课时素养评价一 变化率问题 导数的概念
(15分钟 30分)
1.如果函数f(x)=ax+b在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a=( )
A.-3
B.2
C.3
D.-2
【解析】选C.根据平均变化率的定义,可知==a=3.
2.一物体的运动方程是s=t+,则在t=2时刻的瞬时速度是
( )
A.
B.
C.1
D.2
【解析】选B.Δs=2+Δt+-2-
=Δt-,=1-,
所以t=2时的瞬时速度为
==.
3.已知函数y=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近点(1+Δx,2+Δy),则=
( )
A.2
B.2x
C.2+Δx
D.2+Δx2
【解析】选A.由题意得=
==2+Δx,所以(2+Δx)=2.
4.已知点P(x0,y0)是抛物线y=3x2+6x+1上一点,且f′(x0)=0,则点P的坐标为、
( )
A.(1,10)
B.(-1,-2)
C.(1,-2)
D.(-1,10)
【解析】选B.=
=
=3Δx+6x0+6,
所以f′(x0)=
=(3Δx+6x0+6)
=6x0+6=0,所以x0=-1.
把x0=-1代入y=3x2+6x+1,得y=-2.
所以P点坐标为(-1,-2).
5.在曲线y=f(x)=x2+3上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy).
求:(1).
(2)f′(1).
【解析】(1)=
==2+Δx.
(2)f′(1)==(2+Δx)=2.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.质点运动规律s=t2+3,则在时间
[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于( )
A.6+Δt
B.6+Δt+
C.3+Δt
D.9+Δt
【解析】选A.质点在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度为===6+Δt.
2.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于
( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
【解析】选A.易知f=3,f=1,
因此=-1.
3.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是
( )
A.甲
B.乙
C.相同
D.不确定
【解析】选B.在t0处,W1(t0)=W2(t0),但
W1(t0-Δt)
<,
所以,在相同的时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小,即乙厂的治污效果较好.
4.若函数f=x2由x=1至x=1+Δx的平均变化率的取值范围是,则Δx的取值范围为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为x由x=1至x=1+Δx时,Δy=f-f
=-12=+2Δx,
所以函数f=x2由x=1至x=1+Δx的平均变化率为=Δx+2,因为=Δx+2∈,所以Δx∈.
5.设f(x)为可导函数,且f′(2)=,则
的值为
( )
A.1 B.-1 C. D.-
【解析】选B.因为
=-2
=-2f′=-2×=-1.
【误区警示】对导数概念的不理解致错
导数定义f′(x0)=中,分式的分母一定是自变量的增量(x0+Δx)-x0,上面一定是函数值的增量f(x0+Δx)-f(x0),如果不满足,就要利用极限运算化简.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知物体运动的速度与时间之间的关系是v=t2+2t+2,则在时间间隔内的平均加速度是________.?
【解析】由平均变化率的定义可知,该物体在内的平均加速度为==Δt+4.
答案:Δt+4
7.已知曲线y=f(x)=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为________.?
【解析】=(2Δx+4x0)=4x0=-4,解得x0=-1,
所以点M的坐标为M(-1,3).
答案:(-1,3)
8.已知曲线y=x2-1上两点A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),当Δx=1时,割线AB的斜率是________;当Δx=0.1时,割线AB的斜率是________.?
【解析】当Δx=1时,割线AB的斜率
k1====5;
当Δx=0.1时,割线AB的斜率
k2===4.1.
答案:5 4.1
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围.
【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为==
=4+Δt,又≤5,即4+Δt≤5,所以Δt≤1.
又Δt>0,所以Δt的取值范围为(0,1].
10.在F1赛车中,赛车位移与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t2(s的单位为m,t的单位为s).求:
(1)t=20
s,Δt=0.1
s时的Δs与;
(2)t=20
s时的瞬时速度.
【解析】(1)Δs=s-s=10
+5-10×20-5×202=
21.05.
==210.5.
(2)=
==5Δt+10t+10.
当Δt→0,t=20
s时v=10×20+10=210.
所以在t=20
s时的瞬时速度为210
m/s.
PAGE课时素养评价二 导数的几何意义
(15分钟 30分)
1.已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,2),则f′(1)的值为
( )
A.1
B.0
C.-1
D.2
【解析】选B.因为二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,2),所以过点(1,2)的切线平行于x轴,即切线的斜率为0,所以f′(1)=0.
2.若曲线f(x)=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于( )
A.1
B.
C.-
D.-1
【解析】选A.因为f′(1)==
=(2a+aΔx)=2a,
所以2a=2,所以a=1.
3.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为
( )
A.y=9x
B.y=9x-26
C.y=9x+26
D.y=9x+6或y=9x-26
【解析】选D.=
=
=(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0.
所以f′(x0)=[(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0]=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1,
因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3).
又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.
4.若曲线y=x2在点P处的切线与直线y=-x+1垂直,则过点P的切线方程为
( )
A.2x-y-1=0
B.2x-y-2=0
C.x+2y+2=0
D.2x-y+1=0
【解析】选A.与直线y=-x+1垂直的直线的斜率为2.由y=x2知,y′=
=(2x+Δx)=2x.设点P的坐标为(x0,y0),则2x0=2,即x0=1,故y0=1.所以过P(1,1)且与直线y=-x+1垂直的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
5.已知曲线y=x3上一点P,求:
(1)点P处的切线的斜率.
(2)点P处的切线方程.
【解析】(1)由y=x3,得y′=
=
=
=[3x2+3xΔx+(Δx)2]=x2,y′=22=4.
所以点P处的切线的斜率等于4.
(2)在点P处的切线方程为
y-=4(x-2),即12x-3y-16=0.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.如果曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为x+2y-3=0,那么
( )
A.f′(x0)>0
B.f′(x0)<0
C.f′(x0)=0
D.f′(x0)不存在
【解析】选B.由x+2y-3=0知斜率k=-,
所以f′(x0)=-<0.
