5.5数学归纳法-【新教材】2020-2021学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册课时练习 Word含解析
文档属性
| 名称 | 5.5数学归纳法-【新教材】2020-2021学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册课时练习 Word含解析 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 604.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-03-09 22:25:35 | ||
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文档简介
5.5数学归纳法课时作业
A级 巩固基础
一、单选题
1．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
2．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
4．某个命题与整数n有关.若时该命题成立，则可推得当时该命题也成立.若时该命题不成立，则有（ ）.
A．时该命题成立 B．时该命题不成立
C．时该命题成立 D．时该命题不成立
5．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则成立
C．若成立，则当时，均有成立
D．若成立，则当时，均有成立
6．已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n =1,2,…,1000时,P(k)成立,且当时它也成立,下列判断中,正确的是 ( )
A．P(k)对k=2013成立 B．P(k)对每一个自然数k成立
C．P(k)对每一个正偶数k成立 D．P(k)对某些偶数可能不成立
7．用数学归纳法证明“对于的正整数均成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）
A．1 B．3 C．6 D．10
8．用数学归纳法证明命题时，此命题左式为，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加( )
A． B．
C． D．
B级 综合应用
9．用数学归纳法证明1+a+a2 在验证n=1成立时,左边计算所得结果为 （ ）
A． 1 B． 1+a C．1+a+a2 D．1+a+a
10．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P(n)对n＝4不成立，则下列结论正确的是( )
A．P(n)对n∈N*成立 B．P(n)对n＞4且n∈N*成立
C．P(n)对n＜4且n∈N*成立 D．P(n)对n≤4且n∈N*不成立
二、填空题
11．用数学归纳法证明等式“”时，从到左边需增加的代数式为________.
12．利用数学归纳法证明“,”时,从“”变到“”时,左边应增乘的因式是________.
13．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了________项；
14．利用数学归纳法证明“”，从推导时原等式的左边应增加的项数是________项．
C级 拓展探究
三、解答题
15．设关于正整数的函数
（1）求；
（2）是否存在常数使得对一切自然数都成立？并证明你的结论
16．数列满足：，前项和.
（1）求，，；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.
考点：数学归纳法.
2．B
【分析】
比较、时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项.
【详解】
当时，所假设的不等式为，
当时，要证明的不等式为，
故需添加的项为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题.
3．C
【分析】
写成的式子和的式子，两式相减可得.
【详解】
当时，等式左端，
当时，等式左端，
增加了项．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查数学归纳法，从到过渡时，注意三个地方，一是起始项，二是终止项，三是每一项之间的步长规律，侧重考查逻辑推理的核心素养.属于基础题.
4．D
【分析】
根据数学归纳法，结合已知条件判断出正确选项.
【详解】
依题意：某个命题与整数n有关，若时该命题成立，则可推得当时该命题也成立.所以，若时该命题成立，则时该命题成立，这与已知条件矛盾，所以时该命题不成立.故C选项错误，D选项正确.
由于时该命题不成立，故无法判断时该命题是否成立，AB选项错误.
综上所述，D选项正确.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查对数学归纳法的理解，属于基础题.
5．D
【解析】
解：利用互为逆否命题真值相同，可知，由已知的条件满足当成立时，总可以推出成立，则能推断若成立，则当时，均有成立．其余不成立．
6．D
【解析】试题分析：由已知中命题p（k），这里k=2n（n∈N*），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，并且当n=1000+1时它也成立，可得p（k）对于1～1000内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可. 解：由于命题p（k），这里k=2n（n∈N*），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的偶数均成立,而对其它数却不一定成立,故p（k）对于k=2002不一定成立，,p（k）对于某些偶数可能成立,p（k）对于每一个偶数k不一定成立,p（k）对于每一个自然数k不一定成立,故选D
考点：数学归纳法
点评：本题考查的知识点是用数学归纳法证明数学命题，注意n只能取部分偶数．
7．C
【解析】
经检验当n>5时，成立.所以验证n的超始值为6.
8．C
【解析】解：因为用数学归纳法证明命题时，此命题左式为，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加，选C
9．C
【解析】解：因为用数学归纳法证明1+a+a2 在验证n=1成立时，左边表示前三项和即为1+a+a2，选C
10．D
【解析】解：利用互为逆否命题真值相同可知，如果P(n)对n＝4不成立，则P(n)对n≤4且n∈N*不成立选D
11．
【分析】
写出当和时的等式，将两个等式进行比较可得出结果.
