课时素养评价八 生活中的优化问题举例
(15分钟 30分)
1.把长为12
cm的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是
( )
A.
cm2
B.4
cm2
C.3
cm2
D.2
cm2
【解析】选D.设两段长分别为x
cm,
(12-x)cm,
这两个正三角形的边长分别为
cm,
cm,面积之和为
S(x)==.
令S′(x)==0,解得x=6.则x=6是S(x)的极小值点,也是最小值点,所以S(x)min=S(6)=2
cm2.
2.容积为108升的底面为正方形的长方体无盖水箱,要使用料最省,它的高为
( )
A.2分米 B.3分米 C.4分米 D.6分米
【解析】选B.设水箱的底面边长为a分米,高为h分米,
则V=a2h=108,即h=.
用料最省,即表面积最小.
S表=S底+S侧=a2+4ah=a2+4a×=a2+.
S表′=2a-,令S表′=2a-=0,
解得a=6,此时h=3分米.
3.某工厂生产某种产品,已知该产品每吨的价格P(元/吨)与产量x(吨)之间的关系式为P=24
200-x2,且生产x吨的成本为R=50
000+200x(元),为使利润最大,则产量应为
( )
A.200吨
B.20吨
C.150吨
D.100吨
【解析】选A.利润L=P·x-R
=x-50
000-200x
=-x3+24
000x-50
000(x>0),
L′=-x2+24
000,令L′=0,得x2=40
000.
所以x=200.经检验,当x=200时利润最大.
4.做一个容积为256
dm3的方底无盖水箱,用料最省时需用料________dm2.?
【解析】设底面边长为x
dm,则高h=,
其表面积为S=x2+4××x=x2+,
S′=2x-,
令S′=0,得x=8,此时Smin=192(dm2).
答案:192
5.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20,要使其体积最大,则高为多少?
【解析】设圆锥的高为x,
则圆锥底面半径r=,
所以圆锥体积:V=πr2·x=πx
=-x3+x,
所以V′=-πx2+,令V′=0,解得:x=,
当x∈时V′>0;当x∈时,V′<0,所以当x=时,V取得最大值,即体积最大时,圆锥的高为.
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若商品的年利润y(万元)与年产量x(万件)的函数关系式为y=-x3+27x+123(x>0),则获得最大利润时的年产量为
( )
A.1万件
B.2万件
C.3万件
D.4万件
【解析】选C.因为y=-x3+27x+123(x>0),
所以y′=-3x2+27=-3(x+3)(x-3)(x>0),
所以y=-x3+27x+123在(0,3)上是增函数,
在(3,+∞)上是减函数;故当x=3时,获得最大利润;故获得最大利润时的年产量为3万件.
2.以长为10的线段AB为直径作半圆,则它的内接矩形面积的最大值为
( )
A.10
B.15
C.25
D.50
【解析】选C.设PN=x,PQ=2y则x2+y2=25,
S=2xy,S2=4x2y2=4x2(25-x2)=100x2-4x4,
设t=x2,则S2=100t-4t2,(S2)′=100-8t.
知当t=时,S2的最大值=252,即S的最大值为25.
3.用长为30
cm的钢条围成一个长方体形状的框架(即12条棱长总和为30
cm),要求长方体的长与宽之比为3∶2,则该长方体最大体积是
( )
A.24
cm3
B.15
cm3
C.12
cm3
D.6
cm3
【解析】选B.设该长方体的宽是x
cm,由题意知,其长是cm,高是=cm,(0V′(x)=-x2+x,由V′(x)=0,得到x=2(x=0舍去),当00;
当2cm3.
4.某公司生产一种产品,固定成本为20
000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)=-+400x,0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是
( )
A.150
B.200
C.250
D.300
【解析】选D.由题意可得总利润
P(x)=-+300x-20
000(0≤x≤390),
由P′(x)=-+300,得x=300.
当0≤x<300时,P′(x)>0;
当300所以当x=300时,P(x)最大.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的容积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为________.?
【解析】用料最省,即水桶的表面积最小.
设圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则πr2h=27π,即水桶的高为,所以S=πr2+2πr×=πr2+(r>0).求导数,得S
′=2πr-.令S′=0,解得r=3.当03时,S′>0.所以当r=3时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省.
答案:3
6.(2017·全国卷Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5
cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,
AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,
△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为________.?
【解析】连接OB,连接OD,交BC于点G,
由题意得,OD⊥BC,OG=BC,
设OG=x,则BC=2x,DG=5-x,
三棱锥的高h===,
S△ABC=2x·3x·=3x2,
则V=S△ABC·h=x2·
=·,
令f(x)=25x4-10x5,x∈,
f′(x)=100x3-50x4,
令f′(x)>0,即x4-2x3<0,x<2,
则f(x)≤f=80,
则V≤×=4,
所以体积最大值为4
cm
3.
