课时素养评价
七 正弦函数的图像与性质
(20分钟 35分)
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin
x,x∈[0,2π]与y=sin
x,x∈[2π,4π]的图像
( )
A.重合
B.形状相同,位置不同
C.关于y轴对称
D.形状不同,位置不同
【解析】选B.根据正弦曲线的作法可知函数y=sin
x,x∈[0,2π]与y=sin
x,x∈[2π,4π]的图像只是位置不同,形状相同.
2.若α,β都是第一象限的角,且α<β,那么
( )
A.sin
α>sin
β
B.sin
β>sin
α
C.sin
α≥sin
β
D.sin
α与sin
β的大小不定
【解析】选D.因为函数y=sin
x在第一象限内不具有单调性,根据终边相同角可以相差2π的整数倍,所以sin
α与sin
β的大小不定.
3.点在函数y=sin
x+1的图像上,则b等于
( )
A.
B.
C.2
D.3
【解析】选C.由题意知b=sin
+1=2.
【补偿训练】
函数f(x)=x3+sin
x+1(x∈R),若f(a)=2,则f(-a)的值为
( )
A.3
B.0
C.-1
D.-2
【解析】选B.因为正弦函数是奇函数,所以f(x)-1=x3+sin
x是奇函数,所以f(a)-1+f(-a)-1=a3+sin
a+(-a)3+sin(-a)=0,
即f(a)+f(-a)=2,又f(a)=2,
所以f(-a)=0.
4.y=a+bsin
x的最大值是,最小值是-,则a= ,b= .?
【解析】若b>0,由-1≤sin
x≤1知
解得若b<0,则解得
答案: ±1
5.函数y=sin
x,x∈的值域是 .?
【解析】因为函数y=sin
x在区间上是增加的,所以值域是.
答案:
6.设|x|≤,求函数f(x)=1-sin2x+sin
x的最小值.
【解析】f(x)=1-sin2x+sin
x=-+.因为|x|≤,所以-≤sin
x≤.
所以当sin
x=-时,f(x)min=.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.y=sin
x-|sin
x|的值域是
( )
A.[-1,0]
B.[0,1]
C.[-1,1]
D.
[-2,0]
【解析】选D.y=
所以函数的值域为[-2,0].
2.已知奇函数f(x)在[-1,0]上是减少的,又α,β为锐角三角形两内角,则下列结论正确的是
( )
A.f(cos
α)>f(cos
β)
B.f(sin
α)>f(sin
β)
C.f(sin
α)>f(cos
β)
D.f(sin
α)
β)
【解析】选D.因为α,β为锐角三角形两内角,
所以α+β>,所以>α>-β>0,
所以sin
α>sin,即sin
α>cos
β.
所以-1<-sin
α<-cos
β<0,
因为f(x)在[-1,0]上是减少的,
所以f(-sin
α)>f(-cos
β),又因为f(x)是奇函数,
所以-f(sin
α)>-f(cos
β),所以f(sin
α)β).
3.下列不等式中成立的是
( )
A.sinB.sinC.sin
3>sin
2
D.sin
>sin
【解析】选A.由于0<<<,
而y=sin
x在上单调递增,
所以sin
,所以-sin
>-sin
,
即sin>sin.
4.函数y=|sin
x|的一个递增区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由y=|sin
x|图像易得函数单调递增区间为,k∈Z,当k=1时,得为y=|sin
x|的一个单调递增区间.
5.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈时,f(x)=sin
x,则f的值为( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选D.f=f=f
=-f=-sin=sin=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.y=1+sin
x,x∈[0,2π]的图像与y=的交点的个数是 .?
【解题指南】作出的图像y=sin
x→平移得到的图像y=1+sin
x,x∈[0,2π]→作出直线y=.
【解析】由y=sin
x的图像向上平移1个单位,得y=1+sin
x的图像,故在[0,2π]上与y=交点的个数是2个.
答案:2
7.已知ω>0,函数f(x)=2sin
ωx在上是增加的,则ω的取值范围为 .?
