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18.1
平行四边形
同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．4.5
B．9
C．10
D．12
解：∵点D、E、F分别是三边的中点，
∴DE、EF、DF为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×7＝，DF＝AC＝×5＝，EF＝BC＝×6＝3，
∴△DEF的周长＝++3＝9，
故选：B．
2．如图，在?ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（ ）
A．4
B．8
C．8
D．10
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，
∴∠EBC+∠FCB＝∠ABC+∠DCB＝90°，
∴EB⊥FC，
∴∠FGB＝90°．
过A作AM∥FC，交BC于M，交BE于O，如图所示：
∵AM∥FC，
∴∠AOB＝∠FGB＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∵AO⊥BE，
∴BO＝EO，
在△AOE和△MOB中，
，
∴△AOE≌△MOB（ASA），
∴AO＝MO，
∵AF∥CM，AM∥FC，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM＝FC＝4，
∴AO＝2，
∴EO＝＝＝4，
∴BE＝8．
故选：C．
3．如图，四边形ABCD中，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，则添加下列一个条件后，不能判定该四边形为平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC
B．OA＝OC
C．OD＝OB
D．AB＝DC
解：A．∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；选项A正确；
B．∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴OD＝OB，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形；选项B正确；
C..∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OA＝OC，
又∵OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；选项C正确；
D．∵AD∥BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD可能为等腰梯形，不一定是平行四边形，选项D不正确；
故选：D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．3对
B．2对
C．1对
D．0对
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ABD＝S△CBD．
∵BP是平行四边形BEPH的对角线，
∴S△BEP＝S△BHP，
∵PD是平行四边形GPFD的对角线，
∴S△GPD＝S△FPD．
∴S△ABD﹣S△BEP﹣S△GPD＝S△BCD﹣S△BHP﹣S△PFD，即S?AEPG＝S?HCFP，
∴S?ABHG＝S?BCFE，
同理S?AEFD＝S?HCDG．
即：S?ABHG＝S?BCFE，S?AGPE＝S?HCFP，S?AEFD＝S?HCDG．
故选：A．
5．如图，在直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，DE∥BC，若点A到DE的距离是1，则DE与BC之间的距离是（ ）
A．2
B．1.4
C．3
D．2.4
解：∵在直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴点A到BC的距离＝＝，
∵DE∥BC，
∴DE与BC的距离是﹣1＝＝1.4．
故选：B．
6．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9
解：如图，延长BN交AC于D，
在△ANB和△AND中，
，
∴△ANB≌△AND（ASA），
∴AD＝AB＝8，BN＝ND，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴MN是△BCD的中位线，
∴DC＝2MN＝4，
∴AC＝AD+CD＝8+4＝12，
故选：A．
7．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项A不符合题意；
B、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项B不符合题意；
C、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
∴选项C符合题意；
D、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，点D，E分别是AB，AC的中点，CF平分Rt△ABC的一个外角∠ACM，交DE的延长线于点F，则DF的长为（ ）
A．5
B．8.5
C．9
D．12
解：∵∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，
∴AC＝＝13，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC＝2.5，EC＝AC＝6.5，DE∥BC，
∴∠FCM＝∠EFC，
∵CF平分Rt△ABC的一个外角∠ACM，
∴∠FCM＝∠FCE，
∴∠EFC＝∠FCE，
∴EF＝EC＝6.5，
∴DF＝DE+EF＝9，
故选：C．
二．填空题（共4小题）
9．如图，要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段AB、AC，并取AB、AC的中点D、E，连结DE．小明测得DE的长为a米，则B、C两地的距离为 2a 米．
解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝2a，
故答案为：2a．
10．如图，在?ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为 4 ．
解：如图，由作法得EF垂直平分AB，即AF＝BF＝AB，EF⊥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，BF＝2．
在直角△BEF中，∵∠BFE＝90°，∠B＝60°，
∴EF＝BF?tan∠B＝2，
∴△ABE的面积＝AB?EF＝×4×2＝4．
故答案为：4．
11．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF的长为 1 ．
解：连接AF并延长交BC于H，
∵点D、E分别为边AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC＝3，AF＝FH，
在△BFA和△BFH中，
，
∴△BFA≌△BFH（AAS），
∴BH＝AB＝4，
∵AD＝DB，AF＝FH，
