第4讲 万有引力定律
【p19】
【p19】
1．研究天体运动的基本方法：
研究天体运动(包括人造地球卫星的运动)的基本方法，是把天体的运动看作匀速圆周运动，天体间的万有引力提供所需要的向心力．即：
__＝m＝mω2r＝m()2r__
另外，一般不考虑天体自转因素的影响，而认为物体在某天体表面的重力大小等于天体对物体的万有引力，即：
__mg＝__，整理得__GM＝gR2__，此式常称为黄金代换．
2．人造卫星的an、v、T、ω与r的关系
(1)做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供卫星所需的__向心力__，由＝＝mrω2＝mr＝man可推导出
当r增大时，
(2)当r＝R地时，
【p19】
考点一 天体质量及密度的估算
例1(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500
m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19
ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11
N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109
kg/m3
B．5×1012
kg/m3
C．5×1015
kg/m3
D．5×1018
kg/m3
【解析】脉冲星自转，边缘物体m恰好对球体无压力时，该星球不解体．由万有引力提供向心力，则有
＝mR.又球体的体积为：V＝πR3，密度为：ρ＝＝，代入数据解得：
ρ＝
kg/m3≈5.2×1015
kg/m3.故C正确、A、B、D错误．
【答案】C
【方法总结】1.天体质量及密度的估算方法
2．天体质量及密度估算注意问题
(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量，估算的是中心天体的质量而非环绕天体的质量．
(2)区别两个半径(轨道半径与天体半径)，轨道半径与天体半径的关系为r＝R＋h，只有在天体表面附近的卫星，才有R?h，r≈R.(h指卫星到天体表面高度)
变式训练1美国航天局与欧洲航天局合作，发射的火星探测器已经成功登陆火星．荷兰企业家巴斯兰斯多普发起的“火星一号”计划打算将总共24人送上火星．若已知万有引力常量G，那么在下列给出的各种情景中，能根据测量的数据求出火星密度的是( )
A．在火星表面使一个小球做自由落体运动，测出落下的高度H和时间t
B．火星探测器贴近火星表面做匀速圆周运动，测出运行周期T
C．火星探测器在高空绕火星做匀速圆周运动，测出距火星表面的高度H和运行周期T
D．观察火星绕太阳的匀速圆周运动，测出火星的轨道半径D和运行周期T
【解析】由＝mg，ρ＝得：ρ＝.A选项只能由H＝gt2得g，却不知火星半径，故A选项错误．由＝mr，ρ＝得：ρ＝.当r＝R时ρ＝，故B选项正确．C选项缺火星半径，故不能求出火星密度，C错．D选项中心天体是太阳，火星质量算不出来，故错误．
【答案】B
考点二 人造卫星
例2(2020·江苏卷)(多选)甲、乙两颗人造地球卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍．下列应用公式进行的推论正确的有( )
A．由v＝可知，甲的速度是乙的倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝G可知，甲的向心力是乙的
D．由＝k可知，甲的周期是乙的2倍
【解析】卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，则F向＝＝＝mω2r＝mr＝ma，因为在不同轨道上g是不一样的，故不能根据v＝得出甲乙速度的关系，卫星的运行线速v＝，代入数据可得＝＝，故A错误；因为在不同轨道上两卫星的角速度不一样，故不能根据a＝ω2r得出两卫星加速度的关系，卫星的运行加速度a＝，代入数据可得＝＝，故B错误；根据F向＝，两颗人造卫星质量相等，可得＝＝，故C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，根据开普勒第三定律＝k，可得＝＝2，故D正确．故选CD.