【详解】
当时，等式为，
当时，等式为，即，
因此，从到左边需增加的代数式为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查数学归纳法原理的理解，属于基础题.
12．
【分析】
根据左边式子的含义,以及的变化给式子带来的变化,进行求解.
【详解】
解:当时,左式为;
当时,左式为
则左边应增乘的式子是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查数学归纳法中增加项的求解,属基础题;解题的关键是理解左边式子的意义.
13．
【分析】
根据数学归纳法的知识，判断出增加的项数.
【详解】
当时，不等式左边为；
当时，不等式坐标为；
故增加的项数为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查数学归纳法的知识，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.
14．
【分析】
写出与的左式对比，即可得出结论.
【详解】
时，等式为，
时，所要证的等式为：
，
从推导时原等式的左边应增加的项数是项.
故答案为:.
【点睛】
本题考查数学归纳法证明过程，属于基础题.
15．（1），，
（2）根据数学归纳法思想，先利用特殊值来得到参数的a,b,c的值，然后对于解题的结果运用数学归纳法加以证明。
【解析】
试题分析：解：（1），， 3分
（2）假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得
6分
于是，对n=1,2,3下面等式成立：
8分
记
假设n=k时上式成立，即 10分
那么
也就是说，等式对n=k+1也成立 3分
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立 14分
考点：数学归纳法的运用
点评：主要是考查了运用数学归纳法证明与自然数相关的命题，以及归纳猜想思想的运用。属于中档题。
16．（1）,,,（2）,证明见解析.
【分析】
（1）根据，计算可得答案；
（2）根据，，，猜想可得，再根据数学归纳法的步骤进行证明即可得解.
【详解】
（1）由得，所以，
由，得，所以，
由，得，所以，
（2）由（1）知，，，，，
所以猜想：，
证明：1°当时，成立，
2°假设时，等式成立，即，
那么当时，，
所以，
即时，等式也成立，
所以.
【点睛】
本题考查了不完全归纳法，考查了利用数学归纳法证明等式，属于基础题.
A级 巩固基础
一、单选题
1．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
2．用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是（ ）
A． B．
C． D．
3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）
A． B．
C． D．
4．某个命题与整数n有关.若时该命题成立，则可推得当时该命题也成立.若时该命题不成立，则有（ ）.
A．时该命题成立 B．时该命题不成立
C．时该命题成立 D．时该命题不成立
5．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
A．若成立，则成立
B．若成立，则成立
C．若成立，则当时，均有成立
D．若成立，则当时，均有成立
6．已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n =1,2,…,1000时,P(k)成立,且当时它也成立,下列判断中,正确的是 ( )
A．P(k)对k=2013成立 B．P(k)对每一个自然数k成立
C．P(k)对每一个正偶数k成立 D．P(k)对某些偶数可能不成立
7．用数学归纳法证明“对于的正整数均成立”时，第一步证明中的起始值应取（ ）
A．1 B．3 C．6 D．10
8．用数学归纳法证明命题时，此命题左式为，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加( )
A． B．
C． D．
B级 综合应用
9．用数学归纳法证明1+a+a2 在验证n=1成立时,左边计算所得结果为 （ ）
A． 1 B． 1+a C．1+a+a2 D．1+a+a
10．如果命题P(n)对n＝k成立，则它对n＝k＋1也成立，现已知P(n)对n＝4不成立，则下列结论正确的是( )
A．P(n)对n∈N*成立 B．P(n)对n＞4且n∈N*成立
C．P(n)对n＜4且n∈N*成立 D．P(n)对n≤4且n∈N*不成立
二、填空题
11．用数学归纳法证明等式“”时，从到左边需增加的代数式为________.
12．利用数学归纳法证明“,”时,从“”变到“”时,左边应增乘的因式是________.
13．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了________项；
14．利用数学归纳法证明“”，从推导时原等式的左边应增加的项数是________项．
C级 拓展探究
三、解答题
15．设关于正整数的函数
（1）求；
（2）是否存在常数使得对一切自然数都成立？并证明你的结论
16．数列满足：，前项和.
（1）求，，；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.
考点：数学归纳法.
2．B
【分析】
比较、时不等式左边代数式的差异后可得需添加的项，从而得到正确的选项.
【详解】
当时，所假设的不等式为，
当时，要证明的不等式为，
故需添加的项为：，
故选：B.
【点睛】
本题考查数学归纳法，应用数学归纳法时，要注意归纳证明的结论和归纳假设之间的联系，必要时和式的开端和结尾处需多写几项，便于寻找差异.本题属于基础题.
