车每小时行52千米，问：几小时后两车第一次相距69千米？再过多少时间两车再次相距69千米？
分析：
从题意可知，第一次相距69千米，就是两车还没有相遇，还差69千米，相遇路程应是299－69，
根据相遇路程÷速度和＝相遇时间，
即??230÷(
40＋52
)＝2.5
(
小时)。
第二次相距69千米，是在行完第一次相距的69千米相遇后，到再相离69千米，实际共行2个69千米。
根据：路程÷速度和＝时间
可解。
解：
(
299－69
)÷(
40＋52
)
?
?＝230÷92
?
?＝
2.5
(
小时)
(
69×2
)÷(
40＋52
)
＝138÷92
＝1.5
(
小时)
答：2.5小时后两车第一次相距69千米，再过1.5小时两车再次相距69千米。
难
第
相遇问题
相遇问题”(或相背问题是两个物体以不同的速度从两地同时出发,(或从一地同时
相背而
时上遇(或相离)。我
两物体速度之和称
速度和
同
时
相遇(或相跑时
时间叫“相遇时
两物体同时走的这段路程叫“相
相遇路程÷速度和=相遇时
相遇路程÷相遇时
B两地相对开
时行42.5千米
千米,4小时后,两车还相
5千米,求A、B两地的距离
付,相遇路程
B两地的距离是:相遇路程+还相距的35
AB两地的距离是357.5千米
辆货车和一辆客车同时从相距299千米的两地相向而
时行40千米2、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得10分，错一题扣5分，小明共得了70分，他做对了几道题？
分析：
假设他做对了10道题，那么应得10×10＝100
(分)，而实际只得70分，少30分，这是因为每做错一题，不但得不到10分，反而倒扣5分，这样做错一题就会少10＋5＝15
(分)，看30分里面有几个15分，就错了几题。
解：?
?
(
10×10－70
)÷(
10＋5
)
?
??
??
??
???＝30÷15
?
??
??
??
???＝2
(道)??------?
?错题
?
??
??
??
??
???10－2＝8
(道)
?
??
??
???答：他做对了8道题。
==============================
3、有面值5元和10元的钞票共100张，总值为800元。5元和10元的钞票各是多少张？
分析：
假设100张钞票全是5元的，那么总值就是5×100＝500
(元)，与实际相差800－500＝300
元
差的300元，是因为将10元1张的算作了5元的，每张少计算10－5＝5
(元)，差的300元里面有多少个5元，就是多少张10元的钞票。
解：?
?
(
800－5×10
)÷(10－5
)
?
??
??
??
???＝300÷5
?
??
??
??
???＝60
(张)??------
10元面值
?
??
??
??
??
???100－60＝40
(张)
?
??
??
???答：有10元的钞票60张，5元的钞票40张。
==============================
4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，三种动物各多少只？(
蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀
)
分析：
假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是6条腿，那么总腿数是6×21＝126(条)，比实际少140－126＝14(
条)，这是因为一只蜘蛛是8条腿，把它算作6条腿，每只蜘蛛少计算了8－6＝2
(条)，少算的14条里面有几个2条，就是几只蜘蛛，即14÷2＝7(只)。从总只数里减7只蜘蛛，就得21－7＝14
(只)是蜻蜓和蝉的和。再假设这14只全是蜻蜓，那么翅膀应是2×14＝28
(对)比实际多28－23＝5(对)，这是因为蝉是1对翅膀，把它算成2对了，每只蝉多算了1对翅膀多出的这5对翅膀里面有几个1对，就是几只蝉。求出了蝉，蜻蜓可求。
解：?
?
(
140－6×21
)÷(
8－6)
＝14÷2
?
??
??
?
＝7
(只)??------??蜘蛛
?
??
??
??
??
??
?21－7＝14
(只)
?
??
??
??
??
?(
2×14－23)÷(
2－1
)
?
??
??
??
?
＝5÷1
?
??
??
??
?
＝5(只)?
?-------?
?蝉
?
??
??
??
??
??
?
14－5＝9(只)?
?------?