2.在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是
( )
A.(0,0)
B.(2,4)
C.
D.
【解析】选D.因为y=x2,
所以k=y′===
(2x+Δx)=2x,所以2x=tan=1,所以x=,则y=.
3.曲线f(x)=-在点M(1,-2)处的切线方程为( )
A.y=-2x+4
B.y=-2x-4
C.y=2x-4
D.y=2x+4
【解析】选C.==,所以当Δx→0时,f′(1)→2,即k=2.所以切线方程为y+2=2(x-1).即y=2x-4.
4.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是
( )
A.-9
B.15
C.9
D.-3
【解析】选C.因为y=x3+11,所以y′=
=
=[3x2+3Δx·x+(Δx)2]=3x2,
则y′=3×12=3,
所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线方程为y-12=3(x-1),令x=0解得y=9,
所以曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是9.
5.已知函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,f(0))处的切线l与直线x+y+3=0垂直,若数列的前n项和为Sn,则S2
020的值为
( )
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意可得A(0,0),函数f(x)=x2+2bx的图象在点A(0,0)处的切线l的斜率k==2b,
由l与直线x+y+3=0垂直,可得2b·(-1)=-1,
所以b=.因为f(n)=n2+2bn=n2+n=n(n+1),
所以=-,故数列的前n项和为Sn=+++…+=1-,
所以S2
020=1-=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.曲线f(x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴,直线x=a围成的三角形的面积为,则a=________.?
【解析】因为f′(a)==3a2,
所以曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a).
令y=0,得切线与x轴的交点为,
由题设知三角形面积为·|a3|=,解得a=±1.
答案:±1
7.已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则A处的切线斜率等于________.?
【解析】因为y=2x3,
所以y′==
=2
=2[(Δx)2+3xΔx+3x2]=6x2.
所以y′=6.所以点A(1,2)处切线的斜率为6.
答案:6
8.已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R).若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,则实数a的取值范围为________.?
【解析】由题意,得f′(x)==3x2-3a=-1无解,
即3x2-3a+1=0无解,故Δ<0,解得a<.
答案:a<
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及a的值.
【解析】设直线与曲线相切于点P(x0,y0),则
f′(x)=
=3x2-4x.由导数的几何意义,得k=f′(x0)=3-4x0=4,解得x0=-或x0=2,
所以切点坐标为或(2,3).
当切点为时,有=4×+a,
所以a=.当切点为(2,3)时有3=4×2+a,所以a=-5,因此切点坐标为或(2,3),a的值为或-5.
10.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】==2x+Δx,
则y′==(2x+Δx)=2x,
设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=f′(x0)=2x0,由点斜式可得,所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0),又因为切线过(1,a),且y0=+1,
所以a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0,因为切线有两条,
所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,
使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是{a|a<2}.
已知点M(0,-1),F(0,1),过点M的直线l与曲线y=x3-4x+4在x=2处的切线平行.
(1)求直线l的方程.
(2)求以点F为焦点,l为准线的抛物线C的方程.
【解析】(1)y=f(x)=x3-4x+4,
所以f′(2)=
=
==0,
即曲线y=x3-4x+4在x=2处的切线斜率为0,
而l与此切线平行,故l的斜率也为0.
又l过点M(0,-1),所以直线l的方程为y=-1.
(2)因为抛物线以点F(0,1)为焦点,y=-1为准线,
设抛物线方程为x2=2py(p>0),则=1,p=2.
故抛物线C的方程为x2=4y.
PAGE课时素养评价三 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
(15分钟 30分)
1.下列结论正确的是
( )
A.若y=sin
x,则y′=cos
x
B.若y=cos
x,则y′=sin
x
C.若y=,则y′=
D.若y=,则y′=
【解析】选A.由基本初等函数导数公式得,(sin
x)′=cos
x,(cos
x)′=
-sin
x,′=(x-3)′=-,′=′=,所以A正确,B,C,D错误.
2.曲线y=在点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标是
( )
A.
B.或
C.
D.
【解析】选B.y′=′=-,由-=-4,解得x=±.所以P点的坐标为或.
3.已知f(x)=xa,若f′(-1)=-4,则a的值等于
( )
A.4
B.-4
C.5
D.-5
【解析】选A.f′(x)=axa-1,f′(-1)=a(-1)a-1=-4.
当a=4时,a-1=3,则f′(-1)=-4成立.
当a=-4时,f′(-1)=4,与题意不符.同理,a=5和-5时,与题意也不符.
4.若f(x)=10x,则f′(1)=________.?
【解析】因为(10x)′=10xln
10,所以f′(1)=10ln
10.
答案:10ln
10
5.曲线y=cos
x在点x=处的切线方程为________.?
【解析】因为cos=0,即求曲线y=cos
x在点处的切线方程,
y′=-sin
x,当x=时,
y′=-1.所以切线方程为y=-1·,
即x+y-=0.
答案:x+y-=0
6.求下列函数的导数:
(1)y=10. (2)y=x10. (3)y=.
【解析】(1)y′=10′=0.
(2)y′=(x10)′=10x10-1=10x9.
(3)y′=′===.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知函数f(x)=ex(e是自然对数的底数),则函数f(x)的导函数f′(x)的大致图象为
( )
【解析】选A.因为f(x)=ex,所以f′(x)=ex,
所以f′(x)的大致图象为A.
2.曲线y=xn在x=2处的导数为12,则n=
( )
A.1
B.3
C.2
D.4
【解析】选B.y′=nxn-1,因为y′=12,
所以n·2n-1=12.检验知n=3时成立.
