第5章数列 单元综合测试题-【新教材】2020-2021学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册课时练习Word含解析

第五章数列单元综合测试题
一、单选题
1．已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知等比数列的各项都是正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
4．数列的通项公式为，当取到最小时，（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
5．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ）
A． B． C． D．58
6．设、分别为等差数列的公差与前项和，若，则下列论断中正确的有（ ）
A．当时，取最大值 B．当时，
C．当时， D．当时，
7．在等差数列中，若，且前n项和有最大值，则使得的最大值n为（ ）
A．15 B．16 C．17． D．18
8．已知等比数列的首项为-1，前项和为，若，则公比（ ）
A．2 B．-2 C． D．
9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
10．数列1，，，，，…的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
11．在正项等比数列中，若，，则公比（ ）
A． B．或 C． D．或
12．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为（ ）（取，）
A．25000元 B．26000元 C．32000元 D．36000元
二、填空题
13．各项均为正数的等比数列，若，则___________.
14．已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是___________．
15．如果数列满足(为常数)，那么数列叫做等比差数列，叫做公比差.给出下列四个结论：
①若数列满足，则该数列是等比差数列；
②数列是等比差数列；
③所有的等比数列都是等比差数列；
④存在等差数列是等比差数列.
其中所有正确结论的序号是___________.
16．在数列中，，；等比数列的前n项和为．当时，使得恒成立的实数的最小值是_________．
三、解答题
17．已知等差数列的前n项和为，，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求当取何值时有最小值.
18．已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式及前n项和；
（2）设等比数列满足，，求数列的通项公式．
19．数列的前n项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
20．设等比数列的前项和为，已知，.
（1）求公比；
（2）若时，.求数列的前项和.
21．已知是公比为的等比数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若的前项和为，求使得成立的的取值范围．
22．设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）不等式，求的最小值.
参考答案
1．C
【分析】
根据是公差为d的等差数列，且，利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】
因为是公差为d的等差数列，且，
所以，
解得，
故选：C
2．C
【分析】
利用等比中项的性质结合数列是正项数列可求得的值.
【详解】
已知等比数列的各项都是正数，且，由等比中项的性质可得。
因此，.
故选：C.
3．B
【分析】
女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数.
【详解】
设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列，
且，故公差，
故，
故选：B.
4．C
【解析】
试题分析：数列的通项公式,数列为公差为的递增的等差数列,令可得,数列的前项为负数,从第项开始为正数,取最小值时,为，所以C选项是正确的.
考点：等差数列的性质.
5．A
【分析】
由已知得和，可求出，利用等差数列的通项公式得到.
【详解】
设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，
因为，，依次成等比数列，，
所以有，即，整理得，
因为，所以，，
因此，
故选：A.
6．C
【分析】
首先根据得到，再依次判断选项即可得到答案.
【详解】
∵，∴，解得，
对选项A，∵无法确定和的正负性，∴无法确定是否有最大值，故A错误，
对选项B，，故B错误，
对选项C，，故C正确，
对选项D，，，
∵，∴、，，故D错误，
故选：C.
7．A
【分析】
由题可得，则，可判断，，即可得出结果.
【详解】
前n项和有最大值，，
，，，
，，
使得的最大值n为15.
故选：A.
【点睛】
本题考查等差数列前n项和的有关判断，解题的关键是得出.
8．D
【分析】
根据等比数列前n项和公式，可求得表达式，结合题干条件，即可求得q的值.
【详解】
当公比时，，不满足题意，当时，，，
所以，解得，
故选：D
9．C
【分析】
可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列，根据即可求出.
【详解】
设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，
由题可得，解得，
故塔的顶层的灯数是3.
故选：C.
10．D
【分析】
可知该数列是一个以1为首项，为公比的等比数列，即可求出通项公式.
【详解】
根据数列可知，该数列是一个以1为首项，为公比的等比数列，
所以该数列的通项公式为.
故选：D.
11．D
【分析】
由等比数列的性质可得出关于、的方程组，进而可求得等比数列的公比.
【详解】
由得，即．
，又，解得或，
，或．
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键就是利用等比数列下标和的性质建立有关、的方程组，通过求出、的值，结合等比数列的基本量来进行求解.