?蜻蜓
答：蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只。钟后，第二辆车才出发，那么，追及的路程是第一辆12分钟所行的路程，即
30×??＝6
(千米)。两车同时到达乙地，也就是第二辆车刚好追上第一辆车，追及的时间就是第二辆车从甲地到乙地行驶的时间。即6÷(40－30)＝0.6(小时)，已知速度和时间，甲乙两地的距离可求。
解：30×12/60＝
6
(千米
)?
?
6
÷(
40
－30
)＝0.6
(小时)?
???40×0.6＝24
(
千米)
答：甲乙两地的路程是24千米。
3、甲乙二人在周长600米的水池边上玩，两人从一点出发，同向而行30分钟后又走到一起，背向而行4分钟相遇。求两人每分钟各行多少米？
分析：
两人从一点出发同向而行，速度有快、有慢，形成前后，从出发到再次走到一起，看作追及问题，追及的路程是600米，追及的时间30分钟，根据“追及的路程÷追及的时间＝速度差
”，可求出速度差是
600÷30＝20
(米)。又背向而行4分钟相遇，属相遇问题，相遇的路程是600米，相遇时间是4分分钟，根据“相遇路程÷相遇时间＝速度和”，可求出速度和是
600÷4＝150
(米)。然后根据“和差问题”(和＋差)÷2＝大数，(和－差)÷2＝小数，可求出两人的速度。
解：?
?600÷30＝20
(米)?
?
600÷4＝150??(米)?
??
?(20＋150)÷2＝85
(米)??(150－20)÷2＝65
(米)
答：甲每分钟行85米，乙每分钟行65米。
4、甲骑自行车行12分钟后，乙骑摩托车去追他，在距出发点9千米处追上了甲。乙立即返回出发点拿东西，后又立即返回去追甲，再追上甲时恰好离出发点18千米。求甲、乙的速度？
分析：
甲行9千米，乙则行了9＋18＝27
(千米)，即
乙的速度是甲的27÷9＝3
(倍)?
?那么，从乙出发到第一次追上甲时，乙行9千米，甲应只行9÷3＝3
(千米)，可求出甲先行12分钟的路程应是
9－3＝6
(千米)，从而可求出甲速度是
6÷12＝0.5
(千米)，由此可求出乙速度。
解：?
?(9＋18)÷9＝3
(倍)?
??
?9÷3＝3
(千米)?
???9－3＝6
(千米)
?
??
??
?6÷12＝0.5
(千米)?
??
??
?
甲每分钟行的路程
?
??
??
?0.5×3＝1.5
(千米)?
??
??
?乙每分钟行的路程
答：甲每分钟行0.5
千米，乙每分钟行1.5千米。分析：
?
??
?1、知道船在静水中速度和水流速度，可求船逆水速度?15－5＝10（千米），顺水速度15＋5＝20（千米）。
?
??
?2、甲、乙两港路程一定，往返的时间比与速度成反比。即速度比
是?10÷20＝1：2，那么所用时间比为2：1?。
?
??
?3、根据往返共用6小时，按比例分配可求往返各用的时间，逆水时间为?6÷（2＋1）×2＝4（小时），再根据速度乘以时间求出路程。
?
??
???解：?
???（15－5）：（15＋5）＝1：2
?
??
??
??
??
??
?6÷（2＋1）×2
?
??
??
??
??
???＝6÷3×2
?
??
??
??
??
???＝4（小时）
?
??
??
??
??
??
?（15－5）×4
?
??
??
??
??
???＝10×4
?
??
??
??
??
???＝40（千米）
?
??
??
??
?答：甲、乙两港之间的航程是40千米。
==============================
3、一只船从甲地开往乙地，逆水航行，每小时行24千米，到达乙地后，又从乙地返回甲地，比逆水航行提前2.
5小时到达。已知水流速度是每小时3千米，甲、乙两地间的距离是多少千米？
分析：
?
??
?逆水每小时行24千米，水速每小时3千米，那么顺水速度是每小时?24＋3×2＝30（千米），比逆水提前2.
5小时，若行逆水那么多时间，就可多行?30×2.
