（沪教版）高二数学第二学期期中考试卷（含答案解析）

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2020学年度第二学期高二年级期中考试
数
学
试卷（沪教版）
一、选择题（本大题共7题，满分21分）
1.
如果，则的平方根是(　
　)
（A）
（B）
（C）
（D）
2.
设，在复平面内，表示的点位于(　
　)
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
3.
满足条件的复数在复平面上对应的点的轨迹是(　
　)
（A）直线
（B）圆
（C）射线
（D）线段
4.
使“复数为实数”的充分而不必要条件的是(　
　)
（A）为实数
（B）
（C）
（D）为实数
5.
设分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，如果，
则这样的点(　
　)
（A）不存在.
（B）存在，且.
（C）存在，且.
（D）存在，且.
6.
设是一元二次方程的一个虚根，若，则实数(　
　)
（A）2
（B）4
（C）6
（D）8
7.
如图，在半圆⊙内有一个内切圆⊙，则动点的轨迹为(　
　)
（A）一段圆弧
（B）一段椭圆弧
（C）一段双曲线
（D）一段抛物线
二、填空题（本大题共10题，满分30分）
8.
直线的斜率
.
9.
双曲线的渐近线方程是
.
10.
焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点的椭圆标准方程是
.
11.
直线：，直线：，若，则实数的值为
.
12.
已知复数、满足，，则
.
13.
在平面直角坐标系中，已知圆与轴、轴都相切，则
.
14.
若是关于的实系数方程的一个根，则圆锥曲线的焦点
坐标是
.
15.
已知方程有两个虚根、，且，实数的值为
.
16.
已知是复数，，给出下列一些结论：
（1）；（2）若，则；（3）；（4）.
以上结论不成立的是
.
(填序号)
17.
已知椭圆：的左、右焦点分别为，以为顶点，为焦点作抛物线交
椭圆于点，且，则该抛物线的准线方程是
．
三、解答题（本大题共6题，满分49分）
18.
求与椭圆共焦点，且过点的双曲线标准方程.
19.
求双曲线截直线所得的弦长.
20.
复数，
复数满足，
且是纯虚数，求复数．
21.
定义圆心在原点，半径为的圆称为椭圆：的“伴随圆”.
（1）已知椭圆过点，且焦距为4，求椭圆的“伴随圆”方程；
（1）已知直线与椭圆的“伴随圆”都相切，求动点的
轨迹方程，并画出该轨迹其图形.
22.
如图，已知直线与抛物线:
相交于两点，为的焦点，
若，求的值.
23.
在复平面上，点所对应的复数，是某给定复数，
复数所对应的点为.
我们称点经过变换成为了点，记作.
(1)给出，且，求点的坐标；
(2)给出，若在椭圆上运动，，求的取值范围；
(3)已知在直线上运动，试问是否存在，使得在曲线上运动？若存在，
请求出；若不存在，说明理由.
答案与解析
一、选择题（本大题共6题，满分18分）
1.
如果，则的平方根是(　
　)
D
（A）
（B）
（C）
（D）
2.
设，在复平面内，表示的点位于(　
　)
C
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
解析：，故选C.
3.
满足条件的复数在复平面上对应的点的轨迹是(　
　)
A
（A）直线
（B）圆
（C）射线
（D）线段
解析：其几何意义是，在复平面内，动点到定点的距离等于到定点的距离，
由平面几何知识可知，动点点的轨迹是线段的垂直平分线，故选A.
4.
使“复数为实数”的充分而不必要条件的是(　
　)
B
（A）为实数
（B）
（C）
（D）为实数
解析：此题的意思是（A）（B）（C）（D）中哪一个选项能推出“复数为实数”，而反推不成立。
显然选项（A）不能推出“复数为实数”，反例：；
选项（C）是“复数为实数”的充要条件，不能选；
选项（D）不能推出“复数为实数”，反例：.
故排除（A）（C）（D），选B.
5.
设分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，如果，
则这样的点(　
　)
A
（A）不存在.
（B）存在，且.
（C）存在，且.
（D）存在，且.
解析：如图，双曲线的右顶点为，左焦点，
因为是双曲线右支上的一点，所以的最小值为8，
故这样的点不存在，选A.
6.
设是一元二次方程的一个虚根，若，则实数(　
　)
B
（A）2
（B）4
（C）6
（D）8
解析：由韦达定理可知，又因为，故选B.
