高中数人教A版必修5 第一章 解三角形 单元测试卷（含解析）

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高中数人教A版必修5
第一章
解三角形
单元测试卷
一、一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.在
中，
，
，
，则
（???
）
A.?????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?3????????????????????????????????????????D.?
2.
的内角
，
，
的对边分别为
，
，
，且
，
，
，则
的面积为（???
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.?
或
???????????????????????????????D.?
或
3.
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
（???
）．
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
4.在
中，
的面积为S，
，
，且满足
，则该三角形的外接圆的半径R为（???
）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????D.?2
5.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（???
）
A.?10
海里??????????????????????B.?10
海里??????????????????????C.?20
海里??????????????????????D.?20
海里
6.在
中，若
，则
（???
）
A.?30°??????????????????????????????????????B.?45°??????????????????????????????????????C.?60°??????????????????????????????????????D.?120°
7.
内角
，
，
的对边分别是
，
，
，已知
，
，
，则
(???
)
A.???????????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????????C.?3??????????????????????????????????????????D.?
8.在
中，若
，则
的取值范围是（???
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?以上答案都不对
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）
9.在
中，内角
所对的边分别为
.根据下列条件解三角形，其中有两解的是（???
）
A.????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????D.?
10.在
中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
，
，则下列结论正确的是（?
?）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
的面积为6
11.在
中，角
、
、
的对边分别是
、
、
．下面四个结论正确的是（???
）
A.?
，
，则
的外接圆半径是4?????B.?若
，则
C.?若
，则
一定是钝角三角形?????????D.?若
，则
12.在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
，则下列结论正确的是（??
）
A.????????????????????????????????B.?
是钝角三角形
C.?
的最大内角是最小内角的2倍???????????????????D.?若
，则
外接圆半径为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.在
中，
，
，
，则
________.
14.在
中，已知
，
的平分线交
于
，且
，
，则
的面积为________.
15.在
中，角
的对边分别为
，且
，
的面积为
，则
的值为________．
16.如图，在四边形ABCD中，
，
，
，
，则
的面积为________.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.如图，
是直角
斜边
上一点，
．
（1）若
，求角
的大小；
（2）若
，且
求
的长．
18.
中内角
所对的边分别为
，
.
（1）求角
；
（2）若
的周长为
，外接圆半径为
，求
的面积.
19.目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G基站AB，已知基站高
，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.
参考数据：
，
，
，
.
（1）求出山高BE（结果保留整数）；
（2）如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离
，且记在M处观测基站底部B的仰角为
，观测基站顶端A的仰角为
.试问当
多大时，观测基站的视角
最大?
20.在锐角
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、
，已知
.
（Ⅰ）求证
；
（Ⅱ）求
的取值范围.
21.在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
（1）判断
的形状．
（2）若
，求
的取值范围．
22.已知
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
，且
．
（1）求证：
；
（2）若
，
，点
为
所在平面内一动点，且满足
，当线段
的长度取得最小值时，求
的面积．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
B
【解析】【解答】在
中，由正弦定理可得：
，即
，
所以
，
故答案为：B.
【分析】由已知利用正弦定理即可得出答案。
2.【答案】
B
【解析】【解答】由已知
，
，
，
则
。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合三角形面积公式，进而求出三角形
的面积
。
3.【答案】
C
【解析】【解答】由题意得，
，
∴
，
故答案为：C
【分析】利用余弦定理即可得出答案。
4.【答案】
B
【解析】【解答】由
，
得
，
利用余弦定理得：
，
即
，
又
，
得
；
由题意，因为
，
所以
．
由余弦定理得：
.
又因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
故答案为：B.
【分析】由三角形的面积公式和余弦公式可求得角
，
结合平面向量的数量积可求得
，
利用正弦定理可得出
，
再利用余玄定理可求得
，
进而利用正弦定理可求得R的值。
5.【答案】
A
【解析】【解答】如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
根据正弦定理得
＝
，
解得BC＝10
(海里)．
故答案为：A
【分析】根据题意画出图像确定、的值，进而可得到的值，根据正弦定理可得到BC的值。
6.【答案】
C
【解析】【解答】
，由余弦定理的推论得：
，又
为三角形内角
，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合余弦定理变形，从而求出角A的值。
7.【答案】
B
【解析】【解答】因为
，
所以
.
