第5章数列 单元基础测试题-【新教材】2020-2021学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册课时练习Word含解析

第五章数列单元基础测试题
一、单选题
1．在等差数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列是无穷数列，若，则数列的前项和（ ）
A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值
C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值
3．已知等比数列满足，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．一个蜂巢有1只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第六天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.
A．55989 B．46656 C．216 D．36
7．已知数列为等差数列，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列则该数列中最小项的序号是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．记为正项等比数列的前项和，若，则（ ）.
A． B． C． D．
10．数列，，，，…的一个通项公式是（ ）
A． B．
C． D．
11．一个等差数列的前项和为，前项和为24，则前项和为（ ）
A．40 B．48 C．56 D．72
12．在等比数列中，，则的值为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
二、填空题
13．在等差数列中，则=______.
14．若等比数列满足，则＝_____
15．已知数列的前n项和为=，则=______.
16．在等差数列中，已知，则=__________.
三、解答题
17．若，且.
(1)求；
(2)归纳猜想通项公式.
18．已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．
19．已知等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，求的前项和.
20．已知数列的前项和为，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
21．已知等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
22．设正项数列的前n项和为，且，当时，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前n项和.
参考答案
1．C
【分析】
根据，利用“”法求解.
【详解】
在等数列中，，
所以，
解得，
所以，
故选：C
2．A
【分析】
利用等差数列的定义及通项公式，判断数列的单调性，进而判断数列前项和的最值.
【详解】
由数列为等差数列，且，
得，
故数列为递增数列，且，
所以有最小值，无最大值，
故选：A.
3．D
【分析】
根据题意，由等比数列的通项公式可得公比，进而计算可得答案.
【详解】
根据题意，设等比数列的公比为，
若，，则有，解得，
故，
故选：D.
4．A
【分析】
根据递推关系依次求出即可.
【详解】
，，
，，，.
故选：A.
5．C
【分析】
利用等比数列的前项和公式列出方程组，能求出首项．
【详解】
由题得，
等比数列的前项和为，，，
，
解得，．
故选：C
【点睛】
结论点睛：在等比数列中，知道五个量中的三个量，可以求出另外两个量，即“知三求二”.
6．B
【分析】
第天蜂巢中的蜜蜂数量为，则数列成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第6天所有的蜜蜂都归巢后的蜜蜂数量．
【详解】
设第天蜂巢中的蜜蜂数量为，根据题意得
数列成等比数列，它的首项为6，公比
所以的通项公式：
到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，
蜂巢中一共有只蜜蜂．
故选：．
7．A
【分析】
根据等差中项的性质，求出，再求;
【详解】
因为为等差数列，所以,
∴.由,得,
故选：A.
8．A
【分析】
首先将化简为，即可得到答案。
【详解】
因为
当时，取得最小值。
故选：A
9．D
【分析】
利用等比数列前项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和．
【详解】
为正项等比数列的前项和，，，
，解得，，
．
故选：．
10．C
【分析】
根据选项进行逐一验证，可得答案.
【详解】
选项A. ,当时，无意义.所以A不正确.
选项B. ,当时，，故B不正确.
选项C. ，，，
所以满足.故C正确.
选项D. ,当时, ,故D不正确.
故选：C
11．B
【分析】
记等差数列的前项和为，根据等差数列前项和的性质，得到，，也成等差数列，由此列出方程，即可得出结果.
【详解】
记等差数列的前项和为，
根据题中条件，得到，，
由等差数列前项和的性质，得到，，也成等差数列，
所以，
即，解得.
故选：B.
12．B
【分析】
本题可根据等比中项的性质求出的值，然后根据即可得出结果.
【详解】
因为数列是等比数列，
所以，解得，
因为，所以.
故选：B.
13．
【分析】
利用等差数列的通项公式：即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，
由，
且，
解得，，
所以，
故答案为：
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式以及基本量的运算，属于基础题.
14．
【分析】
根据等比数列的性质求得结果.
【详解】
依题意，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.
15．，
【分析】
应用与的递推关系，由求通项公式即可.
【详解】
由，知：，
故答案为：，
【点睛】
本题考查了应用数列递推关系式求通项，根据与的递推关系结合求通项.
16．42
【分析】
由已知求得等差数列的公差，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果．
【详解】
设等差数列公差为，
由，得，即，．
所以．
故答案为：42．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
17．(1) .
【分析】
(1)分别把，代入递推公式中，可以求出的值；
(2)根据的数字特征猜想出通项公式.
【详解】
(1)由已知a1＝1， ，当时，得
当时，得当时，得
当时，得因此；
(2) 因为,
.
所以归纳猜想，得 (n∈N*).
【点睛】
本题考查了已知递推公式猜想数列通项公式，考查了数感能力.
18．（1）；（2）n=4时取得最大值.
【分析】
（1）利用公式，进行求解；
（2）对进行配方，然后结合由，可以求出的最大值以及此时的值.
【详解】
（1）由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2），
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．
【点睛】
本题考查了已知求，以及二次函数的最值问题，根据的取值范围求最大值是解题的关键.
19．（1）；（2）．
【分析】
（1）设等差数列的公差为，则，由，可得，解得，求出. （2）设等比数列的公比为求出利用等比数列前n项和公式，求出
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则
由，可得，解得
从而.
即数列的通项公式
（2）设等比数列的公比为，则
由， ，
解得，
所以的前项和公式．
【点睛】
本题考查的是等差数列与等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题.
20．（1），（2）
【解析】
试题分析：（1）由已知，根据数列前项和和与通项的关系，求出，从而求出数列的通项公式；
（2）由（1）可求出数列的通项公式，根据其特点，采用分组求和法，将其分为等差数列与等比数列两组进行求和，再根据等差数列与等比数列前项和公式进行运算，从而求出.
试题解析：（1）∵，∴，
∴，
当时，，又也满足，故.
又，∴.
（2）∵，
∴.
点睛：此题主要考查数列的通项公式和前项和公式，以及它们之间关系的应用，还有分组求各和法在求数列前项和中的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考题.分组求和法就是将数列的项分成两项或三项等，而这两项或三项往往就是常数或是等差（比）数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，然后再合并，从而得到该 数列的和.
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）设数列的公差为，根据题中条件列出方程求解，得出首项和公差，即可求出通项公式；
（2）由（1）的结果，利用裂项相消的方法，即可求出结果.
【详解】
（1）设数列的公差为，
由题意有，解得，
所以，
故数列的通项公式为；
（2）由
所以
.
【点睛】
结论点睛：
裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型，其中是公差为的等差数列；
（2）无理型；
（3）指数型；
（4）对数型.
22．（1）；（2）.
【分析】
（1）先由题中条件，得到，推出数列是等差数列，得出，进而可求出数列的通项公式；
（2）先由（1）的结果，结合（2）中条件，得到，利用等比数列的求和公式，即可求出结果.
【详解】
（1）当时，，则，
因为为正项数列的前n项和，且，所以，，
因此，所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，
所以，则有，
当时，，
又也适合，
故数列的通项公式为；
（2）当时，得，所以；
当时，由①，
得②，
①②得，则有，
可得数列的通项公式为
所以当时，；
当时，，
当时，(符合上式)，故.
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于利用题中条件，确定是等差数列，求出，利用与之间关系，即可求解.（求解时，要注意的范围）.