北京市昌平区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含答案

北京市昌平区2020-2021学年高二上学期期末数学试题
数 学
2021.1
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡收回。
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)
（1） 已知直线false过点false和点false，则直线false的斜率为
（A）false （B）false （C）false （D）false
（2）下列命题正确的是
（A）若false,false,则false
（B）若false,false，则false
（C）若false，false，则false
（D）若false，false,则false
（3）经过点false且与直线false垂直的直线的方程为
（A）false （B）false
（C）false （D）false
（4）某高校要从经济学院的6名优秀毕业生中选3人分别到西部三个城市参加中国西部经济开发建设，要求每人去一个城市，每个城市去一人，那么不同的分配方案种数为
（A）false （B）false （C）false （D）false
（5）在空间直角坐标系falsefalse，则false的值是
（A）false （B）false （C）false （D）false
（6）小王同学在完成了高中必修课程的学习后，准备在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课程中选择三门来学习，他已经选择了物理，那么他选择另外两门的不同选法种数为
（A）10false（B）15 （C）20 （D）30
（7）甲、乙两个车间生产同一种产品的合格率分别为false，检验员每天都要按照false的比例分别从甲、乙两个车间抽取部分产品进行检验.从被抽检的产品中任选一件，则选到合格品的概率为
（A）false （B）false （C）false （D）false
（8）某班要从甲、乙、丙、丁四名同学中选出一人参加学校的投篮比赛，根据以往的数据，得到这四名同学在连续5次投篮中，投中次数false的概率分布可以分别用下列四个图直观表示

如果从平均水平和发挥稳定性角度来考虑，应该选择参加比赛的同学为
（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁
（9）过抛物线false焦点的直线交抛物线于false两点，交准线于点．若，则直线false的斜率为
（A）false （B）false （C）false （D）false
（10）在棱长为1的正方体false中，若点false是棱上一点，则满足false的点false的个数为
（A）false （B）false （C）false （D）false
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
(11)在射击训练中，某射击运动员一次射击命中的概率为false，连续两次射击命中的概率为false. 已知他第一发子弹命中，则他第二发子弹命中的概率为________.
(12)已知false的展开式中所有项的系数和为false，则false______;展开式中false的系数是_______
(13)某社区5名工作人员要到4个小区进行“爱分类”活动的宣传，要求每名工作人员只去一个小区，每个小区至少去一名工作人员，则不同的安排方法共有_______种.
（14）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线false的一条渐近线方程为false，则该双曲线的离心率是_________．
（15）已知长方体false，false.在所有的面对角线所在直线中，与平面false所成的角为false的面对角线可以是直线___________.(写出符合题意的一条直线即可)
（16）在平面直角坐标系中，动点false到两坐标轴的距离之和等于它到点false的距离．记动点false的轨迹为曲线false.给出下列四个结论：
① 曲线false关于坐标原点对称；
② 曲线false关于直线false对称；
③ 曲线false与false轴非负半轴，false轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于false．
④ 曲线false上不存在横坐标大于1的点.
其中，所有正确结论的序号是_______．
三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
（17)（本小题满分14分）
已知两点false及圆false.false为经过点false的一条动直线.
（Ⅰ）若直线false经过点false，求证：直线false与圆false相切；
（II）若直线false与圆false相交于两点false从下列条件中选择一个作为已知，求false的面积．
条件①：直线false平分圆false；条件②：直线false的斜率为false．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
(18)（本小题满分14分）
已知在四棱锥false中，false平面false，
false,false，false.
(Ⅰ)求证：false；
(Ⅱ)求二面角false的余弦值；
(Ⅲ)求点false到平面false的距离.
(19)（本小题满分14分）
近年来，随着青年志愿服务活动蓬勃发展，越来越多的大学生参加到志愿服务中来，大学生志愿者已经发展成为青年志愿者队伍中最活跃、最积极、最有影响力的一个群体.大学生志愿服务的范围主要包括：帮困扶贫、支教扫盲、社区建设、环境保护、普法宣传、大型赛会、应急救助、海外服务等.为了解A，B，C，D，E，F这六所高校的大学生志愿者参加帮困扶贫的情况，从这六所高校随机抽取了部分志愿者，统计数据如下：
学校
高校A
高校B
高校C
高校D
高校E
高校F
志愿者人数
400
500
200
800
1000
600
帮困扶贫志愿者所占百分比
10%
8%
5%
12%
6%
11%
（Ⅰ）从被抽样的志愿者中任选1人，求此人是来自“高校E” 的帮困扶贫志愿者的概率;
（Ⅱ）从被抽样的来自“高校B”和“高校E” 的帮困扶贫志愿者中任选2人接受采访.
①设false为这2个志愿者中来自“高校E”的人数，求随机变量false的分布列及数学期望；
②假设表格中六所高校的帮困扶贫志愿者所占百分比均提高false，记false为这2个志愿者中来自于“高校E”的志愿者人数，试比较随机变量false的数学期望false和false的大小.（只需写出结论）
(20)（本小题满分14分）
已知在三棱柱false中，false平面false，false,且false,false,点false是false的中点.
