广西钦州第四高级中学校2020-2021学年高一下学期第一周周测数学试题 Word版含答案

广西钦州市第四中学2021年春季学期高一数学第一周周测试卷
一．选择题
1．已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
2．在底面半径为1的圆锥中，若该圆锥侧面展开图的面积是2π，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，高A1A＝4，E为棱A1A的中点，设∠BAD＝α，∠BED＝θ，∠B1ED＝γ，则α、β、γ之间的关系正确的是（　　）
A．α＝γ＞θ B．γ＞α＞θ C．θ＞γ＞α D．α＞θ＞γ
4．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是该正方体棱上一点．若满足|PB|+|PC1|＝m（m＞0）的点的个数为4，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（　　）
A． B． C． D．
6．已知三角形△ABC的三个内角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，∠C＝90°，分别以BC，AC，AB所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体的外接球表面积分别为S1，S2，S3，则下列关系正确的是（　　）
A．S1+S2＝S3 B． C． D．
7．已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，以过SO的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C．8π D．16π
8．将半径为3，圆心角为的扇形作为侧面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（　　）
A．π B． C．3π D．
9．设P是△ABC所在平面α外一点，P在平面α内的射影P'在△ABC内部，且P'为△ABC的内心，则（　　）
A．点P到三角形的三个顶点A，B，C的距离相等
B．点P到三角形的三边AB，BC，AC的距离相等
C．点P到三角形的三边AB，BC，AC的中点的距离相等
D．三棱锥P﹣ABC为正三棱锥
10．下列说法正确的是（　　）
A．通过圆台侧面一点，有无数条母线
B．棱柱的底面一定是平行四边形
C．圆锥的轴截面是等腰三角形
D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台
11．设动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上，＝λ，当∠APC为锐角时，λ的取值范围是（　　）
A．[0，） B．[0，） C．（，1） D．（，1）
12．如图所示的组合体，其结构特征是（　　）
A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
二．填空题
13．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为　 　．
14．将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝　 　．
15．圆锥底面半径为lcm，母线长为2cm，则其侧面展开图扇形的圆心角θ＝　 　．
16．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面展开图的圆心角θ的大小为　 　．
三．解答题
17．图形ABCDE由矩形ABCD和扇形ADE组合而成（如图所示），AD⊥DE，AB＝2AD＝2．求将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积和体积．
18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝BC＝2，P，Q分别为B1C1与BB1中点．
（1）经过P，Q作平面α，平面α与长方体ABCD﹣A1B1C1D1六个表面所截的截面可能是n边形，请根据n的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型，例如n＝3只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；
（2）若R为直线AD上的一点，且AR＝2，求过PQR截面图形的周长；
19．在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝2AD＝4，∠DAB＝60°，AE＝BE，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求二面角P﹣EC﹣D的余弦值；
（2）线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．
20．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台的上、下底面的面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．
21．如图所示，在边长为6的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABD绕AD旋转一周，求阴影部分形成的几何体的表面积．
参考答案
一．选择题
1．D2．B3．B4．B5．A6．D7．A8．D9．B10．C11．A12．D
二．填空题
13．15π．14．18．．15．π．16．π．
三．解答题
17．由题意得，该几何体是由一个圆柱和半球拼接而成的组合体，
其中圆柱和半球的底面半径均为1，圆柱高为2，
圆柱的底面积S1＝πr2＝π，
圆柱的侧面积S2＝2πrh＝4π，
半球球冠的表面积S3＝＝2π，
∴将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的表面积为：
S＝S1+S2+S3＝π+4π+2π＝7π，
圆柱的体积V1＝Sh＝S1×2＝2π，
半球的体积V2＝＝，
∴将该图形沿CE旋转一周后所形成的几何体的体积为：
V＝V1+V2＝2＝．
18．（1）平面α与长方体ABCD﹣A1B1C1D1表面所截的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形．
如图：
其中三角形时，四边形，六边形时，点均取所在棱的中点；
五边形时，G取C1D1 的四等分点（靠近C1），E为AB的四等分点（靠近B），F为CD的四等分点（靠近D）．
（2）若R为直线AD上的一点，且AR＝2，过PQR截面图形的周长4+2＝．
19．（1）设O是AD中点，△PAD为正三角形，则PO⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，
PO⊥平面ABCD，又AD＝AE＝2，∠DAB＝60°，∴△ADE为正三角形，OE⊥AD，
以O为原点，OA为x轴，OE为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则P（0，0，），E（0，，0），C（﹣2，，0），
设平面PEC法向量为＝（x，y，z），＝（﹣2，，﹣），＝（0，，﹣），
则，取y＝1，得＝（0，1，1），
平面EDC的法向量＝（0，0，1），
cos＜，＞＝＝，
∴二面角P﹣EC﹣D的余弦值为．
（2）设，则，
＝，，
所以＝＝＝，
所以或，所以存在点M为线段PC的三等分点．
20．设圆台的上下底面半径为别为r，R，圆台母线长为l，
∴＝，∴∴＝，解得l＝9 （cm）．
21．所形成几何体是一个圆锥挖去一个圆柱，
由题意可知圆柱的底面半径为，高为，圆锥底面半径为3，母线为6，
所以S圆柱侧＝2π××＝，S圆锥表＝π×32+π×3×6＝27π，