单元素养评价(三)
(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(2020·全国Ⅱ卷)(1-i)4=
( )
A.-4
B.4
C.-4i
D.4i
【解析】选A.(1-i)4===(-2i)2=-4.
2.复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是
( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
【解析】选A.因为z=i(i+1)=-1+i,所以=-1-i.
3.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选B.因为(2+ai)(a-2i)=-4i,
所以4a+(a2-4)i=-4i.
所以解得,a=0.
4.设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.===-1+i,由复数的几何意义知,-1+i在复平面内的对应点为(-1,1),该点位于第二象限.
5.已知复数z满足|z|=2,则|z+3-4i|的最小值是( )
A.5
B.2
C.7
D.3
【解析】选D.|z|=2表示复数z在以原点为圆心,以2为半径的圆上,而|z+3-4i|表示圆上的点到(-3,4)这一点的距离,故|z+3-4i|的最小值为-2=5-2=3.
6.复数=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a2-b2的值为
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
【解析】选A.==-i=a+bi,所以a=0,b=-1,所以a2-b2=0-1=-1.
7.已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是
( )
A.(-3,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-3)
【解析】选A.由题意知即-3
故实数m的取值范围为(-3,1).
8.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是,则等于
( )
A.-1-2i
B.-2+i
C.-1+2i
D.1+2i
【解析】选C.由题意可得=
==-1+2i.
【补偿训练】
已知复数z=-+i,则+|z|=
( )
A.--i
B.-+i
C.+i
D.-i
【解析】选D.因为z=-+i,所以+|z|
=--i+=-i.
9.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.m=1时,z1=3-2i=z2,故“m=1”是“z1=z2”的充分条件.由z1=z2,得m2+m+1=3,且m2+m-4=-2,解得m=-2或m=1,故“m=1”不是“z1=z2”的必要条件.
10.设z是复数,则下列命题中的假命题是
( )
A.若z2≥0,则z是实数
B.若z2<0,则z是虚数
C.若z是虚数,则z2≥0
D.若z是纯虚数,则z2<0
【解析】选C.设z=a+bi,a,b∈R?z2=a2-b2+2abi.
对于选项A:若z2≥0,则b=0?z为实数,所以z为实数正确.对于选项B:若z2<0,则a=0,且b≠0?z为纯虚数,所以z为虚数正确.对于选项C:若z为虚数,则z2不一定为实数,所以z2≥0错误.
对于选项D:若z为纯虚数,则a=0,且b≠0?z2<0,所以z2<0正确.
11.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则
( )
A.b=2,c=3
B.b=-2,c=3
C.b=-2,c=-1
D.b=2,c=-1
【解析】选B.由题意可得(1+i)2+b(1+i)+c=0?-1+b+c+(2+b)i=0,
所以?
12.已知复数z=(x-2)+yi(x,y∈R)在复平面内对应的向量的模为,则的最大值是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为|(x-2)+yi|=,所以(x-2)2+y2=3,所以点(x,y)在以C(2,0)为圆心,以为半径的圆上,如图,由平面几何知识知,-≤≤.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·+z=________.?
【解析】因为z=1-2i,所以z·=|z|2=5,
所以z·+z=6-2i.
答案:6-2i
14.设z2=z1-(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为________.?
【解析】设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1-=a+bi-i(a-bi)=(a-b)-(a-b)i,因为z2的实部是-1,即a-b=-1,所以z2的虚部为1.
答案:1
15.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=________.?
【解析】设m=bi(b∈R,且b≠0),方程的实根为x0,则+(2-i)x0+(2bi-4)i=0,
即(+2x0-2b)-(x0+4)i=0,
即解得x0=-4,b=4.故m=4i.
答案:4i
16.已知复数z=a+bi(a,b∈R)且+=,则复数z在复平面对应的点位于第________象限.?
【解析】因为a,b∈R且+=,
即+=,
所以5a+5ai+2b+4bi=15-5i,
即解得
所以z=7-10i.
所以z对应的点位于第四象限.
答案:四
三、解答题(共70分)
17.(10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,求B点对应的复数.
【解析】因为向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,所以表示的复数是(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+对应的复数为(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为5-2i.
18.(12分)已知复数z1=i(1-i)3,
(1)求|z1|.