3.质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s=,则质点在t=4时的速度为
( )
A. B. C. D.
【解析】选B.s′=.当t=4时s′=·=.
4.若曲线y=在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是
( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
【解析】选A.y′=,y′|x=a=x=a=,
所以切线方程为y-=(x-a).
令x=0,得y=,令y=0,得x=-a.
由题意知S=×a×=2,解得a=4.
5.函数f(x)=x2与函数g(x)=2x
( )
A.在[0,+∞)上f(x)比g(x)增长的速度快
B.在[0,+∞)上f(x)比g(x)增长的速度慢
C.在[0,+∞)上f(x)与g(x)增长的速度一样快
D.以上都不对
【解析】选D.函数的导数表示函数的增长速度,
由于f′(x)=2x,g′(x)=2.
若2x>2即x>1时f(x)增长速度比g(x)增长速度快,
若2x<2即x<1时f(x)比g(x)增长速度慢,
在x=2时两者增长速度相同.
【误区警示】不理解导函数的意义致错
函数的导数表示函数的增长速度,所以对函数求导后要注意讨论导数的大小,从而确定增长速度的快慢.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知f(x)=x3,g(x)=ex,则f′(g′(-1))=________.?
【解析】因为f(x)=x3,g(x)=ex,
所以f′(x)=3x2,g′(x)=
ex,所以g′(-1)=,
故f′(g′(-1))=f′=.
答案:
7.函数f(x)=cos2-sin2的图象上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是________.?
【解析】因为f(x)=cos2-sin2=cos
x,
所以f′(x)=-sin
x.设P(x0,y0)是函数f(x)的图象上任意一点,则点P处的切线的斜率k=f′(x0)=-sin
x0∈[-1,1].设切线的倾斜角为θ,则-1≤tan
θ≤1,
于是θ∈∪.
答案:∪
8.曲线y=cos
x在点A处的切线方程为__________.?
【解析】因为y′=(cos
x)′=-sin
x,
所以y′=-sin=-,
所以在点A处的切线方程为y-=-,
即x+2y--=0.
答案:x+2y--=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求下列函数的导数.
(1)y=2sincos.(2)y=3x.(3)y=log5x.
【解析】(1)因为y=2sincos=sin
x,
所以y′=(sin
x)′=cos
x.
(2)y′=(3x)′=3xln
3.
(3)y′=(log5x)′=.
10.若曲线y=在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,求实数a的值.
【解题指南】表示出过点的切线,用a表示出三角形的面积,解方程求a.
【解析】因为y′=-,所以y′=-,
所以在点处的切线方程为
y-=-(x-a).令x=0,得,y=,
令y=0,得x=3a,所以×3a×=18,解得a=64.
1.函数y=x2(x>0)的图象在点(ak,)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是________.?
【解析】因为函数y=x2,y′=2x,
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,)处的切线方程为y-=2ak(x-ak),令y=0得ak+1=ak.
又因为a1=16,
所以a3=a2=a1=4,a5=a3=1,
所以a1+a3+a5=16+4+1=21.
答案:21
2.设点P是曲线y=ex上的任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
【解析】根据题意,设平行于直线y=x的直线与曲线y=ex相切于点P(x0,y0),该切点即为到直线y=x距离最近的点,如图所示.
则曲线y=ex在点P(x0,y0)处的切线的斜率为1,
即y′=1.因为y′=(ex)′=ex,
所以=1,得x0=0,代入y=ex,得y0=1,
即P(0,1).
利用点到直线的距离公式得点P到直线y=x的最小距离为=.
PAGE课时素养评价四 导数的运算法则
(15分钟 30分)
1.函数y=xcos
x-sin
x的导数为
( )
A.xsin
x
B.-xsin
x
C.xcos
x
D.-xcos
x
【解析】选B.
y′=(xcos
x)′-(sin
x)′
=x′cos
x+x(cos
x)′-cos
x
=cos
x-xsin
x-cos
x=-xsin
x.
2.函数f(x)=x2+ln
x+sin
3x+1的导数是
( )
A.f′(x)=2x++cos
3x+1
B.f′(x)=2x-+cos
3x
C.f′(x)=2x+-cos
3x
D.f′(x)=2x++cos
3x
【解析】选D.由f(x)=x2+ln
x+sin
3x+1,得f′(x)=2x++cos
3x.
3.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为
( )
A.y=-2x-1
B.y=-2x+1
C.y=2x-3
D.y=2x+1
【解析】选B.因为f(x)=x4-2x3,所以f′(x)=4x3-6x2,所以f(1)=-1,f′(1)=-2,因此,所求切线的方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.
4.已知函数f(x)=x3+2f′(1)x-3,则f′(2)=________.?
【解析】由f(x)=x3+2f′(1)x-3,得f′(x)=3x2+2f′(1),
令x=1得f′(1)=3+2f′(1),
解得f′(1)=-3,所以f′(x)=3x2-6,所以f′(2)=6.
答案:6
5.已知函数f=x3+x-16.
(1)求f′.
(2)求曲线y=f在点处的切线的方程.
【解析】(1)
f′=3x2+1.
(2)可判定点在曲线y=f上.
因为f′(x)=3x2+1,
所以在点处的切线的斜率k=f′=13.
所以切线的方程为y+6=13,即y=13x-32.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019·全国卷Ⅱ)曲线y=2sin
x+cos
x在点(π,-1)处的切线方程为( )
A.x-y-π-1=0
B.2x-y-2π-1=0
C.2x+y-2π+1=0
D.x+y-π+1=0
【解析】选C.由y=2sin
x+cos
x可得y′=2cos
x-sin
x,当x=π时,y′=-2,即切线的斜率为-2,所以切线方程为2x+y-2π+1=0.