(Ⅰ)求证：false平面false；
(Ⅱ)在棱false上是否存在一点false,使false平面false？
false若存在，指出点false的位置并证明，若不存在，说明理由.
(21)（本小题满分14分）
已知椭圆falsefalse的离心率为false设过点false的直线false交椭圆false于false，false两点．
（Ⅰ）求椭圆false的方程；
（II）若直线false的斜率为false，求false；
（III）设false为椭圆的左顶点，false分别交false轴于点false，在false轴上是否存在点false使得以false为直径的圆恒过点false？如果存在，求出点false的坐标；如果不存在，说明理由．
北京市昌平区2020-2021学年高二上学期期末数学试题
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
C
D
A
B
A
B
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. false 12. 6；135 13. 240 14. 2
15. false(答案不唯一) 16. ②③④
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)
（17)（本小题满分14分）
解：根据题意，圆心false,半径false． ..….2分
（Ⅰ）法一：
若直线false经过点false，由false满足false，可知，点false在圆false上.
直线false的斜率false，所以false.
所以直线false与圆false相切. ..…8分
法二：若直线false经过点false,则直线false的方程为false.
圆心false到直线false的距离为false
所以直线false与圆false相切. ..…8分
（II）选择条件①：直线false平分圆false，
此时，直线false过圆心false，方程为false
点false到直线false的距离false
所以，false ..…14分
选择条件②：直线false的斜率为false,直线false的方程为false
此时，圆心false在直线false上，false
点false到直线false的距离false
所以，false ..…14分
（18）（本小题满分14分）
解：(Ⅰ)法一：因为false平面false,
false平面false,
所以false.
因为false,false,
所以false.
因为false ,
所以false平面false.
因为false平面false,
所以false. ..…5分
法二:
346837049530 因为false平面false，false平面false
所以false.
因为false,
如图建立空间直角坐标系false
则false.
(I) false
false,
所以false. ..…5分
(II) false
平面false的一个法向量为false.
设平面false的一个法向量为false,
所以false所以false.
令false，则false，所以false.
所以false.
由图知二面角false为锐角,
所以二面角false的余弦值为false. ..…10分
(Ⅲ) 设点false到平面false的距离为false,false.
由(Ⅱ)知平面false的一个法向量为false,
所以false.
所以点false到平面false的距离为false. ..…14分
(19)（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）被抽样的志愿者共false(人),
来自“高校false” 的帮困扶贫志愿者false(人)，
设“从被抽样的志愿者中任选1人，此人是来自‘高校E’的帮困扶贫志愿者”为事件false,则false. ..…5分
（Ⅱ）①被抽样的“高校false” 的帮困扶贫志愿者false（人）,
被抽样的“高校false” 的帮困扶贫志愿者false（人）,一共false人.
false的所有可能取值为false.
false,
false,
false.
所以随机变量false的分布列为
false
false
false
false
false
false
false
false
false.
或由false得false. ..…12分
②false. ..…14分
3587750252730(20)（本小题满分14分）
(Ⅰ)证明：法一：连接false交false于点false，连接false.
在三棱柱false中,
因为四边形false是平行四边形，
所以点false是false的中点.
因为点false是false的中点，
所以false.
因为false平面false，false平面false，
所以false平面false. ..…7分
法二：
因为false平面false，false，如图建立空间直角坐标系false,
则false，false,false ,false ,false.
所以false,false.
设平面false的一个法向量为false，则有
false.
令false得false.所以false.
所以false.
3977640220980所以false.
因为false平面false，
所以false平面false. ..…7分
(Ⅱ) 假设在棱false上存在一点false,使false平面false.
设false,则false.
由第（I）问知，平面false的法向量为false，
要使false，则false.
所以false.
解得false,即false，且false.
所以在棱false上存在一点false,且满足false，使false平面false. ..…14分
（21）（本小题满分14分）
解：（I）设椭圆false的半焦距为false根据题意，false解得false.
所以椭圆false的方程为false. ..…4分
(II) 直线false的方程false.
由false消去false，得false，即false.
解得false或false. 所以false ..…9分
（III）若满足题意的定点false存在，设false.
直线false斜率为0时，不满足题意；
设false的方程为false，
联立方程组false，化简得false.
false恒成立.
设false，false,
则false，false.
直线false的方程为false，令false，得false,
同理得false.
若以false为直径的圆恒过点false，则false，
即false，又false，false，
化简得false.
把false，false代入得false，
整理得false，得false.
所以 以false为直径的圆恒过定点false. ..…14分
法二
当直线false的斜率不存在时，直线false的方程为false，则false，false，可得false，false，
以false为直径的圆与false轴的交点为false；
所以如果以false为直径的圆过false轴上的定点，则定点只能是false；
下面进行验证定点为falsefalse.
设false的方程为false；
false，消去false得false，
false恒成立.
设false，false，
则false，false
直线false，令false，得false，
同理得：false；
只需验证：false；即false；
而false
综上，以false为直径的圆恒过点false. ..…14分