第十章复数
10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
课后篇巩固提升
基础达标练
1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( )
A.0
B.2i
C.6
D.6-2i
答案D
解析z=3-i-(i-3)=6-2i.
2.(2020湖南模拟)若复数z=|4+3i|+a-2ai(a∈R)为纯虚数,则实数a=( )
A.-5
B.0
C.5
D.-10
答案A
解析由题可得z=a+5-2ai,又z为纯虚数,所以a=-5.故选A.
3.(2020上海高二课时练习)设z1=x2-i,z2=-1+xi,x∈R,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为( )
A.-1
B.0
C.1
D.1或-1
答案A
解析由z1=x2-i,z2=-1+xi,则z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i,若z1+z2为纯虚数,则解得x=-1.故选A.
4.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
答案A
解析|AB|=|2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.
5.(2020徐州铜山大许中学高二期中)已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|=( )
A.0
B.1
C.
D.2
答案B
解析设z1=a+bi,z2=c+di(其中a,b,c,d∈R),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a-c)+(b-d)i.依题意得a2+b2=1,c2+d2=1,由|z1+z2|=得(a+c)2+(b+d)2=3,所以得2(ac+bd)=1.所以|z1-z2|==1.
6.复数z满足|z-2+i|=1,则|z|的最大值是( )
A.
B.
C.+1
D.-1
答案C
解析|z-2+i|=1得|z-(2-i)|=1,则z对应的点构成以C(2,-1)为圆心,1为半径的圆,|z|的几何意义是圆上的点到原点的距离,则最大值为|OC|+1=+1=+1.故选C.
7.计算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|= .?
答案5
解析|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|==5.
8.已知z1=a+(a+1)i,z2=-3b+(b+2)i(a,b∈R),若z1-z2=4,则a+b= .?
答案3
解析∵z1-z2=a+(a+1)i-[-3b+(b+2)i]=+(a-b-1)i=4,
由复数相等的条件知
解得∴a+b=3.
9.已知z1=cos
α+isin
α,z2=cos
β-isin
β,且z1-z2=i,则cos(α+β)的值为 .?
答案
解析∵z1=cos
α+isin
α,z2=cos
β-isin
β,
∴z1-z2=(cos
α-cos
β)+i(sin
α+sin
β)=i,
∴
由①2+②2得2-2cos(α+β)=1,即cos(α+β)=.
10.在复平面内,O是原点,对应的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,那么对应的复数为 ,对应的复数为 .?
答案-1+6i 4-4i
解析 =(-2+i)+(1+5i)=-1+6i,=(3+2i)-(-1+6i)=4-4i.
11.(2020安徽定远民族学校高二月考)已知A(1,2),B(a,1),C(2,3),D(-1,b)(a,b∈R)是复平面内的四个点,且向量对应的复数分别为z1,z2.
(1)若z1+z2=1+i,求z1,z2;
(2)若|z1+z2|=2,z1-z2为实数,求a,b的值.
解(1)∵=(a-1,-1),=(-3,b-3),
∴z1=(a-1)-i,z2=-3+(b-3)i,
所以z1+z2=(a-4)+(b-4)i.
又z1+z2=1+i,∴
∴z1=4-i,z2=-3+2i.
(2)由(1)得z1+z2=(a-4)+(b-4)i,z1-z2=(a+2)+(2-b)i.
∵|z1+z2|=2,z1-z2为实数,
∴
能力提升练
1.设向量对应的复数分别为z1,z2,z3,那么
( )
A.z1+z2+z3=0
B.z1-z2-z3=0
C.z1-z2+z3=0
D.z1+z2-z3=0
答案D
解析∵,∴z1+z2=z3,
即z1+z2-z3=0.
2.(2020四川泸县第一中学三模)z∈C,若|z|-=1+2i,则z=( )
A.-2i
B.+2i
C.2+2i
D.2-2i
答案B
解析设z=a+bi(a,b∈R),则|z|--a+bi=1+2i,
故解得故z=+2i.
3.在?ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是( )
A.2-3i
B.4+8i
C.4-8i
D.1+4i
答案C
解析对应的复数为(3+4i)-(4+i)=(3-4)+(4-1)i=-1+3i,设点D对应的复数为z,则对应的复数为(3-5i)-z.
由平行四边形法则,知,
∴-1+3i=(3-5i)-z,
∴z=(3-5i)-(-1+3i)=(3+1)+(-5-3)i=4-8i.故选C.