因为
，所以
.
所以
，即
.
整理得
，解得
.
故答案为：B
【分析】利用正弦定理可把原式化简为
，
进而得出
，
利用余弦定理即可求得的值。
8.【答案】
B
【解析】【解答】由题意，在
中，若
，
因为
，可得
或
，
当
时，可得
，则
，
可得
，
因为
，所以
，所以
；
当
时，可得
，则
，
可得
，
其中
，
设
在区间
上单调递增，在
上单调递减，
又由
，
，
所以
，即
，
综上可得，
的取值范围是
，
故答案为：B.
【分析】由题意，在
中，若
，再利用三角形中角A的取值范围，从而求出角A的值，再利用分类讨论的方法结合三角形内角和为180度，从而结合两角差的余弦公式结合辅助角公式化简函数
为正弦型函数，再利用换元法将正弦型函数转化为正弦函数，再利用正弦函数的图像求出正弦型函数的值域，进而求出
的取值范围
。
二、多选题
9.【答案】
B,C
【解析】【解答】对于A中：由
，所以
，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于B中：因为
，且
，所以角
有两解；
对于C中：因为
，且
，所以角
有两解；
对于D中：因为
，且
，所以角
仅有一解.
故答案为：BC.
【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案.
10.【答案】
A,B,D
【解析】【解答】因为
，
所以
，
所以
，故A正确；
因为
，利用正弦定理可得
，
因为
，所以
，
所以
，
即
因为
，所以
，
所以
，又
，
所以
，故B正确；
因为
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
，故C错误；
，故D正确；
故答案为：ABD
【分析】利用余弦定理，结合题意，可求得
的值，根据
，利用正弦定理边化角，可求得
的值，利用正弦定理及面积公式，可求得b的值及
的面积，即可得答案.
11.【答案】
B,C
【解析】【解答】由正弦定理知
，所以外接圆半径是2，A不符合题意；
由正弦定理及
可得，
，即
，由
，知
，B符合题意；
因为
，所以C为钝角，
一定是钝角三角形，C符合题意；
若
，显然
，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】由正弦定理即可求出外接圆的半径由此判断出选项A错误；由正弦定理以及同角三角函数的基本关系式即可计算出角A的大小由此得出选项B正确；由余弦定理求出角的余弦值结合已知条件即可得出C为钝角由此判断出选项C正确；由特殊值举例法即可判断出选项D错误；由此得到答案。
12.【答案】
A,C,D
【解析】【解答】因为
所以可设：
（其中
），解得：
所以
，所以A符合题意；
由上可知：
边最大，所以三角形中
角最大，
又
，所以
角为锐角，所以B不符合题意；
由上可知：
边最小，所以三角形中
角最小，
又
，
所以
,所以
由三角形中C角最大且C角为锐角可得：
，
所以
，所以C符合题意；
由正弦定理得：
，又
所以
，解得：
，所以D符合题意；
故答案为：ACD
【分析】由已知可设
，求得
，利用正弦定理可得A符合题意；利用余弦定理可得
，三角形中的最大C角为锐角，可得B不符合题意；利用余弦定理可得
，利用二倍角的余弦公式可得：
，即可判断C符合题意，利用正弦定理即可判断D符合题意；问题得解.
三、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】由题意，根据余弦定理可得，
，所以
，
又
，所以
，
则由正弦定理可得，
，所以
.
故答案为：
.