【解析】因为-≤ωx≤(ω>0),所以-≤x≤.
由题意得,?
所以所以0<ω≤.
答案:
8.函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是 .?
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y=的图像(图略),由图像易得:-答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.求函数y=的值域.
【解析】由y=,得sin
x=.
又因为sin
x∈[-1,1),所以∈[-1,1),
即解得
所以y≥.所以函数的值域为.
10.函数f(x)=2sin
x+|sin
x|,x∈[0,2π]的图像与直线y=m+1有且仅有两个交点,求m的范围.
【解析】因为y=f(x)=2sin
x+|sin
x|
=作出图像分析,
由有且仅有两个交点,可得
0即-1即m的范围为{m|-21.已知函数y=2sin
x的图像与直线y=2围成一个封闭的平面图形,那么此封闭图形的面积为
( )
A.4
B.8
C.4π
D.2π
【解析】选C.数形结合,如图所示.
y=2sin
x,x∈的图像与直线y=2围成的封闭平面图形面积相当于由x=,x=,y=0,y=2围成的矩形面积,即S=×2=4π.
2.若方程sin
x=在x∈上有两个实数根,求a的取值范围.
【解析】在同一直角坐标系中作出y=sin
x,x∈的图像,y=的图像,由图像可知,当≤<1,即-1x,x∈的图像与y=的图像有两个交点,即方程sin
x=在x∈上有两个实数根.
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九 正切函数的定义 正切函数的图像与性质
(15分钟 30分)
1.函数y=2tan的定义域是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由2x-≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,所以定义域为.
2.函数y=tan,x∈R且x≠π+kπ,k∈Z的一个对称中心是
( )
A.(0,0)
B.
C.
D.(π,0)
【解析】选C.x+=(k∈Z)得x=-(k∈Z),所以当k=2时,x=,所以函数y=tan,x∈R且x≠π+kπ,k∈Z的一个对称中心是.
3.函数f(x)=tan
ωx(ω>0)的图像的相邻两支截直线y=所得线段长为,则f的值是
( )
A.0
B.1
C.-1
D.
【解析】选A.由题意得,T==,所以ω=4.
所以f(x)=tan
4x,f=tan
π=0.
【补偿训练】
直线y=a(常数)与正切曲线y=tan
ωx(ω为常数且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为
( )
A.π
B.2π
C.
D.与a值有关
【解析】选C.两相邻交点间的距离为正切函数的一个周期,因而距离为.
4.函数y=tan
x的单调减区间为 .?
【解析】因为y=x在其定义域上为减函数,所以此函数的减区间即为tan
x>0的增区间,故为,k∈Z.
答案:,k∈Z
5.求函数y=tan
的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性.
【解析】由3x-≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z.
所以函数y=tan
的定义域为
.
值域为R,周期T=,是非奇非偶函数.
由kπ-<3x-得-故函数在区间(k∈Z)上单调递增.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知sin
θ·tan
θ<0,那么角θ是
( )
A.第一或第二象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第四象限角
【解析】选B.若sin
θ>0,tan
θ<0,则角θ在第二象限;若sin
θ<0,tan
θ>0,则角θ在第三象限.
2.函数y=tan
x+sin
x-|tan
x-sin
x|在区间内的图像是
( )
【解析】选D.当xx,y=2tan
x<0;
当x=π时,y=0;当πx>sin
x,y=2sin
x<0.
3.函数y=tan(sin
x)的值域是
( )
A.
B.
C.[-tan
1,tan
1]
D.[-1,1]
【解析】选C.sin
x∈[-1,1],
又-<-1<1<,且y=tan
x在上是增加的,所以ymin=tan(-1)=-tan
1,ymax=tan
1.
【补偿训练】
若f(n)=tan
(n∈N
),则f(1)+f(2)+…+f(2
020)=
( )
A.-
B.
C.0
D.-2
【解析】选B.由已知,T==3,f(1)=,f(2)=-,f(3)=0?f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2
020)=673×0+f(1)=.
