模块素养评价
(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知i是虚数单位,则复数的虚部为
( )
A.-i
B.-1
C.1
D.i
【解析】选C.复数==-1+i,故复数的虚部为1.
2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z=
( )
A.3+5i
B.3-5i
C.-3+5i
D.-3-5i
【解析】选A.由z(2-i)=11+7i得,
z====3+5i.
3.曲线y=1-在点(-1,-1)处的切线方程为
( )
A.y=2x+1
B.y=2x-1
C.y=-2x-3
D.y=-2x-2
【解析】选A.因为y=1-=,
所以y′==,y′|x=-1=2,
所以曲线在点(-1,-1)处的切线斜率为2,
所以所求切线方程为y+1=2(x+1),即y=2x+1.
4.演绎推理“因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=lox是对数函数,所以y=lox是增函数”所得结论错误的原因是
( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.大前提和小前提都错误
【解析】选A.因为当a>1时,函数y=logax(a>0且a≠1)是一个增函数,当0
所以y=logax(a>0且a≠1)是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错误.
5.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+>2时,若已假设n=k(k≥2,且k为偶数)时等式成立,则还需利用假设再证( )
A.n=k+1时不等式成立
B.n=k+2时不等式成立
C.n=2k+2时不等式成立
D.n=2(k+2)时不等式成立
【解析】选B.由于k是偶数,所以k+2是k后面的第一个偶数.
6.已知点列:P1(1,1),P2(1,2),P3(2,1),P4(1,3),P5(2,2),P6(3,1),P7(1,4),
P8(2,3),P9(3,2),P10(4,1),P11(1,5),P12(2,4),…,则P60的坐标为
( )
A.(3,8) B.(4,7) C.(4,8) D.(5,7)
【解析】选D.横纵坐标之和为2的有1个,横纵坐标之和为3的有2个,横纵坐标之和为4的有3个,横纵坐标之和为5的有4个.因此横纵坐标之和为2,3,…,11的点共有1+2+3+…+10=55个,横纵坐标之和为12的有11个.因此P60为横纵坐标之和为12的第5个点,即为(5,7).
7.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是
( )
A.(-∞,-2]
B.
C.[-2,3]
D.
【解析】选D.由题图可知d=0.不妨取a=1,因为f(x)=x3+bx2+cx,所以f′(x)
=3x2+2bx+c.由图可知f′(-2)=0,f′(3)=0,所以12-4b+c=0,27+6b+c=0,所以b=-,c=-18.所以y=x2-x-6,y′=2x-.当x>时,y′>0,所以y=x2-x-6的单调递增区间为.
8.下面为函数y=xsinx+cosx的递增区间的是
( )
A.
B.(π,2π)
C.
D.(2π,3π)
【解析】选C.y′=sinx+xcosx-sinx=xcosx,当x>0时,由y′>0得xcosx>0,即cosx>0.
【补偿训练】
设函数f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)的递增区间为
( )
A.(0,+∞)
B.(-1,0),(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(0,1)
【解析】选C.因为f(x)=x2-2x-4lnx,x>0,所以f′(x)=2x-2-.令f′(x)
=2x-2->0(x>0),解得x>2,所以函数f(x)=x2-2x-4lnx的递增区间是(2,+∞).
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,圆x2+y2=r2(r>0)内切于正方形ABCD,任取圆上一点P,若=m+n(m,n∈R),则是m2,n2的等差中项.现有一椭圆+
=1(a>b>0)内切于矩形ABCD,任取椭圆上一点P,若=m+n(m,n∈R),则m2,n2的等差中项为
( )
A.
B.
C.
D.1
【解析】选A.如图,设P(x,y),由+=1知A(a,b),B(-a,b),由=m+n,
可得代入+=1可得(m-n)2+(m+n)2=1,即m2+n2=,所以=,即m2,n2的等差中项为.
10.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=,类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为R,四面体S-ABC的体积为V,则R=
( )
A.