2.(2020·北京高二检测)下列求导正确的是
( )
A.′=1+
B.′=
C.(x2sin
x)′=-2xcos
x
D.(xln
x)′=ln
x+
【解析】选A.对于A选项,′=1+,故A选项正确.对于B选项,′
==,故B选项错误.对于C选项,(x2sin
x)′=2xsin
x+x2cos
x,故C选项错误.对于D选项,(xln
x)′=ln
x+1,故D选项错误.
3.(2020·龙岩高二检测)已知曲线f(x)=xcos
x+3x在点(0,f(0))处的切线与直线ax+4y+1=0垂直,则实数a的值为
( )
A.-4 B.-1 C.1 D.4
【解析】选C.由题意,f′=cos
x-xsin
x+3,f′=cos
0+3=4,则曲线f在点处的切线斜率为4,由于切线与直线ax+4y+1=0垂直,
则-×4=-1,解得a=1.
4.已知函数f的导数为f′,f=2x2-3xf′+ln
x,则f′=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.f=2x2-3xf′+ln
x,
所以f′=4x-3f′+,将x=2代入得
f′=8-3f′+?f′=.
5.(2020·桂林高二检测)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值是
( )
A.1 B. C.1或 D.1或-
【解析】选C.因为(0,0)在f(x)上,当O(0,0)为f(x)的切点时,
因为f′(0)=2,所以直线l的方程为y=2x,
又直线l与y=x2+a相切,
所以x2+a-2x=0满足Δ=4-4a=0,得a=1;
当O(0,0)不是f(x)的切点时,
设切点为(x0,-3+2x0),则f′(x0)=3-6x0+2,
所以=3-6x0+2,得x0=,
所以f′=-,所以直线l的方程为y=-x.
由得x2+x+a=0,
由题意得Δ=-4a=0,所以a=.
综上得a=1或a=.
【误区警示】若条件含有过一点作曲线的切线时,解题要注意讨论该点是否在曲线上,否则容易漏解.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2019·天津高考)曲线y=cos
x-在点(0,1)处的切线方程为______.?
【解析】y′=-sin
x-,当x=0时其值为-,故所求的切线方程为y-1=-x,即x+2y-2=0.
答案:x+2y-2=0
7.(2020·重庆高二检测)已知函数f=f′ex+x2-1,f′是f(x)的导数,则f(1)=________.?
【解析】f′(x)=f′(1)ex+2x?f′(1)=,所以f(1)=.
答案:
【补偿训练】
已知f=x2+2xf′,则f′=________.?
【解析】f′=2x+2f′,
令x=-,则f′=-+2f′,
故f′=.
答案:
8.(2020·赤峰高二检测)设P为曲线C:y=x3-x2+2上的点,且曲线C在点P处切线的倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为________.?
【解析】由于曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围是,则切线斜率的取值范围是,对函数y=x3-x2+2求导得y′=3x2-2x,令0≤y′≤1,
即0≤3x2-2x≤1,
解不等式3x2-2x≥0,得x≤0或x≥;
解不等式3x2-2x≤1,即3x2-2x-1≤0,
解得-≤x≤1.
所以,不等式组0≤3x2-2x≤1的解集为∪.
答案:∪
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求下列函数的导数:
(1)y=x.
(2)y=.
(3)y=3xex-2x+e.
(4)y=sin(x2).
【解析】(1)因为y=x=x3+1+,所以y′=3x2-.
(2)y′=′=
==-.
(3)y′=(3xex)′-(2x)′+e′
=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′
=3xln
3·ex+3xex-2xln
2
=(ln
3+1)·(3e)x-2xln
2.
(4)因为y=sin(x2),
所以y′=2xcos(x2).
10.已知函数f(x)=x2ln
x.
(1)求函数y=f(x)的图象在x=1处的切线方程.
(2)若过点(0,0)的直线l与函数y=f(x)的图象相切,求l的方程.
【解析】(1)y′=2xln
x+x,x=1时,y=0,y′=1,
所以这个图象在x=1处的切线方程为y=x-1.
(2)设l与这个图象的切点为(x0,ln
x0),l的方程为y-ln
x0=(2x0ln
x0+x0)(x-x0),
由l过点(0,0),
所以-ln
x0=(2x0ln
x0+x0)(-x0),
所以ln
x0=2ln
x0+1,
所以ln
x0=-1,所以x0=,
所以l的方程为y=-x.
1.如图,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g′(x)是g(x)的导数,则g′(3)=
( )
A.-1
B.0
C.2
D.4
【解析】选B.将点代入直线y=kx+2的方程得3k+2=1,得k=-,所以,
f′=k=-,由于点在函数y=f的图象上,则f=1,
对函数g=xf求导得g′=f+xf′,
所以g′=f+3f′=1+3×=0.
2.已知函数f(x)=x3-2x2+ax(x∈R,a∈R),在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x垂直.则实数a的值为________,切线l的方程为________.?
【解析】因为f(x)=x3-2x2+ax,
所以f′(x)=x2-4x+a.
由题意可知,方程f′(x)=x2-4x+a=-1有两个相等的实根.所以Δ=16-4(a+1)=0,所以a=3.
所以f′(x)=x2-4x+3=-1,
即x2-4x+4=0.
解得切点横坐标为x=2,
所以f(2)=×8-2×4+2×3=,
所以切线l的方程为y-=(-1)×(x-2),
即3x+3y-8=0.
所以a=3,切线l的方程为3x+3y-8=0.
答案:3 3x+3y-8=0
PAGE课时素养评价五 函数的单调性与导数
(15分钟 30分)
1.若在区间(a,b)内,f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有
( )
A.f(x)>0
B.f(x)<0
C.f(x)=0
D.不能确定
【解析】选A.因为f(x)在(a,b)上为增函数,
所以f(x)>f(a)≥0.