4.函数f(x)=2x-tan
x在上的图像大致为
( )
【解析】选C.因为f(-x)=2(-x)-tan(-x)
=-2x+tan
x=-f(x),
所以f(x)为奇函数,排除A、B.
又因为f=2×-tan
=->0,
所以排除D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.函数y=-tan2x+4tan
x+1,x∈的值域为 .?
【解析】因为-≤x≤,所以-1≤tan
x≤1.
令tan
x=t,则t∈[-1,1].
所以y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
所以当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
答案:[-4,4]
6.已知函数y=tan(2x+φ)的图像过点,则φ等于 .?
【解析】由已知可得tan=0,
即tan=0,
所以φ+=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z).
答案:-+kπ(k∈Z)
三、解答题
7.(10分)已知函数f(x)=x2+2xtan
θ-1,x∈[-1,],其中θ∈-,.
(1)当θ=-时,求函数f(x)的最大值与最小值.
(2)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数.
【解析】(1)当θ=-时,
f(x)=x2-x-1=-,x∈[-1,].
所以当x=时,f(x)的最小值为-;
当x=-1时,f(x)的最大值为.
(2)函数f(x)=(x+tan
θ)2-1-tan2θ的图像的对称轴为x=-tan
θ.
因为y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数,
所以-tan
θ≤-1或-tan
θ≥.
即tan
θ≥1或tan
θ≤-.又θ∈,
所以θ的取值范围是∪.
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十 正切函数的诱导公式
(20分钟 35分)
1.tan
300°+sin
450°的值为
( )
A.1+
B.1-
C.-1-
D.-1+
【解析】选B.tan
300°+sin
450°=tan(360°-60°)+
sin(360°+90°)=-tan
60°+sin
90°=1-.
2.若角600°的终边上有一点(-4,a),则a的值是
( )
A.-4
B.±4
C.
D.4
【解析】选A.因为tan
600°==tan(540°+60°)
=tan
60°=,所以a=-4.
3.已知tan
5°=t,则tan(-365°)=
( )
A.t
B.360+t
C.-t
D.与t无关
【解析】选C.tan(-365°)=-tan
365°=-tan(360°+5°)=-tan
5°=-t.
4.已知tan=5,则tan= .?
【解析】tan=tan=
-tan=-5.
答案:-5
5.sin
π·cos
π·tan
的值是 .?
【解析】原式=sin
·cos
·
tan
=··
=××(-)=-.
答案:-
6.角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆的交点M的坐标为,其中
α∈.
(1)求y0的值及tan
α的值.
(2)求.
【解析】(1)由题意知+=1,
解得y0=±,因为α∈,
所以y0=-.所以tan
α===-.
(2)原式==
==+1=-+1=.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共15分)
1.已知α为锐角,且2tan
(π-α)-3cos
+5=0,tan
(π+α)+6sin
(π+β)-1=0,则sin
α的值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由已知得-2tan
α+3sin
β+5=0,tan
α-6sin
β-1=0,解得tan
α=3,又α为锐角,所以sin
α=.
2.已知f(x)=atan
-bsin
x+4(其中a,b为常数,且ab≠0).若f(3)=5,则f(2
020π-3)的值为
( )
A.-3
B.-5
C.3
D.5
【解析】选C.由题意,得f(3)=atan
-bsin
3+4=5,
即atan
-bsin
3=1,
则f(2
020π-3)=atan
-bsin(2
020π-3)+4=-atan
+
bsin
3+4=-1+4=3.
3.在锐角三角形ABC中,有下列各式:①tan(A+B)+tan
C=0;②tan(2A+2B)+tan
2C=0;③tan(A+B)>tan
C.其中正确的有
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选C.由题意,△ABC为锐角三角形,则①tan(A+B)+tan
C=tan(π-C)+
tan
C=0,②tan(2A+2B)+tan
2C=tan(2π-2C)+tan
2C=0,③由tan(A+B)>tan
C,得tan
C<0,而C为锐角,所以不成立.故正确的有2个.
