北京北师大附属实验学校2020-2021学年高二下学期开学检测数学试题 扫描版含答案

北师大附属实验中学 2022 届高二下学期开学检测
数学试卷
试卷说明 ：
1．本次考试时间 100分钟， 总分 150分 .
2．试卷共 有三 道大题， 21道小题 .
3． 请将全部答案答在答题纸上 .





一、 选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
1． 直线 的倾斜角为
（ A） （ B） （ C） （ D）
2． 如图， 在平行六面体 中， ，
， ，则与向量 相等的是
（ A） （ B）
（ C） （ D）
3． 若复数 满足 ，则实数 的取值范围是
(A) (B)

(C) (D)

4． 设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是
（ A） 若 ， ，则 （ ） 若 ，则
B ，
（ C） 若 ， ，则 （ ） 若 ，则
D ，
5． 若两条直线 与 互相垂直，则 a的值为
（ A） 4 （ B） － 4 （ C） 1 （ D） － 1
1

6. 双 曲线 的焦点到渐近线的距离为
（ A） （ B） （ C） （ D）
7．某高校要从经济学院的 6名优秀毕业生中选 3人分别到西部三个城市参加中国西部经
济开发建设，要求每人去一个城市，每个城市去一人，那么不同的分配方案种数为
（ A） （ B） （ C） （ D）
8．过抛物线 上的一点 作其准线的垂线，垂足为 ，抛物线的焦
点为 ，直线 在 轴下方交抛物线于点 ，则
（ A） （ B） （ C） （ D）
9． 已知椭圆 ，椭圆的左、右焦点分别为 , 是椭圆 外
的任意一点 ,且满足 ，则椭圆离心率的取值范围是
（ A） （ B） （ C） （ D）
10．如图，在三棱锥 中，三条侧棱 , , 两两垂直，
且 , , 的长分别为 . 为 内部及其边界上
的任意一点，点 到平面 ，平面 ， 平面 的距离分别
为 ， ， ，则
（ A） （ B） （ C） （ D）

二、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
11．复数 _________．

12． 已知 的展开式中所有项的系数和为 ，则 ______;展开式中 的系数
2

是 _______．
13． 在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 的一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率是 _________．
14. 如图，正方体 中， 直线 和
所成角的大小 为 _______； 直线 和平面
所成角的大小 为 _______.
15． 由数字 组成没有重复数字的三位数，其中个位数字比十位数字大的偶数
共有 个 .
16.2020 年 11 月 24 日我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射
探月工程“嫦娥五号”探测器，开启我国首次地外天体采样返回之旅 .2004年，中国正
式开展月球探测工程，并命名为“嫦娥工程” .2007年 10月 24日“嫦娥一号”成功发
射升空，探月卫星运行到地月转移轨道之前在以地心 F 为椭圆焦点的 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三个
轨 道 飞 行 （如 图 所 示 ）， 三 个 椭 圆轨 道 的 长半轴 长 、 半 焦距 和 离 心率分 别 为
，探月卫星沿三个椭圆轨道的飞行周期（环绕轨道一周的时间）分
别为 16小时， 24小时和 48小时，已知对于同一个中心天体的卫星，它们运动周期的
平方与长半轴长的三次方之比是定值 .
现有以下命题：
① ；
② ；
③ ；
④ .
则以上命题为真命题的是 .（写出所有真命题的序号）

3

三、 解答题（本大题共 5 小题，共 70 分）
17． （本小题满分 13）
如图，在四面体 中， ， ，点 、 分别是 、 的中点，求
证：（Ⅰ）直线 平面 ； （Ⅱ）平面 平面 ．


18． （本小题 14分）
已知圆 的圆心在直线 上，且与 轴相切于点 ．
（ Ⅰ ） 求圆 的方程；
（ Ⅱ ） 若圆 与直线 交于 ， 两点， ____________________ ，
求 的值．
从 下列 两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件 ①： ；条
件 ②： ．
注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．
19.（本小题满分 14分）
已知 抛物线 的准线方程是 .
（ Ⅰ ） 求 抛物线 的方程；
（ Ⅱ ） 设直线 与 抛物线相 交 于 ， 两点 ， 为坐标 原点 ，证
明： .