答案:4
cm
3
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.某地需要修建一条大型输油管道,其通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为400万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x2+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.
(1)试将y表示成关于x的函数.
(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小?
【解析】(1)依题意可知余下工程有段管道,有个增压站,故余下工程的总费用为y=(x2+x)·+400·=120x+-280,
所以将y表示成关于x的函数为y=120x+-280(0(2)由(1)知y=120x+-280 (0y,y′随x的变化情况如表:
x
(0,20)
20
(20,120)
y′
-
0
+
y
↘
极小值
↗
由表易知,函数y在x=20时取得最小值,此时-1=5,故需要修建5个增压站才能使总费用y最小.
8.某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3
000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(1)当每辆车的月租定为3
600元时,能租出多少辆车?
(2)每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为多少?
【解析】(1)当每辆车的月租金为3
600元时,未出租的车辆数为=12,
所以这时租出了100-12=88(辆)车.
(2)设每辆车的月租金定为x元,则租赁公司的月收益f(x)=(x-150)-×50
=-+162x-21
000,
f′(x)=-+162,由f′(x)=0解得x=4
050,
当x∈(3
000,4
050)时,f′(x)>0,f(x)递增,
当x∈(4
050,+∞)时,f′(x)<0,f(x)递减,
所以当x=4
050时,f(x)最大,最大值为f(4
050)=307
050.
设一个容积V固定的有铝合金盖的圆柱形铁桶,高为h,底面半径为r.已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍,则h∶r=________时,造价最低.?
【解析】因为圆柱形铁桶的高为h,底面半径为r,
所以设单位面积铁的造价为m,桶的总造价为y,
则y=3mπr2+m(πr2+2πrh).
因为V=πr2h,得h=,
所以y=4mπr2+.
所以y′=8mπr-.
令y′=0,解得r=,
此时h=4.
故当0当r>时,y′>0,函数单调递增.
所以r=为函数的极小值点,且是最小值点.
所以当r=时,y有最小值.
所以当h∶r=4∶1时,总造价最低.
答案:4∶1
PAGE课时素养评价九 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程
(15分钟 30分)
1.当n很大时,函数f(x)=x2在区间上的值可以用下列哪个值近似地代替
( )
A.f B.f C.f D.f(0)
【解析】选C.当n很大时,f(x)=x2在上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替.
2.设函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0A.与f(x)和区间[a,b]有关,与分点的个数n和ξi的取法无关
B.与f(x)和区间[a,b]以及分点的个数n有关,与ξi的取法无关
C.与f(x)和区间[a,b]以及分点的个数n,ξi的取法都有关
D.与f(x)和区间[a,b]以及ξi的取法有关,与分点的个数n无关
【解析】选C.由Sn的求法可知Sn的大小与f(x)和区间[a,b]以及分点的个数n,ξi的取法都有关.
3.直线y=2x+1与直线x=0,x=m,y=0围成图形的面积为6,则正数m=
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.由题意,直线围成梯形的面积为S=(1+2m+1)m=6,解得m=2,m=-3(舍).
4.在计算由曲线y=-x2以及直线x=-1,x=1,y=0所围成的图形的面积时,若将区间[-1,1]n等分,则每个小区间的长度为______.?
【解析】区间长度为2,将其n等分得每一个小区间的长度为.
答案:
5.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成曲边梯形的面积.
【解题指南】按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行.
【解析】将区间[0,2]等分成n个小区间,则第i个小区间为.
第i个小区间的面积ΔSi=f·,
所以Sn=f·=
=(i-1)2=[02+12+22+…+(n-1)2]
=·=.
S=Sn==,
所以所求曲边梯形面积为.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列函数在R上不是连续函数的是
( )
A.y=x2
B.y=x3
C.y=
D.y=
【解析】选D.选项A,B,C中,函数的图象都是连续不断的曲线,只有D项不是连续函数.
2.把区间[a,b](a( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.每个小区间长为,第一个小区间为,第二个小区间为,第三个小区间为,……,第i个小区间为.
3.和式(-2)等于
( )
A.-2
B.-10
C.-20
D.
【解析】选C.(-2)=-2=-2×10=-20.
4.对于由直线x=1,y=0和曲线y=x3所围成的曲边梯形,把区间3等分,则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点)是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.将区间三等分后,得到3个区间,即,,,以每个区间的左端点的函数值为高,3个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值,S=0×+×+×=.
5.求由直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2+1所围成的曲边梯形的面积时,将区间[0,2]5等分,按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为
( )
A.3.92,5.52
B.4,5
C.2.51,3.92
D.5.25,3.59
【解析】选A.将区间[0,2]5等分为,,,,,
以小区间左端点对应的函数值为高,得S1=
×=3.92,
以小区间右端点对应的函数值为高,得S2=
×=5.52.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.求由抛物线f(x)=x2,直线x=1以及x轴所围成的平面图形的面积时,若将区间[0,1] 5等分,如图所示,以小区间中点的函数值为高,所有小矩形的面积之和为________.?