2.函数y=f的图象如图所示,则导函数y=f′的图象的大致形状是( )
【解析】选D.函数y=f的单调性是先减,再增,最后变为常数函数,那么,导函数y=f′的符号为:先负,后正,最后变为0,选项D符合题意.
3.函数f(x)=ln
x-x的单调递减区间为
( )
A.,
B.∪
C.
D.
【解析】选C.由题可得f′(x)=-1=,令f′(x)<0,即<0,解得x>1或x<0,又因为x>0,故x>1.
4.函数f(x)=ax3-x2+x-5在(-∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是________.?
【解析】f′(x)=3ax2-2x+1.由题意知3ax2-2x+1≥0在(-∞,+∞)上恒成立,
所以解得a≥.
答案:
5.判断函数f(x)=-1在(0,e)及(e,+∞)上的单调性.
【解析】f′(x)==.
当x∈(0,e)时,ln
xe=1,1-ln
x>0,x2>0,
所以f′(x)>0,f(x)为增函数.
当x∈(e,+∞)时,ln
x>ln
e=1,1-ln
x<0,x2>0,
所以f′(x)<0,f(x)为减函数.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数,则
( )
A.b2-4ac>0
B.b>0,c>0
C.b=0,c>0
D.b2-3ac≤0
【解析】选D.由f(x)为增函数,
知f′(x)=3ax2+2bx+c≥0.
所以Δ=4b2-12ac≤0.
即b2-3ac≤0.
2.(2020·洛阳高二检测)函数f在其定义域内可导,其图象如图所示,则导函数y=f′的图象可能为
( )
【解析】选C.由函数f的图象可知,函数f在自变量逐渐增大的过程中,函数先递增,然后递减,再递增,当x>0时,函数f单调递增,所以导数f′的符号是正,负,正,正,只有选项C符合题意.
3.函数f=sin
2x+2cos
x,则f
( )
A.在上单调递增
B.在上单调递减
C.在上单调递减
D.在上单调递增
【解析】选C.因为f(x)=sin
2x+2cos
x
=2sin
xcos
x+2cos
x=2cos
x(sin
x+1).
所以f′(x)=2[(cos
x)′(sin
x+1)+cos
x(sin
x+1)′]
=2[-sin
x(sin
x+1)+cos2x]
=-2,令f′(x)>0,
即<0,
故-1x<(0≤x≤π)?x∈∪,
故f在和上单调递增,可得在上单调递减.
4.函数f(x)的导函数f′(x)满足f′(x)>f(x)在R上恒成立,且f(1)=e,则下列判断一定正确的是
( )
A.f(0)<1
B.
f(-1)C.
f(0)>0
D.
f(-1)>0
【解析】选A.令函数F(x)=,
则F′(x)=,
因为f′(x)>f(x),所以F′(x)>0,
故函数F(x)是定义在R上的增函数,
所以F(1)>F(0),即>,
又f(1)=e,故有f(0)<1.
【补偿训练】
已知函数f(x)=x2-cos
x,则f,f(0),f的大小关系是
( )
A.
f(0)B.
f(0)C.
fD.
f【解析】选B.因为函数f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cos
x=f(x),
所以f(x)为偶函数,
所以f=f,
f′(x)=2x+sin
x,
当0f′(x)=2x+sin
x>0,
所以函数在上递增,
所以f(0)即f(0)5.已知函数f(x)=x2-aln
x+1在(1,2)内不是单调函数,则实数a的取值范围是
( )
A.
B.
C.∪
D.
【解析】选A.因为f′(x)=2x-,f=x2-aln
x+1在内不是单调函数,故2x-=0在内有解,即a=2x2在内有解,所以2二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设函数f(x)=x(ex-1)-x2,则f(x)的单调递增区间是________,单调递减区间是________.?
【解析】f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;
当x∈(-1,0)时,f′(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
答案:(-∞,-1)和(0,+∞) (-1,0)
7.若函数f=x3-ax2+3x+1在区间上单调递减,则实数a的取值范围为________.?
【解析】由题意得:f′(x)=3x2-2ax+3,
因为f(x)在区间上单调递减,
所以f′(x)≤0在区间上恒成立,
所以?
解得a≥.
答案:
8.若函数f(x)=x-sin
2x+asin
x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是________
.?
【解析】f′(x)=1-cos
2x+acos
x≥0对x∈R恒成立,
故1-(2cos2x-1)+acos
x≥0,
即acos
x-cos2x+≥0恒成立,设t=cos
x,t∈[-1,1],
则-t2+at+≥0对t∈[-1,1]恒成立,构造f(t)=-t2+at+,
开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,
故只需保证
解得-≤a≤.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=x2-(a+2)x+aln
x,试讨论f(x)的单调性.
【解析】f′(x)=2x-(a+2)+=,x>0.
当a≤0时,易知f(x)在(0,1)上为减函数,在[1,+∞)上为增函数;
当0当a=2时,f(x)在(0,+∞)上为增函数;
当a>2时,f(x)在(0,1)上为增函数,在上为减函数,在上为增函数.
10.已知函数f(x)=x3+ax2-1(x∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)在点(1,1)处的切线方程.
(2)若函数f(x)在x∈(1,2)上单调递减,求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为f′(x)=3x2+2ax,所以当a=1时,f(x)=x3+x2-1,点(1,1)在f(x)上,f′(1)=3+2=5,所以y-1=5(x-1),即5x-y-4=0,所以函数f(x)在点(1,1)处的切线方程为5x-y-4=0.
(2)因为函数f(x)在x∈(1,2)上单调递减,
所以f′(x)=3x2+2ax≤0对x∈(1,2)恒成立,
所以a≤-x,因为-3<-x<-,
所以a≤-3,
所以实数a的取值范围为(-∞,-3].
已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2,讨论f(x)的单调性.
【解析】f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).
