课时素养评价二十 数系的扩充和复数的概念
(20分钟 35分)
1.以-+2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的复数是
( )
A.2-2i
B.2+2i
C.-+i
D.+i
【解析】选A.-+2i的虚部为2,i+2i2=-2+i,其实部为-2,故所求复数为2-2i.
2.在复平面内,复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,则
( )
A.a=0或a=2
B.a=0
C.a≠1且a≠2
D.a≠1或a≠2
【解析】选B.因为复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i是纯虚数,所以a2-2a=0且a2-a-2≠0,所以a=0.
3.若sin
2θ-1+(cos
θ+1)i是纯虚数,则θ的值为
( )
A.2kπ-(k∈Z)
B.2kπ+(k∈Z)
C.2kπ±(k∈Z)
D.+(k∈Z)
【解析】选B.由
得(k∈Z).所以θ=2kπ+(k∈Z).
4.已知(3x+y)+(2x-y)i=(7x-5y)+3i,则实数x=________,y=________.?
【解析】因为x,y是实数,所以根据两个复数相等的充要条件,可得解得
答案:
5.已知复数z=(m2-m)i(m∈R),若z是实数,则m的值为________.?
【解析】z=(m2-m)i,所以m2-m=0,所以m=0或1.
答案:0或1
6.已知复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i.
(1)若复数z是实数,求实数m的值.
(2)若复数z是虚数,求实数m的取值范围.
(3)若复数z是纯虚数,求实数m的值.
(4)若复数z是0,求实数m的值.
【解析】(1)当m2-2m-15=0时,复数z为实数,所以m=5或-3.
(2)当m2-2m-15≠0时,复数z为虚数.
所以m≠5且m≠-3.
所以实数m的取值范围为{m|m∈R,m≠5且m≠-3}.
(3)当时,复数z是纯虚数,
所以m=-2.
(4)当时,复数z是0,得m=-3.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若a,b∈R,i是虚数单位,且b+(a-2)i=1+i,则a+b的值为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选D.由b+(a-2)i=1+i,得b=1,a-2=1.
即a=3,所以a+b=4.
2.“复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a=-2”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为1-a+a2=+>0,所以若复数4-a2+(1-a+a2)i(a∈R)是纯虚数,则4-a2=0,即a=±2;当a=-2时,能推出4-a2+(1-a+a2)i=7i为纯虚数.
3.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为
( )
A.-1 B.2 C.1 D.-1或2
【解析】选D.因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.
4.已知M={1,2,m2-3m-1+(m2-5m-6)i},N={-1,3},M∩N={3},则实数m的值为
( )
A.-1或6
B.-1或4
C.-1
D.4
【解析】选C.由M∩N={3},知m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以解得m=-1.
5.已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R),z2=2cos
θ+(λ+3sin
θ)i(λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围为
( )
A.
B.
C.[-1,1]
D.
【解析】选D.由z1=z2得
消去m得λ=4sin2θ-3sin
θ=4-.
由于-1≤sin
θ≤1,故-≤λ≤7.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.使不等式m2-(m2-3m)i<(m2-4m+3)i+10成立的实数m的取值集合是________.?
【解析】由已知,得,解得m=3,
所以所求的实数m的取值集合是{3}.
答案:{3}
7.若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值(或取值范围)是________.?
【解析】由题意知解得x=-2.
答案:-2
8.若m为实数,z1=(m2+1)+(m3+3m2+2m)i,z2=(4m+2)+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m的值的集合是________.?
【解析】当z1是实数时,则m3+3m2+2m=0,
解得m=0或-1或-2,此时z1=1或2或5.
当z2是实数时,则m3-5m2+4m=0,解得m=0或1或4,此时z2=2或6或18.
上面m的公共值为m=0,此时z1和z2同为实数,此时z1=1,z2=2,不满足z1>z2,
所以使z1>z2的m的值的集合是.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知复数z=sin
θ-1+(1-2cos
θ)i,且θ∈(0,π).
(1)若z为实数,求θ的值.
(2)若z为纯虚数,求θ的值.