【解析】由题意得S=(0.12+0.32+0.52+0.72+0.92)×0.2=0.33.
答案:0.33
7.一辆汽车的速度-时间图象如图所示,则此汽车在这1
min行驶的路程为________.?
【解题指南】根据变速运动物体的路程的估计方法,本题所求的路程应为图象与x轴围成的图形的面积.
【解析】由速度—时间图象易知
v(t)=
当t∈[0,10]时,s1=S△OAE=×10×30=150(m),
当t∈(10,40]时,
s2=S长方形ABDE=(40-10)×30=900(m),
当t∈(40,60]时,s3=S△BDC=×20×30=300(m),
故s=s1+s2+s3=1
350(m).
答案:1
350
m
8.已知某物体运动的速度v=2t-1,t∈[0,10],若把区间[0,10]
10等分,取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高,则物体运动的路程近似值为__________.?
【解析】若把区间[0,10]进行10等分,则第i个小区间为[i-1,i](i=1,2,…,10),其右端点为i,那么物体运动的路程的近似值为[(2i-1)×1]=2i-10=2×-10=100.
答案:100
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知做自由落体的物体的运动速度v=gt,求在时间区间[0,t]内物体下落的距离.
【解析】(1)分割
将时间区间[0,t]分成n等份.
把时间[0,t]分成n个小区间(i=1,2,…,n),
每个小区间所表示的时间段Δt=-=,
在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i=1,2,…,n).
(2)近似代替
在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程.
在上任取一时刻ξi(i=1,2,…,n),可取ξi使v(ξi)=g近似代替第i个小区间上的速度,因此在每个小区间上自由落体Δt=内所经过的路程可近似表示为Δsi≈g·(i=1,2,…,n).
(3)求和sn=Δsi≈g·
=[0+1+2+…+(n-1)]=gt2.
(4)取极限s=gt2=gt2.
即在时间区间[0,t]内物体下落的距离为gt2.
10.有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,如果在时刻t的速度为v(t)=3t2+2(单位:km/h),那么该汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?
【解析】(1)分割.
在时间区间[0,2]上等间隔地插入n-1个分点,将它等分成n个小区间,则第i个小区间为(i=1,2,…,n),其长度为Δt=-=,每个时间段上行驶的路程记为Δsi(i=1,2,…,n),则显然有s=Δsi.
(2)近似代替.取ξi=(i=1,2,…,n).于是Δsi≈v·Δt=
·=+(i=1,2,…,n).
(3)求和.sn==(12+22+…+n2)+4=
·+4=8+4.
(4)取极限.
s=sn==8+4=12.
所以这段时间内汽车行驶的路程为12
km.
1.在求由曲线y=与直线x=1,x=3,y=0所围成的图形的面积时,若将区间n等分,并用每个区间的右端点的函数值近似代替,则第i个小曲边梯形的面积ΔSi约等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.每个小区间长度为,第i个小区间为,因此第i个小曲边梯形的面积ΔSi≈·=.
2.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功.
【解题指南】利用“以不变代变”的思想,采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.
【解析】将物体用常力F沿力的方向拖动距离x,则所做的功W=F·x.
(1)分割
在区间[0,b]上等间隔地插入n-1个点,将区间[0,b]等分成n个小区间:
,,…,,记第i个区间为(i=1,2,…,n),
其长度为Δx=-=.
把在分段,,…,上所做的功分别记作:
ΔW1,ΔW2,…,ΔWn.
(2)近似代替
取各小区间的左端点函数值作为小矩形的高,由条件知:ΔWi≈F·Δx=k··(i=1,2,…,n).
(3)求和
Wn=ΔWi≈k··
=[0+1+2+…+(n-1)]=×
=.
从而得到W的近似值W≈Wn=.
(4)取极限
W=Wn=ΔWi==.
所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.
PAGE课时素养评价十 定积分的概念
(15分钟 30分)
1.定积分xdx等于
( )
A. B.-1 C.0 D.1
【解析】选C.如图所示,定积分为图中阴影部分面积A减去B.因为SA=SB=,所以xdx=-=0.
2.已知f(x)dx=6,则6f(x)dx=
( )
A.6
B.6(b-a)
C.36
D.不确定
【解析】选C.6f(x)dx=6f(x)dx=6×6=36.
【补偿训练】
已知f(x)dx=4,则
( )
A.2f(x)dx=1
B.f(x)dx+f(x)dx=4
C.f(x)dx=1
D.f(x)dx=1
【解析】选B.利用定积分的性质知f(x)dx
=f(x)dx+f(x)dx=4.
3.已知和式S=(p>0),当n趋向于∞时,S无限趋向于一个常数A,则A可用定积分表示为
( )
A.dx
B.xpdx
C.dx
D.dx
【思路导引】把和式转向定积分的定义式的形式整理,为S=,根据定积分的定义很容易得出结果.
