单元素养评价(一)
(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知函数y=f(x)=x2+1,则当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为
( )
A.0.40
.0.41
.0.43
.0.44
【解析】选B.因为x=2,Δx=0.1,
所以Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.
2.已知函数f(x)=g(x)+2x且曲线y=g(x)在x=1处的切线为y=2x+1,则曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为
( )
A.2
B.4
.6
.8
【解析】选B.因为曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以g′(1)=2.因为函数f(x)=g(x)+2x,所以f′(x)=g′(x)+2,所以f′(1)=
g′(1)+2,所以f′(1)=2+2=4,即曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为4.
3.若f(x)=sin
α-cos
x,则f′(x)等于
( )
A.cos
α+sin
x
B.2sin
α+cos
x
C.sin
x
D.cos
x
【解析】选C.函数是关于x的函数,因此sin
α是一个常数.
4.函数f(x)=的部分大致图象为
( )
【解析】选A.因为f(-x)===f(x),所以函数f(x)为偶函数,故排除B、D;当x>0时,f(x)=,所以f′(x)==≥0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f′(1)=0,x=1处切线与x轴平行,故排除C.
5.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.f′(x)=x2+a,当a≥0时,f′(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
6.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a=
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+3,由条件知,x=-3是方程f′(x)=0的实数根,所以a=5.
7.曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为
( )
A.y=3x-4
B.y=-3x+2
C.y=-4x+3
D.y=4x-5
【解析】选B.因为点(1,-1)在曲线上,y′=3x2-6x,所以y′|x=1=-3,即切线斜率为-3.所以利用点斜式得,切线方程为y+1=-3(x-1),即y=-3x+2.
8.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是
( )
【解析】选D.观察导函数f′(x)的图象可知,f′(x)的函数值从左到右依次为小于0,大于0,小于0,大于0,所以对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增.观察选项可知,排除A,C.如题干图所示,f′(x)有3个零点,从左到右依次设为x1,x2,x3,且x1,x3是极小值点,x2是极大值点,且x2>0.
9.一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)所做的功为
( )
A.44
J
B.46
J
C.48
J
D.50
J
【解析】选B.W=F(x)dx=10dx+(3x+4)dx
=10x+=46(J).
10.函数f(x)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是
( )
A.1
B.
C.0
D.-1
【解析】选A.f′(x)=3-12x2,令f′(x)=0,则x=-(舍去)或x=,f(0)=0,f(1)=-1,f=-=1,所以f(x)在[0,1]上的最大值为1.
【拓展延伸】本题结合函数极值的求法,用待定系数法求出函数的解析式,再根据导数的正负确定函数的单调区间.在求最值时切记不要简单地在极值中找出最值作为结果,一定要考虑函数在区间端点处取得的函数的大小.本题主要体现了化归思想的应用.
11.定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)>.则满足2f(x)
( )
A.{x|-1B.{x|x<1}
C.{x|x<-1或x>1}
D.{x|x>1}
【解析】选B.令g(x)=2f(x)-x-1,因为f′(x)>,所以g′(x)=2f′(x)-1>0,所以g(x)为单调增函数,因为f(1)=1,所以g(1)=2f(1)-1-1=0,所以当x<1时,
g(x)<0,即2f(x)12.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=
( )
A.- B. C. D.1
【解析】选C.f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)
=(x-1)2+a[ex-1+e-(x-1)]-1,令t=x-1,
则g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.
因为g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t),
所以函数g(t)为偶函数.因为f(x)有唯一零点,
所以g(t)也有唯一零点.又g(t)为偶函数,由偶函数的性质知g(0)=0,所以2a-1=0,解得a=.
【一题多解】f(x)=0?a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x.ex-1+e-x+1≥2=2,当且仅当x=1时取“=”.-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,当且仅当x=1时取“=”.若a>0,则a(ex-1+e-x+1)≥2a,要使f(x)有唯一零点,则必有2a=1,即a=.若a≤0,
则f(x)的零点不唯一.
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.从空中自由下落的物体,在第一秒时刻恰经过电视塔顶,在第二秒时刻物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数),则电视塔高为________.?
【解析】h=gtdt=gt2=g.
答案:g
14.已知曲线f(x)=ex+x2,则曲线在(0,f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________.?
【解析】由题意,得f′(x)=ex+2x,所以f′(0)=1.又f(0)=1,所以曲线在(0,f(0))处的切线方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0,所以该切线与x,y轴的交点分别为(-1,0),(0,1),所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为×1×1=.
