课时素养评价
一 周
期
现
象
(15分钟 30分)
1.某交通路口交通信号灯顺序为红灯、绿灯、黄灯,依次循环闪亮,并且红灯亮30秒,绿灯亮25秒,绿灯闪亮3秒黄灯亮2秒,8:00恰好红灯开始亮,到8:45:35时,该路口应该
( )
A.红灯亮
B.绿灯亮
C.黄灯亮
D.不确定
【解析】选B.由题设可知,该交通路口交通信号转换周期为1分钟.8:00恰好红灯开始亮,到8:45:00恰好红灯开始亮,到8:45:35时正在亮绿灯.
2.设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置.在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时,经过1分后,钟摆的大致位置是
( )
A.点A处
B.点B处
C.O,A之间
D.O,B之间
【解析】选D.经过0.45秒,钟摆到达O点,经过0.9秒钟摆到达B点,
而1分=59.4秒+0.6秒=33×1.8秒+0.6秒,
因为0.6秒介于0.45秒和0.9秒之间,
所以钟摆的位置介于O,B之间.
3.把扑克牌按照红桃2张,梅花3张,方块1张,黑桃2张的顺序连续排列,则第76张牌的花色是 .?
【解析】2张红桃,3张梅花,1张方块,2张黑桃按顺序排列,每隔8张又重复出现,又因为76=8×9+4,所以第76张是梅花.
答案:梅花
4.单摆运动是周期运动,如果一个单摆的周期为0.6
s,那么摆动4
s,小球经过了 个周期.
?
【解析】因为4÷0.6=6,所以小球经历了6个周期.
答案:6
5.已知函数f(x)对任意的x∈R都有f(x+4)=f(x),且f(0)=1,求f(16)的值.
【解析】因为f(x+4)=f(x),f(0)=1,
所以f(16)=f(12)=f(8)=f(4)=f(0)=1.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.循环小数0.428
571
428
571…的小数点后第545位上的数字是
( )
A.5
B.4
C.8
D.7
【解析】选D.由已知,数字重复出现的周期为6,而545=6×90+5,故小数点后第545位上的数字是7.
2.下列函数图像中,不具有周期性的是
( )
【解析】选C.因为C中,x∈[-2,2]之间的图像在前后都没有重复出现.
3.四个小动物换座位,开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在①,②,③,④号位置上(如图),第1次前后排动物互换位置,第2次左右列互换座位……这样交替进行下去,那么第2
020次互换座位后,小兔的位置对应的是
( )
①猴
②兔
③猫
④鼠
开始
①猫
②鼠
③猴
④兔
第1次
①鼠
②猫
③兔
④猴
第2次
①兔
②猴
③鼠
④猫
…
第3次
A.①
B.②
C.③
D.④
【解析】选B.由已知和题图得,小兔自第1次交换位置后座位的编号依次为④→③→①→②→④…,编号每4次一个循环.因为2
020÷4的余数为0,所以第2
020次交换位置后,小兔的位置和开始时位置相同,即编号为②.
4.探索如图所呈现的规律,判断2
018至2
020箭头的方向是
( )
【解析】选C.观察题图可知每增加4个数字就重复相同的位置,即4为一个周期,又2
018=504×4+2,
则2
018
至2
020箭头的方向与2至4箭头的方向是相同的.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.在如图所示的y=f(x)的图像中,若f(0.005)=3,则f(0.025)= .
?
【解析】由图像知周期为0.02,所以f(0.025)=f(0.005+0.02)=f(0.005)=3.
答案:3
6.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数{x}=x-[x],则下列命题中正确的有 .?
①函数{x}的最大值为1
②方程{x}=有且仅有一个解
③函数{x}是周期函数
④函数{x}是增函数
【解析】(排除法)因为[x]表示不超过x的最大整数,所以x-[x]不可能等于1,只能小于1,故{x}∈[0,1),排除①;
{x}=x-[x]=时,x可取多个值,如x=0.5,1.5,2.5等,所以②错;判断{x}的增减性要相对于特定的区间和特定的x值,x取值不同其增减性也不同,所以④错.由排除法可知③对.