(1)设a≥0,则当x∈(-∞,1)时,f′(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
(2)设a<0,由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
①若a=-,则f′(x)=(x-1)(ex-e),
所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增.
②若a>-,则ln(-2a)<1,
故当x∈(-∞,ln(-2a))∪(1,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(ln(-2a),1)时,f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,ln(-2a)),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a),1)上单调递减.
③若a<-,则ln(-2a)>1,
故当x∈(-∞,1)∪(ln(-2a),+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(1,ln(-2a))时,f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,1),(ln(-2a),+∞)上单调递增,在(1,ln(-2a))上单调递减.
PAGE课时素养评价六 函数的极值与导数
(15分钟 30分)
1.函数f(x)=ax3+x+1有极值的充要条件是
( )
A.a>0
B.a≥0
C.a<0
D.a≤0
【解析】选C.因为f′(x)=3ax2+1,所以f′(x)=3ax2+1=0?3a=-<0,即a<0,反之a<0,f′(x)=3ax2+1=0一定有根.
2.设函数f(x)的定义域为R,x0是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是
( )
A.?x∈R,f(x)≤f
B.-x0是f的极小值点
C.-x0是-f(x)的极小值点
D.-x0是-f的极小值点
【解析】选D.对于A选项,函数的极大值不一定是函数的最大值,所以错;对于B中的f(-x)是将f(x)的图象关于y轴对称,所以-x0是其极大值点,错误;对于C中的-f(x)是将f(x)的图象关于x轴对称,所以x0才是其极小值点,错误;而对于D中的-f(-x)是将f(x)的图象关于原点对称,故-x0是其极小值点,正确.
3.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,给出下列说法:
①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;
④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.
则正确说法的序号是________.?
【解析】根据导函数图象可知当x∈(-∞,-3)时,f′(x)<0,在x∈(-3,1)时,f′(x)≥0,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故④正确;则-3是函数y=f(x)的极小值点,故①正确;因为在(-3,1)上单调递增,所以-1不是函数y=f(x)的最小值点,故②不正确;因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,所以切线的斜率大于零,故③不正确.
答案:①④
4.f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数c的值为________.?
【解析】因为x=2是f(x)的极大值点,
又f(x)=x(x2-2cx+c2),
所以f′(x)=x(2x-2c)+x2-2cx+c2=3x2-4cx+c2.
所以f′(2)=c2-8c+12=0.得c=2或c=6.
当c=2时,不能取极大值,故c=6.
答案:6
5.设函数f(x)=x2-2x-4ln
x,求f(x)的极值.
【解析】由已知,f(x)的定义域为,
f′(x)=2x-2-=,
令f′(x)=0,得2x2-2x-4=0.
又x>0,所以x=2,当0当x>2时,f′(x)>0.因此,当x=2时,f(x)有极小值,极小值为f=-4ln
2,f(x)无极大值.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为
( )
A.1,-3 B.1,3 C.-1,3 D.-1,-3
【解析】选A.f′(x)=3ax2+b,
由题意可知
解得
2.如图是定义在上的函数f(x)的导函数的图象,则函数f(x)的极值点的个数为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.设导函数的零点分别为x1,x2,x3,x4.则函数f(x)在(a,x1)上单调递增,(x1,x2)上单调递减,(x2,x3)上单调递增,(x3,x4)上单调递增,(x4,b)上单调递减,故函数f(x)在x1取极大值,在x2取极小值,在x4取极大值.
3.如图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象,则+等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点(0,0),(1,0),(2,0),得d=0,b+c+1=0,4b+2c+8=0,则b=-3,c=2,
f′(x)=3x2+2bx+c=3x2-6x+2,且x1,x2是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的两个极值点,
即x1,x2是方程3x2-6x+2=0的实根,
所以+=(x1+x2)2-2x1x2=4-=.
4.函数f(x)=aex-sin
x在x=0处有极值,则a的值为
( )
A.-1
B.0
C.1
D.e
【解析】选C.由题意得:f′(x)=aex-cos
x,因为f(x)在x=0处有极值,所以f′(0)=a-cos
0=a-1=0,解得:a=1,经检验满足题意.
5.若x=-2是函数f(x)=x3-ax2-2x+1的一个极值点,则函数f(x)的极小值为
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选B.因为f(x)=x3-ax2-2x+1,所以f′(x)=x2-2ax-2,
由题意得f′=2+4a=0,
解得a=-,所以f(x)=x3+x2-2x+1,
所以f′(x)=x2+x-2=.
当x<-2或x>1时,f′(x)>0;当-2当x=1时,函数y=f(x)取得极小值f=+-2+1=-.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
①函数y=f(x)在区间内单调递增;
②函数y=f(x)在区间内单调递减;
③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
④当x=2时,函数y=f(x)有极小值;
⑤当x=-时,函数y=f(x)有极大值.
则上述判断正确的是________.(填序号)?
【解析】函数的单调性由导数的符号确定,
当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,
所以f(x)在(-∞,-2)上为减函数,
同理f(x)在(2,4)上为减函数,
在(-2,2)上是增函数,在(4,+∞)上为增函数,
所以可排除①和②,③正确.
由于函数在x=2的左侧递增,右侧递减,
所以x=2时,函数有极大值;
而在x=-的左右两侧,函数的导数都是正数,
故函数在x=-的左右两侧均为增函数,
所以x=-不是函数的极值点.排除④和⑤.
答案:③
7.若函数f(x)=x2+(a-1)x-aln
x没有极值,则a=________.?
【解析】f′(x)=(x-1),x>0,
当a≥0时,+1>0.令f′(x)<0,得0令f′(x)>0,得x>1.f(x)在x=1处取极小值.
当a<0时,方程+1=0必有一个正数解x=-a,
(1)若a=-1,此正数解为x=1,此时f′(x)=≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值.