答案:
15.物体按规律x=4t2(单位:m)做直线运动,设介质的阻力与速度的大小成正比,且速度的大小为10
m/s时,阻力为2
N,则物体从x=0到x=4,阻力所做的功的大小为________.?
【解析】v=(4t2)′=8t=4(m/s),F(x)=kv=4k(N),当v=10时,F(x)=2,所以k=.所以F(x)=(N).阻力所做的功的大小为W=dx==(J).
答案:
J
16.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,给出关于f(x)的下列命题:
x
-1
0
2
4
5
f(x)
1
2
0
2
1
①函数y=f(x)在x=2取到极小值;
②函数f(x)在[0,1]是减函数,在[1,2]是增函数;
③当1④如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最小值为0.
其中所有正确命题是________(写出正确命题的序号).?
【解析】由图象可知当-10,此时函数单调递增,当0②函数在[0,2]上单调递减,所以②错误.
③因为x=0或x=4时,函数取得极大值,当x=2时,函数取得极小值.所以f(0)=2,f(4)=2,f(2)=0,因为f(-1)=f(5)=1,所以由函数图象可知当1④因为函数在[-1,0]上单调递增,且函数的最大值为2,所以要使当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,则t≥0即可,所以t的最小值为0,所以④正确.
答案:①③④
三、解答题(共70分)
17.(10分)已知f′(x)是一次函数,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.求f(x)的解析式.
【解析】由f′(x)为一次函数,知f(x)为二次函数.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b.把f(x),f′(x)代入方程x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1,得x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,即(a-b)x2+(b-2c)x+c-1=0.要使方程对任意x恒成立,则需有a=b,b=2c,c-1=0,解得a=2,b=2,c=1,故f(x)=2x2+2x+1.
18.(12分)设函数f(x)=ln
x+ln(2-x)+ax(a>0),若f(x)在(0,1]上的最大值为,求a的值.
【解析】函数f(x)的定义域为(0,2),f
′(x)=-+a,当x∈(0,1]时,
f
′(x)=+a>0,即f(x)在(0,1]上单调递增,故f(x)在(0,1]上的最大值
为f(1)=a,因此a=.
19.(12分)已知函数f(x)=x2+ax-aln
x.
(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+3y-2=0垂直,求实数a的值;
(2)若函数f(x)在[2,3]上单调递增,求实数a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=2x+a-=(x>0),
f′(2)==3,所以a=-2.
(2)依题意有2x2+ax-a≥0在x∈[2,3]上恒成立,即a≥在[2,3]上恒成立,
因为′=≤0(x∈[2,3]),
所以y=在[2,3]上单调递减,
所以当x∈[2,3]时,=-8,
所以a的取值范围为[-8,+∞).
【补偿训练】
设f(x)=a(x-5)2+6ln
x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
【解析】(1)因为f(x)=a(x-5)2+6ln
x,
所以f′(x)=2a(x-5)+,
令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.
(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6ln
x(x>0),f′(x)=x-5+=.
令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3,
当03时,f′(x)>0,故f(x)的单调递增区间为(0,2),(3,+∞);
当22,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln
3.
20.(12分)设函数f(x)=ex-e-x.
(1)证明:f(x)的导数f′(x)≥2.
(2)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=ex+e-x,由基本不等式得ex+e-x≥2=2,故f′(x)≥2,当且仅当x=0时等号成立.
(2)令g(x)=f(x)-ax=ex-e-x-ax(x≥0),
则g(0)=0,g′(x)=ex+e-x-a.
若对?x≥0,都有g(x)≥0,则需g′(0)=2-a≥0,得a≤2(a≤2是g(x)≥0(x≥0)恒成立的必要条件).当a≤2时,g′(x)=ex+e-x-a≥2-a≥0,因此函数g(x)在区间[0,+∞)上单调递增,故g(x)≥g(0)=0(x≥0)恒成立.
所以a的取值范围是(-∞,2].
21.(12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2sin
x-xcos
x-x,f′(x)为f(x)的导数.
(1)证明:f′(x)在区间(0,π)上存在唯一零点.
(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
【解析】(1)设g(x)=f′(x),
则g(x)=cos
x+xsin
x-1,g′(x)=xcos
x.
当x∈时,g′(x)>0;当x∈时,
g′(x)<0,所以g(x)在上单调递增,
在上单调递减.