【答案】CD
【方法总结】分析人造卫星运行问题必须掌握的四个关系
＝越高越慢
变式训练2(2020·天津卷)北斗问天，国之夙愿．我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍．与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星( )
A．周期大
B．线速度大
C．角速度大
D．加速度大
【解析】卫星有万有引力提供向心力有G＝m＝mrω2＝mr＝ma，可解得v＝，ω＝，T＝2π，a＝，可知半径越大线速度，角速度，加速度都越小，周期越大；故与近地卫星相比，地球静止轨道卫星周期大，故A正确．
【答案】A
【方法总结】同步卫星六个一定：
①轨道平面一定在赤道平面内；
②绕行方向一定与地球自转方向相同；
③周期一定为24小时(地球自转周期)；
④角速度一定跟地球自转角速度相同；
⑤离地面的高度是一定的，并且高度h＝－R≈6R(R为地球半径)；
⑥线速度一定，其大小v＝≈3.1
km/s.
考点三 卫星变轨问题
例3(多选)关于下列两幅图的说法正确的是( )
甲图：近地圆轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ相切于P点，椭圆轨道Ⅱ与圆轨道Ⅲ相切于Q点．卫星在圆轨道Ⅰ上经P点的速度为vP1，在椭圆轨道Ⅱ上稳定运行时经P点的速度为vP2，经Q点的速度为vQ2，在圆轨道Ⅲ上经Q点的速度为vQ3.
乙图：a为地球赤道上的物体，随地球自转的线速度为va；b为地球的近地卫星，线速度为vb，c为地球同步卫星，线速度为vc.
A．vP2＞vP1＞vQ3＞vQ2
B．vQ3＞vP2＞vQ2＞vP1
C．va＞vb＞vc
D．vb＞vc＞va
【解析】在P点从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ需要加速，故vP2>vP1，从轨道Ⅱ经过Q点需要加速才能变轨到轨道Ⅲ，所以vQ3>vQ2，根据公式v＝可知vP1>vQ3，故vP2＞vP1＞vQ3＞vQ2，A正确，B错误；因为同步卫星和地球自转周期相同，所以根据v＝ωr可知vc>va，根据公式v＝可知vb>vc，所以有vb>vc>va，C错误，D正确．
【答案】AD
【方法总结】1.变轨原理及过程
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．
(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.
2．相关物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k，可知T1变式训练3如图为“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中某一面内运动的示意图．“北斗”系统中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O做匀速圆周运动．卫星“G1”和“G3”的轨道半径为r，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A、B两位置，“高分一号”在C位置．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．则下列说法正确的是( )
A．卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等且为g
B．如果调动“高分一号”卫星快速到达B位置的下方，必须对其加速
C．卫星“G1”由位置A运动到位置B所需的时间为
D．若“高分一号”所在高度处有稀薄气体，则运行一段时间后，机械能会增大
【解析】对地球表面上的物体有＝mg?gR2＝GM，对于卫星G1、G3有＝ma?a＝＝g，A错；如对“高分一号”加速，则卫星将到更高的轨道上运动，速度变慢，周期变长，此法不可取，B错；对于卫星G1来讲有＝m()2r?T＝＝＝，卫星G1由A到B用时t＝T＝，C对；“高分一号”卫星由于气体的阻力，高度会降低，速度会增大，机械能要减小，D错．
【答案】C
微专题突破三 宇宙多星模型
【p21】
1．(2018·全国Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100
s时，它们相距约400
km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积
B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
【解析】双中子星做匀速圆周运动的频率f＝12
Hz(周期T＝
s)，由万有引力提供向心力，可得G＝m1r1(2πf)2，G＝m2r2(2πf)2，r1＋r2＝r＝40
km，联立解得：m1＋m2＝，选项B正确，A错误；由v1＝ωr1＝2πfr1，v2＝ωr2＝2πfr2，联立解得：v1＋v2＝2πfr，选项C正确；不能得出各自自转的角速度，选项D错误．
【答案】BC
2．(2015·安徽卷)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
(1)A星体所受合力大小FA；
(2)B星体所受合力大小FB；
(3)C星体的轨道半径RC；
(4)三星体做圆周运动的周期T.