答案:③
【一题多解】(图像法)
当x∈[-1,0)时,[x]=-1,{x}=x-[x]=x+1;
当x∈[-2,-1)时,[x]=-2,{x}=x-[x]=x+2;
当x∈[0,1)时,[x]=0,{x}=x-[x]=x;
当x∈[1,2)时,[x]=1,{x}=x-[x]=x-1;
一般地,x∈[n,n+1),[x]=n,{x}=x-[x]=x-n,n∈Z.
作出函数{x}=x-[x]的图像,如图所示:
结合图像易知,0≤{x}<1,①错;
方程{x}=有无数个解,②错;
函数{x}=x-[x]虽然在[n,n+1),n∈Z上分段单调递增,但在定义域R上不是单调函数,④错;结合图像知函数是周期函数,且最小正周期为1.
答案:③
三、解答题
7.(10分)若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系如图所示.
(1)求该函数的周期;
(2)求当t=10.5
s时弹簧振子相对平衡位置的位移.
【解析】(1)由题图可知,该函数的周期为4
s.
(2)设x=f(t),由函数的周期为4
s,
可知f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8,
所以当t=10.5
s时弹簧振子相对平衡位置的位移为-8
cm.
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二 角的概念的推广
(15分钟 30分)
1.下列结论中正确的是
( )
A.第二象限角比第一象限角大
B.钝角是第二象限角
C.小于180°的角是锐角、直角或钝角
D.第四象限角是负角
【解析】选B.α=100°是第二象限角,β=390°是第一象限角,但α<β,故A错;钝角的范围是90°～180°,是第二象限角,故B正确;小于180°的角还有零角、负角,但不是锐角、直角或钝角,故C错;第四象限角不一定是负角,故D错.
【补偿训练】
下列说法正确的是
( )
A.钝角三角形的内角必是第二象限角
B.第二象限角必是钝角
C.不相等的角终边一定不同
D.锐角一定是第一象限角
【解析】选D.钝角三角形有两个锐角,但它不是第二象限角,排除A;460°的角是第二象限角,但不是钝角,排除B;390°的角与30°的角不相等,但是它们的终边相同,排除C;易得D正确.
2.如果角α的终边上有一个点P(0,-3),那么α
( )
A.是第三象限角
B.是第四象限角
C.是第三或第四象限角
D.不是任何象限角
【解析】选D.因为点P落在y轴的非正半轴上,即α的终边落在y轴的非正半轴上,因此α不是任何象限角.
3.集合M={x|x=k·90°±45°,k∈Z}与P={x|x=m·45°,m∈Z}之间的关系为
( )
A.MP
B.PM
C.M=P
D.M∩P=?
【解析】选A.M={x|x=k·90°±45°,k∈·45°±45°,k∈±1)·45°,k∈Z}.
P={x|x=m·45°,m∈Z},故选A.
4.(2020·承德高一检测)若α是第一象限角,则下列各角中属于第四象限角的是
( )
A.90°-α
B.90°+α
C.360°-α
D.
180°+α
【解析】选C.若α是第一象限角,则:90°-α位于第一象限,90°+α位于第二象限,360°-α位于第四象限,180°+α位于第三象限.
【补偿训练】
若α为锐角,则角-α+k·180°(k∈Z)的终边在第 象限.?
【解析】因为α为锐角,所以-α的终边在第四象限,所以-α+k·180°(k∈Z)的终边在第二或第四象限,注意将k分成奇数与偶数讨论.
答案:二或四
5.已知集合A={α|30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z},集合B={β|-45°+k·360°<β<45°+k·360°,k∈Z},求A∩B.
