浅谈中考复习中的试卷讲评

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浅谈中考复习中的试卷讲评
试卷讲评后很多教师：
上课累，效果差；
中考结束后不少教师：
今年中考复习又是徒劳的。
缘起：
试卷讲评课是中考复习时的一种重要课型，其根本目的是纠正错误、分析得失，巩固提高，培养能力。但是，当前的试卷讲评课教学中普遍存在机械地采用逐题对答案、改正错误、就题论题、面面俱到的几种误区。
反思：
核对答案：这种只核对答案而不进行讲评的形式，使相当一部分学生对一些选择题、判断题、应用题、综合题等根本无法知道为什么是这个答案，更谈不上对讲评内容的巩固、强化，以及学习能力的提高。 逐题评讲：一些教师从试卷的第一题开始，一讲到底，题题不放过，这样讲一张试卷往往要花上两三课时才能讲评完。这样，既浪费学生有限的时间，也容易使学生产生厌烦心理，收益甚微。 重点讲评：对多数学生做对的试题不讲评，错误较多的试题采取重点讲评。这种做法是目前多数老师采用的做法，虽比前两种好，但仍然是教师讲、学生听，形式单一，就题论题。学生的收获只会解一道题(也要打个问号），不能旁通一类题，未能很好地体现学生的主体性和能动性及教师的主导作用。
主持并执笔课题《提高数学复习课中试卷讲评有效性的实践研究》被立项为绍兴市中小学“让教学更有效”学科教改项目
撰写的教学论文《浅谈中考复习中的试卷讲评》获绍兴市教学论文评比一等奖
撰写的“绍兴市教学改进主题报告”《浅谈中考复习中的试卷讲评》列入第八批绍兴市级备讲目录。
实践：
一、课前准备
前期备课工作包括两项：数据统计和习题选取
二、课堂讲评
包括成败得失、典型错误、一题多变、一题多解、奇思妙解、思想方法、一类问题、反思收获。
三、几点思考
1. 试卷讲评前让学生自己先订正分析 . 2. 注意讲评顺序 . 3. “学生是数学学习的主人”
提 纲
一、课前准备
1、数据统计
2、习题选取
讲评之前应做好有关数据统计，包括测验成绩的各项统计以及各题得分率。统计最高分、平均分，以便让学生了解自己本次考试中在班级里的大致位置；统计哪些是“多发病”，哪些优生在哪类中高档题中失分较多，哪些同学显著进步；哪些基础题不能出错，哪几题属于“群体困难题”等。只有充分掌握数据才能对学生整体情况有针对性的点评。
1、数据统计
讲评题目的选取也要充分细致。掌握各题得分率后，挑选得分率较低的题目，首先分析学生错误的根源，做题的心理过程。比如一些老师已经预见学生会错，平时也已经反复强调，但学生还是错的题目。
2、习题选取
这有两种可能：一是粗心大意，这往往是因为基础知识不扎实造成的，这种问题通常学生拿到试卷自己思考一下就已经有所领悟，老师不需在知识层面上罗嗦解释，主要是站在学生的角度从学生的解题心理层面上进行适当的分析；二是“假理解”，一些灵活性较强的问题经老师讲解，好像懂了，但恐怕今后遇到同样的问题还不会做或出现错误。要克服“一听就会，一做就错”的局面，使学生真正理解和掌握，让学生多自悟和讨论，不仅要讲推理，更要告诉学生是怎样想到这个推理的。
数学讲评课上就有关问题研讨处理后，教师要针对该题所涉及的有关知识内容、技巧、技能、方法、思想，多角度、全方位的精心选编一组或几组强化变式练习，使学生从各个角度来加深对该问题的理解和掌握，要给学生进一步实践、总结和反思的机会。
