高中数学人教A版（2019）必修二 6.2 平面向量的线性运算课后测试（含解析）

(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
高中数学人教A版（2019）必修二
6.2
平面向量的线性运算课后练习
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.如图，向量
等于（????
）
A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.?
2.已知
是三个非零向量，则下列等价推出关系成立的个数是（???
）.
①
；②
；
③
；④
.
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
3.若
是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（?
?）
A.??????????B.??????????C.??????????D.?
4.设
是两个不共线的向量，且
与
共线，则实数λ＝（???
）
A.?－1????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?
5.如图，在直角梯形
中，
，
为
边上一点，
，
为
的中点，则
＝（???
）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
6.如图，在正方形
中，
是线段
上的一动点，
交
于点
，若
，
，则
（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.?1??????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.?2
7.已知平行四边形
中，
，
，
，则
（???
）
A.???????????????????B.???????????????????C.???????????????????D.?
8.如图，在平行四边形
中，对角线
与
交于点
，且
，则
（???
）
A.?????????????????B.?????????????????C.?????????????????D.?
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）
9.设
，
是两个非零向量，则下列描述正确的有（???
）
A.?若
，则
???????????????????B.?若
，则存在实数
，使得
C.?若
，则
???????????????????D.?若存在实数
，使得
，则
10.如图，在梯形
中，
，
，
与
相交于点
，则下列结论正确的是（???
）
A.???????????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????????????????D.?
11.已知
是边长为2的等边三角形，
是
上的点，
，
是
的中点，
与
交于点
，那么（???
）
A.?????????????B.?????????????C.?????????????D.?
12.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD
，
AB⊥AD
，
AB=2AD=2DC
，
E为BC边上一点，且
，F为AE的中点，则（???
）
A.???????????????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????????????D.?
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13.化简
________.
14.设
，
是空间两个不共线的向量，已知
，
，
，且
，
，
三点共线，实数
________．
15.已知
，
是两个不共线的向量，
，
.若
与
是共线向量，则实数
的值为________.
16.如图，已知
是边长为
的等边三角形，点
、
分别是边
、
的中点，连结
并延长到点
，使得
，则
的值为________
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.如图所示,在平行四边形
中,M,N分别为
,
的中点,已知
，试用
表示
18.如图所示，已知
，
，
，
，
，
，试用
、
、
、
、
、
表示下列各式：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
19.如图，在
中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设
，
.
（1）用
表示向量
，
；
（2）若
，求
的值.
20.如图,点C是点B关于点A的对称点,点D是线段
的一个靠近点B的三等分点,设
.
（1）用向量
与
表示向量
;
（2）若
,求证:C,D,E三点共线.
21.设
，
是两个不共线向量，知
，
，
．
（1）证明：
、
、
三点共线
（2）若
，且
、
、
三点共线，求
的值.
22.如图，已知
，
?
分别为边
?
上的点，且
，
与
交于
，设存在
和
使
.
（1）求
和
的值；
（2）用
表示
.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
【解析】【解答】如图：
设
，
，则
，
故答案为：C
【分析】由向量的加减的三角法则算即可得出答案。
2.【答案】
B
【解析】【解答】解：①
可以推出
，但
只能推出
的方向不一定相同，所以①中等价推出关系不成立.②设
的夹角为
的夹角为
，
，
当
，
时，则
；反之，由
也推不出
.
所以②中等价推出关系不成立.③当
时，将向量
的起点确定在同一点，则以向量
为邻边作平行四边形，则该平行四边形为矩形，于是它的两条对角线长相等，即
.
反之，若
，则以
为邻边的四边形为矩形，
即
.所以③中等价推出关系成立.④设
的夹角为
，
，则
或
.
所以④中等价推出关系成立.
故答案为：B.
【分析】根据向量数量积公式
和向量加减法的几何意义即可判断.
3.【答案】
B
【解析】【解答】根据平面向量减法运算的“三角形”法则可知
＝
-
　，
只有选项B符合题意，
故答案为：B.
【分析】由向量减法运算的“三角形”法则对选项逐一判断即可得出答案。
4.【答案】
D
【解析】【解答】由
共线，知：
，
为实数，
∴
，即
，
故答案为：D。
【分析】利用已知条件结合共线定理的判断方法，进而结合两向量相等判断方法，从而解方程组求出的值。
5.【答案】
C
【解析】【解答】解：
故答案为：C.
【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得答案。
6.【答案】
B
【解析】【解答】取向量
，
作为一组基底，则有
，
.因为向量
与
共线，所以
，即
，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合共线定理和平面向量基本定理，从而求出的值。
7.【答案】
C
【解析】【解答】如图所示，
为
，
，
所以
，
又
，
.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的结构特征，结合共线定理和三角形法则，利用平面向量基本定理即可表示出向量.