20． （本小题满分 15分）
如图，在多面体 中 ， 梯形 与平行四边形 所在平面互相垂直，
4

， ， ， ， .
（Ⅰ）求证： ；
E
（Ⅱ）求 二面角 的余弦值 ；
（Ⅲ）判断 线段 上是否存在点 ，使得
平面 平面 ？ 若存在，求
F
出 的值，若不存在，说明理由 .
C
D

A B

21． （本小题满分 14分）
已知椭圆 : 的长轴长为 4，左、右顶点分别为 ，经过点 的

直线与椭圆 相交于不同的两点 （不与点 重合） .
（ Ⅰ ）当 ，且直线 轴时， 求四边形 的面积；
（ Ⅱ ）设 ，直线 与直线 相交于点 ，求证： 三点共线 .













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北师大附属实验中学 2022 届高二下学期开学检测
数学试卷 参考答案
1-10： DACBA BCDBC
11. 12. 6,135 13. 2 14. ， 15. 16. ①③ ④
17. 解： （ Ⅰ） 易知中位线 ，而 面 ， 面
∴ 平面 ． …… 5分
（Ⅱ） ∵ ， ，∴
又 ， 是 的中点，∴
∵ ，∴ 面
又 面 ，平面 平面 ． …… 13分
18. 解： （ Ⅰ ） 设圆心坐标为 ，半径为 .
因为圆 的圆心在直线 上，所以 ．
因为圆 与 轴相切于点 ，所以 ， ．
所以圆 的圆心坐标为 ， ．
则圆 的方程为 ． ………………………………8 分
（ Ⅱ ） 如果选择条件 ①：
因为 ， ，
所以圆心 到直线 的距离 ．
则 ，解得 或 ． ………………………14 分
如果选择条件 ②：
因为 ， ，
所以圆心 到直线 的距离 ．
6

则 ，解得 或 ． ………………………14 分
19. （ Ⅰ ） 解： 因为 抛物线 的准线方程为 ，
所以 ， 解得 ，
所以 抛物线 的方程为 . ………6 分
（ Ⅱ ） 证明： 设 ， .
将 代入 ，
消去 整理得 .
所以 .
由 ， ，两式相乘，得 ，
注意到 ， 异号，所以 .
所以直线 与直线 的斜率之积为 ，
即 . ………14 分
20. 解 ：（Ⅰ） 因为 ， ， ，
所以 平面 ，则 . …… 4分
（ Ⅱ ）因为平面 平面 ，平面 平面 ， ，
所以 平面 ,则 .故 两 两垂 直 ， 所 以 以
所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 , ， 为平面 的一个法向量 .
设平面 的一个法向量为 ，
7

由 ， ， 得
令 ，得 . ……… 8分 z
E
所以 .
如图可得二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .…… 10分 F
D
（ Ⅲ ） 结论 ： 线段 上存在点 ，使得平面 平 C
面 . 证明如下： A B
y
x
设 ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，又因为 ，
所以 ， ， 即

若 平面 平面 ，则 ，即 ，
解得 .所以 线段 上存在点 ，使得平面 平面 ，
且此时 . ……………… 15分
21. 解： （ Ⅰ ） 由题意，得 ， 解得 .
所以椭圆 方程为 .
当 ，及直线 轴时，易得 , . 且 , .
所以 ， ， 显然此时四边形 为菱形，
所以四边形 的面积为 . …… 6分
（ Ⅱ ）当直线 的斜率 不 存在时，由题意，得 的方程为 ，
8

代入椭圆 的方程，得 ， ，
易得 的方程为 .
则 , , ,
所以 ，即 三点共线 .
当直线 的斜率 存在时，设 的方程为 ， ，
， 联立方程 消去 y，得 .
由题意，得 恒成立，故 ， .
直线 的方程为 .
令 ，得 .
又因为 ， ，
则直线 ， 的斜率分别为 ， ，
所以 .
上式中的分子


，
所以 . 所以 三点共线 . ……… 14分
9