【解析】因为30°+k·180°<α<90°+k·180°,k∈Z,所以当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,30°+n·360°<α<90°+n·360°,n∈Z;当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,210°+n·360°<α<270°+n·360°,n∈Z,所以集合A中角的终边在图中阴影(Ⅰ)区域内.又集合B中角的终边在图中阴影(Ⅱ)区域内,
所以集合A∩B中角的终边在阴影(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共部分内.所以A∩B={γ|30°+k·360°<γ<45°+k·360°,k∈Z}.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若α与θ关于x轴对称,则α+θ的终边落在
( )
A.x轴的非负半轴
B.第一象限
C.y轴的非负半轴
D.第三象限
【解析】选A.不妨设角β(0°≤β<360°)与角α终边相同,则α=β+k·360°,k∈Z,由于α与θ关于x轴对称,则有θ=-β+m·360°,m∈Z.所以α+θ=(k+m)·360°,因此α+θ的终边落在x轴的非负半轴.
2.(2020·南昌高一检测)若角α=m·360°+60°,β=k·360°+120°(m,k∈Z),则角α与β的终边的位置关系是
( )
A.重合
B.关于原点对称
C.关于x轴对称
D.关于y轴对称
【解析】选D.α=m·360°+60°(m∈Z),则α与60°角终边相同;β=k·360°+120°(k∈Z),则β与120°角终边相同;又60°+120°=180°,即终边关于y轴对称,所以α与β的终边关于y轴对称.
3.已知集合A={x|x=k×180°+(-1)k×90°,k∈Z},B=
{x|x=k×360°+90°,k∈Z},则A,B的关系为( )
A.BA
B.AB
C.A=B
D.A?B
【解析】选C.集合A中,当k为奇数时,x=k×180°-90°,终边落在y轴的非负半轴上;当k为偶数时,x=k×180°+90°,终边落在y轴的非负半轴上.集合B表示的角的终边落在y轴的非负半轴上.故A=B.
4.设集合M=xx=·180°+45°,k∈Z,N=xx=·180°+45°,k∈Z,那么
( )
A.M=N B.MN
C.NM
D.M∩N=?
【解题指南】分别给k赋值,确定两个集合表示的角是哪些,再判断集合间的关系.
【解析】选B.由于M=xx=·180°+45°,k∈Z={…,-45°,45°,135°,225°,…},
N=={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有MN,故选B.
【一题多解】选B.由于M中,x=·180°+45°=k·90°+45°=45°·(2k+1),2k+1是奇数;而N中,x=·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1是整数,因此必有MN,故选B.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·上海高一检测)如果α是第三象限的角,那么必然不是第 象限的角.?
【解析】α是第三象限的角,则180°+k·360°<α<270°+k·360°,k∈Z,
所以60°+k·120°<<90°+k·120°,k∈Z;
所以可以是第一、第三或第四象限角.
答案:二
【补偿训练】
一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆(半径为1的圆)上爬动,两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14
s时回到A点,并且在第2
s时均位于第二象限,则α,β的值为 .?
【解析】根据题意,可知14α,14β均为360°的整数倍,
故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,
则α=·180°,m∈Z,β=·180°,n∈Z.
由两只蚂蚁在第2
s时均位于第二象限,知2α,2β均为第二象限角.
团为0°<α<β<180°,所以0°<2α<2β<360°,
所以2α,2β均为钝角,即90°<2α<2β<180°,
于是45°<α<90°,45°<β<90°.
所以45°<·180°<90°,45°<·180°<90°,
即
答案:,
6.若α,β两角的终边互为反向延长线,且α=-120°,则β= .?
【解析】先求出β的一个角为α+180°=60°.
再由终边相同角的概念知:β=k·360°+60°,k∈Z.
答案:k·360°+60°,k∈Z
【补偿训练】
已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β= .
?
【解析】在-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.
答案:-30°+k·360°,k∈Z
三、解答题
7.(10分)已知α=-1
910°.
(1)将α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出α所在象限.
(2)求θ,使θ与α终边相同,且-720°≤θ<0°.
【解析】(1)-1
910°=-6×360°+250°,
因为250°为第三象限角,
所以-1
910°角为第三象限角.
(2)θ为-110°或-470°.