5＝75（千米），因每小时多行3×2＝6（千米），几小时才多行75千米，这就是逆水时间。
?
??
???解：?
??
?
24＋3×2＝30（千米）
?
??
??
??
??
??
?
24×[
30×2.
5÷（3×2）
?
??
??
??
??
??
?＝24×
[
30×2.
5÷6??]
?
??
??
??
??
??
?＝24×12.
5
?
??
??
??
??
??
?＝300（千米）
?
??
??
??
?答：甲、乙两地间的距离是300千米。
==============================
4、一轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行要8小时行完全程，逆水航行要10小时行完全程。已知水流速度是每小时3千米，求甲、乙两码头之间的距离？
分析：
?
??
?顺水航行8小时，比逆水航行8小时可多行??6×8＝48（千米），而这48千米正好是逆水（10－8）小时所行的路程，可求出逆水速度?4
8÷2＝24?（千米），进而可求出距离。
?
??
???解：?
??
?
3×2×8÷（10－8）
?
??
??
??
??
??
?＝3×2×8÷2
?
??
??
??
??
??
?＝24（千米）
?
??
??
??
??
??
???24×10＝240（千米）
?
??
??
??
?答：甲、乙两码头之间的距离是240千米。
解法二：
设两码头的距离为“1”，顺水每小时行?1/8，逆水每小时行1/10，顺水比逆水每小时快1/8－1/10，快6千米，对应。
?
??
??
??
??
?3×2÷（1/8－1/10）
?
??
??
??
???＝6÷1/40
?
??
??
??
???＝24
0（千米）
?
??
??
??
??
??
??
?答：（略）
5、某河有相距12
0千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。这天，从甲船上落下一个漂浮物，此物顺水漂浮而下，5分钟后，与甲船相距2千米，预计乙船出发几小时后，可与漂浮物相遇？
分析：
?
??
?从甲船落下的漂浮物，顺水而下，速度是“水速”，甲顺水而下，速度是“船速＋水速”，船每分钟与物相距：（船速＋水速）－水速＝船速。所以5分钟相距2千米是甲的船速5÷60＝1/12（小时），2÷1/12＝24（千米）。因为，乙船速与甲船速相等，乙船逆流而行，速度为24－水速，乙船与漂浮物相遇，求相遇时间，是相遇路程120千米，除以它们的速度和（24－水速）＋水速＝24（千米）。
?
??
???解：?
??
???120÷[
2÷（5÷60）
?
??
??
??
??
??
??＝120÷24
?
??
??
??
??
??
??＝5（小时）
?
??
??
??
?答：乙船出发5小时后，可与漂浮物相遇。总数量÷总份数＝平均数
解：??[
88×(40－2)＋98×2]÷40
?
??
??
??
???＝
[
3344＋916
]÷40
?
??
??
??
???＝3540÷40
?
??
??
??
???＝88.5
(
分)
?
??
??
??
??
???答：这个班这次考试平均分数是88.5分。
3、有六个数，其平均数是8.
5，前四个数的平均数是9.
25，后三个数的平均数是10，第四个数是多少？
分析：六个数的平均数是8.
5，那么，六个数的总和是8.
5×6＝51
?
??
?前四个数的平均数9.25，那么，前四个数的总和是9.25×4＝37
?
??
?后三个数的平均数是10，那么后三个数的总和是10×3＝30
?
?如果将前四个数的总和＋后三个数的总和，恰
好重叠了第四个数，比六个数的总和多第四个数。
解
：
(??9.25×4＋10×3??)－8.5×6
?
??
??
??
?
＝67－51
?
??
??
??
?
＝16
?
??
??
??
??
???答：第四个数是16。
4、有红、黄、白三种
颜色的乒乓球，已知红、黄两种球平均11个；黄、白两种球平均8个；红、白两种球平均9个。三种球各多少个？
分析：由红、黄两种球平均11个，得红、黄两种球和为
11×2＝22
(
个
)
?
??
?由黄、白两种球平均8个，得黄、白两种球和为??8×2＝16
(
个)
?