(2)若a≠-1,此正数解为x≠1,f′(x)=0必有2个不同的正数解,f(x)存在2个极值.综上,a=-1.
答案:-1
8.已知函数f(x)=ln
x-的极小值大于0,则实数m的取值范围为________.?
【解析】由f(x)=ln
x-,得f′(x)=(x>0),令f′(x)=0,则x=-m,因为f(x)=ln
x-的极小值大于0,必有极小值点-m>0,故m<0,所以当x>-m时,
f′(x)>0,当00,所以m<-.综上m的取值范围为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=ax2+bln
x在x=1处有极值.
(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.
【解析】(1)因为f′(x)=2ax+.又f(x)在x=1处有极值,
所以即
解得a=,b=-1.
(2)由(1)可知f(x)=x2-ln
x,其定义域是,f′(x)=x-=.
由f′(x)<0,得00,得x>1.
所以函数y=f(x)的单调减区间是,单调增区间是.
10.设f(x)=xln
x-ax2+(2a-1)x,a∈R.
(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.
(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由f′(x)=ln
x-2ax+2a,
可得g(x)=ln
x-2ax+2a,x∈(0,+∞),
则g′(x)=-2a=,
当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0时,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,g(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)由(1)知,f′(1)=0.
①当a≤0时,f′(x)单调递增.
所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
②当01,由(1)知f′(x)在内单调递增,
可得当x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈时,f′(x)>0,
所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,
所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.
③当a=时,=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,
所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.
④当a>时,0<<1,当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.
综上可知,实数a的取值范围为.
1.函数f(x)=ex(其中e=2.718…是自然对数的底数)的极值点是________;极大值=________.?
【解析】由已知得f′(x)=ex
=ex=(x+2)(x-1)ex,
因为ex>0,令f′(x)=0,可得x=-2或x=1,
当x<-2时f′(x)>0,即函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增;当-21时,f′(x)>0,即函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故f(x)的极值点为-2,1,且极大值为f(-2)=.
答案:1,-2
2.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=1时有极值2,则m+n=________.?
【解析】由题意知f′(x)=3x2+6mx+n,
又在x=1时有极值2,
所以?或当m=-1,n=3时f(x)=x3-3x2+3x+1,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2,f′(x)≥0恒成立,与题意在x=1时有极值矛盾,舍去,故m+n=-23.
答案:-23
PAGE课时素养评价七 函数的最大(小)值与导数
(15分钟 30分)
1.函数f(x)=x3-6x(|x|<1)
( )
A.有最大值,但无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,但有最小值
D.既无最大值,也无最小值
【解析】选D.f′(x)=3x2-6=3(x+)(x-),
因为x∈(-1,1),所以f′(x)<0,即函数在(-1,1)上是单调递减的,所以既无最大值,也无最小值.
2.已知函数f(x)=e2-x+x,x∈[1,3],则下列说法正确的是
( )
A.函数f(x)的最大值为3+
B.函数f(x)的最小值为3+
C.函数f(x)的最大值为3
D.函数f(x)的最小值为3
【解析】选D.f′(x)=-e2-x+1,令f′(x)=0,解得x=2,故函数在区间上为减函数,在区间上为增函数,所以函数在x=2处取得极小值也即是最小值为f=3.而f=e+1,f=3+,故最大值为f=e+1.由此可知,D选项正确.
3.函数y=f(x)=的最大值为
( )
A.e-1 B.e C.e2 D.10
【解析】选A.令y′==0得x=e.
当x>e时,y′<0;当00,
所以y极大值=f(e)=e-1,在定义域内只有一个极值,所以ymax=e-1.
4.函数f(x)=sin
x-x,x∈的最大值是( )
A.-1
B.π
C.-π
D.1-
【解析】选A.因为f(x)=sin
x-x,
所以f′(x)=cos
x-1,易得当x∈时,f′(x)≤0恒成立,所以f(x)在闭区间内单调递减,故当x=-时,f(x)取最大值,
即f(x)max=f=sin-=-1.
5.若函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,求实数a的取值范围.
【解析】由于函数f(x)在开区间(a,6-a2)上有最小值,则函数f(x)的极小值点在(a,6-a2)内,且在(a,6-a2)上的单调性是先减再增.f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当-1当x>1,f′(x)>0,所以函数f(x)的极小值为
f(1).又函数f(x)=x3-3x在区间(a,6-a2)上有最小值,所以f(a)≥f(1),由
解得-2≤a<1.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若函数y=x3+x2+m在[-2,1]上的最大值为,则m等于
( )
A.0
B.1
C.2
D.
【解析】选C.y′=′
=3x2+3x=3x(x+1),
由y′=0,得x=0或x=-1.
所以f(0)=m,f(-1)=m+.
又因为f(1)=m+,f(-2)=-8+6+m=m-2,所以f(1)=m+最大,即m+=.得m=2.
2.函数f(x)=x2+x-(x+1)sin
x的零点的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.依题意f(x)=,故x=-1是函数f(x)的零点.构造函数g(x)=x-sin
x,注意到g=0,且g′(x)=1-cos
x≥0,所以g(x)在R上递增,只有唯一零点x=0.所以f(x)有两个零点x=-1或x=0.
3.已知函数f(x)=a-2ln
x(a∈R),g(x)=-,若至少存在一个x0∈[1,e],使f(x0)>g(x0)成立,则实数a的取值范围为
( )
A.
B.(0,+∞)
C.[0,+∞)
D.
【解析】选B.由题意得f(x)-g(x)>0在[1,e]上有解,
即ax-2ln
x>0在[1,e]上有解,
所以a>.
设y=,则y′=≥0,
所以ymin=0,故得a>0.
