1.2二次函数的图象与性质（4） 同步练习（含解析）

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初中数学湘教版九年级下册1.2二次函数的图象与性质（4）同步练习
一、单选题（
1.抛物线y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（?? ）
A.?y＝3（x﹣4）2+2?????????B.?y＝3（x﹣4）2﹣2?????????C.?y＝3（x+4）2﹣2?????????D.?y＝3（x+4）2+2
2.已知点 是二次函数 的一个点且 满足关于x的方程 ，则下列选项正确的是（?? ）.
A.?对于任意实数x都有 ?????????????????????????????????B.?对于任意实数x都有
C.?对于任意实数x都有 ?????????????????????????????????D.?对于任意实数x都有
3.二次函数y=－x2+2x+4，当－1≤x≤2时，则（ ??）.
A.?1≤y≤4?????????????????????????????????B.?y≤5?????????????????????????????????C.?4≤y≤5?????????????????????????????????D.?1≤y≤5
4.将 的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（?? ）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
5.如图，a<0，b>0，c<0，那么二次函数y=ax2+bx+c的图像可能是(??? )
A.????????????B.????????????C.????????????D.?
6.抛物线 的对称轴在 轴右侧，则 的取值范围是（??? ）
A.????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
7.点 均在二次函数 的图象上，则 的大小关系是（??? ）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
8.关于二次函数y=2x2+x-1，下列说法正确的是（??? ）
A.?图像与y轴的交点坐标为(0，1)????????????????????????????B.?图像的对称轴在y轴的右侧
C.?当x＜0时，y的值随x值的增大而减小??????????????D.?y的最小值为-
9.二次函数y＝﹣x2+4x+1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（　　）
A.?x＜2??????????????????????????????????B.?x＞2??????????????????????????????????C.?x＜﹣2??????????????????????????????????D.?x＞﹣2
10.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是由抛物线y＝﹣x2+x+2先作关于y轴的轴对称图形，再将所得到的图象向下平移3个单位长度得到的，点Q1（﹣2.25，q1），Q2（1.5，q2）都在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上，则q1 ， q2的大小关系是（ ??）
A.?q1＞q2??????????????????????????????B.?q1＜q2??????????????????????????????C.?q1＝q2??????????????????????????????D.?无法确定
二、填空题
11.二次函数 化为 的形式________
12.抛物线 的顶点坐标是________．
13.的图象不经过________象限；
14.已知抛物线 与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．
（1）此抛物线的对称轴是直线________；
（2）已知点 ， ，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，则a的取值范围是________．
15.二次函数y＝x2+4x﹣4图象的对称轴是直线________．
16.抛物线y=x2-（m+2）x+9的顶点在坐标轴上，则m的值为________．
17.二次函数y＝ax2﹣12ax+36a﹣5的图象在4＜x＜5这一段位于x轴下方，在8＜x＜9这一段位于x轴上方，则a的值为________
18.已知点A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）为二次函数y＝﹣x2+4x﹣3图象上的两点，若x1 x2 2，则y1________y2（填 、 或＝）．
19.二次函数 的最小值是________．
三、解答题
20.求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴：
（1）y=-x2+2x-3?????????????
（2）y=x2-2x+
21.已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+1，先用配方法转化成y＝a（x﹣h）2+k，再写出函数的顶点坐标、对称轴以及描述该函数的增减性.
22.若二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点是（2，1）且经过点（1，2），求此二次函数解析式．
23.已知二次函数.y=x2-4x+3
（1）用配方法将其化为y=a（x-h）2+k的形式；
（2）写出这个二次函数的开口方向，对称轴及顶点坐标.
（3）在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象.
24.已知二次函数 .
（1）求该二次函数图象的对称轴.
（2）当 时，若该二次函数图象的最高点为P，最低点为Q，点P的纵坐标为10，求点P与点Q的坐标.
（3）对于该二次函数图象上的两点 ， ，设 ，当 时，均有 ，请结合图象求出t的取值范围.