3．C
【分析】
写成的式子和的式子，两式相减可得.
【详解】
当时，等式左端，
当时，等式左端，
增加了项．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查数学归纳法，从到过渡时，注意三个地方，一是起始项，二是终止项，三是每一项之间的步长规律，侧重考查逻辑推理的核心素养.属于基础题.
4．D
【分析】
根据数学归纳法，结合已知条件判断出正确选项.
【详解】
依题意：某个命题与整数n有关，若时该命题成立，则可推得当时该命题也成立.所以，若时该命题成立，则时该命题成立，这与已知条件矛盾，所以时该命题不成立.故C选项错误，D选项正确.
由于时该命题不成立，故无法判断时该命题是否成立，AB选项错误.
综上所述，D选项正确.
故选：D
【点睛】
本小题主要考查对数学归纳法的理解，属于基础题.
5．D
【解析】
解：利用互为逆否命题真值相同，可知，由已知的条件满足当成立时，总可以推出成立，则能推断若成立，则当时，均有成立．其余不成立．
6．D
【解析】试题分析：由已知中命题p（k），这里k=2n（n∈N*），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，并且当n=1000+1时它也成立，可得p（k）对于1～1000内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立，据此判断四个答案的真假即可. 解：由于命题p（k），这里k=2n（n∈N*），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的偶数均成立,而对其它数却不一定成立,故p（k）对于k=2002不一定成立，,p（k）对于某些偶数可能成立,p（k）对于每一个偶数k不一定成立,p（k）对于每一个自然数k不一定成立,故选D
考点：数学归纳法
点评：本题考查的知识点是用数学归纳法证明数学命题，注意n只能取部分偶数．
7．C
【解析】
经检验当n>5时，成立.所以验证n的超始值为6.
8．C
【解析】解：因为用数学归纳法证明命题时，此命题左式为，则n=k+1与n=k时相比，左边应添加，选C
9．C
【解析】解：因为用数学归纳法证明1+a+a2 在验证n=1成立时，左边表示前三项和即为1+a+a2，选C
10．D
【解析】解：利用互为逆否命题真值相同可知，如果P(n)对n＝4不成立，则P(n)对n≤4且n∈N*不成立选D
11．
【分析】
写出当和时的等式，将两个等式进行比较可得出结果.
【详解】
当时，等式为，
当时，等式为，即，
因此，从到左边需增加的代数式为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查数学归纳法原理的理解，属于基础题.
12．
【分析】
根据左边式子的含义,以及的变化给式子带来的变化,进行求解.
【详解】
解:当时,左式为;
当时,左式为
则左边应增乘的式子是.
故答案为：.
【点睛】
本题考查数学归纳法中增加项的求解,属基础题;解题的关键是理解左边式子的意义.
13．
【分析】
根据数学归纳法的知识，判断出增加的项数.
【详解】
当时，不等式左边为；
当时，不等式坐标为；
故增加的项数为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查数学归纳法的知识，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.
14．
【分析】
写出与的左式对比，即可得出结论.
【详解】
时，等式为，
时，所要证的等式为：
，
从推导时原等式的左边应增加的项数是项.
故答案为:.
【点睛】
本题考查数学归纳法证明过程，属于基础题.
15．（1），，
（2）根据数学归纳法思想，先利用特殊值来得到参数的a,b,c的值，然后对于解题的结果运用数学归纳法加以证明。
【解析】
试题分析：解：（1），， 3分
（2）假设存在a,b,c使题设的等式成立，这时，n=1,2,3得
6分
于是，对n=1,2,3下面等式成立：
8分
记
假设n=k时上式成立，即 10分
那么
也就是说，等式对n=k+1也成立 3分
综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设的等式对一切自然数n成立 14分
考点：数学归纳法的运用
点评：主要是考查了运用数学归纳法证明与自然数相关的命题，以及归纳猜想思想的运用。属于中档题。
16．（1）,,,（2）,证明见解析.
【分析】
（1）根据，计算可得答案；
（2）根据，，，猜想可得，再根据数学归纳法的步骤进行证明即可得解.
【详解】
（1）由得，所以，
由，得，所以，
由，得，所以，
（2）由（1）知，，，，，
所以猜想：，
证明：1°当时，成立，
2°假设时，等式成立，即，
那么当时，，
所以，
即时，等式也成立，
所以.
【点睛】
本题考查了不完全归纳法，考查了利用数学归纳法证明等式，属于基础题.