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7.2.1
复数的加减运算及其几何意义随堂同步进阶练习
一、单选题
1．若实数满足，则的值为(
)
A．1
B．2
C．-2
D．-1
2．已知复数满足，则(
)
A．0
B．
C．6
D．
3．在复平面内，O是原点，对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,
1＋5i，那么对应的复数为(
)
A．4＋7i
B．1＋3i
C．4－4i
D．－1＋6i
4．如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数(
)
A．
B．
C．
D．
5．已知为虚数单位，若复数，则(
)
A．5
B．8
C．10
D．13
6．设，，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
7．设，则(
)
A．
B．
C．
D．
8．复数满足条件，则的最小值为(
)
A．2
B．4
C．
D．16
二、多选题
9．（多选）表示(
)
A．点与点之间的距离
B．点与点之间的距离
C．点到原点的距离
D．坐标为的向量的模
三、填空题
10．若复数满足，则复数________________.
11．已知分别是复数在复平面内对应的点，为坐标原点，若，则是___________三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）.
四、解答题
12．已知四边形是复平面内的平行四边形，是原点，点分别表示复数，是，的交点，如图所示，求点表示的复数.
13．计算：
(1)；
(2)；
(3).
14．已知复数.
(1)当为何值时，复数是实数？
(2)当为何值时，复数是纯虚数？
15．已知复数（且），若复数在复平面内所对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
16．已知复数，其中，求的最小值.
17．已知在复平面内，为坐标原点，向量分别对应复数，且，，.
(1)求实数的值；
(2)求以为邻边的平行四边形的面积.
答案解析
1．A
【详解】
依题意,,则,解得,所以
故选:A
2．B
【详解】
由题,,
故选:B
3．C
【解析】
，选C.
4．B
【详解】
由图,,,
所以,,则,,
所以,
故选:B
5．D
【详解】
因为复数，
所以，解得,
则,
故选:D
6．B
【详解】
若、皆是实数，则一定不是虚数，因此当是虚数时，则“、中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；
当、中至少有一个数是虚数，不一定是虚数，如，即充分性不成立，故选B.
7．D
【详解】
由题,,
所以,
故选:D
8．C
【详解】
由,得,
所以,即,
所以,当且仅当时取等号,
故的最小值为
9．ACD
【详解】
由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B说法错误；,可表示点到原点的距离,故C说法正确；,可表示表示点到原点的距离,即坐标为的向量的模,故D说法正确,
故选:ACD
10．
【详解】
因为,所以的虚部为,
设,则,解得,所以,
故答案为:
11．直角
【详解】
因为,
所以,
故以为邻边的平行四边形的对角线的长度相等,即该平行四边形为矩形,
所以是直角三角形
故答案为:直角
12．，
【详解】
因为,分别表示复数,,
所以表示的复数为,即点表示的复数为,
又,所以表示的复数为,即点表示的复数为
13．(1)；(2)；(3)
【详解】
(1)
(2)
(3)
14．(1)；(2)1.
【详解】
(1)由题意,,
若复数是实数,则,即.
(2)由（1）,若复数是纯虚数,则,即
15．
【详解】
因为,所以,
又,所以,
所以,
因为在复平面内所对应的点在第二象限,
所以,解得,
所以实数的取值范围为
16．
【详解】
因为,,
所以,
因为,
所以,
所以,
所以当时,
17．(1)3；(2).
【详解】
(1)∵,
∴，解得
(2)由(1)知,
∴,
∴,
设向量的夹角为,
∴,
∴,
∴
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7.2.1
复数的加减运算及其几何意义随堂同步练习
一、单选题
1．计算的结果为（
）
A．
B．
C．1
D．
2．已知是虚数单位，复数，则复数在复平面内表示的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．，，m为实数，若，则m的值为（
）
A．4
B．
C．6
D．0
4．在复平面内,复数与分别对应向量和,其中O为坐标原点,则=（
）
A．
B．
C．2
D．4
5．在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是 ( )
A．2+4i
B．-2+4i
C．-4+2i
D．4-2i
6．，分别是复数，在复平面内对应的点，是坐标原点.若，则一定是（
）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰直角三角形
7．满足条件的复数在复平面内对应的集合是（
）
A．一条直线
B．两条直线
C．圆
D．一条线段
8．已知，且，则（为虚数单位）的最大值是（
）
A．
B．
C．
D．
9．若复数满足，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
10．复数满足条件，则的最小值为(
)
A．2
B．4
C．
D．16
二、填空题
11．设，，，则______.
12．已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________.
13．已知复数z满足等式，则的最大值为______
14．已知集合，，则______.
三、解答题
15．在复平面内，，，三点分别对应复数1，，.
（1）求，，对应的复数；
（2）判断的形状.
答案解析
1．C
【详解】
由题得=3+i-2-i=1.
故选C
2．C
【详解】
由复数加法运算可知
在复平面内表示的点坐标为，所以所在象限为第三象限
所以选C
3．B
【解析】
由题意，，解得，故选B．
4．C
【详解】
因为复数与分别对应向量和，
所以向量和，
所以，则，
故选C．
5．D
【解析】
由题意可得，在平行四边形中，
则，所以对应的复数为，故选D．
6．B
【详解】
根据复数加（减）法的几何意义及，
知以,为邻边所作的平行四边形的对角线相等，
则此平行四边形为矩形，故为直角三角形.
故选：B
7．C
【详解】
设，.
因为，所以，
所以复数在复平面上对应点的集合是圆.
故选：C.
8．B
【详解】
设，，
复数表示的是以原点为圆心，的圆，
故表示的是
圆上的点到点的距离，
可知最长距离，
故选：B.
9．D
【解析】由复数满足，所以复数的轨迹是复平面内表示以原点为圆心，半径为的圆，又表示复数到复平面内点之间的距离，即以原点为圆心，半径为的圆上的点到点的距离，又点到原点的距离为，所以最大值为，最小值为，故选D.
10．C
【详解】
由,得,
所以,即,
所以,当且仅当时取等号,
故的最小值为
11．
【详解】
，，，
.
故答案为：
12．3i
【解析】
设z=a+bi(a,b∈R),
因为|z|=3,所以a2+b2=9.
又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,
所以即
又a2+b2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.
13．
【详解】
|z﹣1﹣i|＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹，
如图：
|z﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.
由图可知，|z﹣3|的最大值为．
故答案为．
14．
【详解】
的几何意义是以点为圆心，1为半径的圆.
表示到点和点的距离
相等的点的集合，是线段的垂直平分线，也就是轴.
的几何意义是轴与圆的公共点对应的复数，
故或，.
15．（1）对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为.（2）是以角为直角的直角三角形.
【详解】
（1），，三点对应的复数分别为1，，，
，，对应的复数分别为1，，
其中为坐标原点
，，.
，，
.
即对应的复数为，
对应的复数为，对应的复数为.
（2），
，
.
又，是以角为直角的直角三角形.
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