【解析】选B.
S=
=·,
所以·=xpdx.
4.计算:2
020dx=________.?
【解析】根据定积分的几何意义,2
020dx表示直线x=2
018,
x=2
019,y=0,y=2
020围成矩形的面积,
故2
020dx=2
020.
答案:2
020
5.已知[f(x)+g(x)]dx=12,g(x)dx=6,求3f(x)dx.
【解析】因为[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+
g(x)dx=12,g(x)dx=6,
所以f(x)dx=12-6=6.
所以3f(x)dx=3f(x)dx=18.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.若函数y=2cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为( )
A.4
B.8
C.2π
D.4π
【思路导引】掌握正余弦函数图象的对称性,对应面积相等的问题.如本题求不规则的图形面积,利用函数图形性质转化到特殊的规则的面积问题.
【解析】选D.如图所示.
由图可知,S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cos
x(0≤x≤2π)的图象与直线y=2所围成的图形面积即为矩形OABC的面积.
因为|OA|=2,|OC|=2π,所以S矩形=2×2π=4π.
2.已知t>0,若(2x-2)dx=8,则t=
( )
A.1
B.-2
C.-2或4
D.4
【解析】选D.作出函数f(x)=2x-2的图象与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2),易求得S△OAB=1,
因为(2x-2)dx=8,且(2x-2)dx=-1,
所以t>1,所以S△AEF=AE·EF=×(t-1)(2t-2)=(t-1)2=9,所以t=4.
3.下列命题不正确的是
( )
A.若f(x)是连续的奇函数,则f(x)dx=0
B.若f(x)是连续的偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx
C.若f(x)在[a,b]上连续且恒正,则f(x)dx>0
D.若f(x)在[a,b]上连续且f(x)dx>0,则f(x)在[a,b]上恒正
【解析】选D.对于选项A,因为f(x)是奇函数,所以图象关于原点对称,所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等,故积分是0,所以A正确;对于选项B,因为f(x)是偶函数,所以图象关于y轴对称,故图象都在x轴下方(或上方)且面积相等,故B正确;C显然正确;D选项中f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.
4.设f(x)=则f(x)dx的值是
( )
A.x2dx
B.2xdx
C.x2dx+2xdx
D.2xdx+x2dx
【解析】选D.由定积分性质(3)求f(x)在区间[-1,1]上的定积分,可以通过求f(x)在区间[-1,0]与[0,1]上的定积分来实现,显然D正确.
5.设a=dx,b=x2dx,c=x3dx,则a,b,c的大小关系是
( )
A.c>a>b
B.a>b>c
C.a=b>c
D.a>c>b
【解析】选B.根据定积分的几何意义,易知x3dx<
x2dxb>c.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形面积用定积分可表示为________.?
【解析】如图所示,阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.
答案:dx
7.计算:(1-cos
x)dx=________.?
【解析】方法一:根据定积分的几何意义,
得1dx=2π,cos
xdx=cos
xdx+
cos
xdx+cos
xdx+cos
xdx
=cos
xdx-cos
xdx-cos
xdx
+cos
xdx=0,所以(1-cos
x)dx
=1dx-cos
xdx=2π-0=2π.
方法二:在公共积分区间[0,2π]上,(1-cos
x)dx表示直线y=1与余弦曲线y=cos
x在[0,2π]上围成封闭图形的面积,如图,由于余弦曲线y=cos
x在[0,π]上关于点中心对称,在[π,2π]上关于点中心对称,所以区域①与②的面积相等,所求平面图形的面积等于边长分别为1,2π的矩形的面积,其值为2π.所以(1-cos
x)dx=2π.
答案:2π
8.计算dx=________.?
【解析】由定积分的几何意义知,所求积分是图中阴影部分的面积.易知AB=,∠AOB=,故S阴影=×4π-×1×=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知f(x)为偶函数且f(x)dx=3,计算定积分3f(x)dx.
【解析】因为函数f(x)为偶函数,
所以在y轴两侧的图象对称,
所以对应的面积相等,即f(x)dx=f(x)dx=3,
所以3f(x)dx=3f(x)dx+3f(x)dx
=3=18.
【拓展提升】利用定积分的几何意义求定积分的方法步骤
(1)确定被积函数和积分区间.
(2)准确画出图形.
(3)求出各阴影部分的面积.
(4)写出定积分,注意当f(x)≥0时,S=f(x)dx,
而当f(x)≤0时,S=-f(x)dx.
10.已知函数f(x)=求f(x)在区间[-1,3π]上的定积分.
【解析】由定积分的几何意义知:
因为f(x)=x5是奇函数,故x5dx=0;
sin
xdx=0(如图(1)所示);
xdx=(1+π)(π-1)=(π2-1)(如图(2)所示).