B.
C.
D.
【解题指导】根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线类比直线或平面,由内切圆类比内切球,由平面图形面积类比立体图形的体积,结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可.
【解析】选C.设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都是R,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和.
则四面体的体积为V=(S1+S2+S3+S4)R,
所以R=.
11.已知函数f(x)=x3-ax在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞)
B.[3,+∞)
C.(-∞,1]
D.(-∞,3]
【解析】选B.因为f(x)=x3-ax,所以f′(x)=3x2-a.
又f(x)在(-1,1)上单调递减,所以3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,所以a≥3.
12.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf′(x)<2恒成立,则使x2f(x)-f(1)( )
A.{x|x≠±1}
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,1)
D.(-1,0)∪(0,1)
【解析】选B.构造函数g(x)=x2f(x)-x2,x∈R,则g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)
-2x=x[2f(x)+xf′(x)-2].由题意得2f(x)+xf′(x)-2<0恒成立,故当x<0时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当x>0时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.因为x2f(x)-f(1)0时,解得x>1;当x<0时,因为f(x)是偶函数,所以g(x)是偶函数,同理解得x<-1.故实数x的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是________.?
【解析】因为z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,所以|z|==.
答案:
14.若曲线y=上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标为________.?
【解析】设P(x0,y0),因为y=e-x,所以y′=-e-x,
所以点P处的切线斜率为k=-=-2,
所以-x0=ln
2,所以x0=-ln
2,所以y0=eln
2=2,
所以点P的坐标为(-ln
2,2).
答案:(-ln
2,2)
15.观察下图中各正方形图案,每条边上有n(n≥2)个点,第n个图案中圆点的总数是Sn.
n=2,S2=4;n=3,S3=8;n=4,S4=12;….按此规律,推出Sn与n的关系式为________.?
【解析】由题意可得:
S2=2×4-4,
S3=3×4-4,
S4=4×4-4(正方形四个顶点重复计算一次,应减去).
…
猜想:Sn=4n-4(n≥2,n∈N
).
答案:Sn=4n-4(n≥2,n∈N
)
16.定义“正对数”:ln+x=现有四个命题:
①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;
②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;
③若a>0,b>0,则ln+()≥ln+a-ln+b;
④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.
其中的真命题有:________.(写出所有真命题的编号)?
【解题指南】本题为新定义问题,要注意新定义的函数的特点,根据新定义解决问题.
【解析】①当a≥1,b>0时,ab≥1,ln+(ab)=lnab=blna,bln+a=blna,
所以ln+(ab)=bln+a成立.当00时,0即ln+(ab)=bln+a成立.综上ln+(ab)=bln+a恒成立.②当a=e,b=时,
ln+(ab)=ln1=0,ln+a=lne=1,ln+b=0,所以ln+(ab)=ln+a+ln+b不成立.③讨论a,b的取值,可知正确.④讨论a,b的取值,可知正确.所以正确的命题为①③④.
答案:①③④
三、解答题(共70分)
17.(10分)(1)计算+;
(2)复数z=x+yi(x,y∈R)满足z+2=3+i,求复数z.
【解析】(1)原式=+
=i+=i+=+i.
(2)(x+yi)+2i(x-yi)=3+i,即(x+2y)+(2x+y)i=3+i,即解得所以z=-+i.
18.(12分)设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10,求证:logac+logbc≥4lg
c.
【证明】方法一:因为ab=10,所以lg
a+lg
b=lg
ab=1,
则logac+logbc=+==.
因为a>1,b>1,所以lg
a>0,lg
b>0,
则lg
a·lg
b≤=,≥4,
又c>1,lg
c>0.所以≥4lg
c,
即logac+logbc≥4lg
c.
方法二:要证logac+logbc≥4lg
c,
只需证+≥4lg
c.又因为c>1,所以lg
c>0,
故只需证+≥4,即证≥4.