∴DF＝BH＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝1，
故答案为：1．
12．如图，点A、E、F、C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AB＝CD．则当点E、F不重合时，BD与EF的关系是 互相平分 ．
解：已知AE＝CF，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AB＝CD且点E、F不重合，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，
∴∠DEC＝∠BFA＝90°，
又已知AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE，
∴DE＝BF，
∠DOE＝∠BOF，
∴△DOE≌△BOF，
∴OE＝OF，OB＝OD，
∴BD和EF互相平分．
故答案为：互相平分．
三．解答题（共4小题）
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
14．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．
解：在△AGF和△ACF中，
，
∴△AGF≌△ACF（ASA）．
∴AG＝AC＝8cm，
∴GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝12﹣8＝4（cm）．
又∵BE＝CE，
∴EF是△BCG的中位线．
∴EF＝BG＝2cm．
答：EF的长为2cm，
15．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．
（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠CDA＝60°．
在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，
∴．
在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，
∴GD＝1，
∴．
16．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？
解：（1）∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE＝AF，∠FDC＝∠B，
又∵∠AB＝AC，
∴∠B＝∠C
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝FC，
∴DE+DF＝AF+FC＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，在图②，DE﹣DF＝AC；
当点D在边BC的反向延长线上时，在图③，DF﹣DE＝AC．
（3）当在图①的情况，DF＝AC﹣DE＝10﹣7＝3；
当在图③的情况，DF＝AC+DE＝10+7＝17．
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平行四边形
同步练习
一．选择题（共8小题）
1．△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（ ）
A．4.5
B．9
C．10
D．12
2．如图，在?ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝10，CF＝4，则BE的长为（ ）
A．4
B．8
C．8
D．10
3．如图，四边形ABCD中，已知AD∥BC，AC与BD相交于点O，则添加下列一个条件后，不能判定该四边形为平行四边形的是（ ）
A．AD＝BC
B．OA＝OC
C．OD＝OB
D．AB＝DC
4．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，则图中面积相等的平行四边形有（ ）
A．3对
B．2对
C．1对
D．0对
5．如图，在直角三角形ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，DE∥BC，若点A到DE的距离是1，则DE与BC之间的距离是（ ）
A．2
B．1.4
C．3
D．2.4
6．如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB＝8，MN＝2，则AC的长为（ ）
A．12
B．11
C．10
D．9
7．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
C．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．有两组对角相等的四边形是平行四边形
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，AB＝12，点D，E分别是AB，AC的中点，CF平分Rt△ABC的一个外角∠ACM，交DE的延长线于点F，则DF的长为（ ）
A．5
B．8.5
C．9
D．12
二．填空题（共4小题）
9．如图，要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得到线段AB、AC，并取AB、AC的中点D、E，连结DE．小明测得DE的长为a米，则B、C两地的距离为
米．
10．如图，在?ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于AB的长为半径作弧；②过两弧相交的两点作直线交BC于点E，连接AE，已知CD＝4，∠B＝60°，则△ABE的面积为
．
11．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，∠ABC的平分线BF交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF的长为
．
12．如图，点A、E、F、C在一条直线上，若将△DEC的边EC沿AC方向平移，平移过程中始终满足下列条件：AE＝CF，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AB＝CD．则当点E、F不重合时，BD与EF的关系是
．
三．解答题（共4小题）
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
14．如图，在△ABC中，AB＝12cm，AC＝8cm，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，求线段EF的长．
15．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．
16．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DE∥AC交直线AB于点E，DF∥AB交直线AC于点F．
（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF＝AC；
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③请分别写出图②、图③中DE、DF、AC之间的等量关系式（不需要证明）；
（3）若AC＝10，DE＝7，问：DF的长为多少？
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