变式练习的选取非常重要，类型、难度都要把握好。选得好，学生学习效果、巩固程度事半功倍，选得不好，学生会越来越糊涂，无所适从。笔者11月16日在诸暨浣江中学实践培训时听了省特级教师钟旭天老师的一堂精彩的试卷讲评课 ，钟老师通过“一题多解”、“一题多联”、“一题多变”等讲评方式，透过题中的表面现象，抓住问题的本质特征进行开放、发散式讲评，学生的数学思维得到了高效的锻炼和提升。
1.成败得失
2.典型错误
3.一题多变
4.一题多解
5.奇思妙解
6.思想方法
7.一类问题
8.反思收获
二、课堂讲评
1. 讲成败得失
每次讲评对于最高成绩获得学生、成绩提高幅度较大学生可以点名道姓宣读，特别是原来基础较差的同学，教师应从他们试卷中细心捕捉其闪光点。而改卷过程中发现的新颖的思路和独到的见解应向全班同学推荐；总之，一切为了提高学生的学习兴趣。当然切忌帽子戴得太高，学生产生骄傲自大的心理，因此表扬尺度也要因人而异；而对于成绩落后、退步者要做到警醒和激励，使他们产生危机感的同时也要使他们对于未来的学习充满希望。切忌使学生产生自卑心理，从而对数学不感兴趣，以致自暴自弃。
无论从时间考虑，还是从教学效果分析，试卷讲评不能面面俱到。要按照学生答题情况确定讲评内容，对个别学生出错的试题，在他们的试卷上面以批语形式给予提示，这样的题不能再占课堂上的时间。而对于典型错误，因为它们具有代表性，又是提高学生数学能力的关键，所以应重点讲评。查找错误原因时，不能仅停留在知识点上，还要在数学思想和方法上追根究源，并且可以进行拓展，做到就题论理，讲解一题，带动一片。
2. 讲典型错误
这是一份2010毕业生学业考试总
复习交流卷的最后一题选择题，
学生在测试时错得较多，做对
的同学有的说瞎蒙的，有的说做了很长时间。究其原因，对翻折类试题的有关计算，学生已形成思维定势，把已知和未知数据集中到同一个直角三角形（△BMF）中，应用勾股定理建立方程求出BF长。但接下去由于没有很好挖掘图中的信息，学生感觉“山重水复疑无路”，思路受阻。
例1：把边长为4的正方形ABCD的顶点C折到AB的中点M，折痕EF的长等于（ ）
A、 B、 C、 D、
师：△MFB各边已求，图中能找出与它相似的三角形吗？从而能否求出它们的边长？利用相似三角形对应边成比例是求线段长度的一种常用方法。但这里推理和运算较繁琐，我们应该想一想有没有更好的方法。点C、M关于EF对称，若连结CM，则CM与EF位置上有什么关系？
生：EF垂直平分CM。
师：CM的长度能求吗？要求的EF与
CM数量上有什么关系？
生：可以证明△EFG≌△CMB，从而CM=EF
（学生不由自主发出欢呼：啊，那么简单！）
紧接着，我给出了以下两个问题：
（1）如图(1)：正方形ABCD中，若EF⊥MN，则EF与MN有什么关系？
（2）如图(2)：矩形ABCD中，若EF⊥MN，则EF与MN又有什么关系？
图（1） 图（2）
经过这样的拓展，让学生明确利用全等和相似都可以求线段长度，及时弄懂未掌握的知识，并在消化过程中使学生的思维得到不断深化，以培养学生举一反三，融会贯通的能力。（此例题在2010年中考复习时讲评，巧合的是刚好与2010年绍兴市初中毕业生学业考试卷第23题类同）
当代数学教育家G·波利亚认为，“我们如果不用‘题目的变更’，几乎是不能有什么进展的。”这就是说，在试题讲评时，不能只是就题论题，对涉及知识、技能面广的题，要力争“一题多变”、“一题多练”，如强化或弱化问题的结论，增加或减少问题的条件，变换问题的情景等，引导学生扩展思路，纵横联系。
3. 讲一题多变
例2（浙教版七年级下册作业本（2）第8页习题13）如图，
(1) 请说明≌的理由；
(2) 请说明CM=CN的理由.