【补偿训练】
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合;
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【解析】(1)终边落在OA位置上的角的集合为
{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}
={α|α=135°+k·360°,k∈Z},
终边落在OB位置上的角的集合为
{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)由题图可知,在-180°～180°范围内,终边落在阴影部分的角β满足-30°≤β≤135°,
因此所求角的集合是所有与之终边相同的角组成的集合,故该集合可表示为{γ|-30°+k·360°≤γ≤135°+k·360°,k∈Z}.
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三 弧 度 制
(15分钟 30分)
1.集合A=与集合B=的关系是( )
A.A=B
B.A?B
C.B?A
D.以上都不对
【解析】选A.集合A与B都是终边在y轴上的角的集合,因此A=B.
2.下列各组角中,终边相同的角是
( )
A.与kπ+(k∈Z)
B.kπ±与(k∈Z)
C.(2k+1)π与(4k±1)π(k∈Z)
D.kπ+与2kπ±(k∈Z)
【解析】选C.选项C中两夹角的终边都在x轴非正半轴上.
3.rad= 度, rad=-300°.?
【解析】由题意有:==15°,-300°=-300×=-.
答案:15 -
4.已知扇形的半径为6
cm,圆心角为60°,则该扇形的面积是 .?
【解析】60°=,则S=·|α|·r2=××62
=6π(cm2).
答案:6π
cm2
5.(2020·福州高一检测)已知一扇形的圆心角是120°,所在圆的半径是10
cm,求该弧所在的弓形的面积.
【解题指南】弓形的面积等于所在扇形的面积与三角形面积的差,计算即可求解.
【解析】因为圆心角α=120°=,所在圆的半径是10
cm,所以l=|α|r=×10=(cm),
所以该弧所在的弓形的面积S=S扇形-S三角形=lr-×2r
sin
60°×r
cos
60°=××10-102××=-25,
即弓形的面积为cm2.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列说法中错误的是
( )
A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系
B.1度的角是周角的,1弧度的角是周角的
C.1
rad的角比1°的角要大
D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关
【解析】选D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误.
2.(2020·武汉高一检测)如图所示,扇形OAB中,弦AB的长等于半径,则弦AB所对的圆心角的弧度数α满足
( )
A.α>1
B.α=1
C.α<1
D.以上都不是
【解析】选A.由题意,|AB|=|OA|=|OB|,故△OAB是正三角形,即α=>1.
3.若角α满足α=+(k∈Z),则角α的终边一定在
( )
A.第一象限或第二象限或第三象限
B.第一象限或第二象限或第四象限
C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上
D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上
【解析】选D.当k=3n,n∈Z时,α=+2nπ,其终边位于第一象限;当k=3n+1,n∈Z时,α=+2nπ,其终边位于第二象限;当k=3n+2,n∈Z时,α=+2nπ,其终边位于y轴的非正半轴上.综上可知,角α的终边一定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.
4.《掷铁饼者》
取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约为米,肩宽约为米,“弓”所在圆的半径约为1.25米,你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为
( )
(参考数据:≈1.414,≈1.732)
A.1.012米
B.1.768米
C.2.043米
D.2.945米
【解题指南】由题分析出“弓”所在弧长,结合弧长公式得出这段弧所对圆心角,双手之间的距离即是这段弧所对弦长.
【解析】选B.由题意知:“弓”所在弧长l=++=,其所对圆心角α==,双手之间的距离d=×1.25≈1.768.
5.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.
一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为
( )
A.(3-)π
B.(-1)π
C.(+1)π
D.(-2)π
【解题指南】根据扇形与圆面积公式,可知面积比即为圆心角之比,再根据圆心角和的关系,求解出扇形的圆心角.
【解析】选A.S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比,设S1与S2所在扇形圆心角分别为α,β,则=,又α+β=2π,解得α=(3-)π.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.你在忙着答题,分针在忙着“转圈”,现在经过了1小时,则分针转过的角的弧度数是 .?
【解题指南】根据1小时,分针转过1周,一个周角为2π,即可得到答案.
【解析】由于经过1小时,分针转过1个周角,因周角为2π,又顺时针旋转得到的角是负角,故分针转过的角的弧度数是-2π.