【解析】(1)因为z为实数,所以1-2cos
θ=0,
即cos
θ=.
又因为θ∈(0,π),所以θ=.
(2)因为z为纯虚数,所以
所以sin
θ=1且cos
θ≠,又因为θ∈(0,π),
所以θ=.
10.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.
【解析】由定义运算=ad-bc,
得=3x+2y+yi,
故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.
因为x,y为实数,所以有
得得x=-1,y=2.
已知复数z1=-a2+2a+ai,z2=2xy+(x-y)i,其中a,x,y∈R,且z1=z2,求3x+y的取值范围.
【解析】由复数相等的充要条件,得消去a,得x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.
方法一:令t=3x+y,则直线3x+y-t=0与圆(x-1)2+(y+1)2=2有公共点,所以圆心(1,-1)到直线3x+y-t=0的距离d=≤,
解得2-2≤t≤2+2,即3x+y的取值范围是[2-2,2+2].
方法二:令
得(α∈R),
所以3x+y=sin
α+3cos
α+2=2sin(α+φ)+2(其中tan
φ=3),于是3x+y的取值范围是[2-2,2+2].
PAGE课时素养评价二十一 复数的几何意义
(20分钟 35分)
1.已知复数z=a+a2i(a<0),则复数z在复平面内对应的点在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.因为a<0,所以复数z=a+a2i对应的点(a,a2)位于第二象限.
【补偿训练】
设z=(2m2+2m-1)+(m2-2m+2)i(m∈R),则下列结论中正确的是
( )
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z一定不是纯虚数
C.z在复平面内对应的点在实轴上方
D.z一定是实数
【解析】选C.2m2+2m-1=2-,
m2-2m+2=(m-1)2+1>0,
则z在复平面内对应的点一定在实轴上方.
2.已知i是虚数单位,在复平面内,复数-2+i和1-3i对应的点之间的距离是
( )
A.
B.
C.5
D.25
【解析】选C.由于复数-2+i和1-3i对应的点分别为(-2,1),(1,-3),因此由两点间的距离公式,得这两点间的距离为=5.
3.已知平行四边形OABC,O、A、C三点对应的复数分别为0、1+2i、3-2i,则向量的模||等于
( )
A. B.2 C.4 D.
【解析】选D.由于四边形OABC是平行四边形,故=,因此||=||=|3-2i|=.
4.已知复数z=1-2mi(m∈R),且|z|≤2,则实数m的取值范围是________.?
【解析】因为|z|=≤2,解得-≤m≤.
答案:
5.若复数z1=3-5i,z2=1-i,z3=-2+ai,在复平面内所对应的点在同一条直线上,则实数a=________.?
【解析】设复数z1,z2,z3分别对应点P1(3,-5),P2(1,-1),P3(-2,a),由已知可得=,从而可得a=5.
答案:5
6.实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m-3)+(m2-5m-14)i的点:
(1)位于第四象限.
(2)位于第一或第三象限.
(3)位于直线y=x上.
【解析】(1)由题意得得3
此时复数z对应的点位于第四象限.
(2)由题意得或
所以m>7或-2(3)要使复数z对应的点在直线y=x上,只需m2-5m-14=m-3,所以m2-6m-11=0,所以m=3±2,此时,复数z对应的点位于直线y=x上.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知复数z1=2-ai(a∈R)在复平面内对应的点在直线x-3y+4=0上,则复数z2=a+2i在复平面内对应的点在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.复数z1=2-ai对应的点为(2,-a),它在直线x-3y+4=0上,故2+3a+4=0,解得a=-2,于是复数z2=-2+2i,它对应的点为(-2,2),在第二象限.
2.已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正向的夹角为120°,且复数z的模为2,则复数z为
( )
A.1+i
B.2
C.(-1,
)
D.-1+i
【解析】选D.设复数z对应的点为(x,y),则
x=|z|·cos
120°=2×=-1,
y=|z|·sin
120°=2×=,
所以复数z对应的点为(-1,
),所以z=-1+i.