所以f(x)dx=x5dx+xdx+sin
xdx
=xdx=(π2-1).
计算定积分:[-x]dx.
【解析】[-x]dx=dx-xdx,
令S1=dx,S2=xdx.
S1,S2的几何意义如图1,2所示.
对S1=dx,
令y=≥0,
则(x-1)2+y2=1(0≤x≤1,y≥0),
由定积分几何意义知S1=dx=π×12=,
对于S2=xdx,
由其几何意义知S2=×1×1=,
故[-x]dx
=S1-S2=-=.
PAGE课时素养评价十一 微积分基本定理
(15分钟 30分)
1.计算dx=
( )
A.0 B.1 C.2 D.-2
【解析】选B.dx=(1-x)dx+(x-1)dx=
+=+-=1.
2.已知定积分(kx+1)dx=k,则实数k=
( )
A.2
B.-2
C.1
D.-1
【解析】选A.因为(kx+1)dx=k,
所以=k,所以k+1=k,所以k=2.
【补偿训练】
若(2x-3x2)dx=0,则k=
( )
A.0 B.1 C.0或1 D.不确定
【解析】选B.(2x-3x2)dx=(x2-x3)=k2-k3=0,解得k=0(舍去)或k=1.
3.若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,则S1,S2,S3的大小关系为
( )
A.S1B.S2C.S2D.S3【解析】选B.S1=x2dx=x3=,
S2=dx=ln
x=ln
2<1,S3=exdx=ex=e2-e=e(e-1)>,所以S24.曲线y=2x2与直线x=1,x=2及y=0所围成的平面图形的面积为________.?
【解析】依题意,所求面积为S=2x2dx=x3=-=.
答案:
5.计算下列定积分.
(1)dx.(2)(cos
x+2x)dx.
【解析】(1)因为dx=dx
=[ln
x-ln(x+1)]=ln.
(2)(cos
x+2x)dx==2+·.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.dx=
( )
A.e2-2
B.e-1
C.e2
D.e+1
【解析】选C.dx=(x2+ln
x)=e2.
2.曲线y=cos
x(0≤x≤2π)与直线y=1所围成的图形面积是
( )
A.2π
B.3π
C.
D.π
【解析】选A.如图所示,S=(1-cos
x)dx=(x-sin
x)=2π.
【补偿训练】
设f(x)=ax2+c(a≠0),若f(x)dx=f(x0),0≤x0≤1,则x0的值为( )
A.- B. C.- D.
【解析】选B.因为f(x)dx==a+c,所以a+c=a+c,所以=,因为0≤x0≤1,所以x0=.
3.计算dx等于
( )
A.7
B.
C.
D.
【解析】选C.|x2-4|dx
=(4-x2)dx+(x2-4)dx
=+=.
4.sin2dx等于
( )
A.
B.-1
C.2
D.
【解析】选D.sin2dx=dx
=(x-sin
x)=.
5.如图,设D是图中所示的矩形区域,E是D内函数y=cos
x图象上方的点构成的区域(阴影部分),向D中随机投一点,则该点落入E中的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为cos
xdx=sin
x=1,
故所求概率为=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知t>1,若(2x+1)dx=t2,则t=________.?
【解析】
=t2+t-2,从而得方程t2+t-2=t2,
解得t=2.
答案:2
7.设f(x)=若f(f(1))=1,则a=________.?
【解析】因为x=1>0,
所以f(1)=lg
1=0.
又因为f(x)=x+3t2dt=x+a3(x≤0),
所以f(0)=a3,所以a3=1,所以a=1.
答案:1
8.等比数列{an}中,a3=9,前3项和为S3=3x2dx,则公比q的值是________.?
【解析】S3=3x2dx=x3=27.
由题意得
即
两式相除整理得2q2-q-1=0,
解得q=1或q=-.
答案:1或-
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.若dx=dx,求a的值.
【解析】因为′=,′=-,
由dx=dx,得=,
所以-=-1,
所以=,=,
所以a==.
故a=.
10.计算定积分(|2x+3|+|3-2x|)dx.
【解析】方法一:令2x+3=0,解得x=-;
令3-2x=0,解得x=.
(|2x+3|+|3-2x|)dx=(-2x-3+3-2x)dx+(2x+3+3-2x)dx+(2x+3-3+2x)dx=(-4x)dx+6dx+4xdx
=-4·+6x+4·=45.
方法二:设f(x)=|2x+3|+|3-2x|
=
如图,所求积分等于阴影部分面积,
即(|2x+3|+|3-2x|)dx=S=2××(6+12)×+3×6=45.
1.已知2≤(kx+1)dx≤4,则实数k的取值范围为________.?
【解析】(kx+1)dx==(2k+2)-=k+1,
所以2≤k+1≤4,解得≤k≤2.
答案:
2.已知f(x)是二次函数,其图象过点(1,0),且f′(0)=2,f(x)dx=0,求f(x)的解析式.
