(共16张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
生活中的函数模型:
（1）双十一iPhone12禁止降价销售，否则每台违约金1万元，假设某猫平台违约降价售出x台iPhone12，那么要支付违约金y=x元，这里y是x的函数；
（2）教室地面正方形地砖的边长为a，那么每个地砖的面积S=a2,这里S是a的函数；
（3）学校的学生书橱形状是立方体，如果棱长为b,那么书橱的体积V=b3,这里V是b的函数；
（4）如果一个正方形草坪的面积为S，那么这个正方形的边长
，
即
,这里c是S的函数；
（5）如果某同学t
s内跑完了1km，那么他跑步的平均速度
，即v=t-1
,
这里v是t的函数。
观察归纳，你可以发现哪些共同点？
新知初探:
幂函数的定义：
一般地，函数______叫做幂函数，其中__是自变量，__是常数.
小结：幂函数的解析式特征
（1）指数为常数(2)底数为自变量(3)系数为1.
判断下列函数是否为幂函数.
(1)
y=x4
(3)
y=
-x2
(5)
y=2x2
(6)
y=x+2
判一判
y=x
y=x2
y=x-1
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
奇
偶
奇
R
R
{x|x≠0}
R
{y|y≠0}
［0,+∞）
在R上增
在（-∞，0)上减，
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
在（-∞，0]上减,
在［0，+∞）上增，
在(0，+∞)上减
研究性质
分析解析式
画出图象
研究函数的“基本套路”
性质应用
如何画出y=x3和
的图象？
y=x3
定义域为R，奇函数；
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=x3
-27
-8
-1
0
1
8
27
x
0
1
4
9
0
1
2
3
图象
y=x
y=x2
y=x3
y=x
y=x-1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
奇
偶
奇
非奇
非偶
奇
(1,1)
R
R
R
{x|x≠0}
［0,+∞）
R
R
{y|y≠0}
［0,+∞）
［0,+∞）
在R上增
在（-∞，0)上减，
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
在R上增
在［0，+∞）上增
在（-∞，0]上减,
在［0，+∞）上增，
在(0，+∞)上减
归纳总结:
学以致用:
1、利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
；(2)
0.213,0.233.
练一练：比较下列各题中两个值的大小：
>
>
学以致用:
2、请根据这节课学到的研究函数的“基本套路”，画出函数y=x-2的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明。
深化提高:
图象变化演示
归纳小结:
（1）幂函数的定义是什么？结合这节课学到的幂函数，说一说幂函数具有哪些性质？
（2）结合这节课对具体幂函数的研究过程，归纳一下研究函数的“基本套路”。
作业:
基础作业：P91
练习
1、2、3
进阶作业：P91
习题3.3
1、23.3
幂函数
一、教材内容及解析
1、教材内容
幂函数的定义，
五个幂函数的图象与性质。
2、内容解析
本节课选自人教A版教材《数学（必修第一册）》3.3幂函数。学生在初中已经学习了
三个简单的一次函数、二次函数和反比例函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识，现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。因此，幂函数的学习是建立在已经学习过的函数知识上的延伸，主要是在归纳这五个具体函数共性基础上的数学抽象。
幂函数安排在“函数的概念与性质”后，通过对五个特定的简单幂函数进行研究，使学生体会研究具体的函数的基本过程和方法（定义、表示----图象与性质----应用），既是对前面所学内容的巩固，也为后面指数函数、对数函数的学习打下基础。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：幂函数的概念，幂函数的图象与性质。
二、教学目标及解析
1、教学目标
（1）通过具体实例，了解幂函数的定义，会画
五个幂函数幂函数的图象，理解它们的性质；
（2）通过对幂函数的研究，体会研究具体的函数的基本过程和方法。
2、目标解析
要求学生能从自变量、函数值及解析式的结构特征等角度观察、归纳出共性，进而抽象出幂函数的定义。会利用幂函数的定义判断给出的函数是否为幂函数。会在总结
的图象和性质的基础上，画出
的草图，并总结出这五个幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。最后，能利用幂函数的性质解决简单的比较大小的问题。
另外，结合对幂函数的研究，体会和初步掌握研究具体函数的基本过程和方法。
三、教学问题诊断及策略分析
学生在初中已经学习了几个简单的幂函数，进入高中阶段，结合前面学习的函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等性质，可以归纳概括出幂函数的共性。通过画
的图象，一方面是夯实基础，另一方面也为学生今后类比研究指数函数、对数函数做好铺垫。本节课采用导学案教学，课前，引导学生充分预习，课上，以问题为引领，通过组织小组合作学习，突出学生自主、合作、探究，使学生更扎实的掌握知识。
基于以上分析，确定本节课的教学难点：观察五个幂函数的解析式的共性，抽象出幂函数的概念；初步掌握研究具体的函数的基本过程和方法。
四、多媒体技术支持
本节课可以利用几何画板演示五个幂函数在同一个坐标系中的图象，便于学生观察、归纳幂函数的概念和性质。
分组讨论后，利用实物投影展示学生学习成果，培养学生探索欲望和合作意识。最后用几何画板演示一般幂函数的图象变化，深化理解，为后续学习做好铺垫。
五、教学过程设计：
情境引入
问题1：通过前面的学习，我们掌握了函数的定义域、值域、单调性和奇偶性这几类性质，并且通过具体应用，知道了生活中的很多实际问题都可以建立相关的函数模型。课前，我布置了任务，要求大家寻找身边的能用函数关系表示的例子。我在众多的答案中选取了以下几个，大家请看:
（1）双十一iPhone12禁止降价销售，否则每台违约金1万元，假设某猫平台违约降价售出x台iPhone12，那么要支付违约金y=x元，这里y是x的函数；
（2）教室地面正方形地砖的边长为a，那么每个地砖的面积S=a2,这里S是a的函数；
（3）学校的学生书橱形状是立方体，如果棱长为b,那么书橱的体积V=b3,这里V是b的函数；
（4）如果一个正方形草坪的面积为S，那么这个正方形的边长
，
即
，这里c是S的函数（这里
也可以表示为
，我
们会在后续的学习中学到）
；
（5）如果某同学t
s内跑完了1km，那么他跑步的平均速度
即v=t-1
,
这里v是t的函数。
我们从其中分别提取出这5个函数解析式:
请大家仔细观察这5个函数解析式，从自变量、函数值的结构特征方面，可以发现哪些共同点？
互动环节：学生观察后得出答案，教师进行引导和补充，最后得出结论：这几个函数解析式都具有幂的形式，幂的底数是自变量，指数为定值，系数为1。
（二）定义理解与深化
教师给出幂函数的定义，用课件展示，并进行板书。
一般地，函数
叫做幂函数，其中x是自变量，
是常数.