二、填空题(每小题5分,共15分)
4.若函数f(x)=asin
2x+btan
x+1,且f(-3)=5,则f(π+3)= .?
【解题指南】利用正弦函数和正切函数都是奇函数,结合诱导公式求解.
【解析】令g(x)=asin
2x+btan
x显然可得,g(x)在其定义域上是奇函数,且有:
g(x)=f(x)-1,所以g(-3)=f(-3)-1=4,
故:g(3)=-4,f(3)=g(3)+1=-3,
又有:f(π+3)=asin(2π+6)+btan(π+3)+1=asin
6+btan
3+1=f(3),所以f(π+3)=-3.
答案:-3
5.log4+log9= .?
【解析】因为sin
=sin=sin
=,
tan=-tan=tan
=,
所以log4+log9=log4+log9=lo+lo=--=-.
答案:-
6.已知cos(α+β)=-1,且tan
α=2,则tan
β= .?
【解析】由cos(α+β)=-1,知α+β=2kπ+π(k∈Z),
所以β=2kπ+π-α,k∈Z.
所以tan
β=tan(2kπ+π-α)=tan(π-α)=-tan
α=-2.
答案:-2
三、解答题
7.(10分)设函数f(x)=asin和g(x)=btan,是否存在实数a,b使得f=g,f=-g+1?若存在,求出此时a,b的值;若不存在,请说明理由.
【解析】假设存在实数a,b符合条件,
则由f=g,f=-g+1,
得
整理得
即解得
故存在符合条件的实数a,b,且a=1,b=.
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十二 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(二)
(15分钟 30分)
1.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则函数f(x)的图像
( )
A.关于直线x=对称
B.关于直线x=对称
C.关于点对称
D.关于点对称
【解析】选B.因为f(x)=sin的最小正周期为π,所以=π,ω=2,所以f(x)=sin.
当x=时,2x+=,
所以A,C错误;当x=时,2x+=,
所以B正确,D错误.
2.函数y=8sin取最大值时,自变量x的取值集合是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为y的最大值为8,
此时sin=1,即6x+=2kπ+(k∈Z),
所以x=+(k∈Z).
3.函数y=sin
2x的一个递增区间可以是
( )
A.
B.
C.
D.[0,π]
【解析】选A.由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,故当k=0时的单调递增区间为.
4.y=2sin的图像的两条相邻对称轴之间的距离是 .?
【解析】由函数图像知两条相邻对称轴之间的距离为半个周期,即×=.
答案:
5.已知函数f(x)=sin.
(1)求f(x)的单调递增区间.
(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值,最小值.
【解析】(1)f(x)=sin,
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为x∈,所以≤2x+≤,
所以-1≤sin≤,所以-≤f(x)≤1,
所以当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示,
△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,KL=1,则f的值为
( )
A.-
B.-
C.-
D.
【解析】选D.由题意知,点M到x轴的距离是,所以A=,又由题图知·=1,所以ω=π,因为f(x)为偶函数,所以φ=,所以f(x)=sin=cos
πx,故f=cos=.
2.(2018·江苏高考)已知函数y=sin(2x+φ)的图像关于直线x=对称,则φ的值是
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.由函数y=sin(2x+φ)的图像关于直线x=对称,得sin=±1,因为-<φ<,所以<+φ<,则+φ=,φ=-.
3.已知a是实数,则函数f(x)=1+asin
ax的图像不可能是
( )
【解析】选D.当a=0时f(x)=1,C符合,
当0<|a|<1时T>2π,且最小值为正数,A符合,
当|a|>1时T<2π,且最小值为负数,B符合,排除A,B,C.D项中,由振幅得a>1,所以T<2π,而由图像知T>2π矛盾.
4.函数y=sin在x=2处取得最大值,则正数ω的最小值为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由题意得,2ω+=+2kπ(k∈Z),
解得ω=+kπ(k∈Z),因为ω>0,
所以当k=0时,ωmin=.