答案:-2π
7.已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长,那么其圆心角的弧度数的绝对值为 .?
【解析】设圆半径为r,则内接正方形的边长为r,圆弧长为4r.
所以圆弧所对圆心角|θ|==4.
答案:4
8.若圆弧长度l等于该圆内接正三角形的边长,则其圆心角α的弧度数为 .?
【解析】如图,
等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形,则弧所对的圆心角为∠AOB=π,作OM⊥AB,垂足为M,在直角三角形AOM中,
AO=r,∠AOM=,所以AM=r,AB=r,所以l=r,α===,
所以圆心角的弧度数为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知一扇形的圆心角是α,所在圆的半径是R.若α=60°,R=10
cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.
【解析】设弧长为l,弓形面积为S弓,
因为α=60°=,R=10,所以l=αR=(cm).
S弓=S扇-S△=××10-×102×sin
60°
=50(cm2).
10.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=10,OB=x(0与弧BC、弧AD的长度之和为30米,圆心角为θ弧度.
(1)求θ关于x的函数解析式;
(2)记铭牌的截面面积为y,试问x取何值时,y的值最大?并求出最大值.
【解题指南】(1)具体表示出扇形的周长,即可得到θ关于x的函数解析式;
(2)根据扇形面积公式,求出函数解析式,利用二次函数求出y的最大值.
【解析】(1)根据题意,可算得=x·θ(米)
,
=10θ(米).
又BA+CD++=30,
于是10-x+10-x+x·θ+10θ=30,
所以θ=(0(2)依据题意,可知
y=θ×102-θx2,化简得y=-x2+5x+50=
-+.
于是,当x=(满足条件0ymax=(平方米).
答:当x=米时,铭牌的面积最大,且最大面积为平方米.
1.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦×矢+矢2).弧田,由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,弦长等于2米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积(单位:平方米)为
( )
A.
B.-
C.-
D.-3
【解题指南】新型定义题,本题中要用弧田面积的经验公式计算弧田面积,则求出本题中的弦长及矢长即可.
【解析】选D.在圆心角为,弦长等于2米的弧田中,半径为2,圆心到弦的距离为,于是,矢=2-,所以,弧田面积=(弦×矢+矢2)
==-3.
2.数学家黎曼构造了这样的曲面:将n个坐标系重叠起来,原点重合,x轴,y轴也分别重合,然后将x轴的正半轴全部剪开,再将第1个坐标系的x轴的下沿与第2个坐标系的x轴的上沿粘连起来,以此类推,…将第i个坐标系的x轴的下沿与第i+1个坐标系的x轴的上沿粘连起来,…,最后将第n个坐标系的x轴的下沿与第1个坐标系的x轴的上沿粘连起来,这样就构造了一个n叶黎曼曲面.
在一个3叶黎曼曲面上,有一条射线(端点位于原点)在旋转,那么这条射线旋转周期是 弧度.?
【解析】3叶也就是三个平面重叠,周期是3×2π=6π.
答案:6π
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四 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
(15分钟 30分)
1.已知角α的终边经过点(-4,3),则cos
α=
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选D.记P(-4,3),则x=-4,y=3,r=|OP|
==5,故cos
α===-.
2.已知sin
α=,则角α所在的象限是
( )
A.第一象限
.第一或第二象限
C.第一或第三象限
D.第四象限
【解析】选B.因为sin
α=>0,所以α在第一或第二象限.
3.设角α的终边与单位圆相交于点P,则
sin
α-cos
α的值是
( )
A.
B.-
C.-
D.
【解析】选C.由三角函数的定义,得sin
α=-,cos
α=,所以sin
α-cos
α=--=-.
4.已知<1且2cos
θ<1,则θ为第 象限角.?
【解题指南】利用指数函数的性质判断sin
θ,cos
θ的符号.
【解析】因为<1=,所以sin
θ>0.
又2cos
θ<1=20,所以cos
θ<0.
所以θ为第二象限角.
答案:二
5.已知角θ的终边在直线y=2x上,求角θ的正弦值和余弦值.