这是全等三角形比较经典的一道习题，它蕴藏着丰富的内容，不但可以对结论进行延伸和挖掘，而且还可以改变条件，把原图进行变化和拓展。以下几个例题均出自2010年各地中考试题。
变式1（新的结论，枝繁叶茂）（馁化）如图所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A
D
C
B
E
G
F
O
变式2（增加动点，别具一格） 原题中，若让点C在线段BD上运动，那么两个正三角形也将随之变化，由此衍生出以下两个中考试题。
（山东东营） 如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动(不与点A，B重合)，连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为（ ）
A．逐渐增大
B． 逐渐减小
C．始终不变
D．先增大后变小
A
B
C
D
E
M
N
D
A
M
C
N
B
变式3（改变线段，锦上添花）原题中当点C不在线段BD上且构成三角形时，分别以其中两边为边向外作等边三角形则演变为下面一考题。
（广东中山）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。已知∠BAC=30 ，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE
是平行四边形。
A
B
C
D
E
F
变式4（变换三角形，新桃换旧符） 等边三角形是特殊的等腰三角形，因此我们可以进行类比联想，若将原题中的等边三角形改为等腰三角形，命题的结论、推理方法是否会有惊人的相似？
（嘉兴）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连结AE交CD于点M，连结BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②＝＋；③MN≤AB，其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式5（ 错位变换，一枝独秀）若把原图形中某一部分进行适当变换（平移、旋转、相似等），使图形位置发生变化，创设一个题设变化、图形变化的问题情境，那么问题对结论的影响又会如何呢？
（丹东）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．
（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；
（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立 若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；
（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立 若成立 请直接写出结论，不必证明或说明理由． 图①图②图③
图①
图②
图③
A
·
B
C
D
E
F
·
·
·
变式6 等边三角形是最简单的正多边形，若将原题中的“等边三角形”替换成“正方形”、“正五边形”，能否将原来的性质进行拓展、推广呢？
（山西）如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论．
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG。你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
A
B
G
D
E
F
C
A
B
G
D
E
F
C
（图1）
（图2）
上述几个变式都可用旋转的观点进行思考，或全等，或相似，准确地把握了问题的切入点，通过有限道题的不断变化，并且对其开发、引申与挖掘，就能高效地寻找到问题的解决方案，领悟到那种解无限道题的数学机智。
事实证明，解法单一，重讲轻评的讲评难以吸引学生，我们应当针对试卷中的典型题目，有选择地介绍学生的几种典型做法，并尽可能补充新颖的正确解法，即把学生的解题途径作为素材提炼、扩充、变通，使学生多方位、多角度地考虑问题，抓住问题的关键，优化解题过程，使学生思维的发散性、灵活性得到培养，创新能力得到彰显。
4. 评一题多解
例3：如图（1）所示，已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点（与A、D不重合），过点P作PE⊥CP交直线AB于点E，设PD=x，AE=y
（1）写出y与x的函数解析式，并指出自变量的取值范围。
（2）连接CE，如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长。
（3）连接CE，是否存一点P，使△EAP∽△EPC∽△PDC（PE的对应边为AE）？
图（1） 图（2) 图（3） 图（4）
对于第（3）小题的解答，我让方法各不相同的几位同学说了自己的思路和解法，并写在黑板上，或用相机拍摄下来在屏幕上展示。
解法1：∵△EAP∽△EPC ∴① ∵△EAP∽△PDC
∴② 由①②知AP=PD，故点P为AD中点时成立。
解法2：如图（2），过点P作PF//AB交CE于点F，则EF=PF=CF
F为EC中点，则P为AD中点。
