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17.2
勾股定理的逆定理
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．12，15，18
B．12，35，36
C．2，3，4
D．5，12，13
解：A、122+152≠182，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、122+352≠362，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、22+32≠42，不是勾股数，故此选项不合题意；
D、52+122＝132，都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
故选：D．
2．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12
B．13
C．15
D．24
解：如图，
设旗杆的高度为xm，则AC＝xm，AB＝（x+1）m，BC＝5m，
在Rt△ABC中，52+x2＝（x+1）2，解得x＝12，
答：旗杆的高度是12m．
故选：A．
3．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（ ）元．
A．75a
B．50a
C．a
D．150a
解：如图，作BA边的高CD，设与AB的延长线交于点D，
∵∠ABC＝150°，
∴∠DBC＝30°，
∵CD⊥BD，BC＝15米，
∴CD＝7.5米，
∵AB＝10米，
∴S△ABC＝AB×CD＝×10×7.5＝37.5（平方米），
∵每平方米售价2a元，
∴购买这种草皮至少为37.5×2a＝75a（元），
故选：A．
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
解：A、∠C﹣∠B＝∠A，即∠A+∠B＝∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；
B、c2＝b2﹣a2，即a2+c2＝b2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90，说法正确；
C、∠A：∠B：∠C＝1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，则∠C＝90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；
D、a＝3，b＝5，c＝4，32+52≠42，但是32+42＝52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．
故选：D．
5．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（ ）
A．2m
B．2.5cm
C．2.25m
D．3m
解：在直角△ABC中，AC＝1.5cm．AB﹣BC＝0.5m．
设水池BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2＝AB2
∴1.52+x2＝（x+0.5）2
解得：x＝2．
故选：A．
6．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（ ）
A．60海里
B．45海里
C．20海里
D．30海里
解：由题意可得：∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，
故AB＝2AP＝60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP＝＝30（海里）
故选：D．
7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M是BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN＝（ ）
A．
B．
C．6
D．11
解：连接AM，
∵AB＝AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝CM＝3，
在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，
∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，
又S△AMC＝MN?AC＝AM?MC，
∴MN＝＝．
故选：A．
8．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（ ）
A．3＜h＜4
B．3≤h≤4
C．2≤h≤4
D．h＝4
解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为＝13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
故选：B．
二．填空题（共4小题）
9．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是 45° ．
解：
延长AP到C，使AP＝PC，连接BC，
∵AP＝PC＝＝，
同理BC＝，
∵BP＝＝，
∴PC＝BC，PC2+BC2＝PB2，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠CPB＝45°，
故答案为：45°．
10．边长为6，8，10的△ABC内有一点P到三边的距离均为m，则m的值为 2 ．
解：∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC内有一点P到三边的距离均为m，
∴，
∴m＝2，
故答案为：2．
11．下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13；
③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为 2 ．
解：①0.62+0.82＝12，不是整数，不是勾股数；
②52+122＝132，是勾股数；
③82+152＝172，是勾股数；
④42+52≠62，不是勾股数；
其中是勾股数的组为2．
故答案为：2．
12．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 680 元．
解：由勾股定理得AB＝＝＝12（m），
则地毯总长为12+5＝17（m），
则地毯的总面积为17×2＝34（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要34×20＝680（元）．
故答案为：680．
三．解答题（共4小题）
13．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC为直角三角形，并求出其面积．
解：∵AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝．
14．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．
联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37
解：A＝（n2﹣1）2+（2n）2＝n4﹣2n2+1+4n2＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∵A＝B2，B＞0，
∴B＝n2+1，
当2n＝8时，n＝4，∴n2﹣1＝42﹣1＝15，n2+1＝42+1＝17；
当n2﹣1＝35时，n＝±6（负值舍去），∴2n＝2×6＝12，n2+1＝37．
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
15
8
17
勾股数组Ⅱ
35
12
37
故答案为：15，17；12，37．
15．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？
解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO＝（米）；
（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5（米），
根据勾股定理：OB′＝＝2（米），
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5（米），
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
16．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
解：（1）学校C会受噪声影响．
理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，
∵AC＝150m，BC＝200m，AB＝250m，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形．
∴AC×BC＝CD×AB，
∴150×200＝250×CD，
∴CD＝＝120（m），
∵拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域域，
∴学校C会受噪声影响．
（2）当EC＝130m，FC＝130m时，正好影响C学校，
∵ED＝（m），
∴EF＝100（m），
∵拖拉机的行驶速度为每分钟50米，
∴100÷50＝2（分钟），
即拖拉机噪声影响该学校持续的时间有2分钟．
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17.2
勾股定理的逆定理
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．12，15，18
B．12，35，36
C．2，3，4
D．5，12，13
2．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）
A．12
B．13
C．15
D．24
3．为了打造“绿洲”，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，已知AB＝10米，BC＝15米，∠B＝150°，这种草皮每平方米售价2a元，则购买这种草皮需（ ）元．
A．75a
B．50a
C．a
D．150a
4．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠C﹣∠B＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．如果c2＝b2﹣a2，则△ABC是直角三角形
C．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
5．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（ ）
A．2m
B．2.5cm
C．2.25m
D．3m
6．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（ ）
A．60海里
B．45海里
C．20海里
D．30海里
7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M是BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN＝（ ）
A．
B．
C．6
D．11
8．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（ ）
A．3＜h＜4
B．3≤h≤4
C．2≤h≤4
D．h＝4
二．填空题（共4小题）
9．如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是
．
10．边长为6，8，10的△ABC内有一点P到三边的距离均为m，则m的值为
．
11．下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13；
③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为
．
12．某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要
元．
三．解答题（共4小题）
13．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请证明△ABC为直角三角形，并求出其面积．
14．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．
联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
8
勾股数组Ⅱ
35
15．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？
16．拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．
（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？
（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？
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