【解析】设直线上任意一点P(a,2a),a≠0,
则r==|a|.
当a>0时,sin
θ===,
cos
θ===.
当a<0时,sin
θ==-=-,
cos
θ===-.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.有下列说法:
①终边相同的角的同名三角函数的值一定相等;
②终边不同的角的同名三角函数的值一定不等;
③若sin
α>0,则α是第一、二象限的角;
④若α是第二象限的角,且P(x,y)是其终边上一点,则cos
α=-.其中正确的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.由任意角的三角函数定义知①正确;对于②,我们可举出反例sin=sin;对于③,可举出sin>0,但不是第一、二象限角;对于④,应是cos
α=(因为α是第二象限角,已有x<0).
2.当α为第二象限角时,-的值是
( )
A.1
B.0
C.2
D.-2
【解析】选C.当α为第二象限角时,sin
α>0,cos
α<0,
所以-=+=2.
3.设角α的终边经过点(-6t,-8t)(t≠0),则sin
α-cos
α的值是
( )
A.
B.-
C.±
D.不确定
【解析】选C.当t>0时,r=10|t|=10t.
sin
α=-,cos
α=-,sin
α-cos
α=-.
当t<0时,r=10|t|=-10t.
sin
α=,cos
α=,sin
α-cos
α=.
4.若sin
θ<0,cos
θ>0,则是
( )
A.第二象限角
.第三象限角
C.第二或第四象限角
D.第三或第四象限角
【解析】选C.由sin
θ<0,cos
θ>0得θ为第四象限角,
所以2kπ-<θ<2kπ,k∈Z,
所以kπ-<所以是第二或第四象限角.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知角α的终边过点(-3cos
θ,4cos
θ),其中θ∈,则cos
α= .?
【解析】因为θ∈,所以cos
θ<0,
所以点(-3cos
θ,4cos
θ)到原点的距离r=5|cos
θ|=-5cos
θ,所以cos
α==.
答案:
6.已知角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b),若=,则cos
α的值为 .?
【解析】因为角α的终边与单位圆的交点的坐标为(a,b),=,所以b=-a,r==b,所以cos
α===-.
答案:-
三、解答题
7.(10分)判断下列各式的符号:
(1).
(2)(θ为第二象限角).
【解析】(1)因为π=2π+π,且π是第三象限角,
所以π是第三象限角,所以cosπ<0;
因为π=4π+π,且π是第四象限角.
所以π是第四象限角,所以sinπ<0;
因为-π=(-1)×2π+π,且π是第一象限角,
所以-π是第一象限角,cos>0.
故>0.
(2)因为θ为第二象限角,
所以0θ<1<,-<-1θ<0,
所以sin(cos
θ)<0,cos(sin
θ)>0,
所以<0.
PAGE课时素养评价五
单位圆与周期性 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
(20分钟 40分)
1.cos
1
110°的值为
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选B.cos
1
110°=cos(3×360°+30°)=cos
30°=.
2.M和m分别是函数y=sin
x-1的最大值和最小值,则M+m等于
( )
A.
B.-
C.-
D.-2
【解析】选D.因为M=ymax=-1=-,m=ymin=--1=-,所以M+m=--=-2.
3.函数y=4sin
x+3在[-π,π]上的递增区间为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.y=sin
x的增区间就是y=4sin
x+3的增区间.
4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin
x,则f的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选D.因为定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,且f(x)的最小正周期为π,
所以f=f=f=sin=.
5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为 .?
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,又f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,所以f(6)=f(2).由f(2)=-f(0)=0,得f(6)=0.
答案:0
6.cos
π+sin= .?
【解析】原式=cos+sin
=cos
+sin
=+=.
答案:
7.已知f(x+3)=-,求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
【解析】因为f(x+6)=f[(x+3)+3]=-
=-=f(x),所以f(x)是周期函数,且6是它的一个周期.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.满足sin≥的α的集合为
( )
A.{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}
B.{α|2kπ-≤α≤2kπ+,k∈Z}
C.{α|2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z}
D.{α|2kπ≤α≤2kπ+,k∈Z}
【解析】选A.设t=α-,则sin
t≥,如图,
所以,2kπ+≤t≤2kπ+(k∈Z),
即2kπ+≤α-≤2kπ+(k∈Z),
所以2kπ+≤α≤2kπ+(k∈Z).