【分析】根据题意由余弦定理代入数值计算出AB的值，再由同角三角函数的平方关系式代入数值计算出
，
再由正弦定理计算出结果即可。
14.【答案】
【解析】【解答】因为
平分
，所以
，
设
，则
，
，
因为
，设
，
所以
，
所以，
，
因为
，所以
，即
，
在
中，
，所以
，
可得
，解得：
，
所以
，
所以
，
，
所以
，
故答案为：
【分析】根据角平分线性，设
，则
，
，然后结合余弦定理列方程解之即可解得
，
由余弦定理可求得的值，利用同角三角函数基本关系式可求
，
根据三角形的面积公式即可求解。
15.【答案】
【解析】【解答】由正弦定理，原等式可化为
，进一步化为
，则
，即
．在三角形中
．由面积公式
，可知
，由余弦定理
，代入可得
．故本题应填
．
【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得
，
利用三角形面积公式可求
，
再由余弦定理可得。
16.【答案】
6
【解析】【解答】因为
，
，所以
，
在
中，
，
所以
，在
中，
，
又
，所以
，
所以
的面积为
，
故答案为：6.
【分析】由可求得
，
在
中，由余弦定理可得
，
利用正弦定理求得
，
由三角形的面积公式可求得答案。
四、解答题
17.【答案】
（1）解：在
中，由正弦定理得：
，
由题意得：
，
∵
，
∴
，
∴
（2）解：
，∴在
中，
∴
，
在
中，由余弦定理得：
【解析】【分析】（1）
在??中，由正弦定理可求
?值，结合
，
?可求
，进而可求
角?的值；
（2）由题意可求
，利用勾股定理可求
，
?的值，然后在
?中，由余弦定理可求得值。
18.【答案】
（1）解：由
得，
，
所以
，
即
，
因为
，
所以
.
由正弦定理得
，
因为
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
.
（2）解：因为
的外接圆半径为
，
所以
，
所以
，
由余弦定理得，
，
所以
，
得
，
所以
的面积
【解析】【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换求得
的值，即可得出A的值；
（2）根据正弦定理求得a的值，再利用周长公式和余弦定理求得bc的值，即可求出的面积。
19.【答案】
（1）解：由题知
，
在
中，由正弦定理得
，即
，
所以
在
中，
，即
，
所以
，
所以山高
m
（2）解：由题知
，
，则
在
中，
在
中，
由题知
，则
?
当且仅当
即
m时，
取得最大值，即视角最大
【解析】【分析】（1）根据题意，把条件抽象到三角形中，用正弦定理直接求出山高BE；
（2）由两角和差正切公式和基本不等式，求最值，可得观测站视角
?最大值。
20.【答案】
解：（Ⅰ）由正弦定理可知：
，
即
，
由正弦定理可知：
，所以
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
，所以有
，
根据三角形内角和定理可知：
，因为
是锐角三角形，所以有：
，
设
因为
，所以
，因此
，
所以
的取值范围为
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式进行证明即可；
（2）根据两角差的余弦公式，结合二倍角的余弦公式，配方法进行求解即可。
21.【答案】
（1）解：∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，∴
，∴
．
为直角三角形
（2）解：∵
∴
∵
，
，
，
，
综上所述，
【解析】【分析】(1)首先由正弦定理结合两角和的正弦公式整理化简即可得出
，
进而求出角B的值由此判断出三角形的形状即可。
(2)首先由两角和的正弦公式整理化简函数的解析式，再由正弦函数的性质以及IAO的取值范围即可得出
，
即。
22.【答案】
（1）证明：∵
，
，∴
，
由正弦定理得
，∵
，
代入得，
，即
，∵
，
，
为三角形的内角，
∴
．
（2）解：因为
，所以
，
．由题意，得
，点
在以
为直径的圆上，
∵
，∴
，
，
设
为
中点，连结
，
则当点
在
上时，
取得最小值，此时
．设
，则
，
，
，
中，
，
的面积
，
∴当
取得最小值
时，
的面积为
．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，从而结合三角形中角的取值范围，从而证出
。
（2）
因为
，
结合（1）中
，
所以求出角A的值，再利用三角形内角和为180度，从而求出角C的值，再利用数量积为0两向量垂直，从而得出
，
再利用圆的直径所对的圆周角为90度，从而推出点
在以
为直径的圆上，∵
，∴
，
，设
为
中点，连结
，则当点
在
上时，
取得最小值，此时
，设
，则
，
，
，再利用诱导公式结合直角三角形中正弦函数的定义，再结合三角形面积公式，从而求出当
取得最小值
时对应的三角形
的面积
。
?
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精品试卷·第
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