【解析】(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为
FBA＝G＝G＝FCA，方向如图所示．
合力大小FA＝2G
(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB＝G＝G
FCB＝G＝G，方向如图所示．
由FBx＝FABcos
60°＋FCB＝2G
FBy＝FABsin
60°＝G
可得FB＝＝G
(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，RC＝＝a(或：由对称性可知OB＝OC＝RC，cos∠OBD＝＝＝)
(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝G＝mRC
可得T＝π
【答案】(1)2G (2)G (3)a (4)π
【p21】
1．双星模型
(1)模型条件：两颗恒星彼此相距较近；两颗恒星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动；两颗恒星绕同一圆心做匀速圆周运动．
(2)模型特点
①向心力等大反向：两颗恒星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在两颗恒星上，是一对作用力和反作用力．
②周期、角速度相同：两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等．
③半径、线速度与质量成反比：圆心在两颗恒星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗恒星做匀速圆周运动的半径与恒星的质量成反比．两颗恒星做匀速圆周运动的线速度与恒星的质量成反比．
2．三星模型
(1)第一种情况：三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央的星(静止不动)在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同．
(2)第二种情况：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，三颗星的运行周期相同(如图所示)．
3．四星模型
(1)第一种情况：四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形的两条对角线的交点做匀速圆周运动(如图所示)．
(2)第二种情况：有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．
4．多星模型问题分析方法：
一抓双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径；二抓星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供；三抓星体的角速度相等；四抓星体的轨道半径不是天体间的距离．要利用几何知识，寻找它们之间的关系，正确计算万有引力和向心力．
【p21】
1．天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是( )
A．它们两两之间的万有引力大小为
B．某颗星的质量为
C．三颗星的质量可能不相等
D．它们的线速度大小均为
【解析】轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则F合＝2Fcos
30°＝；星球做匀速圆周运动，合力提供向心力，故：F合＝mr，解得：m＝.它们两两之间的万有引力：F＝＝＝，故A正确，B错误，C错误；根据F合＝m得：线速度大小为：v＝，故D错误．
【答案】A
2．宇宙中存在质量相等的四颗星组成的四星系统，这些系统一般离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．四星系统通常有两种构成形式：一是三颗星绕另一颗中心星运动(三绕一)；二是四颗星稳定地分布在正方形的四个顶点上运动．若每个星体的质量均为m，引力常量为G.
(1)分析说明三绕一应该具有怎样的空间结构模式；
(2)若相邻星球的最小距离为a，求两种构成形式下天体运动的周期之比．
【解析】(1)三颗星绕另一颗中心星运动时，其中任意一个绕行的星球受到另三个星球的万有引力的合力提供向心力，三个绕行星球的向心力一定指向同一点，且中心星受力平衡，由于星球质量相等，具有对称关系，因此向心力一定指向中心星，绕行星一定分布在以中心星为中心的等边三角形的三个顶点上，如图甲所示．
(2)对三绕一模式，三颗星绕行轨道半径均为a，所受合力等于向心力，因此有
2Gcos
30°＋G＝ma，
解得T＝.
对正方形模式，如图乙所示，四星的轨道半径均为a，同理有
2Gcos
45°＋G＝m·a，
解得T＝.故＝.
【答案】(1)见解析 (2)
真题回顾
【p22】
1．(2020·全国卷Ⅱ)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点．c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.等于( )
A．20
B．18
C．9.0
D．3.0
【解析】由题意可知当在a点动能为E1时，有E1＝mv，根据平抛运动规律有h＝gt，h＝v1t1，当在a点时动能为E2时，有E2＝mv，根据平抛运动规律有h＝gt，3h＝v2t2，联立以上各式可解得＝18，故选B.
【答案】B
2．(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2
B．0.4
C．2.0
D．2.5
【解析】设物体质量为m，则在火星表面有F1＝G，在地球表面有F2＝G，由题意知有＝，＝，故联立以上公式可得＝＝×＝0.4.故选B.