【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f′(x)=2ax+b(a≠0),
由题意可知f(1)=a+b+c=0.① f′(0)=b=2.②
f(x)dx=(ax2+bx+c)dx
=
=a+b+c=0.③
由①②③得所以f(x)=-x2+2x-.
PAGE课时素养评价十二 定积分在几何中的应用
(15分钟 30分)
1.直线x=-1,x=1,y=0与偶函数y=f(x)的图象围成平面图形的面积表示为
①f(x)dx;②f(|x|)dx;③|f(x)|dx;④2|f(x)|dx.其中,正确表示的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选C.由于偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,
当f(x)≥0时,
平面图形的面积为f(x)dx=2f(x)dx;
当f(x)<0时,平面图形的面积为-f(x)dx
=-2f(x)dx.故③④正确.
2.由y=,x轴及x=1,x=2围成的图形的面积为
( )
A.ln
2
B.lg
2
C.
D.1
【解析】选A.S=dx=ln
2-ln
1=ln
2.
3.如图,设D是图中边长分别为1和2的矩形区域,E是D内位于函数y=(x>0)图象下方的阴影部分区域,则阴影部分E的面积为( )
A.ln
2
B.1-ln
2
C.2-ln
2
D.1+ln
2
【解析】选D.由题意,阴影部分E由两部分组成,因为函数y=(x>0),当y=
2时,x=,所以阴影部分E的面积为×2+dx=1+ln
x=1+ln
2.
4.设a>0,若曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=________.?
【解题指南】本题考查利用定积分求封闭图形的面积,
求出y=的原函数即可得到面积.
【解析】求曲线y=与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积,即dx==-0=a2,解得a=.
答案:
5.求由抛物线y2=,y2=x-1所围成图形的面积.
【解析】在同一个平面直角坐标系上画出两个抛物线的大致图形,如图.
方法一:以x为积分变量.由得两个抛物线的两个交点坐标分别为A,B.
可求得P的坐标为(1,0),
则所求面积S=2
=2=.
方法二:以y为积分变量.
由可得两个抛物线的两个交点坐标分别为A,B.可求得P的坐标为(1,0),则所求面积S=2(y2+1-5y2)dy=2=.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.在下面所给图形的面积S及相应表达式中,正确的有
( )
A.①③
B.②③
C.①④
D.③④
【解析】选D.①错误,S=[f(x)-g(x)]dx;
②错误,S=2dx+(2-2x+8)dx;③④正确.
2.由曲线y=x2+2与y=3x,x=0,x=2所围成的平面图形的面积为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.由x2+2=3x,得x=1,x=2,直线y=3x与抛物线y=x2+2的交点坐标为(1,3),(2,6),所求的面积为S=(x2+2-3x)dx+(3x-x2-2)dx
=+|=1.
3.已知a=(sin
x,cos
x),b=(cos
x,sin
x),f(x)=a·b,则直线x=0,x=,y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为
( )
A.
B.
C.
D.
【思路导引】求出函数解析式,确定积分区间,利用定积分的几何意义计算面积.
【解析】选C.由a=(sin
x,cos
x),b=(cos
x,sin
x),
得f(x)=a·b=2sin
xcos
x=sin
2x,
当x∈时,sin
2x≥0;
当x∈时,sin
2x<0.
由定积分的几何意义,直线x=0,x=,
y=0以及曲线y=f(x)围成平面图形的面积为
sin
2xdx-sin
2xdx=-cos
2x
+cos
2x=1+=.
4.若两曲线y=x2与y=cx3(c>0)围成图形的面积是,则c等于
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选B.由得x=0或x=.
因为0cx3,所以S=(x2-cx3)dx==-==.所以c3=.
所以c=.
5.如图,在一个边长为1的正方形AOBC内,曲线y=x2和曲线y=围成一个叶形图,向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.依题意知,题图中的正方形区域的面积为12=1,阴影区域的面积等于dx==,因此所投的点落在叶形图内部的概率等于.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积为________.?
【解析】由y′=-2x+4,得点A,B处切线的斜率分别为2和-2,则两切线方程分别为y=2x-2和y=-2x+6.由得C(2,2).
所以S=S△ABC-(-x2+4x-3)dx=×2×2-=2-=.
答案:
7.已知函数f(x)=x2+1的定义域为[a,b](a【解析】对于函数f(x)=x2+1,当x=±2时,y=5.
故根据题意得a,b的取值范围为:-2≤a≤0且b=2或a=-2且0≤b≤2.所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为2的正方形,面积为4.
答案:4
8.设a>1,若曲线y=与直线y=0,x=1,x=a所围成的封闭图形的面积为2,则a=________.?
【解析】
曲线y=与直线y=0,x=1,x=a所围成的封闭图形的面积S=dx
=ln
x=ln
a-ln
1=ln
a=2,所以a=e2.