25.已知抛物线C：y＝x2+2x﹣3．
抛物线 顶点坐标 与x轴交点坐标 与y轴交点坐标
抛物线C1：y＝x2+2x﹣3 A（　　） B（　　） （1，0） （0，﹣3）




（1）补全表中A ， B两点的坐标；
（2）当x的取值范围为________时，y随x的增大而增大：当x的取值范围为________时，y 0．
（3）将抛物线C1关于x轴对称得到的抛物线C2的解析式为________．
26.若二次函数 与 均有最最小值，记 ， 的最小值分别为m，n.
（1）若 ， ，求m，n的值.
（2）若 ，求证：对任意的实数 ，都有 .
（3）若m，n均大于0，且 ，记M为m，n中的较大者，求M的最小值.
答案解析部分
一、单选题
1. C
考点：二次函数图象的几何变换
解：y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x+4）2﹣2.
故答案为：C
分析：根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
2. A
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：∵x0满足关于x的方程4ax＋2b＝0，
∴x0＝? ，
∴（x0 ， y0）是二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标.
∵a＞0，
∴对于任意实数x都有y≥y0.
故答案为：A.
分析：由题意把x=x0代入关于x的方程4ax＋2b＝0，并整理可得x0＝? ，于是可知点（x0 ， y0）是二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标，根据二次函数的性质“当a＞0时，抛物线的开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小；在对称轴右侧，y随x增大而增大”和题意可知：对于任意实数x都有y≥y0.
3. D
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：二次函数y=-x2+2x+4=-（x-1）2+5，
∴抛物线对称轴为直线x=1，顶点坐标（1,5）
由于a=-1＜0，
∴当x=1时，y最大值=5；当x=-1时，y最小值=1，
∴二次函数y=-x2+2x+4， 当－1≤x≤2时 ，1≤y≤5.
故答案为：D.
分析：由于二次函数y=-x2+2x+4=-（x-1）2+5，可得抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标（1,5）当－1≤x≤2时，根据二次函数的性质求出抛物线的最大值及最小值，从而得出结论.
4. A
考点：二次函数图象的几何变换，二次函数的最值
解：将y＝?（x＋4）2＋1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式是y＝?（x＋4?2）2＋1?3，即y＝?（x＋2）2?2．
所以其顶点坐标是（?2，?2）．
由于该函数图象开口方向向下，
所以所得函数的最大值是y=?2．
故答案为：A.
分析：根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减进行求解即可。
5. A
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：∵a＜0
∴二次函数的图象开口向下
∵c＜0
∴二次函数图象与y轴交点在负半轴
∵a＜0，b＞0
∴x=-＞0
二次函数的对称轴，在y轴的右侧
故答案为：A.
分析：根据二次函数的a，b和c的值，由函数的开口方向，对称轴位置以及与y轴的交点，判断得到答案即可。
6. B
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：∵抛物线 的对称轴在 轴右侧，
∴ ，
解得： ；
故答案为：B．
分析：根据二次函数的对称轴可直接进行求解．
7. B
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：∵二次函数 ，
∴对称轴为x=1，
∵a＜0，
∴x＞1时，y随x增大而减小，
∵P2(2，y2)、P3(4，y3)，
∴y2＞y3 ，
∵P1(-2，y1)，P3(4，y3)关于抛物线的对称轴x=1对称，
∴y1=y3 ，
∴y2＞y1=y3 ，
故答案为：B．
分析：首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x=1，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1 ， y2 ， y3的大小关系．
8. D
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：∵y=2x2+x-1＝2（x＋ ）2? ，
∴当x＝0时，y＝?1，A不符合题意，
该函数的对称轴是直线x＝? ，B不符合题意，
当x＜? 时，y随x的增大而减小，C不符合题意，
当x＝? 时，y取得最小值，此时y＝? ，D符合题意，
故答案为：D．
分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
9. B
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：∵二次函数y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x﹣2）2+5，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大，
∴若y随x的增大而减小，则x的取值范围是x＞2，
故答案为：B ．
分析：将函数一般式化为顶点式，求出函数的对称轴，再根据函数的草图判断即可。
10. A
考点：二次函数图象的几何变换，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：∵y=-x2+x+2=-（x- ）2+ ，
∴抛物线y=-x2+x+2先作关于y轴的轴对称抛物线解析式为y=-（x+ ）2+ ，
则q1=-（- + ）2+ =- ，q2=-（ + ）2+ =- ，
∵- ＞- ，
∴q1＞q2 ，
故答案为：A．
分析：根据关于y轴对称的抛物线形状相同、顶点横坐标互为相反数、纵坐标相同得出抛物线y=ax2+bx+c的解析式，再分别求出q1、q2的值，即可得出答案．
二、填空题
11.