(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.
【解析】(1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)=2(1-i),
所以|z1|==2.
(2)|z|=1,所以设z=cos
θ+isin
θ,
|z-z1|=|cos
θ+isin
θ-2+2i|
=
=.
当sin=1时,|z-z1|取得最大值,从而得到|z-z1|的最大值为2+1.
【一题多解】本题还可用下面的方法求解:|z|=1,
可把复数z在复平面内对应点的轨迹看成半径为1,圆心为(0,0)的圆,而z1对应坐标系中的点(2,-2).所以|z-z1|的最大值可以看成点(2,-2)到圆上的点的最大距离,
由图可知:|z-z1|max=2+1.
19.(12分)已知z=1+i,a,b为实数.
(1)若ω=z2+3-4,求|ω|;
(2)若=1-i,求a,b的值.
【解析】(1)因为ω=z2+3-4=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i,
所以|ω|==.
(2)由条件=1-i,
得=1-i,
即=1-i.
所以(a+b)+(a+2)i=1+i,
所以解得
20.(12分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中i为虚数单位,a∈R,若|z1-|<|z1|,求a的取值范围.
【解析】因为z1==2+3i,z2=a-2-i,=a-2+i,
所以|z1-|=|(2+3i)-(a-2+i)|=|4-a+2i|
=,又因为|z1|=,|z1-|<|z1|,
所以<,所以a2-8a+7<0,
解得121.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z.
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以=1.当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),所以=1.
22.(12分)已知z=m+3+3i,其中m∈C,且为纯虚数,
(1)求m对应的点的轨迹;
(2)求|z|的最大值、最小值.
【解析】(1)设m=x+yi(x,y∈R),则==,
因为为纯虚数,所以
即
所以m对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆,除去(-3,0),(3,0)两点.
(2)由(1)知|m|=3,由已知m=z-(3+3i),
所以|z-(3+3i)|=3.
所以z所对应的点Z在以(3,3)为圆心,以3为半径的圆上.所以|z|的最大值为|3+3i|+3=9;
最小值为|3+3i|-3=3.
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(第三章)
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.(2020·全国Ⅱ卷)(1-i)4=
( )
A.-4
B.4
C.-4i
D.4i
2.复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是
( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
3.若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
4.设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5.已知复数z满足|z|=2,则|z+3-4i|的最小值是( )
A.5
B.2
C.7
D.3
6.复数=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a2-b2的值为
( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
7.已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是
( )
A.(-3,1)
B.(-1,3)
C.(1,+∞)
D.(-∞,-3)
8.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是,则等于
( )
A.-1-2i
B.-2+i
C.-1+2i
D.1+2i
【补偿训练】
已知复数z=-+i,则+|z|=
( )
A.--i
B.-+i
C.+i
D.-i
9.z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i,则“m=1”是“z1=z2”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.设z是复数,则下列命题中的假命题是
( )
A.若z2≥0,则z是实数
B.若z2<0,则z是虚数
C.若z是虚数,则z2≥0
D.若z是纯虚数,则z2<0
11.若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根,则
( )
A.b=2,c=3
B.b=-2,c=3
C.b=-2,c=-1
D.b=2,c=-1
12.已知复数z=(x-2)+yi(x,y∈R)在复平面内对应的向量的模为,则的最大值是
( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·+z=________.?
14.设z2=z1-(其中表示z1的共轭复数),已知z2的实部是-1,则z2的虚部为________.?
15.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=________.?
16.已知复数z=a+bi(a,b∈R)且+=,则复数z在复平面对应的点位于第________象限.?
三、解答题(共70分)
17.(10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,求B点对应的复数.
18.(12分)已知复数z1=i(1-i)3,
(1)求|z1|.
(2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.
19.(12分)已知z=1+i,a,b为实数.
(1)若ω=z2+3-4,求|ω|;
(2)若=1-i,求a,b的值.
20.(12分)已知复数z1满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中i为虚数单位,a∈R,若|z1-|<|z1|,求a的取值范围.
21.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z.
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
22.(12分)已知z=m+3+3i,其中m∈C,且为纯虚数,
(1)求m对应的点的轨迹;
(2)求|z|的最大值、最小值.
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