第3章 因式分解 小结与复习 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
小结与复习
第3章
因式分解
湘教版·七年级数学下册
上课课件
【知识与技能】
掌握提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的运用，及在实数范围内分解因式的方法，培养学生简便运算和应用因式分解解决数学问题的能力.
【过程与方法】
通过寻求乘法公式与因式分解的关系，理解因式分解的含义.
【情感态度】
通过因式分解的学习，体会整体数学思想和转化的数学思想.
【教学重点】
熟练运用各种方法来进行因式分解.
【教学难点】
因式分解各种方法的综合运用，利用因式分解解决数学问题.
学习目标
本章知识结构
概念
因式分解的方法
提公因式法
公式法
因式分解
习题
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一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.
一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式.此时，h也是f的一个因式.
f=gh
运用整式乘法可以检验因式分解的结果是否正确.
结构图
提公因式时，如果多项式的首项为负数，一般先把负号提出来，并把括号内的各项变号.
当多项式各项有系数时，要先确定公因式的系数，就是各多项式系数的最大公约数.
当多项式中有多个未知数时，公因式含的字母是各项中相同的字母x和y，它们的指数取各项中次数最低的.
提公因式法
结构图
因式分解时，如何确定多项式的公因式？
公因式为单项式时：
1.定系数：找多项式各项系数的最大公约数．
2.定字母：找多项式各项相同的字母．
3.定指数：相同字母的最低的次数.
当公因式为多项式时，把相同字母换成相同式子.
因式分解一定要进行到每一个因式都不能再分解为止.
结构图
完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
反过来进行因式分解
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
a2-b2=(a+b)(a-b)
公式法
结构图
结构图
1.把下列多项式因式分解：
（1）x2-xy+x；
（2）m2n-mn2+mn；
（3）9x3y3-21x3y2+12x2y2；
（4）x2(x-y)+y2(x-y).
=x(x-y+1)
=mn(m-n+1)
=3x2y2(3xy-7x+4)
=(x2+y2)(x-y)
结构图
2.把下列多项式因式分解：
（1）x2-9；
（2）49m2-81n2；
=(x+3)(x-3)
=(7m+9n)(7m-9n)
结构图
3.把下列多项式因式分解：
（1）4x2+20x+25；
（2）x4+6x2+9；
（3）x4-18x2+81；
（4）(x-y)2+2(x-y)w+w2；
（5）4a4+12a2b2+9b4.
=(2x+5)2
=(x2+3)2
=(x2-9)2
=(x+3)2(x-3)2
=(x-y+w)2
=(2a2+3b2)2
结构图
4.把下列多项式因式分解：
（1）-6x2+12x-6；
（2）-9x2+24xy-16y2；
（4）(x+y+1)2-(x-y+1)2；
=-6(x2-2x+1)
=-6(x-1)2
=-(9x2-24xy+16y2)
=-(3x-4y)2
（3）a2(a-b)+2ab(a-b)+b2(a-b).
=(a-b)(a2+2ab+b2)
=(a-b)(a+b)2
=(x+y+1-x+y-1)(x+y+1+x-y+1)
=2y(2x+2)
=4y(x+1)
4.把下列多项式因式分解：
（5）x4-16；
（6）
x4-16y4.
=(x2-4)(x2+4)
=(x+2)(x-2)(x2+4)
=(x2-4y2)(x2+4y2)
=(x-2y)(x+2y)(x2+4y2)
结构图
5.计算：
（1）17×0.11+37×0.11+46×0.11；
（2）2562-1562.
=(17+37+46)×0.11
=11
=(256+156)(256-156)
=41200
结构图
6.把下列多项式因式分解：
（1）y2-(x2-10x+25)；
（2）(a2-9b2)+(a-3b)；
（3）(x3-x2)+(x-1)；
（4）ax-bx-ay+by.
=y2-(x-5)2
=(y+x-5)(y-x+5)
=(a-3b)(a+3b)+(a-3b)
=(a-3b)(a+3b+1)
=x2(x-1)+(x-1)
=(x2+1)(x-1)
=x(a-b)-y(a-b)
=(x-y)(a-b)
7.把下列多项式因式分解：
（1）(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)；
（2）x3z-4x2yz+4xy2z.
结构图
=(a-b)(x-y)+(a-b)(x+y)
=(a-b)(x-y+x+y)
=2x(a-b)
=xz(x2-4xy+4y2)
=xz(x-2y)
2
8.一种混凝土排水管，其形状为空心的圆柱体,它的内径d=68cm，外径D=88cm，长h=200cm.浇制一节这样的排水管需要多少立方米的混凝土(结果保留π)？怎样计算较简便？
结构图
答：需要0.156π立方米的混凝土.
156000πcm3=0.156πm3
9.先化简，再求值：
(a+b)2+2(a+b)(a-b)+(a-b)2，其中a=
，b=1.
结构图
解
(a+b)2+2(a+b)(a-b)+(a-b)2
=(a+b+a-b)2
=4a2
当a=
，b=1时.
原式=1
10.已知2x-1=3，求代数式(x-3)2-2(x-3)+1的值.
结构图
=(x-3-1)2
解
(x-3)2-2(x-3)+1
=(x-4)2
因为2x-1=3，所以x=2.
原式=4.
11.把下列多项式因式分解：
（1）x2-4y2+x+2y；
（2）(x+y)2-4(x+y-1)；
（3）xn+1-2xn+xn-1(n是大于1的正整数).
结构图
=(x+2y)(x-2y)+(x+2y)
=(x+2y)(x-2y+1)
=(x+y)2-4(x+y)+4
=(x+y-2)2
=xn-1(x2-2x+1)
=xn-1(x-1)2
12.你能把多项式x2+5x+6因式分解吗？
(1)上式能利用完全平方公式进行因式分解吗？
(2)常数项6是哪两个因数的乘积？一次项系数5是否等于6的某两个因数的和？
结构图
不能.
1×6=2×3=6，5=2+3
(3)由多项式乘法，(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,将该式从右到左地使用，即可对形如x2+(a+b)x+ab的多项式进行因式分解.
多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和.
你能据此将x2+5x+6写成两个一次多项式的乘积吗？
请把填上数后的两个一次多项式相乘，验证乘积是否等于x2+5x+6.
x2+(____+____)x+____×____
=
(x
+____)(x
+____)
2
3
2
3
2
3
(4)从第(3)题，你能看出把x2+5x+6进行因式分解的关键步骤是什么吗？
(5)你能运用上述方法将多项式x2-x-2进行因式分解吗？
结构图
关键步骤是将常数项分解为某两个因数的积，且这两
个因数的和等于一次项的系数，如6=2×3，2+3=5.
x2-x-2
=x2+[1+(-2)]x+1×(-2)
=(x+1)(x-2)
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业
谢谢欣赏
谢谢大家!
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