考点：二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
解：
故答案为:
分析：利用配方法可以将二次函数一般式转化为顶点式。
12. （3，-8）
考点：二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
解： ；
∴顶点坐标为：（3，-8）；
故答案为：（3，-8）．
分析：把二次函数化为顶点式，即可得到答案．
13. 第二
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：：对于 ，
∵a=﹣2﹤0，b=5，
∴该函数的图象开口向下，对称轴为直线x= ，
∴当x﹤ 时，函数y随x的增大而增大，
又∵当x=0时，y=﹣1，
∴当x﹤0时，y﹤﹣1，即y﹤0，
∴函数图象不经过第二象限，
故答案为：第二．
分析：由，可得a＜0，对称轴为直线x= ， 与y轴的交点为（0，-1），据此解答即可.
14. （1）
（2）
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：(1)∵抛物线过点A（0， ）和点B（2， ），由对称性可得，抛物线对称轴为
直线 ，故对称轴为直线x=1；
故答案为：x=1；(2)①当a>0时，则 ，分析图象可得:根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点；
②当a<0时，则 ，分析图象可得:根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时 即 ．
综上所述，当 时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
故答案为： ．
分析：根据二次函数的图象与性质进行作答即可。
15. x=-2
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：二次函数的图象的对称轴为
x=-=-=-2
分析：根据题意，由二次函数对称轴的式子求出答案即可。
16. -8，4或-2
考点：二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
解：当抛物线y=x2-（m+2）x+9的顶点在x轴上时
，即
解得：m=4或m=-8
当抛物线y=x2-（m+2）x+9的顶点在y轴上时
，解得m=-2
综上所述，m的值为4,-8或-2.
分析：由抛物线的顶点在坐标轴上，故应分为在x轴和y轴上两种情况进行讨论.
17.
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：∵抛物线y=ax??12ax+36a?5的对称轴为直线x=6，
而抛物线在4∴抛物线在7∵抛物线在8∴抛物线过点(8,0)，
把(8,0)代入y=ax??12ax+36a?5得64a?96a+36a?5=0，
解得：a= .
故答案为 .
分析：根据二次函数的图象和性质，判断得到a的值即可。
18. ＜
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，且开口向下，
∴在对称轴x＝2的右侧，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞2，
∴y1＜y2 ，
故答案为：．
分析：根据抛物线的性质以及图象，判断得到答案即可。
19. 1
考点：二次函数的最值
解：二次函数 =（x-1）2+1，
∵a=1 0,抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点（1，1），
抛物线的的最小值是1．
故答案为:1．
分析：利用配方法求最小值即可。
三、解答题
20. （1）解：∵y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，
∴a=-1＜0，开口向下，顶点坐标为（1，-2），对称轴x=1，
（2）解：∵y=x2-2x+=（x-2）2-，
∴a=＞0，开口向上，顶点坐标为（2，-），对称轴x=2.
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象
分析：y=a（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴x=h，a＞0时，开口向上，a＜0时，开口向下，依此即可得出答案.
21. 解：∵y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3.
∴该函数的图象的顶点坐标是（﹣1，3），对称轴为x＝﹣1，抛物线开口方向向下，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小.
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
分析：利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴，由于对称轴直线是x=-1，且抛物线的开口向下，故在对称轴的左侧， y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小.