5.设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是
( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图像关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为
D.f(x)在上单调递减
【解析】选D.函数f(x)=cos的图像可由y=cos
x的图像向左平移个单位得到,如图可知,f(x)在上先递减后递增,D选项错误.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数y=sin与y轴最近的对称轴方程是 .?
【解析】令2x-=kπ+(k∈Z),
所以x=+(k∈Z).
由k=0,得x=;由k=-1,得x=-.
答案:x=-
7.ω为正实数,函数f(x)=2sin
ωπx的周期不超过1,则ω的最小值是 .?
【解析】由≤1,得ω≥2.即ω的最小值为2.
答案:2
8.函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为 .?
【解析】由已知,cos=0,所以3x+=+kπ,k∈Z,所以x=+,k∈Z,当k=0时,x=;当k=1时,x=;当k=2时,x=,均满足题意,所以函数f(x)在[0,π]上的零点个数为3.
答案:3
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∈R恒成立,且f>f(π),求f(x)的递增区间.
【解析】因为f>f(π),故sin(π+φ)>sin
φ,
得sin
φ<0,又f(x)对x∈R恒成立,
故f=±1,即sin=±1,+φ=+kπ,k∈Z,φ=+kπ,k∈Z,又sin
φ<0,取φ=-,故f(x)=sin,令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
解得:+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
故f(x)的递增区间是,k∈Z.
10.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.
(1)求常数a,b的值.
(2)设g(x)=f且lg[g(x)]>0,求g(x)的单调区间.
【解析】(1)因为x∈,
所以2x+∈.
所以sin∈,又因为a>0,
所以-2asin∈[-2a,a].
所以f(x)∈[b,3a+b],又因为-5≤f(x)≤1,
所以b=-5,且3a+b=1,因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得,f(x)=-4sin-1,
g(x)=f=-4sin-1
=4sin-1,又由lg[g(x)]>0,得g(x)>1,
所以4sin-1>1,所以sin>,
所以2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,
g(x)单调递增,即kπ所以g(x)的单调增区间为,k∈Z.
又因为当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,
g(x)单调递减,即kπ+所以g(x)的单调减区间为,k∈Z.
设函数f(x)=sin,若方程f(x)=a恰好有三个根,分别为x1,x2,x3(x1( )
A.π
B.
C.
D.
【解析】选C.由已知x∈时,
2x+∈,
画出函数f(x)的大致图像,如图所示:
当≤a<1时,方程f(x)=a恰好有三个根;
由2x+=得x=,
由2x+=得x=;
点(x1,0)与点(x2,0)关于直线x=对称,
点(x2,0)与点(x3,0)关于直线x=对称,
所以x1+x2=,x2+x3=,
所以x1+2x2+x3=+=.
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十一 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)
(20分钟 35分)
1.为得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin
x的图像
( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【解析】选C.由y=cos=sin可知,
为得到函数y=cos的图像,只需将函数y=sin
x的图像向左平移个单位长度.
2.把函数y=sin的图像向右平移个单位,所得图像对应的函数是
( )
A.非奇非偶函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.奇函数
D.偶函数
【解析】选D.把函数y=sin的图像向右平移个单位,得到函数y=sin=sin=-cos
2x,是偶函数.
3.将函数y=sin
2x的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图像的函数解析式是
( )
A.y=cos
2x
B.y=1+cos
2x
C.y=1+sin
D.y=cos
2x-1
【解析】选B.将函数y=sin
2x的图像向左平移个单位,得到函数y=sin=sin=cos
2x的图像,再向上平移1个单位,所得函数图像的解析式为y=1+cos
2x.
4.把函数y=sin的图像向 平移 个单位得到y=sin
2x的图像.?
【解析】y=sin=sin
2,
所以将其向右平移个单位得到y=sin
2x的图像.
答案:右
5.在平面直角坐标系xOy中,直线y=1与函数y=3sin
x(0≤x≤10)的图像所有交点的横坐标之和为 .?