2.已知函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=3,则f(8)-f(5)=
( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
【解析】选D.因为函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数,所以f(x)=-f(-x).
因为f(1)=-f(-1),则f(-1)=-f(1)=-1.
所以f(8)=f(8-6)=f(2)=3,f(5)=f(5-6)=f(-1)=-1,则f(8)-f(5)=3-(-1)=4.
3.函数y=|sin
x|+sin
x的值域为
( )
A.[-1,1]
B.[-2,2]
C.[-2,0]
D.[0,2]
【解析】选D.
y=|sin
x|+sin
x=所以其值域为[0,2].
4.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+1)=-f(x),且f(x)在区间[0,2]上是递增的,则
f(-6.5),f(-1),f(0)的大小关系为
( )
A.f(0)B.f(-6.5)C.f(-1)D.f(-1)【解析】选A.由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)
=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是周期为2的函数.
又f(x)为偶函数,
所以f(-6.5)=f(-0.5)=f(0.5),f(-1)=f(1),
因为f(x)在区间[0,2]上是递增的,
所以f(0)即f(0)5.有下列结论:①存在函数f(x)定义域中的某个自变量x0,使f(x0+T)=f(x0),则f(x)为周期函数;②存在实数T,使得对f(x)定义域内的任意一个x,都满足f(x+T)=f(x),则f(x)为周期函数;③周期函数的周期是唯一的.其中,正确结论的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选A.①由周期函数的定义,可知f(x+T)=f(x)对定义域内的任意一个x都成立,且T≠0,故不正确;
②由周期函数的定义可知T≠0,故不正确;
③若T为周期,则f(x+2T)=f[(x+T)+T]
=f(x+T)=f(x),所以2T也是周期,故不正确.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.若函数f(x)=sin
2x+a-1是奇函数,则a= .?
【解析】由奇函数的定义f(-x)=-f(x)得a=1.
答案:1
7.设函数f(x)=sinx,则f(1)+f(2)+…+f(2
020)= .
?
【解析】f(1)=,f(2)=,f(3)=0,f(4)=-,
f(5)=-,f(6)=0,f(7)=f(1),f(8)=f(2),…,
所以f(1)+f(2)+…+f(2
020)=f(2017)+
f(2018)+f(2019)+f(2020)=.
答案:
8.关于x的函数f(x)=sin(x+φ)有以下说法:
①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;
②存在φ,使f(x)是偶函数;
③存在φ,使f(x)是奇函数;
④对任意的φ,f(x)都不是偶函数.
其中错误的是 (填序号).?
【解析】当φ=时,f(x)=cos
x是偶函数,所以②正确;当φ=0时,f(x)=sin
x,是奇函数,所以③正确;由②③正确知,①④错误.
答案:①④
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知f(x)=-sin
x在上是减少的,求实数a的取值范围.
【解析】因为f(x)在上是减少的,
所以?,
即-所以a的取值范围是.
10.若≤x≤,求函数y=sin2
x-sin
x+1的最大值和最小值.
【解析】令t=sin
x,因为x∈,结合单位圆知t∈,
所以y=t2-t+1=+,t∈,
又t=?,所以当t=时,ymin=-+1=;当t=1时,ymax=1.
1.若f(x)=2
sin
ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是,则ω= .?
【解析】因为x∈,即0≤x≤,且0<ω<1,
所以0≤ωx≤<.
因为f(x)max=2sin=,所以sin=,=,即ω=.
答案:
2.欲使函数y=Asin
ωx(A>0,ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值,求ω的最小值.
【解析】函数y=Asin
ωx的最小正周期为,在每一个周期内,函数y=A
sin
ωx(A>0,ω>0)都只有一个最小值,要使函数y=A
sin
ωx在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值,则y在区间[0,1]内至少含49个周期,即解得ω≥,
所以ω的最小值为.
