,π),且sin
α+cos
α=,则cos
2α的值为
( )
A.±
B.
C.-
D.-
【解析】选C.把sin
α+cos
α=,平方得1+2sin
αcos
α=,即1+sin
2α=,解得sin
2α=-.
又sin
α+cos
α=sin=,
解得sin=<,
所以0<α+<(舍)或π<α+<π,
解得π<α<π,
所以2α∈,
所以cos
2α=-=-.
【误区警示】本题易根据sin
α+cos
α=<1,所以α∈,故2α∈(π,2π),从而导致错误.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.已知等腰三角形底角的余弦值等于,则这个三角形顶角的正弦值为 .?
【解析】设此三角形的底角为α,顶角为β,
则cos
α=,sin
α=,
所以sin
β=sin(π-2α)=sin
2α
=2sin
αcos
α
=2××=.
答案:
【光速解题】本题作出图形可以更为直观求解.
6.函数y=2cos2x+sin
2x的最小值是 .?
【解题指南】求最小值,先将函数解析式化为“一角一函数”,然后利用正弦型函数性质求解.
【解析】y=2cos2x+sin
2x=cos
2x+1+sin
2x
=sin+1,
当2x+=-+2kπ,即x=-π+kπ(k∈Z)时,函数取得最小值1-.
答案:1-
【补偿训练】
已知不等式f=3sin
·cos
+
cos2-+m≤0,对于任意的-≤x≤恒成立,则实数m的取值范围是 .?
【解析】因为f(x)=3sin
·cos
+cos2-+m=sin
+cos
+m≤0,
所以-m≥sin.
因为-≤x≤,所以-≤+≤,
所以-≤sin≤,
所以-m≥,所以m≤-.
答案:
7.若270°<α<360°,化简的结果是 .?
【解析】由题意,因为270°<α<360°,则135°<<180°,所以cos
α>0,cos
<0,根据余弦的倍角公式,可得==
-cos
.
答案:-cos
8.设α为第四象限角,且=,则tan
2α= .?
【解析】因为=
=
=
=
=4cos2α-1=2(2cos2α-1)+1=2cos
2α+1
=,
所以cos
2α=.
又α是第四象限角,所以sin
2α=-,tan
2α=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知sin
α+cos
α=,且0<α<π,求sin
2α,cos
2α,tan
2α的值.
【解析】因为sin
α+cos
α=,
所以sin2α+2sin
αcos
α+cos2α=,
所以sin
2α=-1=-,且sin
αcos
α=-<0.
又0<α<π,所以sin
α>0,cos
α<0,
所以sin
α-cos
α>0,
所以sin
α-cos
α===,
所以cos
2α=cos
2α-sin
2α
=(cos
α-sin
α)(cos
α+sin
α)
=-×=-,
所以tan
2α===.
10.已知函数f(x)=2sin
xcos
x+2cos2x-1(x∈R).若f(x0)=,x0∈,求cos
2x0的值.
【解析】因为f(x)=2sin
xcos
x+2cos2x-1
=(2sin
xcos
x)+(2cos2x-1)
=sin
2x+cos
2x=2sin,
所以sin=.
又因为x0∈,
所以2x0+∈.
所以cos
=-
=-.
所以cos
2x0=cos
=coscos+sinsin
=-×+×=.
已知函数f(x)=sin·sin+
sin
xcos
x(x∈R).
(1)求f的值.
(2)在△ABC中,f=1,求sin
B+sin
C的最大值.
【解析】(1)因为f(x)=sin·sin+sin
xcos
x=cos
2x+sin
2x=sin,所以f=1.
(2)由f=sin=1,而0B+sin
C=sin
B+
sin=sin
B+cos
B=sin.
因为0所以B+sin
C的最大值为.
【补偿训练】
设函数f(x)=5cos2x+sin2x-4sin
xcos
x.
(1)求f.
(2)若f(α)=5,α∈,求角α.
【解析】f(x)=5cos2x+sin2x-4sin
xcos
x
=5cos2x+5sin2x-2sin
2x-4sin2x
=5-2sin
2x-2(1-cos
2x)
=3-2sin
2x+2cos
2x
=3-4
=3-4
=3-4sin,
(1)f=3-4sin
=3-4sin=3-4.
(2)由f(α)=5,得sin=-,
由α∈,得2α-∈,
所以2α-=,α=.
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