12．C
【分析】
设1月月底小王手中有现款为元，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为，由题意可知，所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，求出即得解.
【详解】
设1月月底小王手中有现款为元，
月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为，
则，即，
所以数列是首项为4800，公比为1.2的等比数列，
，即，
年利润为元，
故选：C
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是根据递推关系构造数列，求出新数列的通项关系.
13．2
【分析】
根据等比数列性质化简为，开方即可.
【详解】
解：由各项均为正数的等比数列得
所以.
故答案为：2
【点睛】
应用等比数列性质解题时的2个关注点：
（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若，则”，可以减少运算量，提高解题速度；
（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.
14．
【分析】
对于任意的都有，可知：数列单调递减，可得，再分类讨论即可得出.
【详解】
∵对任意的，都有，
∴数列单调递减，可知.
当时，若，单调递减，
而时，单调递减，
∴只需，解得，
∴；
当时，若，单调递增，应舍去.
综上所述：实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】
由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法：
(1)分段函数的每一段都单调；
(2)根据单调性比较端点函数值的大小.
15．①③④
【分析】
根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④中的四个数列是否是等比差数列，即可得到答案.
【详解】
①数列满足，则，满足等比差数列的定义，故①正确；
②数列，
，不满足等比差数列的定义，故②错误；
③等比数列，满足等比差数列，故③正确；
④设等差数列的公差为，则，
故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；
故答案为：①③④
16．
【分析】
分别求出、的通项，再构建新数列，求出最大项后可得实数的最小值.
【详解】
因为，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，
所以，．
当时，，
是等比数列，也适合，
故即，．
又恒成立等价于恒成立，，
令，则，
当时，，当时，，
故，．
【点睛】
方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.
17．（1）an=2n–9；（2）最小值为-16
【分析】
（1）设{an}的公差为d，根据条件列出a1和d的方程组，解之即可得到答案；（2）利用等差数列的求和公式求出，通过配方法可求得结果.
【详解】
（1）设{an}的公差为d，由题意得得a1=–7，d=2，
所以{an}的通项公式为an=2n–9；
（2）由（1）得，
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n项和，熟记并掌握公式和概念是解题的关键，属基础题.
18．（1）；；（2）.
【分析】
（1）先求出首项和公差，即可求出通项公式和；
（2）先求出，即可得出公比，求出通项公式.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，；
（2），，
则公比为，
.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根据，可得，两式相减可得，又不满足上式，即可得数列的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的通项公式，当时，可得，当时，利用等比数列的求和公式，即可求得答案.
【详解】
（Ⅰ）因为，所以，
两式相减得：，
所以，即，
又，，则不满足上式，
所以数列是从第2项开始，以3为公比的等比数列，
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
所以当时，，
当时，，
综上：
【点睛】
易错点为：求得，需检验是否满足题意，若不满足，需写成分段函数形式，求数列的前n项和时，需讨论和两种情况，再进行求解，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.
20．（1）或；（2）.
【分析】
（1）根据题设条件可得关于的方程组，解方程组后可得的值.
（2）利用错位相减法可求.
【详解】
（1）由，∴或.
（2）易知数列非常数列，由（1）知，∴.
∴.
.
相减得：，
∴.
21．（1） ;（2）.
【分析】
（1）由已知条件，根据等比数列的定义得到，根据已知关系即可求得数列的通项公式；
（2）根据（1）中的结论，判定数列为等差数列，利用等差数列的求和公式得到，然后解不等式即得所求.
【详解】
（1）∵是公比为的等比数列，∴,
数列满足．
∴，；
（2），,
即,
即
即，
，
的取值范围是{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}.
【点睛】
本题考查等比数列的定义，等差数列的求和，属基础题，难度不大，在第（2）问中，只要数列的通项公式符合的形式，即可判定为等差数列，求和即可使用.
22．（1）；（2）7.
【分析】
（1）给出 与 的递推关系，可利用转化为的递推关系，再求其通项公式.
（2）代入的通项公式，求出，解不等式即可.
【详解】
(1)由，当得，即
当，，于是，
即，即，
所以，
(2)所以，
由得，，
故即，故整数的最小值为7.
【点睛】
给出 与 的递推关系，求，常用思路是：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出与之间的关系，再求.