【答案】B
3．(2020·全国卷Ⅱ)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】卫星绕球形星体表面做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可知G＝mR，又M＝ρ·πR3，可得T＝.
【答案】A
4．(2020·全国卷Ⅲ)“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K倍．已知地球半径R是月球半径的P倍，地球质量是月球质量的Q倍，地球表面重力加速度大小为g.则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为m和m0的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有G＝mg，G＝m0g′，解得g′＝g，设嫦娥四号卫星的质量为m1，根据万有引力提供向心力得，解G＝m1得v＝，故选D.
【答案】D
5．(2020·山东卷)我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务．质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为( )
A．m
B．m
C．m
D．m
【解析】忽略星球的自转，万有引力等于重力G＝mg，则＝·＝0.1×＝0.4，解得g火＝0.4g地＝0.4g，着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知0＝v0－at0，解得a＝，匀减速过程，根据牛顿第二定律得f－mg火＝ma，解得着陆器受到的制动力大小为f＝mg火＋ma＝m(0.4g＋)，B正确．
【答案】B
6．(2019·全国卷Ⅰ)(多选)如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N，另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°.已知M始终保持静止，则在此过程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不变
B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加
D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【解析】如图甲所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大；如图乙所示，对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加．故本题选B、D.
【答案】BD
7．(2019·全国卷Ⅱ)物块在轻绳的拉动下沿倾角为30°的固定斜面向上匀速运动，轻绳与斜面平行．已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，重力加速度取10
m/s2.若轻绳能承受的最大张力为1
500
N，则物块的质量最大为( )
A．150
kg
B．100
kg
C．200
kg
D．200
kg
【解析】根据物体处于平衡状态可知，T＝f＋mgsin
θ，f＝μN，N＝mgcos
θ，代入数据解得：m＝150
kg，故A选项符合题意．
【答案】A
8.
(2019·全国卷Ⅲ)用卡车运输质量为m的匀质圆筒状工件，为使工件保持固定，将其置于两光滑斜面之间，如图所示．两斜面Ⅰ、Ⅱ固定在车上，倾角分别为30°和60°.重力加速度为g.当卡车沿平直公路匀速行驶时，圆筒对斜面Ⅰ、Ⅱ压力的大小分别为F1、F2，则( )
A．F1＝mg，F2＝mg
B．F1＝mg，F2＝mg
C．F1＝mg，F2＝mg
D．F1＝mg，F2＝mg
【解析】对圆筒进行受力分析知圆筒处于三力平衡状态，受力分析如图，由几何关系可知，F1′＝mgcos
30°，F2′＝mgsin
30°.解得F1′＝mg，F2′＝mg.由牛顿第三定律知F1＝mg，F2＝mg，故D正确．
【答案】D
9．(2019·全国卷Ⅰ)
如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H.上升第一个所用的时间为t1，第四个所用的时间为t2.不计空气阻力，则满足( )
A．1<<2
B．2<<3
C．3<<4
D．4<<5
【解析】运动员起跳到达最高点的瞬间速度为零，又不计空气阻力，故可逆向处理为自由落体运动．则根据初速度为零的匀加速运动，相等相邻位移时间关系1∶∶∶∶…，可知＝＝2＋，即3<<4，故本题选C.