【解析】因为y=3sin
x的周期T==4,
所以当0≤x≤10时,其图像如下:
由图知,直线y=1与正弦曲线y=3sin
x(0≤x≤10)相交于A,B,C,D,E,F
6个点,其横坐标如图所示,
则x1+x2=2,x3+x4=10,x5+x6=18,
所以所有交点的横坐标之和为2+10+18=30.
答案:30
6.已知曲线y=Asin(ωx+φ)(A<0,ω>0)上的一个最高点的坐标为,此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点,若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数解析式.
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0,π]上的图像.
【解析】(1)因为函数图像的一个最高点为,
所以A=,x=为其中一条对称轴,
这个最高点到相邻最低点的图像与x轴交于点.所以=-=.
又T==π,所以ω=2,
此时y=f(x)=sin(2x+φ),
又f=,所以sin=1,
即+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z.
又φ∈,所以φ=,
所以y=sin.
(2)列出x,y的对应值表:x
0
π
2x+
π
2π
y
1
0
-
0
1
所作图像如图所示:
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.将函数y=sin的图像上所有的点向左平移个单位长度,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图像的解析式为
( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
【解析】选B.将函数y=sin的图像上所有的点向左平移个单位长度,可得y=sin=sin的图像,再把所得图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sin的图像.
2.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图所示,则f等于
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选B.因为T=-=,所以T=.
所以=,即ω=3.
又因为3×+φ=π+2kπ(k∈Z),
所以φ可取-.所以f=sin
=sin=sin
=-.
3.下列表示函数y=sin在区间上的简图正确的是
( )
【解析】选A.将y=sin
x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍,再将所有点向右平移个单位长度即得y=sin的图像,依据此变换过程可得到A中图像是正确的.
【一题多解】选A.分别令2x-=0,,π,,2π得到五个关键点,描点连线即得函数y=sin的图像.
4.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m(ω>0)的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是
( )
A.y=4sin
B.y=2sin+2
C.y=4sin+2
D.y=2sin+2
【解析】选D.由题意可得,
A==2,m==2,ω===4,
又直线x=是一条对称轴,所以4×+φ=+kπ,k∈Z.所以φ=kπ+-,k∈Z,所以当k=1时,φ=-=,
所以符合条件的一个解析式为y=2sin+2.
5.将函数f(x)=sin
ωx(其中ω>0)的图像向右平移个单位长度,所得图像经过点,则ω的最小值是
( )
A.
B.1
C.
D.2
【解析】选D.将函数f(x)=sin
ωx的图像向右平移个单位长度,得到的图像对应的函数解析式为f(x)=sin
ωx-=sin.因为函数的图像经过点,
所以sin=sin
=0,所以=kπ(k∈Z),即ω=2k(k∈Z),因为ω>0,所以ω的最小值为2.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设函数f(x)=4sin,若对任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值是 .?
【解析】由正弦曲线的图像可知,f(x1),f(x2)分别是函数f(x)=4sin的最小值、最大值,|x1-x2|的最小值就是相邻最小值、最大值横坐标之间的距离,等于函数的个周期,
故|x1-x2|的最小值=T=·=2.
答案:2
7.将函数y=sin的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为 .?
【解析】依据图像变换得函数g(x)=sin.
因为x∈,所以4x+∈,
所以当4x+=时,g(x)取最大值;
当4x+=时,g(x)取最小值-.
答案:,-
8.已知函数f(x)=Asinx+φ,x∈R,A>0,0<φ<,y=f(x)的部分图像,如图所示,P,Q分别为该图像的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).
则(1)f(x)的最小正周期为 ,φ的值为 .?
(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,则A的值为 .?
【解析】(1)T==6,
因为点P(1,A)为函数图像的最高点,
所以×1+φ=+2kπ,k∈Z,
所以φ=+2kπ,k∈Z.
又因为0<φ<,所以φ=.
(2)因为Q为函数图像的最低点,P(1,A),=3,
所以Q的坐标为(4,-A).