又g(0)=0,g>0,g(π)=-2,
故g(x)在(0,π)上存在唯一零点.
所以f′(x)在(0,π)上存在唯一零点.
(2)由(1)知,f′(x)在(0,π)上只有一个零点,
设为x0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)>0;
当x∈(x0,π)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,
在(x0,π)上单调递减.
又f(0)=0,f(π)=0,所以当x∈[0,π]时,f(x)≥0.
所以ax≤0恒成立,又因为x∈[0,π],所以a≤0.
因此,a的取值范围是(-∞,0].
22.(12分)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系:
P=(其中c为小于6的正常数)(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)
已知每生产1万件合格的仪器可盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数.
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
【解析】(1)当x>c时,P=,所以T=x·2-x·1=0.当1≤x≤c时,P=,所以T=(1-)·x·2-()·x·1=.
综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为:
T=
(2)由(1)知,当x>c时,每天的盈利额为0,
当1≤x≤c时,
T′==,
令T′=0,解得x=3或x=9.因为1≤x≤c,c<6,
所以(ⅰ)当3≤c<6时,Tmax=3,此时x=3.
(ⅱ)当1≤c<3时,由T′=,知函数T=在[1,3)上递增,所以Tmax=,此时x=c.综上,若3≤c<6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润;若1≤c<3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.
PAGE单元素养评价(一)
(第一章)
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知函数y=f(x)=x2+1,则当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为
( )
A.0.40
.0.41
.0.43
.0.44
2.已知函数f(x)=g(x)+2x且曲线y=g(x)在x=1处的切线为y=2x+1,则曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为
( )
A.2
B.4
.6
.8
3.若f(x)=sin
α-cos
x,则f′(x)等于
( )
A.cos
α+sin
x
B.2sin
α+cos
x
C.sin
x
D.cos
x
4.函数f(x)=的部分大致图象为
( )
5.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a=
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
7.曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为
( )
A.y=3x-4
B.y=-3x+2
C.y=-4x+3
D.y=4x-5
8.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是
( )
9.一物体在力F(x)=(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)所做的功为
( )
A.44
J
B.46
J
C.48
J
D.50
J
10.函数f(x)=3x-4x3(x∈[0,1])的最大值是
( )
A.1
B.
C.0
D.-1
11.定义域为R的函数f(x)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)>.则满足2f(x)( )
A.{x|-1B.{x|x<1}
C.{x|x<-1或x>1}
D.{x|x>1}
12.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=
( )
A.- B. C. D.1
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.从空中自由下落的物体,在第一秒时刻恰经过电视塔顶,在第二秒时刻物体落地,已知自由落体的运动速度为v=gt(g为常数),则电视塔高为________.?
14.已知曲线f(x)=ex+x2,则曲线在(0,f(0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为________.?
15.物体按规律x=4t2(单位:m)做直线运动,设介质的阻力与速度的大小成正比,且速度的大小为10
m/s时,阻力为2
N,则物体从x=0到x=4,阻力所做的功的大小为________.?
16.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,给出关于f(x)的下列命题:
x
-1
0
2
4
5
f(x)
1
2
0
2
1
①函数y=f(x)在x=2取到极小值;
②函数f(x)在[0,1]是减函数,在[1,2]是增函数;
③当1④如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最小值为0.
其中所有正确命题是________(写出正确命题的序号).?
三、解答题(共70分)
17.(10分)已知f′(x)是一次函数,x2f′(x)-(2x-1)f(x)=1.求f(x)的解析式.
18.(12分)设函数f(x)=ln
x+ln(2-x)+ax(a>0),若f(x)在(0,1]上的最大值为,求a的值.
19.(12分)已知函数f(x)=x2+ax-aln
x.
(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+3y-2=0垂直,求实数a的值;
(2)若函数f(x)在[2,3]上单调递增,求实数a的取值范围.
【补偿训练】
设f(x)=a(x-5)2+6ln
x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
20.(12分)设函数f(x)=ex-e-x.
(1)证明:f(x)的导数f′(x)≥2.
(2)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.
21.(12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2sin
x-xcos
x-x,f′(x)为f(x)的导数.
(1)证明:f′(x)在区间(0,π)上存在唯一零点.
(2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围.
22.(12分)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系:
P=(其中c为小于6的正常数)(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)
已知每生产1万件合格的仪器可盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数.
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
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