【答案】C
10．(2019·全国卷Ⅲ)(多选)如图(a)，物块和木板叠放在实验台上，物块用一不可伸长的细绳与固定在实验台上的力传感器相连，细绳水平．t＝0时，木板开始受到水平外力F的作用，在t＝4
s时撤去外力．细绳对物块的拉力f随时间t变化的关系如图(b)所示，木板的速度v与时间t的关系如图(c)所示．木板与实验台之间的摩擦可以忽略．重力加速度取10
m/s2.由题给数据可以得出( )
A．木板的质量为1
kg
B．2～4
s内，力F的大小为0.4
N
C．0～2
s内，力F的大小保持不变
D．物块与木板之间的动摩擦因数为0.2
【解析】结合两图象可判断出0～2
s物块和木板还未发生相对滑动，它们之间的摩擦力为静摩擦力，此过程力F等于f，故F在此过程中是变力，即C错误；2～5
s内木板与物块发生相对滑动，摩擦力转变为滑动摩擦力，由牛顿运动定律，对2～4
s和4～5
s列运动学方程，可解出质量m为1
kg，2～4
s内的力F为0.4
N，故A、B正确；由于不知道物块的质量，所以无法计算它们之间的动摩擦因数μ，故D错误．
【答案】AB
11．(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月，我国“嫦娥四号”探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )
【解析】根据万有引力定律可得：F＝，h越大，F越小，故选项D符合题意．
【答案】D
12．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金A．a金>a地>a火
B．a火>a地>a金
C．v地>v火>v金
D．v火>v地>v金
【解析】由万有引力提供向心力G＝ma，得a＝，可知轨道半径越小，向心加速度越大，故知A项正确，B错误；由G＝m得v＝，可知轨道半径越小，运行速率越大，故C、D都错误．
【答案】A
13．(2018·全国卷Ⅰ)如图，轻弹簧的下端固定在水平桌面上，上端放有物块P，系统处于静止状态．现用一竖直向上的力F作用在P上，使其向上做匀加速直线运动．以x表示P离开静止位置的位移，在弹簧恢复原长前，下列表示F和x之间关系的图象可能正确的是( )
【解析】由牛顿运动定律得F－kx＝ma，由胡克定律得F弹＝mg－kx，x为离开原平衡位置的位移，联立解得F＝kx＋ma.对比题给的四个图象，可能正确的是A.
【答案】A
14．(2018·全国卷Ⅱ)(多选)甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度—时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶，下列说法正确的是( )
A．两车在t1时刻也并排行驶
B．t1时刻甲车在后，乙车在前
C．甲车的加速度大小先增大后减小
D．乙车的加速度大小先减小后增大
【解析】v－t图象中图象包围的“面积”代表运动走过的位移，两车在t2时刻并排行驶，利用逆向思维并借助于“面积”可知在t1时刻甲车在后，乙车在前，故A错误，B正确；图象的斜率表示加速度，所以甲的加速度先减小后增大，乙的加速度也是先减小后增大，故C错，D正确．
【答案】BD
15．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍
B．4倍
C．6倍
D．8倍
【解析】设甲球落至斜面时的速率为v1，乙落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tan
θ＝，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝·v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比．同理可得，v2＝·，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，选项A正确．
【答案】A
16．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)甲、乙两车在同一平直公路上同向运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动．甲、乙两车的位置x随时间t的变化如图所示．下列说法正确的是( )
