江苏省苏州市高级中学2020-2021学年高二下学期期初质量评估数学试题 Word版含答案

江苏省苏州中学2020-2021学年第二学期期初质量评估
高二数学
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．设false，则“false”是“false”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列false的前n项和为false，若false，则false（ ）
A．120 B．60 C．160 D．80
4．“false恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．false B．false C．false D．false
5．阿基米德（公元前287年一公元前212年），古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家、力学家．他发展的“逼近法”为近代的“微积分”的创立奠定了基础．他利用“逼近法”得到植圆的面和除以圆周率等于粗圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的焦点在x轴上，且椭圆C的离心率为false，面积为false，则椭圆C的方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
6．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙．大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的2倍．小老鼠第一天也打进1尺，以后每天进度是前一天的一半，如果墙的厚度为10尺，则两鼠穿透此墙至少在第（ ）
A．3天 B．4天 C．5天 D．6天
7．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的，已知抛物线false的焦点为F，从点F出发的光线经第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为false，若入射光线false的斜率为false，则抛物线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．函数false、false分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且false，若存在false，使不等式false成立，则实数m的最小值为（ ）
A．4 B．false C．8 D．false
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．已知正数a、b满足false，则下列说法正确的是（ ）
A．false的最小值是false B．false的最小值是false
C．false的最小值是false D．false的最小值是false
10．已知双曲线false的实轴长是2，右焦点与抛物线false的焦点F重合，双曲线false与拋物线false交于A、B两点，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线false的离心半为false B．抛物线false的准线方程是false
C．双曲线false的渐近线方程为false D．false
11．定义false为数列false的“优值”．已知某数列false的“优值”false，前n项和为false，则（ ）
A．数列false为等差数列 B．数列false为等比数列
C．false D．false成等差数列
12．取整函数：false不超过x的最大整数，如false．以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（ ）
A．false B．false，则false
C．false D．false
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知命题false．则false为：_________．
14．已知false，则false的最小值是__________．
15．如图，正方形false的边长为a，false，函数false与false交于点Q，函数false与false交于点P，当false最小时，a的值为________．
16．经过原点的直线交椭圆false于P，Q两点（点P在第一象限），若点P关于x轴的对称点称为M，且false，直线false与椭圆交于点B，且满足false，则直线false和false的斜率之积为_________，椭圆的离心率为__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．）
17．（10分）已知false，集合false．
（1）当false时，求false；
（2）设false；false，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）设矩形false的周长为20，其中false，如图所示，把它沿对角线false对折后，false交false于点P．设false．
（1）将y表示成x的函数，并求定义域；
（2）求false面积的最大值．
19．（12分）在四棱锥false中，底面四边形false为直角梯形，侧面false为等边三角形，M、N分别为false、false的中点，false平面false，false，false，false，false．
（1）求证：false平面false；
（2）求false与平面false所成角的正弦值．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系false中，已知等轴双曲线false的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若false的面积为false．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线false与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求false的取值范围．
21．（12分）已知数列false满足false
（1）证明：数列false为等差数列，并求数列false的通项公式．
（2）若false，记数列false的前n项和为false，求证：false．
22．（12分）如图，椭圆false的左焦点为false，右焦点为false，离心率false，过false的直线交椭圆于A，B两点，且false的周长为8．
（1）求椭圆E的方程．
（2）设动直线false与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线false相交于点Q．
试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以false为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
江苏省苏州中学2020-2021学年第二学期期初质量评估
高二数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】D
8．【答案】B
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9．【答案】AC 10．【答案】BC 11．【答案】AC 12．【答案】ABD
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．【答案】false 14．【答案】1 15．【答案】false 16．【答案】false；false
四、解答题：（本大题共6小题，共70分．）
17．（1）由false可得
false
又false，所以false
（2）由（1）知false，false．因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集：
因此{false，所以false，又false，所以false，
即实数a的取值范围是false．
18．（1）由题意得：false，则false，
因为在false和false中，false，
所以false，即false
所以在false中，false，
所以false，化简可得false，
因为false，所以false，解得false．所以false
（2）由（1）可得false，
所以false面积false
因为false，所以false，
所以false
当且仅当false，即false时等号成立此时面积false，
即false面积最大值为false
19．（1）在false中，M、N分别为false、false的中点，∴false，又因为false平面false，false平面false，所以false平面false，
（2）过M作false的平行线交false于点E，
以false为x，y，z建立空间直角坐标系，
如图：由侧面false为等边三角形，false，则false，
false
则false
设平面false的一个法向量false，
则false，即false，令false，则false，
所以false
设false与平面false所成角为false，
则false
20．（1）因为双曲线false为等轴双曲线，所以false，设双曲线的焦距为false，
故false，即false．因为false过右焦点F，且垂直于x轴，将false代入false，可得false，故false的面积为false，所以false，即false
所以false，故双曲线E的方程为false．
（2）依题意，直线false与双曲线E的左，有两支分别交于M，N两点，
联立方程组false消去y可得，false，
所以false，解得false，且false
所以false
false
联立方程组false得false，同理false，
所以false
所以false，其中false，所以false
21．（1）当false时，因为false，
所以false，
所以数列false为首项为false，公差为1的等差数列．
又是false，所以false，解得false
（2）因为false，所以false
所以false
false
即false，显然false，另一方面，
false
故数列false是递增数列，所以false，因此，false．
22．（1）因为false，即false，
即false，所以false
又因为false，即false，所以false，所以false
故椭圆E的方程是false．
（2）解法一：
由false得false．
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点false，所以false且false，
即false，化简得false．（*）
此时false
所以false，由false得false．
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．
设false，则false对满足（*）式的m，k恒成立．
因为false，由false
得false
整理得false．（**）
由于（**）式对满足（*）式的m，k恒成立，所以false，解得false．
故存在定点false，使得以false为直径的圆恒过点M．
解法三：由false得false．
因为动直线l与桶圆E有且只有一个公共点false，所以false且false，
即false，化简得false．（*）
此时false
所以false，由false得false
假设半面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上
取false，此时false，
以false为直径的圆为false交x轴于点false；
取false，此时false，以false为直径的圆为false交x轴于点false．
所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为false
因为M的坐标为false，所以false
从而false，
故恒有false，即仔在定点false，使得以false为直径的圆恒过点M．