上海市嘉定区2012届高三上学期第一次质量调研数学文试卷

2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷（文）
考生注意：
1．答题前，务必在答题纸上将学校、班级、姓名等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷上的答案一律无效．
3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．若，且，则____________．
2．在等差数列中，，，则的前项和___________．
3．函数（）的反函数___________________．
4．方程的解__________．
5．在直角坐标系中，为坐标原点，点，，若，则_____．
6．已知集合，，则集合且
___________________．
7．若某校老、中、青教师的人数分别为、、，现要用分层抽样的方法抽取容量为的样本参加普通话测试，则应抽取的中年教师的人数为_____________．
8．若双曲线的焦点到渐近线的距离为，
则实数的值为____________．
9．在一个小组中有名男同学，名女同学，从中任意
挑选名同学参加交通安全志愿者活动，那么选
到的名都是女同学的概率为_____________
（结果用分数表示）．
10．如图所示的算法框图，则输出的值是_________．
11．一个扇形的半径为，中心角为，将扇形以一条半径所在直线为轴旋转一周所成的几何体的体积是_________________．
12．函数，的值域是________________．
13．如图，在平面直角坐标系中，圆
（）内切于正方形，任取
圆上一点，若（、），
则、满足的一个等式是______________________．
14．将正整数排成三角形数表：
，
，，
，，，
……
按上面三角形数表排成的规律，数表中第行所有数的和为______________．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．若集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．二次函数中，，则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．无法确定
17．若，且，则以下不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．直线（且，）与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．
如图，在直三棱柱中，，，．
（1）求三棱柱的表面积；
（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，设是圆和轴正半轴的交点，、是圆上的两点，是坐标原点，，，．
（1）若点的坐标是，求的值；
（2）设函数，求的值域．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．
已知曲线的方程为（）．
（1）讨论曲线所表示的轨迹形状；
（2）若时，直线与曲线相交于两点，，且，求曲线的方程．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
定义，，…，的“倒平均数”为（）．
（1）若数列前项的“倒平均数”为，求的通项公式；
（2）设数列满足：当为奇数时，，当为偶数时，．若为前项的倒平均数，求；
（3）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
已知函数．
（1）判断的奇偶性；
（2）设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
（3）若，证明：方程有两个不同的正数解．
2011学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（文）
参考答案与评分标准
一．填空题
1．；2．；3．（）；4．；5．；6．；7．；
8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．．
二．选择题
15．A；16．B；17．A；18．C．
三．解答题
19．（1）在△中，因为，，
，所以．…………（1分）
．………………（1分）
所以
．…………（3分）
（2）连结，因为∥，所以就是异面直线与所成的角（或其补角）．…………（1分）
在△中，，，，…………（1分）
由余弦定理，，…………（3分）
所以．…………（1分）
即异面直线与所成角的大小为．……（1分）
20．（1）由题意，点的坐标是，点的坐
标是，……（1分）
所以，，……（2分）
所以．……（3分）
（2）由题意，
，……（3分）
因为，所以，…………（2分）
所以．即函数的值域是．…………（3分）
21．（1）当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的双曲线；……（1分）
当时，曲线的轨迹是两条平行的直线和；……（1分）
当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆； …………（1分）
当时，曲线的轨迹是圆； …………（1分）
当时，曲线的轨迹是焦点在轴上的椭圆． …………（1分）
（2）由，得……① …………（2分）
因为，所以方程①为一元二次方程，△，所以直线与曲线必有两个交点． …………（1分）
设，，则，为方程①的两根，所以
，， …………（1分）
所以
，……（2分）
所以，解得或． ……（2分）
因此曲线的方程为或． ……（1分）
22．（1）设数列的前项和为，由题意，，
所以． …………（1分）
所以，当时，，而也满足此式．……（2分）
所以的通项公式为．…………（1分）
（2）设数列的前项和为，则当为偶数时，，……（1分）
当为奇数时，． …………（1分）
所以． ……（3分）
所以． ……（2分）
（3）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，则对任意恒成立，…………（1分）
令，因为，所以数列是递增数列，…（1分）
所以只要，即，
解得或．…………（2分）
所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立．（2分）
23．（1）时，是奇函数；……（2分）
时，既不是奇函数也不是偶函数．……（2分）
（2）当时，，函数图像的对称轴为直线．……（1分）
当，即时，函数在上是增函数，所以；…（1分）
当，即时，函数在上是减函数，在上是增函数，
所以；……（1分）
当，即时，函数在上是减函数，
所以．……（1分）
综上， ．……（2分）
（3）证法一：
若，则时，，方程可化为，
即．……（2分）
令，，在同一直角坐标系中作出函数 在时的图像．…………（2分）
因为，，所以，即当时
函数图像上的点在函数图像点的上方．……（3分）
所以函数与的图像在第一象限有两个不同交点．
即方程有两个不同的正数解．…………（1分）
证法二：
若，则时，，方程可化为，
即．…………（2分）
令，在同一直角坐标系中作出函数，在时的图像．……（2分）
因为，，所以，
即当时，函数图像上的点在
函数图像点的上方．…………（3分）
所以函数与的图像在第四象限有两个不同交点．
所以方程有两个不同的正数解．…………（1分）
否
结束
开始
输出
是
A
B
C
D
O
y
x
A
B
C
A1
B1
C1
O
y
P
Q
x
A
A
B
C
A1
B1
C1
O
x
y
2
y
O
x
2