解法3：如图（3），过点P作PG⊥EC，垂足为点G，则PA=PG=PD
解法4：如图（4），延长EP与CD的延长线相交于点Q，则EP=PQ
从而得△APE≌△DPQ，则AP=PD
给出以上几种解法后，我引导学生进行比较，讲评各种方法的由来及其中的基本图形。解法1利用相似三角形对应边成比例；解法2运用角平分线和平行线复合而成等腰三角形这一基本图形；解法3巧妙利用角平分线的性质定理，解法更加简洁；而解法4包含了“角平分线垂直对边的三角形会是等腰三角形”这一方法。但所有的四种方法都是以相似三角形的对应关系为基础，抓住了这一关键以后，再寻找思路解决问题。这样通过一题多解，不仅能锻炼学生思维的发散性，而且可以培养学生综合运用知识解决问题的能力和不断创新的意识。
5. 评奇思妙解
奇思妙解不可多得，所以公布某位学生的具有独创性的解法很有必要，这既是对独创性思维的呵护与鼓励，也能使学生的新思想得到广泛的交流，同时也能激发学生思维的创造性和灵活性。
例4：已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P、Q分别是边BC、CD上的点，如果 =2，且E、F、G分别为AP、PQ、PC的中点，求四边形EPGF的面积。
我让一位学生先到黑板上介绍自己的思路。
生：四边形EPGF的面积是四边形APCQ的面积的 ，而四边形APCQ的面积等于矩形的面积减去两个小三角形的面积。
师：求四边形APCQ的面积运用了转化的思想，我们基本上同学是采用这种方法来完成的。且看谢瑛同学的妙解！
谢：连结AC，因为S△ACQ=S△ABP，所以四边
形APCQ的面积就等于△ABC的面积。
（方法一出，多数同学还茫然
不解，我让学生交流讨论）
生 ：确实巧妙，不过把△ACQ的面积转化为△ABP的面积是怎么想到的呢？
谢：我想四边形APCQ的面积一定是定值，连结AC后把它分成了两部分，由底和高的关系马上想到了△ACQ和△ABP的面积相等。
师：猜想是发现的重要途径和方法，通过等积变换确实能得出四边形APCQ的面积是一定值。所以我们应向谢瑛同学学习，开动脑筋，勤于观察，敢于猜想，寻求最佳解题方法。
毫无疑问，奇思妙解的讲解能使该学生颇具自豪感，充分享受到成功的喜悦，从而产生对数学学习的更强烈的兴趣。这样做也能促使每个学生积极思考并感受彼此之间的互补性，培养旺盛的求知欲，从而使考试和试卷讲评具有了独特的学科情感态度教育价值。钟旭天老师说得好：为了学生的发展，我们不妨做个“懒”老师，“笨”老师，教学生的目的就是要他们能主动地学习、独立地思考，灵活地应变，果断地决策，不断地创新。
6. 评思想方法
数学思想方法是对数学内容及其所使用的方法的本质认识，是具有普遍适用的“通法”，灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力根本之所在，因此讲评试卷时注意引导学生总结体会各类数学试题中的思想和方法，培养学生用数学思想方法去解决问题的能力。数学思想包括方程思想、函数思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等。
例5：某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、450a元 B、225a元
C、150a元 D、300a元
题目不是很难，我在课堂上让中下等水平的学生介绍自己的解法，让其他学生对解决过程的合理性及其中所蕴含的数学思想进行讲评。由于平时教学中的渗透，学生能指出其中的转化思想，即把钝角三角形通过作辅助线转化为直角三角形求解。然后我引导学生找出该份试卷中用转化思想方法求解的其余题目，并指出“转化”方法是研究和解决数学问题的一种有效的思想方法，化未知为已知，变复杂为简单，在数学中有着广泛的应用。通过这样的讲评，使学生能领会其中数学思想方法的精神实质，并在应用过程中形成习惯和观念，系统地掌握它们。
例6：已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标。
此题漏解的情形比较普遍，我先让个别学生讲自己的解法。
生1：以点O为圆心，OD为半径画弧交BC于点P，此时P（3，4）
生2：还可以以点D为圆心，OD为半径画弧交BC于点P，此时P(2，4)
生3：以点D为圆心还有一种情形，此时△ODP为钝角三角形P（8，4）
师：那么可以以点P为圆心吗？
生：此时点P不存在。
师：这道题蕴含什么思想呢？
生：分类讨论。
师：为什么要讨论呢？这里分类讨论的标准是什么？
由于题中没有明确哪条作为腰或底，所以要分类讨论；至于分类标准，有的同学说按边，有的同学说按角，最后一致认为按顶角的顶点（三个点都可能作为顶角顶点）分类更加简捷清楚。通过这样的讲评，原来思想处于混沌的学生也清楚了，分类必须确定一个标准，并且要做到不重复不遗漏；用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧。学生如果掌握了某种数学思想方法，便可以用来解决一类问题。因此试卷讲评时，我们必须重视数学思想方法的渗透。
7. 讲一类问题
在单元测试中，同一知识、技能和方法的考查会以不同方式重复出现，而这些往往是本单元的重点，在中考模拟卷中可以把前后几张试卷中出现的同一类问题集中起来，作为一类题进行讲评，并且作适当补充和延伸，对这类问题进行归纳、概括，形成规律和方法。