8.【答案】
C
【解析】【解答】平行四边形
中，
，
∵
，∴
，
∴
.
故答案为：C.
【分析】根据题意，由平面向量的三角形法则列式即可得.
二、多选题
9.【答案】
B,C
【解析】【解答】解：对于A，当
时，
，
得
，
因为
，
是两个非零向量，所以
，
共线反向，所以A不符合题意，B符合题意；
对于C，当
时，
，
得
，所以
，所以C符合题意；
对于D，由A的判断可知，当
时成立，而
时，不成立，所以D不符合题意，
故答案为：BC
【分析】利用向量的数量积、向量垂直、向量平行的性质，对选项逐个化简判断即可.
10.【答案】
A,B,C
【解析】【解答】A.
，所以A符合题意；
B.
正确，所以B符合题意；
C.
，所以
，即
，所以
，所以C符合题意；
D.
，D不正确.
故答案为：ABC
【分析】由条件可知，
，所以
，再根据向量加减法的法则，分别计算每个选项.
11.【答案】
A,C,D
【解析】【解答】以
为原点，
所在的直线为
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即选项
正确；
设
，则点
，
，
、
、
三点共线，
不妨设
，即
，
，
，
，解得
，
，
，
，即点
为
的中点，故答案为：项
正确；
为等边三角形，且
为
的中点，
，即
，故答案为：项
错误；
为
的中点，
为
的中点，
，
，
，即选项
正确．
故答案为：ACD．
【分析】首先建立平面直角坐标系求出各个点的坐标，结合向量的加减运算以及向量的坐标表示数量积、模长对选项逐一判断即可得出答案。
12.【答案】
A,B,C
【解析】【解答】解：∵
AB∥CD
，
AB⊥AD
，
AB=2AD=2DC
，
由向量加法的三角形法则得
，A对；
∵
，∴
，
∴
，
又F为AE的中点，∴
，B对；
∴
，C对；
∴
，D错；
故选：ABC．
【分析】利用向量加法的三角形法则、数乘运算及平面向量基本定理进行解题．
三、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】
，
故答案为：
。
【分析】利用三角形法则化简求值。
14.【答案】
1
【解析】【解答】解：∵A，B，D三点共线，
∴向量
和
共线，故存在实数
，使
，
由题意可得
，
即
，
故可得
，解得
，
故
.
故答案为：1.
【分析】由题意可得向量
和
共线，存在实数
，使
，可得关于k，
的方程组，进行求解即可.
15.【答案】
-4
【解析】【解答】∵
与
是共线向量，∴存在实数
，使得
，即
，
∴
，解得
．
故答案为：－4．
【分析】根据向量共线定理求解．
16.【答案】
【解析】【解答】因为
，点
、
分别是边
、
的中点，
所以
，
因此
，
又
，
是边长为
的等边三角形，
所以
.
故答案为：
【分析】先由题意，得到
，推出
，再由
，根据向量的数量积运算，结合题中条件，直接计算，即可得出结果.
四、解答题
17.【答案】
解：
,
?????
解得
所以
，
【解析】【分析】根据向量加法的三角形法则，用
，
表示出
，
，解方程组即可得到答案.
18.【答案】
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
.
【解析】【分析】将（1）、（2）、（3）中的每个向量利用共起点
的向量的差向量表示，再利用平面向量加法和减法运算可得出结果.
19.【答案】
（1）解：因为点A是BC的中点，所以
，所以
，
又点D是靠近点B将OB分成2：1的个内分点，所以
，
所以
.
（2）解：因为C，E，D三点共线，所以存在实数
，使得
，
又
，
，所以
,
又
不共线，则
，解得
.
【解析】【分析】(1)根据平行四边形法则结合平面向量基本定理可得
表示
;(2)根据向量关系的条件建立方程关系,可求出实数
的值.
20.【答案】
（1）解：∵
,
,
∴
,
.
（2）解：
,
∴
与
平行,
又∵
与
有共同点C,
∴
，
，
三点共线.
【解析】【分析】（1）根据题意，利用向量的加法与减法的几何意义，得出
，
，即可用
、
表示；（2）由
，只需找到
与
的关系，即可得证.
21.【答案】
（1）证明：
，
与
有公共点，
、
、
三点共线
（2）解：
、
、
三点共线，
存在实数
，使
，
，
又
不共线，
，
解得
，
．
【解析】【分析】（1）先求出
，只要证明存在实数
，使得
即可；（2）利用向量共线定理即可得出．
22.【答案】
（1）解：由于
，则
，
，
，
，
，
???
①，
?????
②
由①②得
，
（2）解：
【解析】【分析】（1）用
，
作为基底表示出向量
，
，根据向量相等得到方程组，即可解得；（2）根据向量加法运算法则，计算可得.
(
1
)