22. 解： 根据二次函数的顶点坐标，
设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+1
将点（1,2）的坐标代入
a=1
∴y=x2-4x+4+1=x2-4x+5
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
分析：根据题意，设出二次函数的顶点式，将点（1,2）代入方程，求出解析式即可。
23. （1）；
（2），
顶点坐标为 ，对称轴为直线 ；
（3）函数二次函数 的开口向上，
顶点坐标为 ，与x轴的交点为 ， ，对称轴为直线 ，与y轴的交点坐标为 ，则关于对称轴对称的点坐标为 ，然后在平面直角坐标系里描出这五个点，进而用圆滑的曲线连接即可，如图示：
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
分析：（1）根据题意可直接化成顶点式；
（2）由（1）所得的顶点式可直接进行解答；
（3）由（2）及五点法进行作图即可.
24. （1）解：
∴该二次函数对称抽为 ；
（2）解：由 配方得：
∵
当 时
时，y取最小值， 时，y取最大值，即P点坐标为 ，
将 ， 代入
得：
∴
∴二次函数为
将 代入
∴
即Q点坐标为 ；
当 时
时，取最小值， 时，y取最大值，
即P点坐标为
将 ， 代入
得：
∴
∴二次函数为
将 代入
得
∴ 点坐标为 ，
∴ 时，所求坐标分别为 ，
时，所求坐标分别为 ， ；
（3）解：∵ ， 时，均满足
∴抛物线开口向下
点B关于二次函数 对称轴 的对称点为
∴
当 时，满足
∴ .
考点：二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
分析：（1）根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴x=可求解；
（2）将已知的二次函数的解析式根据y=a(x+)2+配成顶点式，再结合已知条件根据抛物线的开口方向可分两种情况讨论：①当m＞0时，根据已知的x的范围可求解；②当m＜0时，根据已知的x的范围可求解；
（3） 当t≤x1≤t＋1，x2≥3时，均满足y1≥y2，可知抛物线开口向下，点P在点Q左边或重合时，满足条件，可得t＋1≤3，由此即可求解.
?25. （1）（-1，-4）；（3，0）
（2）；或
（3）
考点：二次函数图象的几何变换，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：（1）y＝x2+2x﹣3，令y＝0，解得：x＝﹣3或1，
故点B（﹣3，0）；
函数的对称轴为：x＝﹣1，故顶点的坐标为（﹣1，﹣4），
故答案为：（-1，-4）、（3，0）；（2）函数对称轴右侧，y随x最大而增大，即x＞﹣1；
图象与x轴交点两侧，y＞0，即x＜﹣3或x＞1，
故答案为：x＞﹣1，x＜﹣3或x＞1；（3）抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2 ， 则﹣y＝x2+2x﹣3，
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3．
分析：（1）利用y=0，解一元二次方程即可求出点B的坐标，再将一般式转化为顶点式即可求出顶点坐标；（2）求出抛物线的对称轴，利用性质求解即可；（3）利用关于x轴对称的特征求解即可。
26. （1）解：∵y1＝4x2＋4x＋1＝（2x ＋1）2≥0，
?∴m＝0
∵y2＝x2＋4x＋4＝（x ＋2）2≥0，
∴n＝0；
（2）解：∵二次函数y1＝ax2＋4x＋b与y2＝bx2＋4x＋a都有最小值，y1、y2的最小值分别为m、n，
∴y1＋y2≥m＋n，
∵m＋n＝0，
∴y1＋y2≥0；
（3）解：∵y1＝ax2＋4x＋b＝a（x＋ ）2＋ ，
∴m＝ ，
∵y2＝bx2＋4x＋a＝b（x＋ ）2＋ ，
∴n＝ ，
∵mn＝2，m，n均大于0，
∴ ? ＝2，
∴ab＝2（舍去）或ab＝8，
∴ ，
∴m＝ ，n＝ ，
∵M为m，n中的最大者，
∴当0＜a＜ 时，M＝ ＞ ，
当a＝ 时，M＝ ，
当a＞ 时，M＝ ，
由上可得，M的最小值是 .
考点：二次函数的最值
分析：（1）由题意直接利用配方法进行配方，进而即可分别求出m，n的值；
（2）根据题意y1、y2的最小值分别为m、n，可得y1＋y2≥m＋n，进而即可求证；
（3）根据题意利用配方法进行配方，用含a、b的代数式分别表示出m、n，进而根据m，n均大于0，且 ，进行分析运算即可.
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