??
?由红、白两种球平均9个，得红、白两种球和为??9×2＝18
(
个)
?
?那么，22＋16＋18＝56??(
个)是三种球总和的2倍，将56÷2＝28
(
个)就得到红、黄、白三种球的和，再将这三种球的和减去任意两种球的和，可得得到第三种球的个数。
解：?
?(11×2＋8×2＋9×2)÷2
?
?
＝56÷2
?
?
＝28
(
个)
白球：??28－11×2＝6
(
个)
红球：??28－8×2＝12
(
个)
黄球：??28－9×2＝10
(
个)
答：红球12个，黄球10个，白球6个。?
??
??
??
??＝36÷3
?
??
??
??
??＝12
(岁)
?
??
??
??
??
?
12－5＝7
(岁)
?
??
??
???答：今年儿子7岁。
==============================
3、今年母女年龄和是45岁，5年后母亲的年龄正好是女儿的4倍，今年妈妈和女儿各多少岁？
分析：
?
??
?今年母女年龄和是45岁，五年后母女年龄和是45＋5×2＝55
(岁)，母亲年龄是女儿的4倍，女儿年龄是1倍，母女年龄和的倍数是4＋1＝5
(倍)，对应，可求出5年后女儿的年龄，今年她们的年龄可求。
?
??
???解：?
?(
45＋5×2
)÷(
4＋1
)
?
??
??
??
??＝55÷5
?
??
??
??
??＝11
(岁)
?
??
??
??
??
?
11－5＝6
(
岁)?
?
45－6＝39
(岁)
?
??
??
???答：妈妈今年39岁，女儿6岁。
==============================
4、今年甲、乙、丙三人的年龄和为60岁，3年后甲比乙大6岁，丙比乙小3岁，三年后甲、乙、丙三人各几岁？
分析：
?
???如图：?
?甲?
?|--------------------------------------------------------|
?
??
??
??
???乙?
?|-----------------------------------------|??6岁??
?
??
??
??
???丙?
?|----------------------------------|??3岁
?
??三年后，三人年龄和是60＋3×3＝69
(岁)，但三人的年龄差不变。从图中可以看出，从三人年龄和中减6加3，刚好等于3个乙的年龄。
?
??
???解：?
?(
60＋3×3
－6＋3
)÷3
?
??
??
??
???＝66÷3
?
??
??
??
???＝22
(岁)
?
??
??
??
??
???22＋6＝28
(岁)?
???22－3＝19
(岁)
?
??
??
???答：三年后甲28岁，乙22岁，丙19岁。2、一项工程，由甲队单独工作需要15天完成，由乙队单独工作需要12天完成，由丙队单独工作需要10天完成。现在由甲乙两个工程共同工作了3天后，剩下的工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？
分析：
??这一项工程看作单位“1”，甲队单独工作需15天完成，工效应是1/15，乙队单独工作需要12天完成，乙工效应是1/12，丙队单独工作需10天完成，丙队工效应是1/10，现由甲乙两队先共同工作3天，可完成这项工程的(1/15＋1/12)×3＝9/20，还剩下1－9/20＝11/20，剩下的由丙队去完成，需要的天数是11/20÷1/10
?
??
???解：??[
1－（1/15＋1/12）×3
]÷1/10
?
??
??
??
?
＝[
1－9/20]÷1/10
?
??
??
??
?
＝11/20÷1/10
?
??
??
??
??
?
＝5.5（天）
?
??
??
??
?答：丙队还需要工作5.5（天）
3、一个水池安装甲、乙两个进水管和丙放水管，单开甲管4小时能把空池注满水，单开乙管5小时能把空池注满水，单开丙管3小时能把满池水放完。现在三管同时打开，几小时能把空池注满？
分析：
?
??
?把一池水看作单位“1”，单开甲管4小时能注满，甲效是1/4，单开乙管5小时能注满，乙效是1/5，单开丙管3小时能放完，丙效是1/3。三管同时打开，因甲、乙是进水管，使水增加，丙是放水管，使水减少，那么，三管齐开的工作效率和是1/4＋1/5－1/3，工作时间可求。
?