3.在复平面内,复数z1,z2对应的点分别为A,B.已知A(1,2),||=2,
|z2|=,则z2=
( )
A.4+5
B.5+4i
C.3+4i
D.5+4i或+i
【解析】选D.设z2=x+yi(x,y∈R),
由条件得,
所以或
4.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为
( )
A.一个圆
B.线段
C.两点
D.两个圆
【解析】选A.因为|z|2-2|z|-3=0,
所以(|z|-3)(|z|+1)=0,所以|z|=3,表示一个圆.
5.复数z=(3m-2)+(m-1)i(m∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内的对应点P(3m-2,m-1),当m>1时,P在第一象限;当m<时,P在第三象限,当二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若复数(-6+k2)-(k2-4)i(k∈R)在复平面内所对应的点位于第三象限,则k的取值范围是________.?
【解析】因为复数在复平面内所对应的点位于第三象限,
所以解得2答案:27.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为点B,则向量对应的复数为________.?
【解析】因为复数-1+2i对应的点为A(-1,2),点A关于直线y=-x的对称点为点B(-2,1),所以对应的复数为-2+i.
答案:-2+i
8.复数z=1+cos
α+isin
α(π<α<2π)的模的取值范围为________.?
【解析】|z|==,
因为π<α<2π所以-1α<1.
所以0<2+2cos
α<4.所以|z|∈(0,2).
答案:(0,2)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设z∈C,则满足下列条件的点Z的集合是什么图形?
①|z|=;②|z|≤3.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),
①|z|=,所以x2+y2=2,
所以点Z的集合是以原点为圆心,以为半径的圆.
②|z|≤3,所以x2+y2≤9.
所以点Z的集合是以原点为圆心,以3为半径的圆及其内部.
10.已知z1=cos
θ+isin
2θ,z2=sin
θ+icos
θ,当θ为何值时,
(1)z1=z2;
(2)z1,z2对应点关于x轴对称;
(3)|z2|<.
【解析】(1)z1=z2?
??θ=2kπ+(k∈Z).
(2)z1与z2对应点关于x轴对称?
??θ=2kπ+π(k∈Z).
(3)|z2|?kπ-<θ已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.
【解析】因为对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i,所以=(-3,4),
=(2a,1).
因为与共线,所以存在实数k使=k,
即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),
所以所以即a的值为-.
PAGE课时素养评价二十二 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
(20分钟 35分)
1.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为
( )
A.a=-3,b=-4
B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4
D.a=3,b=4
【解析】选A.由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.
2.在复平面上复数-1+i,0,3+2i所对应的点分别是A,B,C,则平行四边形ABCD的对角线BD的长为
( )
A.5 B. C. D.
【解析】选B.对应的复数为-1+i,对应的复数为3+2i,因为=+,
所以对应的复数为(-1+i)+(3+2i)=2+3i.
所以BD的长为.
3.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则
( )
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
【解析】选C.由已知条件,可得z=x+yi.因为|z-i|=1,
所以|x+yi-i|=1,所以x2+(y-1)2=1.
4.若复数z满足z=|z|-3-4i,则z=________.?
【解析】设复数z=a+bi(a,b∈R),则a=-3且b=-4,解得a=,b=-4,
所以z=-4i.
答案:-4i
5.设f(z)=则f(f(2i))=__________.?
【解析】因为|2i|=2<3,所以f(2i)=2-3i-2i=2-5i,而|2-5i|=>3,所以f(f(2i))=f(2-5i)=2-5i+3-2i=5-7i.
答案:5-7i
6.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.
【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=
[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,
又因为z=13-2i,且x,y∈R,
所以
解得
所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,
z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|
=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
【解析】选A.设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3及|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|.可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.
2.如果复数z=3+ai满足条件|z-2|<2,那么实数a的取值范围是
( )
A.(-2,2)
B.(-2,2)
C.(-1,1)
D.(-,)
【解析】选D.|z-2|<2,即|1+ai|<2,
所以<2,所以-3.复数z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为
( )
A.2
B.4
C.4
D.16
【解析】选C.由|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,所以x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,即x+2y=3,
所以2x+4y=2x+22y≥2=2=4,
当且仅当x=2y=时,2x+4y取得最小值4.