A．在t1时刻两车速度相等
B．从0到t1时间内，两车走过的路程相等
C．从t1到t2时间内，两车走过的路程相等
D．在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等
【解析】根据位移图象的物理意义可知，在t1时刻两车的位置相同，乙车的速度大于甲车的速度，选项A错误；从0到t1时间内，乙车走过的路程大于甲车，选项B错误；从t1到t2时间内，两车都是从x1位置走到x2位置，两车走过的路程相等，选项C正确；根据位移图象的斜率等于速度可知，在t1到t2时间内的某时刻，两车速度相等，选项D正确．
【答案】CD
17．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1
B．4∶1
C．8∶1
D．16∶1
【解析】设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，选项C正确．
【答案】C【p121】
A组
1．地球和火星分别是距离太阳第三和第四近的行星，可认为这两颗行星都在围绕太阳做同向的匀速圆周运动，火星的公转半径r2约是地球公转半径r1的1.52倍．现要发射一颗火星探测器，探索火星表面的地理环境和矿产，已知地球的公转周期为1年，探测器从地球上发射，沿椭圆轨道运动半周追上火星时的发射过程最节省燃料，则此发射过程探测器运行的时间约是( )
A．0.7年 B．0.8年 C．1年 D．1.2年
【解析】由题意，根据图示几何关系，可以求得探测器轨道的半径长轴a＝1.26r1，根据开普勒第三定律有：＝，由于地球周期T＝1年，可以求得探测器公转周期T′＝1.414年；探测器飞行时间为其公转周期的一半，故t＝≈0.7年．故A正确，B、C、D错误．
【答案】A
2．(多选)某同学认为只要测出地球赤道位置处的重力加速度g，就可以利用一些常见的数据计算出地球的半径和质量．已知常见数据为万有引力常量G，地球的自转周期T，地球两极处的重力加速度g0.若视地球为质量分布均匀的球体，赤道处的重力加速度g已经测出，则下列说法中正确的是( )
A．地球的半径为
B．地球的半径为
C．地球的质量为
D．地球的质量为
【解析】在两极地区，物体受到地球的万有引力，则有＝mg0，在赤道处，则有－mg＝m，联立可得地球的半径为R＝，将R＝代入＝mg0可得地球的质量为M＝，故A、C错误，B、D正确．
【答案】BD
3．2020年5月5日长征五号B运载火箭的首飞成功，实现空间站阶段飞行任务首战告捷，拉开我国载人航天工程“第三步”任务序幕．已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是( )
A．卫星距离地面的高度
B．卫星的运行速度大于第一宇宙速度
C．卫星运行时受到的向心力大小为
D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
【解析】万有引力提供向心力，因此有＝m()2(R＋h)，化简可得h＝－R，F向＝，v＝，a向＝，故AC错误；由上面分析可得v＝，由于第一宇宙速度为v1＝，故B错误；由上面分析可得a向＝，地表重力加速度为g＝，故D正确．
【答案】D
4．图甲是未来空间站的构思图．在空间站中设置一个如图乙绕中心轴旋转的超大型圆管作为生活区，圆管的内、外管壁平面与转轴的距离分别为R1、R2.当圆管以一定的角速度ω转动时，在管中相对管静止的人(可看作质点)便可以获得一个类似在地球表面的“重力”，以此降低因长期处于失重状态对身体健康造成的影响．己知地球质量为M，地球半径为R，万有引力常量为G，地球自转周期为T.当空间站在地球静止同步轨道上运行时，管道转动的角速度ω大小为( )
A.
B.
C.
D.×
【解析】空间站在地球静止同步轨道上运行时，管道转动的向心加速度等于地球表面的重力加速度，即ω2R2＝g，而在地球表面mg＝，解得ω＝，故选B.
【答案】B
5．(多选)2020年4月24日，国家航天局将我国行星探测任务命名为“天问(Tianwen)系列”．根据计划，2020年我国将实施“天问一号”，目标是通过一次发射任务，实现“火星环绕、火星表面降落、巡视探测”三大任务．若探测器登陆火星前，除P点在自身动力作用下改变轨道外，其余过程中仅受火星万有引力作用，经历从椭圆轨道Ⅰ→椭圆轨道Ⅱ→圆轨道Ⅲ的过程，如图所示，则探测器( )