4.已知函数f(x)=e2x-3,g(x)=+ln,若f(m)=g(n)成立,则n-m的最小值为( )
A.+ln
2
B.ln
2
C.+2ln
2
D.2ln
2
【解析】选A.设e2m-3=+ln=k(k>0),
则m=+,n=2,
令h(k)=n-m=2--,
所以h′(k)=2-,
又h′(k)=2-在上为增函数,且h′=0,
当k∈时,h′(k)<0,当k∈时h′(k)>0,
所以h(k)=2--在上单调递减,在上单调递增.所以h(k)min=h=+ln
2,即n-m的最小值为+ln
2.
5.已知函数f(x)=ln
x--2恰有两个零点,则实数m的取值范围是
( )
A.(-e,0)
B.(-e,+∞)
C.(0,e)
D.(-∞,e)
【解析】选A.令f(x)=ln
x--2=0,得m=xln
x-2x,所以函数f(x)=ln
x--2恰有两个零点等价于函数f(x)=m与f(x)=xln
x-2x图象有两个不同的交点,
对于f(x)=xln
x-2x,f′(x)=ln
x-1,
所以f(x)=xln
x-2x在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=eln
e-2e=-e,故m>-e,
又当x∈(0,e)时f(x)=xln
x-2x=x(ln
x-2)<0,所以m<0,综上所述:-e二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数f(x)=1-x-(x>0)的值域为________.?
【解析】f′(x)=-1+=,
当f′(x)>0?01,
所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
则f(x)max=f(1)=1-1-1=-1,即函数f(x)的值域为(-∞,-1].
答案:(-∞,-1]
7.已知函数f(x)=2x3+3x2-12x-1在[m,1]上的最大值为17,则m=________.?
【解析】函数f(x)=2x3+3x2-12x-1,所以f′(x)=6x2+6x-12,令f′(x)=0,
得x=-2或x=1,所以x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,x∈(-2,1)时,
f′(x)<0,f(x)单调递减,所以x=-2时,f(x)取极大值,为f(-2)=19>17,
因为f(x)在x=m处取得最大值为17,所以-2答案:-
8.已知函数f(x)=ex-x2-1,若f(x)≥kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,则实数k的取值范围为__________.?
【解析】f(x)≥kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立等价于≥k
对任意的x∈(0,+∞)恒成立.
令φ(x)=,x>0,
则φ′(x)==,
当x∈(0,+∞)时,ex-x-1>0恒成立,
令φ′(x)>0,得x>1;
令φ′(x)<0,得0单调减区间为(0,1),
所以φ(x)min=φ(1)=e-2,所以k≤φ(x)min=e-2,
故实数k的取值范围为(-∞,e-2].
答案:(-∞,e-2]
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·北京高考)已知函数f(x)=12-x2.
(1)求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;
(2)设曲线y=f(x)在(t,f(t))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.
【解析】(1)f(x)定义域为R,f′(x)=-2x,设切点为P(x0,y0),则k=f′(x0)=-2x0=-2,即x0=1,所以y0=f(x0)=f(1)=11,切点为(1,11),
所以所求切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.
(2)切线方程为y-12+t2=-2t(x-t),令x=0得y=t2+12,令y=0得x=+,
所以S(t)=(t2+12)|+|,t≠0,易知S(t)为偶函数,
当t>0时,S(t)=t3+6t+,S′(t)=×,
令S′(t)=0得t=2,-2(舍),
t
(0,2)
2
(2,+∞)
S′(t)
-
0
+
S(t)
↘
极小值
↗
所以S(t)有极小值也是最小值S(2)=32,又S(t)为偶函数,
所以当t=±2时,S(t)有最小值32.
10.已知函数f(x)=x2-2aln
x,g(x)=x2-x+2-2ln
2.
(1)讨论函数f(x)的单调性.
(2)当a=1时,判断g(x)-f(x)的零点个数.
【解析】
(1)f′(x)=2x-=,
故当a≤0时,f′(x)>0,
所以函数f(x)在上单调递增,
当a>0时,令f′(x)>0,得x>,
所以函数f(x)在上单调递增,
令f′(x)<0,得x<,
所以函数f(x)在上单调递减,
综上,当a≤0时,函数f(x)在上单调递增,
当a>0时,函数f(x)在上单调递增,在上单调递减.
(2)设F(x)=g(x)-f(x)=2ln
x-x+2-2ln
2,
则F′(x)=-1,令F′(x)=0,解得x=2,
当x∈时,F′(x)>0;
当x∈时,F′(x)<0;
故F(x)最大值为F=0,
所以g(x)-f(x)有且只有一个零点2.
1.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln
x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为________.?
【解析】|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-ln
x的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t=.
答案:
2.已知函数f(x)=2x++aln
x,a∈R.
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)记函数g(x)=x2,若g(x)的最小值是-6,求函数f(x)的解析式.
【解题指南】已知函数在某区间单调递增,转化为导函数大于等于0恒成立,恒成立问题一般要分离参数,再构建新函数,然后利用导数求新函数的最值;含参数的函数求最值,注意分类讨论.
【解析】(1)f′(x)=2-+≥0,
所以a≥-2x在[1,+∞)上恒成立,
令h(x)=-2x,x∈[1,+∞),
因为h′(x)=--2<0恒成立,
所以h(x)在
[1,+∞)上单调递减,h(x)max=h(1)=0,所以a≥0.
(2)g(x)=2x3+ax-2,x>0,
因为g′(x)=6x2+a,
当a≥0时,
g′(x)>0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,无最小值,不合题意,
所以a<0,令g′(x)=0,则x=
(舍负值),
由此可得,g(x)在上单调递减,
在上单调递增,
则x=是函数的极小值点,g(x)最小=g=-6,解得a=-6,所以f(x)=2x+-6ln
x.
PAGE