4.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2等于
( )
A.10
B.25
C.100
D.200
【解析】选C.根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以,为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2为直角,M是线段M1M2的中点,
因为||==5.所以|M1M2|=10.
则|z1|2+|z2|2=|M1M2|2=100.
5.设z∈C且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为
( )
A.0
B.1
C.
D.
【解析】选C.由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离,即为.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知复数z1=(a2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2为纯虚数,则a=______.?
【解析】z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i=(a2-a-2)+(a2+a-6)i(a∈R)为纯虚数,
所以
解得a=-1.
答案:-1
【误区警示】解答本题时,易将虚数与纯虚数的概念相混淆而导致错误.
7.已知复数z1=2+3i,z2=a-2+i,若|z1-z2|<|z1|,则实数a的取值范围是________.?
【解析】由条件知,z1-z2=(4-a)+2i.
又因为|z1-z2|<|z1|,
即<,解得1答案:18.已知f(z+i)=3z-2i(z∈C),则f(i)=________.?
【解析】因为f(z+i)=3z-2i=3z+3i-5i=3(z+i)-5i,则f(x)=3x-5i,
所以f(i)=3i-5i=-2i.
答案:-2i
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知复平面上的四个点A,B,C,D构成平行四边形,顶点A,B,C对应复数-5-2i,-4+5i,2,求点D对应的复数.
【解析】因为=,所以zA-zB=zD-zC,所以zD=zA-zB+zC=(-5-2i)-(-4+5i)+2=1-7i.即点D对应的复数为1-7i,如图①.
用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z,图②中点D对应的复数为3+7i,图③中点D对应的复数为-11+3i.
故点D对应的复数为1-7i或3+7i或-11+3i.
10.在平行四边形ABCD中,已知,对应的复数分别为z1=3+5i,z2=-1+2i.
(1)求对应的复数;
(2)求对应的复数;
(3)求平行四边形ABCD的面积.
【解析】(1)因为=+=+,
所以=-,故对应的复数为z=z1-z2=(3+5i)-(-1+2i)=4+3i.
(2)因为=-=-,
所以对应的复数为(4+3i)-(-1+2i)=5+i.
(3)由(1)(2)可知在平行四边形ABCD中,==(-1,2),==(4,3),
所以cos∠DAB===,
因此sin∠DAB==.
于是平行四边形ABCD的面积
S=||||sin∠DAB=×5×=11.
已知z∈C,且|z-2-2i|=1,i是虚数单位,则|z+2-2i|的最小值是
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【思路导引】考虑|z-2-2i|=1的几何意义,它表示以(2,2)为圆心,以1为半径的圆,则|z+2-2i|的最小值,就是圆上的点到(-2,2)距离的最小值,转化为圆心到(-2,2)距离与半径的差.
【解析】选B.|z-2-2i|=1表示的几何意义是平面内到A(2,2)的距离等于1的点的轨迹,即以点A(2,2)为圆心,以1为半径的圆C,|z+2-2i|的最小值,即圆C上的点到B(-2,2)的距离的最小值d=|AB|-1=3.
【一题多解】(几何法)|z+2-2i|=|z-(-2+2i)|=1,所以复数z在复平面内的对应点的轨迹是以(-2,2)为圆心,以1为半径的圆.
|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示复数z在复平面内的对应点到点(2,2)的距离,即圆上的点到点(2,2)的距离,最小值为圆心与点(2,2)的距离减去半径,易求得|z-2-2i|的最小值为3.
PAGE课时素养评价二十三 复数代数形式的乘除运算
(20分钟 35分)
1.若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则=
( )
A.2-3i
B.2+3i
C.3+2i
D.3-2i
【解析】选A.因为z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,所以=2-3i.
2.(2019·全国卷Ⅰ)设z=,则|z|=
( )
A.2
B.
C.
D.1
【解析】选C.因为z=,所以z==-i,所以|z|==,故选C.