A．在轨道Ⅰ上从P点到Q点的过程中，机械能不变
B．在轨道Ⅱ上运行的周期小于在轨道Ⅲ上运行的周期
C．在轨道Ⅲ上运行速度大于火星的第一宇宙速度
D．在轨道Ⅲ上P点受到火星万有引力等于在轨道Ⅱ上P点受到火星万有引力
【解析】在轨道Ⅰ上从P点到Q点的过程中，只有万有引力对探测器做功，则机械能守恒，故A正确；由开普勒第三定律＝k可知，由于轨道Ⅱ半长轴比轨道Ⅲ的半径大，则在轨道Ⅱ上运行的周期大于在轨道Ⅲ上运行的周期，故B错误；第一宇宙速度即为物体绕火星表面做圆周运动的线速度，由公式G＝m，得v＝，由于轨道Ⅲ的半径比火星半径大，其速度比火星的第一宇宙速度小，故C错误；由万有引力公式F＝G可知，在轨道Ⅲ上P点受到火星万有引力等于在轨道Ⅱ上P点受到火星万有引力，故D正确．
【答案】AD
6．2018年3月14日，史蒂芬·威廉·霍金去世，享年76岁．霍金的主要研究领域是宇宙论和黑洞，证明了广义相对论的奇性定理和黑洞面积定理，提出了黑洞蒸发现象和无边界的霍金宇宙模型，若某黑洞的半径R约为45
km，质量M和半径R的关系满足＝，其中c为光速，G为引力常量，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )
A．108
m/s2
B．1010
m/s2
C．1012
m/s2
D．1014
m/s2
【解析】黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，对黑洞表面的某一质量为m物体有：G＝mg，又有＝，联立解得：g＝，代入数据得重力加速度的数量级为1012
m/s2，故C正确，A、B、D错误．
【答案】C
7．宇宙中组成双星系统的甲、乙两颗恒星的质量分别为m、km，甲绕两恒星连线上一点做圆周运动的半径为r，根据宇宙大爆炸理论，两恒星间的距离会缓慢增大，若干年后，甲做圆周运动的半径增大为nr，设甲、乙两恒星的质量保持不变，引力常量为G，则关于若干年后的说法错误的是( )
A．恒星甲做圆周运动的向心力为G
B．恒星甲做圆周运动周期变大
C．恒星乙做圆周运动的半径为
D．恒星乙做圆周运动的线速度为恒星甲做圆周运动线速度的
【解析】由于双星靠相互间的万有引力提供向心力，它们的向心力大小相等．角速度相等．由F＝mω2r知，甲、乙的轨道半径与质量成反比，即r乙＝；所以若干年后，该双星系统甲做圆周运动的半径增大为nr，则乙做圆周运动的半径增大为，根据万有引力定律知F＝G，L＝nr＋，所以若干年后，恒星甲做圆周运动的向心力为F＝G，故A错误，C正确．对恒星甲，由F＝mr，知F变小，r变大，则T变大，故B正确．恒星甲、乙的角速度相等，恒星乙做圆周运动的半径为恒星甲做圆周运动的半径的，由v＝rω知，恒星乙做圆周运动的线速度大小为恒星甲做圆周运动的线速度大小的，故D正确．
【答案】A
8．假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，自身球体半径分别为RA和RB.两颗行星各自周围的卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行公转周期的平方(T2)的关系如图所示；T0为卫星环绕各自行星表面运行的周期．则( )
A．行星A的质量小于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度
【解析】根据万有引力提供向心力得出：G＝m得：M＝·，根据图象可知，A的比较B的大，所以行星A的质量大于行星B的质量，故A错误；根图象可知，在两颗行星表面做匀速圆周运动的周期相同，密度ρ＝＝＝＝，所以行星A的密度等于行星B的密度，故B错误；第一宇宙速度v＝，A的半径大于B的半径，卫星环绕行星表面运行的周期相同，则A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度，故C错误；根据G＝ma得：a＝G，当两行星的卫星轨道半径相同时，A的质量大于B的质量，则行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速，故D正确．
【答案】D
B组9.