如图,过点Q作QS⊥OR,交x轴于点S,
则∠QRS=-=.
因为QS=A,RS=4-1=3,
所以tan∠QRS==.
所以tan
=,所以A=.
答案:(1)6 (2)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图像相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)设α∈(0,2π),f=2,求α的值.
【解析】(1)因为函数f(x)的最大值为3,
所以A+1=3,即A=2.
因为函数图像相邻两条对称轴之间的距离为,
所以最小正周期T=π,所以ω=2.
所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin+1.
(2)f=2sin+1=2,
即sin=.
因为0<α<2π,所以-<α-<,
所以α-=或α-=,
故α=或α=π.
10.已知函数f(x)=2sin
ωx,其中常数ω>0.
(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围.
(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图像,区间[a,b](a,b∈R且a【解析】(1)因为ω>0,根据题意有
?0<ω≤.
(2)f(x)=2sin
2x,g(x)=2sin+1
=2sin+1,
g(x)=0?sin=-?x=kπ-
或x=kπ-π,k∈Z,
即g(x)的零点相离间隔依次为和,
故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,
则b-a的最小值为14×+15×=.
设ω>0,函数y=sin+2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合,则ω的最小值是
( )
A.
B.
C.
D.3
【解析】选C.y=sin+2向右平移个单位长度,得y1=sin+2,
即y1=sin+2,
又函数y与y1的图像重合,则-ω=2kπ(k∈Z),
所以ω=-k(k∈Z).
又ω>0,k∈Z,所以当k=-1时,ω取得最小值.
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十三 三角函数的简单应用
(15分钟 30分)
1.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离S
cm和时间t
s的函数关系式为S=6sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为
( )
A.
s
B.
s
C.50
s
D.100
s
【解析】选A.由T==可得单摆来回摆动一次所需的时间为
s.
2.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分,上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)=50+4sin(其中0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分,t的单位是分,则下列哪个时间段内车流量是增加的
( )
A.[0,5]
B.[5,10]
C.[10,15]
D.[15,20]
【解析】选C.由-+2kπ≤≤+2kπ,k∈Z得-π+4kπ≤t≤π+4kπ,k∈Z,当k=1时,3π≤t≤5π.
3.如图,是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙的位置将移至
( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
【解析】选C.该题目考查了最值与周期间的关系;相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期.
4.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5
cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标有12的点B重合,将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d= ,其中t∈[0,60].?
【解析】将解析式可写为d=Asin(ωt+φ)的形式,由题意易知A=10,当t=0时,d=0,得φ=0;当t=30时,d=10,可得ω=,所以d=10sin
.
答案:10sin
5.如图所示,某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+
φ)+b.
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
【解析】(1)由题图可知,一天最大用电量为50万度,最小用电量为30万度.
(2)b==40,A×1+40=50?A=10,
由图可知,=14-8=6,则T=12,ω==,
则y=10sin+40,代入(8,30)及|φ|<,得φ=,
所以解析式为y=10sin+40,x∈[8,14].
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.如图所示,某风车的半径为2
m,每12
s旋转一周,它的最低点O距离地面
0.5
m.风车圆周上一点A从最低点O开始,运动t(s)后与地面的距离为h(m).则h与t满足的函数关系为
( )
A.h=sin+2.5
B.h=2sin+1.5
C.h=-2cost+2.5
D.h=2cost+2.5
【解析】选C.最大值M=4.5
m,最小值m=0.5
m,
所以A==2,b==2.5,因为T=12,
所以ω==,又风车从最低点开始运动,
所以×0+φ=2kπ+(k∈Z),不妨设φ=,
所以h与t满足的函数关系为h=2sin+2.5=-2cost+2.5.