如在《二次函数》单元测试中，出现了如下两题：
题1：在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4）且过点B（3，0），求该二次函数的解析式。
题2：在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）
（1）求点B的坐标；（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式。
这两题分别是07年上海和淄博
的中考题，考的都是求二次函数解析
式，讲评时我把它们放在一块儿，再
补充了一题。
题3：已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0），B（1，0），且经过点C（2，8），求该抛物线的解析式。
通过这三个题目的讲评，揭示出了用待定系数法求二次函数解析式的三种情形：若给出抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：y=a(x－h)2+k（如题1）；若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c（如题2）；若给出抛物线与x轴的交点，通常可设交点式：y=a(x－x1)(x－x2)（如题3）。这样的讲评，能使学生从问题解决的过程中提炼出数学思想方法和解决一类问题的策略，从而提高试卷讲评的数学价值。
8.讲反思收获
平时教学中我们切忌“满堂灌”，试卷讲评也如此。试卷讲评完毕后，留点时间让学生自己纠错和消化，整理教师讲过的内容，纠正自己解错的题目，巩固相关的基础知识等；也可以让全体同学分组，相互交流各自的收获，反思失分原因；还可以让学生在试卷顶端写下一段反思，讲考试的感受与体会、自己存在的不足与优势、有什么启发。
在一次毕业模拟考后一位学困生写了这么一段反思：“事实上这次我还能考得好一些，好几个题目会做，但由于粗心算错了。一直以来，我的数学成绩不够理想，这不但与我的基础有关，还与我的学习态度有关。我平时欠努力，一碰到自己不会的就退缩，今后我会多请教同学和老师，争取中考考出理想的成绩。”我在旁边给她写了评语：“写得很好，老师相信你会越来越好！”
通过学生的自我评价，让学生了解自己是否作出了最大努力，在学习中有什么优点和缺陷，有什么成功的经验和失误的教训，这样才能不断积累经验，也能很好地杜绝错误的再发生，而且使学生始终处于学习过程的中心，从而使以后的复习变得更加主动、有效、持久。
学习心得：
1，心态
2，认真对待作业
3，善于提出问题，解决疑难
4，掌握解题方法，懂得利用，做到举一反三
如图在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线DF交AC于点F，DE⊥DF，交AB于点E，连接EF。请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。
A
F
C
E
B
D
G
如图在△ABC中，D是BC的中点，过点D的直线DF交AC于点F，DE⊥DF，交AB于点E，连接EF。请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论。
A
F
C
E
B
D
G
结论: BE+CF﹥EF
三、几点思考
由于中考复习时间宝贵，所以应合理安排各次测试，测试不在次数多，关键在测试后的收获，因而试卷讲评显得尤为重要，笔者还有以下几点思考:
1. 试卷讲评前让学生自己先订正分析，在自我纠正的基础上思考产生错误的原因，并做好更正记录，这样不但可以有效利用课堂宝贵的时间，而且对于有困难的问题学生听得真切，从而能得到有效的解决，可谓一箭双雕。
2. 注意讲评顺序，最要紧的问题要用最佳时间段予以解决。如果按照试卷顺序讲评，那么当讲评到综合时，学生的注意力水平已经相对低下，这从另一方面降低了试卷讲评的教学效率。
3. “学生是数学学习的主人”，试卷讲评也应坚持为学生提供充分参与的机会，引导学生积极、主动地参与讲评活动，才能真正提高试卷讲评的效益。讲评课其实是对过去的知识的一个回顾，比较起新课传授，讲评课中学生的主体地位应该更加突出。切忌教师一言堂，教师的作用在于组织、引导、点拨．促进学生主动思考、积极探究、大胆假设猜测、提出问题，培养学生的创新意识和敢想、敢说。敢做、敢于标新立异的思想意识，使学生真正成为讲评课的主人。
数学讲评课不能面面俱到，眉毛胡子一把抓。题目解决方式可分成三种：自行解决，同学帮助，老师指导。大多数问题得分率较高的题目学生均可以做到自行解决，甚至有些问题刚考完就已经发现并解决了，因此这类问题无须花时间。
第二类问题，同学间可以相互讨论，互相帮助，在学生解决问题的同时，帮助同学解决问题的学生也得到了一次锻炼机会，因此在课堂上可以适当留一些时间让学生通过讨论、请教把问题解决。对一些难度较大的题目才需要老师进行讲解与点评，但是也要尽量做到老师只是引导者而不是归纳者，学生的主体性不能改变。另外，有些题目虽然解对了，但学生特别想了解还有没有其他更简洁、更巧妙、更漂亮、更优秀的解法（尤其对客观题）。这时学生就可以各显神通，提供各种解题方法。总之让学生“懂通法，但不一定用通法”， “懂模式，但不要模式化”。意思就是懂得通常解题方法，但不一定要用这种方法，打破常规是中考复习的一个风向标。　
谢谢指导!