某载人宇宙飞船绕地球做圆周运动的周期为T，由于地球遮挡，宇航员发现有T时间会经历“日全食”过程，如图所示．已知地球的半径为R，引力常量为G，地球自转周期为T0，太阳光可看作平行光，则下列说法正确的是( )
A．宇宙飞船离地球表面的高度为2R
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为
C．宇航员观察地球的最大张角为120°
D．地球的平均密度为ρ＝
【解析】由几何关系，飞船每次“日全食”过程的时间内飞船转过α角，所需的时间为t＝·T；由于宇航员发现有T时间会经历“日全食”过程，则：＝，所以：α＝π；设宇宙飞船离地球表面的高度h，由几何关系可得：＝sin
＝sin
＝，可得：h＝R.故A错误；地球自转一圈时间为T0，飞船绕地球一圈时间为T，飞船绕一圈会有一次日全食，所以每过时间T就有一次日全食，得一天内飞船经历“日全食”的次数为.故B错误；设宇航员观察地球的最大张角为θ，则由几何关系可得：sin
＝，可得：θ＝60°.故C错误；万有引力提供向心力，所以：G＝mr，得M＝，其中：r＝R＋h＝2R又：ρ＝＝，联立可得：ρ＝.故D正确．
【答案】D
10．(多选)假设太阳的质量为M，到太阳中心的距离为r的海王星质量为m，规定物体距离太阳无穷远处的太阳引力势能为零，则理论证明海王星的太阳力势能公式为Ep＝－G.已知海王星绕太阳做椭圆运动，远日点和近日点的距离分别为r1和r2，另外已知地球绕太阳做圆周运动，其轨道半径为R，万有引力常量为G，地球公转周期为T.结合已知数据和万有引力规律，则可以推算下列哪些物理量( )
A．海王星质量
B．太阳质量
C．地球质量
D．海王星远日点速度
【解析】设海王星远日点和近日点速度分别为v1和v2，根据开普勒第二定律有v1r1＝v2r2，根据机械能守恒定律有mv－G＝mv－G，设地球质量为m0，已知地球公转周期为T，万有引力常量为G，太阳的引力提供向心力，有G＝m0R，由三式可推导太阳质量、海王星远日点速度，不能推导海王星质量、地球质量，故选项BD正确，AC错误．
【答案】BD
11.
地球和某行星在同一轨道平面内同向绕太阳做匀速圆周运动，地球和太阳中心的连线与地球和行星的连线所成夹角叫做地球对该行星的观察视角，如图中θ所示．当行星处于最大观察视角时是地球上的天文爱好者观察该行星的最佳时机．已知某行星的最大观察视角为θ0，则该行星绕太阳转动的角速度与地球绕太阳转动的角速度之比( )
A.
B.
C.
D.【解析】由题意当地球与行星的连线与行星轨道相切时，视角最大，可得行星的轨道半径r为：r＝Rsin
θ0，得：＝sin
θ0.设太阳的质量为M，根据万有引力提供向心力，则有：＝mω2r，得：ω2＝.行星绕太阳转动 的
角速度与地球绕太阳转动的角速度之比为：＝＝，故A正确，B、C、D错误．
【答案】A
12．若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G.“蛟龙”下潜深度为d，天宫一号轨道距离地面高度为h.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．求：
(1)“天宫一号”绕地心转一周的时间是多少？
(2)“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为多少？
【解析】(1)根据万有引力提供向心力得
＝m(R＋h)
地球表面的物体受到的万有引力等于重力，即
mg＝
联立解得
T＝2π
(2)令地球的密度为ρ，对地球表面的物体
g＝
由于地球的质量为
M＝ρ·πR3
所以重力加速度的表达式可写成
g＝＝＝πGρR
根据万有引力提供向心力＝mg1
“天宫一号”的加速度为g1＝
＝
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故海底的重力加速度
g2＝πGρ(R－d)
所以有
＝
所以＝
【答案】(1)2π (2)(共89张PPT)
向心力
7.9
km/s
最大
最小
最大
天体运动
宇宙
人造卫星、、7、a与轨道半径的关系上速度
估算天体质量、发现未知天体
万有
MMm
2
r
两条主线
77
三mo7三m
引力定律
用
Mm=m→CM=2
R
航天器的变轨间题
开普勒行星运动定律
知识网络>●●。。
基础落实>●。●
考点突破>●●。。
限时训练>●。。
真题回顾>。。。。
模型破解>。●。。。
热身练习>●●。。
