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17.1
勾股定理
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ）
A．6
B．7
C．10
D．13
解：由勾股定理得，斜边长＝＝13，
故选：D．
2．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2022
B．2021
C．2020
D．1
解：由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2022．
故选：A．
3．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．S△ABC＝10
B．∠BAC＝90°
C．AB＝2
D．点A到直线BC的距离是2
解：A、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵AB2＝20，
∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
则××2＝×5×h，
解得，h＝2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：A．
4．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2
B．+1
C．2
D．﹣1
解：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC＝，
∵CD＝BC，
∴AD＝AC﹣CD＝﹣1，
∵AE＝AD，
∴AE＝﹣1，
∴点E表示的实数是﹣1．
故选：D．
5．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（ ）
A．25
B．19
C．13
D．169
解：由条件可得：，
解之得：．
所以（a+b）2＝25，
故选：A．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8
B．12
C．18
D．20
解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴正方形的面积＝AB2＝（2）2＝20，
故选：D．
7．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14
B．13
C．14
D．14
解：∵AE＝10，BE＝24，即24和10为两条直角边长时，
小正方形的边长＝24﹣10＝14，
∴EF＝＝14．
故选：D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．9
解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，
∴△ACH的面积是10﹣8＝2．
故选：A．
二．填空题（共4小题）
9．等腰△ABC的腰长AB为5，底边BC的长为6，则底边上的高长为 4 ．
解：过A作AD⊥BC于D，
则线段AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∵AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝3，∠AB＝90°，
由勾股定理得：AD＝＝＝4，
故答案为：4．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是 25 ．
解：连接BE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
设AE＝BE＝x，则CE＝32﹣x，
在Rt△BCE中，
∵BC2+CE2＝BE2，
∴242+（32﹣x）2＝x2，
解得x＝25，
∴AE＝25，
故答案为：25．
11．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD，下面四个结论中，
①AD＝CD；
②BD⊥AC；
③AC＝6；
④△ACD是等边三角形．
所有正确结论的序号是 ①②④ ．
解：①由作图可得AD＝CD，
故①正确；
②∵AD＝CD，AB＝BC，
∴BD垂直平分AC，
∴BD⊥AC，AO＝CO，
故②正确；
③∵BD⊥AC，∠BAC＝30°，AB＝BC＝3，
∴AC＝3××2＝3，
故③错误；
④∵AC＝AD＝CD，
∴△ACD是等边三角形，
故④正确．
故答案为：①②④．
12．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a、b、c的式子表示） c2+ab ， a2+b2+ab ．
解：如图所示：
①S＝c2+ab×2＝c2+ab，
②S＝a2+b2+ab×2＝a2+b2+ab．
故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．
三．解答题（共4小题）
13．如图，四边形ABCD中，∠CBA＝∠CAD＝90°，∠BCA＝45°，∠ACD＝60°，BC＝，求AD的长．
解：∵∠CBA＝90°，∠BCA＝45°，BC＝，
∴AB＝，
∴AC＝＝2，
∵∠CAD＝90°，∠ACD＝60°，
∴AD＝AC?tan60°＝2．
14．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
证明：（1）∵BC＝13，CD＝12，BD＝5，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2，
即x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝16.9，
∴AC＝16.9．
15．如图，在△ABC中，B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t，
∵AB＝16，
∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t，
当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ，
即16﹣t＝2t，解得t＝，
∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形；
（2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示，
则∠C＝∠CBQ，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．
∠A+∠C＝90°，
∴∠A＝∠ABQ，
∴BQ＝AQ，
∴CQ＝AQ＝10（秒），
∴BC+CQ＝22（秒），
∴t＝22÷2＝11（秒）．
②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示，
则BC+CQ＝24（秒），
∴t＝24÷2＝12（秒）．
综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形．
16．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x
因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：
（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．
解：（2）因为S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC
＝cx+ax+bx
所以x＝．
答：x与a、b、c的关系为x＝．
（3）根据（1）和（2）得：
x＝＝．
即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）
化简得a2+b2＝c2．
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17.1
勾股定理
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（ ）
A．6
B．7
C．10
D．13
2．有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2022
B．2021
C．2020
D．1
3．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．S△ABC＝10
B．∠BAC＝90°
C．AB＝2
D．点A到直线BC的距离是2
4．如图，在数轴上，点A，B表示的数分别为0，2，BC⊥AB于点B，且BC＝1．连接AC，在AC上截取CD＝BC，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是（ ）
A．2
B．+1
C．2
D．﹣1
5．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为（ ）
A．25
B．19
C．13
D．169
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8
B．12
C．18
D．20
7．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14
B．13
C．14
D．14
8．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（ ）
A．2
B．4
C．6
D．9
二．填空题（共4小题）
9．等腰△ABC的腰长AB为5，底边BC的长为6，则底边上的高长为
．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，则AE的长是
．
11．已知：如图，在△ABC中，AB＝BC＝3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD，下面四个结论中，
①AD＝CD；
②BD⊥AC；
③AC＝6；
④△ACD是等边三角形．
所有正确结论的序号是
．
12．“赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a、b、c的式子表示）
，
．
三．解答题（共4小题）
13．如图，四边形ABCD中，∠CBA＝∠CAD＝90°，∠BCA＝45°，∠ACD＝60°，BC＝，求AD的长．
14．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13，D是腰AB上一点，且CD＝12，BD＝5．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AC的长．
15．如图，在△ABC中，B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？
（2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？
16．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x
因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：
（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．
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