??
???解：
1÷(1/4＋1/5－1/3)
＝1÷7/60＝8+4/7
(小时)
?
??
??
??
?答：三管同时打开8+4/7小时能注满水池。
4、一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他们两人合干，又知甲在工作途中先请了3天事假，后因公事出差2天。求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？
分析：甲单独干需要20天，甲的工作效率是1/20，乙单独干需要30天，乙的工作效率1/30。又甲工作途中请了3天事假，出差2天，而乙从开工到完工一直在干，那么，甲走5天时，乙是单独干了5天，其余天数是甲乙合干的。即从工程总量中减去乙独干的5天工作量，余下的合干的。合干的天数＋乙单独干的5天＝完成工程共花的天数。
?
??
???解：?
?
(
1－1/30×5)÷(1/20＋1/30)＋5
?
??
??
??
??
?＝5/6÷1/12＋5
?
??
??
??
??
?＝10＋5
?
??
??
??
??
?＝15
(天)
?
??
??
??
??
??
??
??
?答：他们完成这项工程一共花了15天。
5、有A、B两项工作，王师傅独做A项工作要9天完成，独做B项工作要12天完成；李师傅独做A项工作要3天完成，独做B项工作要15天完成。如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？
分析：?
??
???独做A项工作天数?
??
?工效?
??
??
?独做B项工作天数?
??
?工效
??王师傅?
??
??
??
??
???9
天?
??
??
??
??
?
1/9?
??
??
??
??
??
?
12
天?
??
??
??
???1/12?
??李师傅?
??
??
??
??
???3
天?
??
??
??
??
?
1/3?
??
??
??
??
??
?
15
天?
??
??
??
???1/15?
如果按两人先共同做完A项工作，再共同去完成B项工作，那么，完成这两项工作的天数是
?
??
??
??
???1÷(1/9＋1/3
)＋1÷(1/12＋1/15
)
?
??
??
??
?
＝1÷4/9
＋1÷9/60
?
??
??
??
??
??
??
??
?
＝（2+1/4）＋（6+2/3）
?
??
??
??
?
＝8+11/12(天)
?
?而题目要求最少需要多少天，上面所求天数是最少的吗？否，从分析中我们看到，做A项工作李师傅工效高，做B项工作王师傅工效高。要想时间最少，必须发挥各人的特长，选择最佳分配方法。这就让李师傅单独去做3天完成A项工作，王师傅先单独做B项工作，3天后，待李师傅完成了A项工作，再两人共同做B项工作剩下的部分。
?
??
?解：
(
1－1/12
×3
)÷(
1/12
+
1/15
)
+
3
?
??
??
??
??
?＝3/4
÷
9/60
+
3
?
??
???＝5+3
?
??
???＝8
(天)
?
??
?答：完成这两项工作最少需要8天。?
??
???解：（5×1＋15）÷（1－1/12）＝20÷11/12＝21+9/11（分）
?
??
??
?
或（5×1＋45）÷（1－1/12）＝50÷11/12＝54+6/11（分）
?
??
??
??
?答：在1点21+9/11分和1点54+6/11分时，两针都成直角。
4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？
分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。12点以后时针与分针：
第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－1/12）＝30÷11/12＝32+8/11（分）??即12点32+8/11分。
第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－1/12）＝35÷11/12＝38+2/11（分）即
1点38+2/11分。
第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－1/12）＝40÷11/12＝43+7/11（分）
即2点43+7/11分。
如果从12点32+8/11分开始，到1点38+2/11分，只敲2下，到2点43+7/11分，就共敲5下（不合题意）
如果从1点38+2/11分开始到2点43+7/11分，共敲3下。因此，小明应从1点38+2/11分开始看书，到2点43+7/11分时结束的。
5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30分？
分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－5＝55（分），即速度是标准钟速度的55/60＝11/12。
?
?2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢了5×（17+1/2－12）＝27+1/2（分），也就是此挂钟要差27+1/2分才到5点30分。
?