3.化简的结果是
( )
A.2+i
B.-2+i
C.2-i
D.-2-i
【解析】选C.====2-i.
4.已知复数z=(2-i)2(i为虚数单位),则z的共轭复数为________.?
【解析】z=(2-i)2=3-4i,=3+4i.
答案:3+4i
5.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-bi)=a,则的值为________.?
【解析】因为(1+i)(1-bi)=1+b+(1-b)i=a,又a,b∈R,所以1+b=a且1-b=0,
得a=2,b=1,所以=2.
答案:2
6.已知为z的共轭复数,若z·-3i=1+3i,求z.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi(a,b∈R),
由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
则有解得或
所以z=-1或z=-1+3i.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.计算+的值是
( )
A.0
B.1
C.i
D.2i
【解析】选D.原式=+
=+=+i=+i=2i.
2.设a是实数,且∈R,则实数a=
( )
A.-1
B.1
C.2
D.-2
【解析】选B.因为∈R,所以不妨设=x,x∈R,则1+ai=(1+i)x=x+xi,所以有所以a=1.
3.设z=3-i,则=
( )
A.3+i B.3-i C.i+ D.+i
【解析】选D.====+i.
4.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是
( )
A.若|z1-z2|=0,则=
B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2·
D.若|z1|=|z2|,则=
【解析】选D.A项,|z1-z2|=0?z1-z2=0?z1=z2?=,真命题;B项,z1=?=z2,真命题;C项,|z1|=|z2|?|z1|2=|z2|2?z1·=z2·,真命题;D项,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即≠,假命题.
5.设i是虚数单位,是复数z的共轭复数.若z·i+2=2z,则z=
( )
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
【解析】选A.设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,又z·i+2=2z,
所以(a2+b2)i+2=2a+2bi,所以a=1,b=1,故z=1+i.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(1+i)20-(1-i)20的值等于________.?
【解析】因为(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-
[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.
答案:0
7.若z1=a+2i,z2=3-4i,且为纯虚数,则实数a的值为________.?
【解析】====,因为为纯虚数,
所以所以a=.
答案:
8.设x,y为实数且+=,则x+y=________.?
【解析】+=可化为,+=,
即+i=+i,由复数相等的充要条件知
所以所以x+y=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设复数z=,若z2+<0,求纯虚数a.
【解析】由z2+<0可知z2+是实数且为负数.
z====1-i.
因为a为纯虚数,所以设a=mi(m∈R且m≠0),
则z2+=(1-i)2+=-2i+=-+i<0,所以
所以m=4,所以a=4i.
10.复数z=且|z|=4,z对应的点在第一象限,若复数0,z,对应的点是正三角形的三个顶点,求实数a,b的值.
【解析】z=(a+bi)=2i·i(a+bi)=-2a-2bi.
由|z|=4,得a2+b2=4①,
因为复数0,z,对应的点构成正三角形,
所以|z-|=|z|.
把z=-2a-2bi代入化简得,|b|=1②.
又因为z对应的点在第一象限,所以a<0,b<0.
由①②得故所求值为a=-,b=-1.
1.已知复数z满足(3+4i)z=5i2
020(i为虚数单位),则|z|=________.?
【解析】
由(3+4i)z=5i2
020,
得z=====,所以|z|==1.
答案:1
2.已知+=2n,求最小正整数n.
【解析】原等式可化为+=2n,
即[(1+i)2]n(1+i)+[(1-i)2]n·(1-i)=2·2n,
(2i)n(1+i)+(-2i)n(1-i)=2·2n,
2n·in(1+i)+2n(-i)n(1-i)=2·2n,
所以in[(1+i)+(-1)n(1-i)]=2,
若n=2k(k∈N
),
则i2k[(1+i)+(1-i)]=2,
所以i2k=1,所以k最小为2,所以n最小为4.
若n=2k-1(k∈N
),
则i2k-1[(1+i)-(1-i)]=2,
故2i2k=2,所以i2k=1,k最小为2,n最小为3.
所以对于n∈N
时,最小正整数为3.
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