答案:e2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的图象如图,直线y=0在原点处与函数图象相切,且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为,求f(x)的解析式.
【解析】由f(0)=0得c=0.f′(x)=3x2+2ax+b,
由f′(0)=0得b=0,
所以f(x)=x3+ax2=x2(x+a),则易知图中所围成的区域(阴影)面积为[-f(x)]dx=,
从而得a=-3,所以f(x)=x3-3x2.
10.已知f(x)为一次函数,且f(x)=xf(x)dx+1.
(1)求f(x)的解析式.
(2)求直线y=f(x)与曲线y=xf(x)围成平面图形的面积.
【解析】(1)设一次函数f(x)=kx+b(k≠0),
由f(x)=xf(x)dx+1得kx+b=x(kx+b)dx+1=x·+1=(2k+2b)x+1,
所以b=1,k=2k+2b,即k=-2b=-2,
所以f(x)=-2x+1.
(2)由消去y,得2x2-3x+1=0,
解得x1=,x2=1,
大致图象如图,
所求平面图形的面积为
S=[(-2x2+x)-(-2x+1)]dx
=(-2x2+3x-1)dx
==.
1.如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线形(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________.?
【解析】以梯形的下底所在直线为x轴,上、下底边的中点连线所在直线为y轴,建立如图所示的坐标系,设抛物线的方程为y=ax2,则抛物线过点(5,2),故2=25a,得a=,故抛物线的方程为y=x2.
最大流量的比即截面的面积比,由图可知,梯形的下底长为6
m,故梯形的面积为=16(m2),而当前的截面面积为
2dx=2=(m2),故原始的最大流量与当前最大流量的比值为=1.2.
答案:1.2
2.已知曲线C1:y2=2x与C2:y=x2在第一象限内的交点为P.
(1)求过点P且与曲线C2相切的直线方程.
(2)求两条曲线所围图形(如图所示的阴影部分)的面积S.
【解析】(1)曲线C1:y2=2x与C2:y=x2在第一象限内的交点为P(2,2),
y=x2的导数为y′=x,
则y′=2,而切点的坐标为(2,2),
所以曲线C2:y=x2在x=2处的切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.
(2)由曲线C1:y2=2x与C2:y=x2可得,两曲线的交点坐标为(0,0),(2,2),
所以两条曲线所围图形的面积S=dx==.
PAGE课时素养评价十三 定积分在物理中的应用
(15分钟 30分)
1.物体以速度v(t)=3t2-2t+3(m/s)做直线运动,它在时刻t=0(s)到t=3(s)这段时间内的位移是
( )
A.9
m
B.18
m
C.27
m
D.36
m
【解析】选C.s=v(t)dt(3t2-2t+3)dt
=(t3-t2+3t)=27(m).
2.一物体沿直线以v=2t+1(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度运动,则该物体在1～2
s间行进的路程为
( )
A.1
m
B.2
m
C.3
m
D.4
m
【解析】选D.s=(2t+1)dt=(t2+t)=4(m).
3.一物体在力F(x)=4x-1(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=1运动到x=3处(单位:m),则力F(x)所做的功为
( )
A.8
J
B.10
J
C.12
J
D.14
J
【解析】选D.由变力做功公式有:
W=(4x-1)dx=(2x2-x)=14(J).
4.若做变速运动的物体v(t)=t2,在0≤t≤a内经过的路程为9,则实数a的值为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.v(t)dt=9,即t2dt=t3=a3=9,解得a=3.
5.若1
N的力能使弹簧伸长2
cm,则使弹簧伸长12
cm时克服弹力所做的功为________.?
【解析】弹簧的伸长与所受到的拉力成正比,
设F=kx,求得k=50,所以F(x)=50x,
所以W=50xdx=25x2=0.36(J).
答案:0.36
J
6.一物体在变力F(x)=(x的单位:m,F的单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向从x=0运动到x=5处,求变力所做的功.
【解析】变力F(x)所做的功为
W=(2x+4)dx+(x2+2x)dx
=(x2+4x)+
=12+60=72(J).所以变力所做的功为72
J.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度v(t)=27-0.9t,则列车从刹车到停车走过的路程为
( )
A.405 B.540 C.810 D.945
【解析】选A.
停车时v(t)=0,由27-0.9t=0,
得t=30,
所以所求路程s=v(t)dt=(27-0.9t)dt
=(27t-0.45t2)=405.
2.在弹性限度内,弹簧每拉长1
cm要用5
N的拉力,要把弹簧拉长2
dm,则拉力做的功为
( )
A.0.1
J
B.0.5
J
C.5
J
D.10
J
【解析】选D.
设弹簧所受的拉力F(x)=kx,弹簧受5
N拉力的伸长量为1
cm,由题意,得5=0.01k,
得k=500,所以F(x)=500x,依题意,得
W=500xdx=250x2=10(J).