?3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27+1/2分，因它的速度是标准时钟速度的1/12，实际走完这27+1/2分所要时间应是（27+1/2）÷11/12。
?
??
???解：??5×（17+1/2－12）
＝27+1/2
（分）?
??
??
?
（
27+1/2）÷11/12＝30（分）
?
??
??
??
?答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。距离。
?
??
???解：??502÷2＝251（棵）
?
??
??
??
???3×（251－1）
?
??
??
??
?＝3×250
?
??
??
??
?＝750（米）
?
??
??
??
??
??
??
?答：这段公路长750米。
==============================
3、把一根4
8厘米的铁棒锯成8厘米长的短铁棒，如果锯一段需要4分钟，锯完这根铁棒需要多少分钟？
分析：如图?
?
??将4
8厘米长铁棒锯成8厘米长的短铁棒，就是求48厘米里面有几个8厘米，就可锯成几段，从图上可以看出“锯的次数比段数要少1
”，锯一段需要4分钟，实际是锯一次要4分钟，求锯完这根铁棒需要多少分钟，先要求出共锯多少次。
?
??
??解：?
?48÷8－1＝5（次）
?
??
??
??
??
?4×5＝20（分钟）
?
??
??
??
??
??
??
???答：锯完这根铁棒需要20分钟。
==============================
4、在一个人工湖周围每隔6米种一棵柳树，一共种了180棵。再在相邻的两棵柳树间每隔2米种一株月季，问，一共需要多少株月季？
分析：
?
??
?在人工湖周围种树，属于在封闭图形上栽树问题，即沿周长植树，根据关系式：
?
??
??
??总距离＝棵距×棵数，人工湖周长为??6×180＝1080（米）
?
??如果湖的周围没有柳树，全是每隔2米种的月季，月季共??1080÷2＝54
0（株），而实际其中种有柳树180棵，那么，月季株数应为??540－180＝360（株）。
?
??
??
?解：??6×180÷2－180
?
??
??
??
?＝540－180
?
??
??
??
?＝360（株）
?
??
??
??
??
??
??
??
?答：一共需要360株月季。
==============================
?
?
解法二：
人工湖周围每隔6米种一棵柳树，共种180棵，就是将湖的周长平均分成180段，每段长6米，因为这6米的两头已种柳树，所以这中间只能种6÷2－1＝2（株）月季，共需月季列式为：
?
??
??
??
??
??（6÷2－1）×180
?
??
??
??
??
?＝2×180
?
??
??
??
??
?＝360（株）这道题种树人数不变，树苗总棵数不变，若设种树人数为X人，根据第一种分法的树苗总棵数＝第二种分法的树苗总棵数，列方程解。
?
??
??
?解：?
?设种树人数为X人，列方程得
?
??
??
??
??
??
?8X－3＝7X＋4
?
??
??
??
??
???8X－7X＝4＋3
?
??
??
??
??
??
??
?
X＝7
?
??
??
??
??
??
?8×7－3＝53（棵）
?
??
??
???答：（略）
==============================
2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分6个，则少10个，每人分4个，还少2个。有多少小朋友？有多少个苹果？
分析：
?
??
?两次分配都不足，则两次不足数量差就是两次分配的结果差，结果差÷分配差＝人数
?
??
???解：?
??
???（10－2）÷（6－4）
?
??
??
??
??
??
??＝8÷2
?
??
??
??
??
??
??＝4（人）
?
??
??
??
??
??
???6×4－10＝14（个）
?
??
??
??
?答：有4个小朋友，有14个苹果。
==============================
3、学校安排新生住宿，若每间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍，求住宿的学生和宿舍各有多少？
分析：
?
??
?每间住6人，多出34人，就是不足34张床位；每间住7人，多出4间宿舍，就是多出7×4＝28张床位。两次分配的结果差就是（34＋28），结果差÷分配差＝宿舍
?
??
???解：?
???（34＋28）÷（7－6）
?
??
??
??
??
?＝62÷1
?
??
??
??
??
?＝62（间）
?
??
??
??
??
??
?6×62＋34＝406（人）
?
??
??