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六 单位圆的对称性与诱导公式
(15分钟 30分)
1.cos
660°的值为
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.cos
660°=cos(360°+300°)=cos
300°
=cos(180°+120°)=-cos
120°=-cos(180°-60°)
=cos
60°=.
【补偿训练】
sin
585°的值为
( )
A.- B. C.- D.
【解析】选A.sin
585°=sin(360°+225°)
=sin(180°+45°)=-sin
45°=-.
2.cos+sin的值为
( )
A.
B.
C.
D.+1
【解析】选C.原式=cosπ-sin=cos-sin
=-cos+sin=.
3.已知sin=,则cos的值为
( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选D.cos=cos
=-sin=-.
4.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin
x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f=
( )
A.
B.
C.0
D.-
【解析】选A.f=
f+sin
=f+sin+sin=f+sin+
sin+sin=2sin+sin=.
5.已知f(α)=,求f的值.
【解析】因为f(α)==-cos
α,
所以f=-cos=-cos
=-.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知sin=,则sin的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.方法一:sin=sin
=sin=-sin=-.
方法二:sin=-sin
=-sin=-.
2.下列三角函数中,与sin数值相同的是
( )
①sin;②cos;③sin;
④cos;⑤sin(n∈Z).
A.①②
B.①③④
C.②③⑤
D.①③⑤
【解析】选C.①中,sin
==
②中,cos=cos=sin=sin;
③中,sin=sin;
④中,cos=cos=-cos≠sin;
⑤中,sin=sin=sin.
故②③⑤中的三角函数与sin的数值相同.
3.已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是
( )
A.
B.
C.-
D.-
【解析】选D.sin(α-15°)+cos(105°-α)
=sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)]
=-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α)
=-cos(75°+α)-cos(75°+α)
=-2cos(75°+α)=-.
4.已知f(sin
x)=cos
3x,则f(cos
10°)的值为
( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选A.f(cos
10°)=f(sin
80°)
=×cos(3×80°)=cos
240°=cos(180°+60°)
=-cos
60°=-.
5.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则f(2
020)的值为
( )
A.-1
B.1
C.3
D.-3
【解析】选C.因为f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asin
α+bcos
β=3,
所以f(2
020)=asin(2
020π+α)+bcos(2
020π+β)=asin
α+bcos
β=3.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知f(x)=
则f+f= .?
【解析】f=sin=sin=,
f=f-1=f-2
=sin-2=-,
所以f+f=-=-2.
答案:-2
7.已知角α终边上一点P(-4,3),
则的值为 .?
【解析】因为角α终边上一点P(-4,3),
则sin
α=,cos
α=-,
所以
=
=-.
答案:-
8.若k∈{4,5,6,7}
,且sin=-sin
α,
cos=cos
α,则k= .?
【解析】利用验证法,当k=4时,sin(2π-α)=-sin
α,cos(2π-α)=cos
α符合条件;当k=5,6,7时,不符合条件.故k=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(1)已知sin=-,求sin的值.
(2)已知cos=,求cos的值.
【解析】(1)因为-=2π,
所以sin=sin
=sin=-.
(2)因为-=π,
所以cos
=cos
=-cos=-.
10.化简:(k∈Z).
【解析】当k=2n(n∈Z)时,
原式=
===-1;
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=
===-1.
综上,原式=-1.
【补偿训练】
化简:.
【解析】当k=2n,n∈Z时,
原式=
===-,
当k=2n+1,n∈Z时,
原式=
===
.
cos
1°+cos
2°+cos
3°+…+cos
179°+cos
180°= .?
【解析】cos
179°=cos(180°-1°)=-cos
1°,
cos
178°=cos(180°-2°)=-cos
2°……
cos
91°=cos(180°-89°)=-cos
89°,
所以原式=(cos
1°+cos
179°)+(cos
2°+cos
178°)+…+(cos
89°+cos
91°)+(cos
90°+cos
180°)=cos
90°+cos
180°
=0+(-1)=-1.
答案:-1
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