又因为ab=10,所以lg
a+lg
b=lg(ab)=1,
故只需证≥4.又因为lg
a>0,lg
b>0,
所以0a·lg
b≤==,
则≥4成立.所以原不等式成立,
即logac+logbc≥4lg
c.
19.(12分)已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.求证:a>0,b>0,c>0.
【证明】假设a,b,c不都是正数,
由abc>0可知,
这三个数中必有两个为负数,一个为正数,
不妨设a<0,b<0,c>0,
则由a+b+c>0,
可得c>-(a+b).
又a+b<0,所以c(a+b)<-(a+b)(a+b),
ab+c(a+b)<-(a+b)(a+b)+ab,
即ab+bc+ca<-a2-ab-b2,
因为a2>0,ab>0,b2>0,
所以-a2-ab-b2=-(a2+ab+b2)<0,
即ab+bc+ca<0,这与已知ab+bc+ca>0矛盾,
所以假设不成立.因此a>0,b>0,c>0成立.
20.(12分)已知函数f(x)=-x3+ax2+b,其中a,b∈R.
(1)若函数f(x)在(0,2)上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)当x∈(0,1]时,y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,且0≤θ≤,求a的取值范围.
【解析】(1)f′(x)=-3x2+2ax,要使f(x)在(0,2)上单调递增,则f′(x)≥0在(0,2)上恒成立,
因为f′(x)是开口向下的抛物线,
所以所以a≥3.
(2)因为0≤θ≤,所以tan
θ=-3x2+2ax∈[0,1].
据题意0≤-3x2+2ax≤1在(0,1]上恒成立,
由-3x2+2ax≥0,得a≥x,a≥,由-3x2+2ax≤1,得a≤x+.又x+≥(当且仅当x=时取“=”),所以a≤.
综上,a的取值范围是.
21.(12分)已知函数f(x)=ln(x+1)+(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程.
(2)讨论函数f(x)的极值.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=ln(x+1)+,
所以f′(x)=+=,
所以f′(0)=2.又f(0)=0,所以函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.
(2)f′(x)=+=(x>-1).
令x+1+a=0,得x=-a-1.
若-a-1≤-1,即a≥0,则f′(x)>0恒成立,
此时f(x)无极值.若-a-1>-1即a<0,
则当-1-a-1时,
f′(x)>0,此时f(x)在x=-a-1处取得极小值,
极小值为ln(-a)+a+1.
22.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,Sn+=an-2(n≥2,n∈N
).
(1)求S2,S3,S4的值.
(2)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明.
【解题指南】(1)S1=a1,由S2+=a2-2=S2-a1-2求得S2,同理求得S3,S4.
(2)猜想Sn=-,n∈N
,用数学归纳法证明:检验n=1时,猜想成立;假设Sk=-,则当n=k+1时,由条件可得,Sk+1+=Sk+1-Sk-2,解出Sk+1=-,故n=k+1时,猜想仍然成立.
【解析】(1)S1=a1=-,
因为Sn+=an-2(n≥2,n∈N
),
令n=2可得S2+=a2-2=S2-a1-2,
所以=-2,所以S2=-.
同理可求得S3=-,S4=-.
(2)猜想Sn=-,n∈N
,下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,S1=a1=-,猜想成立;
②假设当n=k时猜想成立,即Sk=-,
则当n=k+1时,因为Sn+=an-2,
所以Sk+1+=ak+1-2,
所以Sk+1+=Sk+1-Sk-2,
所以=-2=,
所以Sk+1=-=-,
所以当n=k+1时,猜想仍然成立.
综合①②可得,猜想对任意正整数n都成立,
即Sn=-,n∈N
成立.