2.夏季来临,人们应注意避暑.如图是夏季某一天从6时到14时的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+b,|φ|<π.则成都市这一天中午12时天气的温度大约是
( )
A.25
℃
B.26
℃
C.27
℃
D.28
℃
【解析】选C.由题意及函数的图像可知,
A+b=30,-A+b=10,
所以A=10,b=20,
因为=14-6,所以T=16,
因为T=,所以ω=,
所以y=10sin+20,
因为图像经过点(14,30),
所以30=10sin+20,
所以sin=1,
因为|φ|<π,所以φ=,
所以y=10sin+20,
当x=12时,y=10sin+20=10×+20≈27.
3.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响.某市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米面积的价格,单位为元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9
500(φ>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:
x
1
2
3
y
10
000
9
500
?
则此楼群在第三季度的平均单价大约是
( )
A.10
000元
B.9
500元
C.9
000元
D.8
500元
【解析】选C.由表格数据可知,
10
000=500sin(ω+φ)+9
500,
9
500=500sin(2ω+φ)+9
500,
所以sin(ω+φ)=1,sin(2ω+φ)=0;
ω+φ=2kπ+,2ω+φ=2kπ+π,k∈Z,
解得ω=,φ=2kπ,k∈Z,
所以x=3时,y=500sin+9
500
=9
000(元).
4.如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图像大致为
( )
【解题指南】先确定距离d关于时间t的函数关系式再确定图像.
【解析】选C.P从P0出发,逆时针运动,t=0时,d=,t与d满足关系式d=(t≥0).
5.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12
s旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的单调递增区间是
( )
A.[0,1]
B.[1,7]
C.[7,12]
D.[0,1]和[7,12]
【解析】选D.由已知可得该函数的最小正周期为T=12,则ω==,又当t=0时A的坐标为,所以此函数为y=sin,t∈[0,12].
可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12].
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28
℃,12月份的月平均气温最低,为18
℃,则10月份的平均气温值为
℃.?
【解析】依题意知,a==23,A==5,
所以y=23+5cos,
当x=10时,y=23+5cos=20.5.
答案:20.5
7.一根长l
cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3cos,其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1
s时,线长l等于 .?
【解析】因为周期T=,所以==2π,则l=.
答案:
cm
8.一种波的波形为函数y=-sin
x的图像,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图像的最高点),则正整数t的最小值是 .?
【解析】由T==4可知此波形的函数周期为4,显然当0≤x≤1时函数单调递减,1答案:7
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,一个水轮的半径为4
m,水轮圆心O距离水面2
m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间.
(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.
(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?
【解析】(1)如图所示建立直角坐标系,
设角φ是以Ox为始边,OP0为终边的角.
OP每秒钟内所转过的角为=.
则OP在时间t(s)内所转过的角为t.
由题意可知水轮逆时针转动,
得z=4sin+2.
当t=0时,z=0,得sin
φ=-,即φ=-.
故所求的函数为z=4sin+2.
(2)令z=4sin+2=6,
得sin=1,令t-=,得t=4,
故点P第一次到达最高点大约需要4
s.
10.在一个港口,相邻两次高潮发生时间相距12
h,低潮时水的深度为8.4
m,高潮时为16
m,一次高潮发生在10月10日4:00.每天涨潮落潮时,水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d=Asin(ωt+φ)+h(A>0,ω>0,|φ|<).
(1)若从10月10日0:00开始计算时间,求该港口的水深d(m)和时间t(h)满足的函数关系式;
(2)10月10日17:00时该港口水深约为多少?(保留一位小数)
(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3
m?
【解析】(1)依题意知T==12,
故ω=,h==12.2,A=16-12.2=3.8,
所以d=3.8sin+12.2.
又因为t=4时,d=16,所以sin=1,
因为|φ|<,所以φ=-,
所以d=3.8sin+12.2.
(2)t=17时d=3.8sin+12.2=3.8sin+12.2≈15.5(m).
即10月10日17:00时该港口水深约为15.5
m.
(3)令3.8sin+12.2<10.3,
有sin<-,因此2kπ+令k=0,得t∈(8,12);令k=1,得t∈(20,24).
故这一天该港口共有8小时水深低于10.3
m.
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