7.
如图，在半圆⊙内有一个内切圆⊙，则动点的轨迹为(　
　)
D
（A）一段圆弧
（B）一段椭圆弧
（C）一段双曲线
（D）一段抛物线
解析：设直线是半圆⊙的一条切线，且平行该半圆的直径，过点作直线的垂线，垂足为，
设圆⊙与半圆⊙内切于点、圆⊙与半圆⊙的直径相切于点，半圆⊙半径为，
⊙的半径为，由平面几何知识可知，，，
所以，故动点的轨迹符合抛物线的定义，即到定点距离等于到定直线的距离
（定点不在定直线），故选D.
二、填空题（本大题共10题，满分32分）
8.
直线的斜率
.
解析：.
9.
双曲线的渐近线方程是
.
解析：.
10.
焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点的椭圆标准方程是
.
解析：设椭圆标准方程为，代入方程得，解得.
11.
直线：，直线：，若，则实数的值为
.
解析：由两直线平行的充要条件可得，解得.
12.
已知复数、满足，，则
.
5
解析：.
13.
在平面直角坐标系中，已知圆与轴、轴都相切，
则
.
1
解析：，
圆半径，由题意得，解得.
14.
若是关于的实系数方程的一个根，则圆锥曲线的焦点
坐标是
.
解析：考查共轭虚根定理与韦达定理，，，，，圆锥曲线
方程是，表示焦点在轴上的双曲线，，∴焦点坐标是.
15.
已知方程有两个虚根、，且，实数的值为
.
解析：设、，，又，
即，得，∴.
16.
已知是复数，，给出下列一些结论：
（1）；（2）若，则；（3）；（4）.
以上结论不成立的是
.
(填序号)
（1）（2）（3）（4）
17.
已知椭圆：的左、右焦点分别为，以为顶点，为焦点作抛物线交
椭圆于点，且，则该抛物线的准线方程是
．
解析：设、，抛物线方程为，直线的方程为，因为点在直线上，所以联立方程组，求出点的坐标为，故，又由可知，，，再由椭圆的几何性质
可得，解得.所以抛物线
的准线方程为.
若联立方程组求点的坐标，看似直接，但运算量太大，易出错，且要花很长时间，这显然不是命题者的初衷。
三、解答题（本大题共6题，满分49分）
18.
求与椭圆共焦点，且过点的双曲线标准方程.
解析：椭圆的焦点坐标是，设双曲线标准方程为，
代入方程得，化简得，解得或，∴所求双曲线
标准方程为.
19.
求双曲线截直线所得的弦长.
解析：联立方程组
设双曲线与直线的交点分别为，则
.
20.
复数，
复数满足，且是纯虚数，求复数．
解析：设，∴，∵，∴，得
，∴.
另解：设，，∵是纯虚数，
∴有，又，则有，解得或，
∴.
21.
定义圆心在原点，半径为的圆称为椭圆：的“伴随圆”.
（1）已知椭圆过点，且焦距为4，求椭圆的“伴随圆”方程；
解析：椭圆的方程是
∴“伴随圆”方程是
.
（2）已知直线与椭圆的“伴随圆”都相切，求动点的
轨迹方程，并画出该轨迹其图形.
解析：“伴随圆”方程是
∵直线与其相切，则有
整理得
其轨迹是第一象限内半径为3，圆心在原点的四分之一的圆.
22.
如图，已知直线与抛物线:
相交于两点，为的焦点，若
，求的值.
解析：
设A、B两点坐标分别为、
，，
由题意得，即，
由韦达定理得，
故，解得或（舍去）
∴点坐标为，
所以.
23.
在复平面上，点所对应的复数，是某给定复数，
复数所对应的点为.
我们称点经过变换成为了点，记作.
(1)给出，且，求点的坐标；
(2)给出，若在椭圆上运动，，求的取值范围；
(3)已知在直线上运动，试问是否存在，使得在曲线上
运动？若存在，请求出；若不存在，说明理由.
解析：（1）根据题意，有，
∴，∴点P的坐标为.
（2）∵P在椭圆上运动，∴，
又，∴.
（3）不存在.
假设存在（a、），使得得在曲线上运动.
在直线上取点，所以，对应的在曲线上，所以，即；
再取点，所以，对应的在曲线上，所以，即.
二者矛盾，所以不存在满足条件的.
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精品试卷·第
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