3.如果某质点以初速度v(0)=1,加速度a(t)=6t做直线运动,则质点在t=2时的瞬时速度为
( )
A.5
B.7
C.9
D.13
【解析】选D.v(2)-v(0)=a(t)dt=6tdt=3t2,所以v(2)=v(0)+3×22=1+12=13.
4.以初速度40
m/s竖直向上抛一物体,t
s时刻的速度v=40-10t2,则此物体达到最高时的高度为
( )
A.
m
B.
m
C.
m
D.
m
【解析】选A.v=40-10t2=0,t=2,
(40-10t2)dt==40×2-×8=(m).
5.物体A以速度v=3t2+1(t的单位:s,v的单位:m/s)在一直线上运动,在此直线上,物体A出发的同时,物体B在物体A的正前方5
m处以v=10t(t的单位:s,v的单位:m/s)的速度与A同向运动,则两物体相遇时物体A运动的距离为( )
A.110
m
B.120
m
C.130
m
D.140
m
【解析】选C.依题意,设自开始运动到两物体相遇所用时间为x
s,则(3t2+1)dt=5+10tdt,即x3+x=5+5x2,(x-5)(x2+1)=0,因此x=5.两物体相遇时物体A运动的距离等于(3t2+1)dt=t3+t=53+5=130
m.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.一物体在变力F(x)=2x2-1作用下沿直线由x=1运动到x=3,则力F(x)所做的功等于________.?
【解析】F(x)所做的功W=(2x2-1)dx==.
答案:
7.模拟火箭自静止开始竖直向上发射,设起动时即有最大加速度,以此时为起点,加速度满足a(t)=100-4t2,则火箭前3s内的位移等于________.?
【解析】由题设知,t0=0,v(0)=0,s(0)=0,
所以v(t)=(100-4t2)dt=100t-t3,
那么s=v(t)dt=(100t-t3)dt=(50t2-t4)
=423(m),所以火箭前3
s内的位移为423
m.
答案:423
m
【误区警示】本题容易混淆运动物体的加速度与瞬时速度的关系,变速直线运动的速度问题的一般解法:做变速直线运动的物体所具有的速度v,等于其加速度函数a=a(t)在时间区间[a,b]上的定积分,即v=a(t)dt.
8.一物体沿直线以v=(单位:m/s)的速度运动,该物体运动开始后10
s内所经过的路程是________m.?
【解析】s=dt=(1+t=m.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.A、B两站相距7.2
km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t
s后到达途中C点,这一段速度为1.2t(m/s),到C点速度达24
m/s,从C点到B站前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,速度为(24-1.2t)m/s,在B站恰好停车.试求
(1)A、C间的距离;
(2)B、D间的距离;
(3)电车从A站到B站所需的时间.
【解析】(1)设从A到C经过t1
s,
由1.2t1=24得t1=20,
所以AC=1.2tdt=0.6t2=240(m).
(2)设从D到B经过t2
s,由24-1.2t2=0得t2=20,所以BD=(24-1.2t)dt=(24t-0.6t2)=240(m).
(3)CD=7
200-2×240=6
720(m),
从C到D的时间t3==280(s),
所以从A站到B站的时间为20+280+20=320(s).
10.列车以72
km/h的速度行驶,当制动时列车获得加速度a=-0.4
m/s2,问:
(1)列车应在进站前多长时间开始制动?
(2)列车应在距离车站多远处开始制动?
【思路导引】因列车停在车站时,速度为0,故应先求速度-时间函数的表达式,之后令v=0,求出t,再根据定积分计算出路程.
【解析】(1)已知列车的速度v0=72
km/h=20
m/s,
列车制动时获得的加速度a=-0.4
m/s2.
设列车由开始制动到经过t秒后的速度为v(t),
则v(t)=20-0.4t.令v(t)=0,得t=50(s).
(2)设列车由开始制动到停止时所走过的路程为s,
则有s=v(t)dt=(20-0.4t)dt
=(20t-0.2t2)=500(m).
所以列车应在到站前50
s,离车站500
m处开始制动.
1.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7―3t+(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是
( )
A.1+25ln
5
B.8+25ln
C.4+25ln
5
D.4+50ln
2
【解析】选C.令7―3t+=0,
则t=4或t=-<0,舍去.
dt=
=4+25ln
5.
2.证明:把质量为m(单位:kg)的物体从地球的表面升高h(单位:m)所做的功W=G·,其中G是地球引力常数,M是地球的质量,k是地球的半径.
【证明】根据万有引力定律,对于两个距离为r,质量分别为m1、m2的质点,它们之间的引力f=G·,其中G为引力常数.
则当质量为m的物体距离地面高度为x(0≤x≤h)时,地心对它有引力f(x)=G·,故该物体从地面升到h处所做的功为W=f(x)dx=G·dx
=GMmdx=GMm
=GMm=G·.
得证.
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