（特别强调，幂函数一般式中的指数是用
来表示，要与字母a区分开）
问题2：判断下列函数是否为幂函数？
互动环节：通过学生回答，教师纠正，深化对定义的理解。
设计意图：通过判断，引导学生抓住幂函数的形式特点。
（三）幂函数的图象与性质
问题3：刚才例子中的5个函数，哪几个是我们非常熟悉的？
互动环节：学生很快说出答案，教师总结：这几个特殊的一次函数、二次函数和反比例函数，从这节课的角度看，都是幂函数。并用课件展示图象,整理出这三个幂函数的性质。
设计意图：使学生建立幂函数与之前所学函数的联系。
问题4：有了幂函数的定义，接着我们应该研究什么？
互动环节：教师在学生回答的基础上加以补充，最后得出共识：根据前面学过的函数的知识，接下来应该研究这几个幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等内容。
追问：如何研究这几个函数的性质呢？
互动环节：引导学生得出以下结论：根据初中以及高中前几个月学习函数的经验，应该先画出函数图象，在不知道函数图象特点的情况下，最直接的方法就是描点法。为了简化作图的过程，可以利用前面学过的知识，先分析解析式，得出定义域、奇偶性等性质，便于更有针对性的选取点的坐标。
设计意图：引导学生回顾已有经验，给出研究函数的一般内容和方法:分析解析式
画出图象
研究性质
性质应用。
问题5：如何画出
的图象？
互动环节：根据刚才分析的研究函数的方法，得出定义域、奇偶性，引导学生合理地选取点的坐标，利用描点法在导学案上画图。教师分享学生作图成果，加以纠正，并用几何画板演示正确图象。
设计意图：通过亲自动手，让学生完整体会研究函数的一般过程，深化理解高中阶段研究函数的新特点。
问题6：观察这5个函数图象，它们有哪些共同的性质？有哪些不同的性质？
互动环节：通过归纳总结，得出5个幂函数的性质，学生填写在导学案上。特别提醒，这5个幂函数在第一象限都过定点（1,1）。
在此基础上，归纳总结出这5个幂函数的四条性质。
（四）性质应用
问题7：利用幂函数的性质，比较两个值的大小。
0.213,0.233
互动环节：教师对学生思路进行点拨：要构造幂函数，借助其单调性求解。教师板书解题过程，并且让学生在导学案上进行练习巩固。
设计意图：这一组练习让学生进一步理解已知的幂函数的单调性，并且是对数学建模这一核心素养的有效训练。
问题8：画出函数y=x-2的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明。
互动环节：组织学生分组讨论、合作，最后展示学生的学习成果，一起交流提高。
设计意图：进一步巩固研究函数的一般内容和方法。
（五）深化提高
问题9：
互动环节：学生可以自由发言，根据这节课学到的知识，描述出两个函数的大致图象。教师利用几何画板演示图象，并且让学生直观的感受到指数由正到负，图象在第一象限由递增变为递减、由过（0,0）和（1，1）点变为只过（1,1）的变化过程。
设计意图：虽然这节课只研究5个特定的幂函数，但是随着以后的学习，学生必然要学到一般幂函数的图象与性质，这里做出必要的延伸，为以后的学习做好铺垫。
（六）归纳小结
问题10：（1）幂函数的定义是什么？结合这节课学到的幂函数，说一说幂函数具有哪些性质？
（2）结合这节课对具体幂函数的研究过程，归纳一下研究函数的“基本套路”。
互动环节：学生归纳，教师进行补充。
（七）作业布置：
基础作业：P91
练习
1、2、3
进阶作业：P91
习题3.3
1、2
设计意图：作业进行了层次区分，让学生结合自身掌握情况，有针对性的进行练习。
六、教学目标评测练习
1 在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2、设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为( )
A.1,3
B.－1,1
C.－1,3
D.－1,1,3
3、利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）5.25－1________5.26－1
（2）
4、已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式。
5、画出函数图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性。
设计意图：利用最后5分钟时间，进行限时检测，检验学生这节课知识掌握情况，作为重要的参考，便于有针对性的调整后续教学的进度和深度。文江学海，涵泳优游
人教A版教材《数学（必修第一册）》3.3幂函数课后检测（满分10’）
1 （1’）在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
2、（1’）设α∈{－1,1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为( )
A.1,3
B.－1,1
C.－1,3
D.－1,1,3
3、（2’）利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）5.25－1________5.26－1
（2）
4、（3’）已知幂函数的图象过点，求这个函数的解析式。
5、（3’）画出函数图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性。