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(120分钟 150分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知i是虚数单位,则复数的虚部为
( )
A.-i
B.-1
C.1
D.i
2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z=
( )
A.3+5i
B.3-5i
C.-3+5i
D.-3-5i
3.曲线y=1-在点(-1,-1)处的切线方程为
( )
A.y=2x+1
B.y=2x-1
C.y=-2x-3
D.y=-2x-2
4.演绎推理“因为对数函数y=logax(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=lox是对数函数,所以y=lox是增函数”所得结论错误的原因是
( )
A.大前提错误
B.小前提错误
C.推理形式错误
D.大前提和小前提都错误
5.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1-+-+…+>2时,若已假设n=k(k≥2,且k为偶数)时等式成立,则还需利用假设再证( )
A.n=k+1时不等式成立
B.n=k+2时不等式成立
C.n=2k+2时不等式成立
D.n=2(k+2)时不等式成立
6.已知点列:P1(1,1),P2(1,2),P3(2,1),P4(1,3),P5(2,2),P6(3,1),P7(1,4),
P8(2,3),P9(3,2),P10(4,1),P11(1,5),P12(2,4),…,则P60的坐标为
( )
A.(3,8) B.(4,7) C.(4,8) D.(5,7)
7.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图,则函数y=ax2+bx+的单调递增区间是
( )
A.(-∞,-2]
B.
C.[-2,3]
D.
8.下面为函数y=xsinx+cosx的递增区间的是
( )
A.
B.(π,2π)
C.
D.(2π,3π)
【补偿训练】
设函数f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)的递增区间为
( )
A.(0,+∞)
B.(-1,0),(2,+∞)
C.(2,+∞)
D.(0,1)
9.如图,在平面直角坐标系xOy中,圆x2+y2=r2(r>0)内切于正方形ABCD,任取圆上一点P,若=m+n(m,n∈R),则是m2,n2的等差中项.现有一椭圆+
=1(a>b>0)内切于矩形ABCD,任取椭圆上一点P,若=m+n(m,n∈R),则m2,n2的等差中项为
( )
A.
B.
C.
D.1
10.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=,类比这个结论可知:四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为R,四面体S-ABC的体积为V,则R=
( )
A.
B.
C.
D.
11.已知函数f(x)=x3-ax在(-1,1)上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞)
B.[3,+∞)
C.(-∞,1]
D.(-∞,3]
12.定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x),若对任意的实数x,都有2f(x)+xf′(x)<2恒成立,则使x2f(x)-f(1)( )
A.{x|x≠±1}
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,1)
D.(-1,0)∪(0,1)
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是________.?
14.若曲线y=上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标为________.?
15.观察下图中各正方形图案,每条边上有n(n≥2)个点,第n个图案中圆点的总数是Sn.
n=2,S2=4;n=3,S3=8;n=4,S4=12;….按此规律,推出Sn与n的关系式为________.?
16.定义“正对数”:ln+x=现有四个命题:
①若a>0,b>0,则ln+(ab)=bln+a;
②若a>0,b>0,则ln+(ab)=ln+a+ln+b;
③若a>0,b>0,则ln+()≥ln+a-ln+b;
④若a>0,b>0,则ln+(a+b)≤ln+a+ln+b+ln2.
其中的真命题有:________.(写出所有真命题的编号)?
三、解答题(共70分)
17.(10分)(1)计算+;
(2)复数z=x+yi(x,y∈R)满足z+2=3+i,求复数z.
18.(12分)设a,b,c均为大于1的正数,且ab=10,求证:logac+logbc≥4lg
c.
19.(12分)已知:a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.求证:a>0,b>0,c>0.
20.(12分)已知函数f(x)=-x3+ax2+b,其中a,b∈R.
(1)若函数f(x)在(0,2)上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)当x∈(0,1]时,y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,且0≤θ≤,求a的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)=ln(x+1)+(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程.
(2)讨论函数f(x)的极值.
22.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,Sn+=an-2(n≥2,n∈N
).
(1)求S2,S3,S4的值.
(2)猜想Sn的表达式,并用数学归纳法加以证明.
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