???答：住宿的学生共406人，宿舍有62间。
==============================
4、学生分练习本，其中两个人每人分6本，其余每人分4本，则多2本；如果有一个学生分8本，其余每人分6本，则不足18本。学生有多少人？练习本有多少本？
分析：
?
??
?1、有两人分6本，其余每人分4本，余2本，若将分6本的这两人也分4本，那么这两人又每人余2本，共余2×2＋2＝6（本）。
?
??
?2、一个学生分8本，其余分6本，不足18本。若将分8本这个学生也同样分6本，则不足应是18－2＝16（本）。
?
??
??
?那么，两次分配的结果差是16＋6＝22（本），分配差是6－4＝2（本）
?
??
??
?结果差÷分配差＝人数
?
??
???解：??6－4＝2（本）?
?2×2＋2＝6（本）??8－6＝2（本）?
?18－2＝16（本）
?
??
??
??
??
???（16＋6）÷（6－4）
?
??
??
??
??
??＝22÷2
?
??
??
??
??
??＝11（人）?
??
??
??
??
??
?
??
??
??
??
??
?
4×11＋6＝50（本）
?
??
??
???答：学生有11人，练习本有50本。
==============================
5、一工人加工一批机器零件，限期完成，他计划每小时做10个，还差3个零件完成任务，每小时做11个，恰好限期内完成了任务。他加工的零件是多少个？限几小时完成？
分析：
?
??
?每小时做10个，差3个，每小时做11个，恰好完成，那么，两次分配的结果差是3个，两次分配的数差是11－10＝1（个）。根据，结果差÷分配差＝限时数
?
??
???解：?
??
?
3÷（11－10）
?
??
??
??
??
??
?＝3÷1
?
??
??
??
??
??
?＝3（小时）
?
??
??
??
??
??
??
?10×3＋3＝33（个）
?
??
??
???答：他加工的零件是33个，限3小时完成。
解法二：
设限X小时完成，根据第一种分法和第二种分法零件个数相等，列方程得
?
??
??
??
??
?
11X＝10X＋3
?
??
??
???11X－10X＝3
?
??
??
??
??
??
?X＝3
?
??
??
??
???11×3＝33（个）
==============================
答：（略）?
??
??
???一共吃的草量－??20天共生长的草量＝原有草量
?
??
??
??
??
??
??
?200?－100?＝?100(单位量)
③、求25头牛吃每天实际消耗原有草量
因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，25头牛去吃，(吃的－?长的?＝?消耗原草量?)
?
??
??
??
??
???即：25－?5＝?20
(?单位量)
④、25头牛去吃，可吃天数
牧场原有草量?÷
25头牛每天实际消耗原有草量?＝?可吃天数
?
??
??
??
???100
÷
20?＝5(?天)
?
??
??
??
?解：?(
10×20－15×10)÷(
20－10
)
?
??
??
??
??
??＝50÷10
?
??
??
??
??
??＝5(单位量)?
?-------?每天长草量
?
??
??
??
??
??
???(
10－5)×20
?
??
??
??
??
???＝5×20
?
??
??
??
??
???＝100(?单位量)??-------?原有草量
?
??
??
??
??
??
?
100÷
(
25－5)
?
??
??
??
??
??
?＝100÷20
?
??
??
??
??
??
?＝5(天)
?
??
??
??
??
??
??
??
??答：可供给25头牛吃?5?天。
==============================
2、牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以吃20天；供给100头羊吃，可以吃12天。如果每头牛每天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃几天？
分析：
?
?1头牛每天相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛就相当于4×20＝80(?只)羊吃草量。
每天长草量：
?
??
??
??
?(
80×20?－100×12
)÷
(
20－12)
?
??
??
??＝400÷8
?
??
??
??＝50
(单位量)
原有草量：
?
??
??
?(
80－50
)×20
?
??
???＝30×20
?
??
???＝600
(单位量)
?
?
20头牛和100只羊同时吃的天数：
?
??
??
??
?600÷(
80＋100－50)
?
??
??
??＝600÷130
?
??
??
??＝4
(天)
?
??
??
??
??
??答：20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃4?天。
==============================
3、有三片牧场，牧场上的草长得一样密，一样快。它的面积分别是?3.
3公顷、2.
8公顷和4公顷。22头牛54天能吃完第一片牧场原有的草和新长出的草；17头牛84天能吃完第二片牧场原有的草和新长出的草。问，多少头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草？
分析：
①、第一片牧场22头牛54天吃完3.3公顷所有的草，那么，每公顷草量是(包括生长的)：
?
??
??
?22×54÷3.
3＝?360
(?单位量)
?
?②、第二片牧场：17头牛84天吃完2.8公顷所有的草，那么，每公顷草量是：
?
??
??
?17×84÷2.
8＝?510
(?单位量)
?
?③、每公顷每天的长草量是：
?
??
??
?(
510－360
)÷(
84－54
)＝5(单位量)
?
?④、每公顷原有草量是：
?
??
??
?360－5×54＝90
(?单位量)
?
?⑤、第三片4公顷24天共有草量是：
?
??
??
?
90×4＋5×24×4＝840
(?单位量)
?
?⑥、可供多少头牛吃24天：
?
??
??
?
840÷24＝35
(头)
??解：?(17×84÷2.8－22×54÷3.3
)÷(
84－54
)
?
??
?＝150÷30
?
??
?＝5(单位量)?
?------?每公顷每天长草量
?
??
???22×54÷3.
3－5×54
?
??
??＝360－270
?
??
??＝90(单位量)
--------?每公顷原有草量
?
??
??
?90×4＋5×4×24
?
??
??＝360＋480
?
??
??＝840
(?单位量)
-------4公顷24天共有草量
?
??
???840÷24＝35
(?头)
?
??
??
??
???答：35头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草。
4、用3台同样的水泵抽干一个井里的泉水要40分钟；用6台这样的水泵抽干它只要16分钟。问，用9台这样的水泵，多少分钟可以抽干这井里的水？
分析：
用水泵抽井里的泉水，泉水总是按一定大小不断往上涌，这就跟牧场的草一样均匀地生长，因此，把它当作牛吃草问题同解。
每分钟泉水涌出量：
?
??
?
(
3×40－6×16
)÷(
40－16
)
?
??
?＝24÷24
?
??
?＝1(单位量)
?
??井里原有水量：
?
??
?
(
3－1
)×40
?
??
??＝2×40
?
??
??＝80(单位量)
?
???9台几分钟可以抽干：
?
??
???80÷(
9－1
)
?
??
??＝80÷8
?
??
??＝10(分钟)
?
??
??
??
???答：用9台这样的水泵，10分钟可以抽干这井里的水。
==============================
5、火车站的售票窗口8点开始售票，但8点以前早就有人来排队，假如每分钟来排队的人一样多，开始售票后，如果开3个窗口售票，30分钟后，不再有人排队；如果开5个窗口售票，15分钟后，不再有人排队。求第一个来排队的人是几点钟到的？
分析：
到窗口排队售票的人，包括两部分，一部分是8点以前已等候的人(
相似于牛吃草问题中的原有草量)，另一部分是开始售票时，逐步来的人(
相似于每天长草量)，开售票窗口多少，相似于“吃草的牛”多少，售票时间相似于“牛吃草”天数。因此，按“牛吃草问题”来解答。
每分钟来排队的人：
?
??
??
?(
3×30－5×15)÷(
30－15
)
?
??
??＝15÷15
?
??
??＝1
(人)
?
??
?售票前已到的人数：
?
??
??
?
3×30－1×30
?
??
???＝90－30
?
??
???＝60
(人)
?
??
?售票前已到的人共用的时间：
?
??
??
???60÷1＝60
(分钟)
?
??
???60分钟是1小时，即第一个来排队的人是售票前1小时到达的，8－1＝7
?
??
??
??
???答：第一个来排队的人是7点钟到达的。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,
那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？
解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。
再例如：判断13574是否是11的倍数？
解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？
解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
再例如：判断3546725能否被13整除？
解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.