4.(2020上海高二课时练习)z1=3+4i,z2=-2-i,则z1-的共轭复数为( )
A.1-3i
B.5-3i
C.5+3i
D.1+3i
答案B
解析因为z1=3+4i,z2=-2-i,
所以z1-=(3+4i)-(-2+i)=5+3i.
所以z1-的共轭复数为5-3i,故选B.
5.复数z满足|z-i|=|z+3i|,则|z|( )
A.最小值为1,无最大值
B.最大值为1,无最小值
C.恒等于1
D.无最大值,也无最小值
答案A
解析设复数z=x+yi,其中x,y∈R,
由|z-i|=|z+3i|,得
|x+(y-1)i|=|x+(y+3)i|,
∴x2+(y-1)2=x2+(y+3)2,
解得y=-1.
∴|z|=≥1,
即|z|有最小值为1,没有最大值.故选A.
6.(多选题)(2020苏州相城陆慕高级中学高二月考)已知i为虚数单位,下列说法正确的是( )
A.若复数z满足|z-i|=,则复数z对应的点在以(1,0)为圆心,为半径的圆上
B.若复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=15+8i
C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模
D.复数z1对应的向量为,复数z2对应的向量为,若|z1+z2|=|z1-z2|,则
答案CD
解析满足|z-i|=的复数z对应的点在以(0,1)为圆心、为半径的圆上,A错误;设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=.
由z+|z|=2+8i,得a+bi+=2+8i,
∴解得
∴z=-15+8i,B错误;由复数的模的定义知C正确;由|z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以所在线段为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D正确.故选CD.
7.(2020上海高二课时练习)设复数z1=m+5i,z2=3+ni,m,n均为实数.若z1+z2=4+3i,z=m+ni,则= .?
答案1+2i
解析∵z1=m+5i,z2=3+ni,
∴z1+z2=m+5i+3+ni=(m+3)+(5+n)i.
又z1+z2=4+3i,
∴(m+3)+(5+n)i=4+3i.
∴解得
∴m+ni=1-2i,∴=1+2i.
8.复数z1=cos
θ+i,z2=sin
θ-i,则|z1-z2|的最大值为 ,最小值为 .?
答案 2
解析|z1-z2|=|(cos
θ-sin
θ)+2i|
=
=
=,
当sin
2θ=-1时,得最大值,
当sin
2θ=1时,得最小值2.
9.设z=a+bi(a,b∈R),且(4a+4bi)+(2a-2bi)=3+i,又ω=sin
θ-icos
θ,求|z-ω|的取值范围.
解∵(4a+4bi)+(2a-2bi)=3+i,
∴6a+2bi=3+i,∴
∴z=i,
∴z-ω=-(sin
θ-icos
θ)
=i,
∴|z-ω|=
=
=,
∵-1≤sin≤1,∴0≤2-2sin≤4,
∴0≤|z-ω|≤2,
故|z-ω|的取值范围是[0,2].
素养培优练
已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=i,求复数z1,z2及|z1-z2|.
解由于|z1+z2|==1.
设z1,z2,z1+z2对应的向量分别为,
则||=||=||=1,
故A,B,C三点均在以原点为圆心,半径为1的圆上,如图.
易得:cos∠AOC=,故∠AOC=60°,
又由平行四边形法则知四边形OBCA为平行四边形,
∴?OACB为菱形,且△BOC,△COA都是等边三角形,即∠AOB=120°.
又与x轴正半轴的夹角为60°,∴点A在x轴上,即A(1,0).
而xB=||cos
120°=-,
yB=||sin
120°=,
∴点B的坐标为.
∴
∴|z1-z2|=.(共33张PPT)
10.2.1 复数的加法与减法
课标阐释
思维脉络
1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则.
2.理解复数加、减法的几何意义,能够通过直观想象去解题.
激趣诱思
知识点拨
随着虚数的产生,数系得到了进一步的扩充.同时,随着科学技术的进步,逐步建立起来的复变函数理论在研究堤坝渗水问题、建设大型水电站等领域也有广泛的应用.而复变函数理论中离不开复数的加、减、乘、除运算.1747年,法国著名的数学家达朗贝尔(1717—1783)指出,如果按照多项式的四则运算法则对虚数进行运算,那么运算的结果总是a+bi的形式,其中a,b都是实数.他开创了复数四则运算的先河.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:复数的加法与减法的运算法则
1.复数的加、减法法则
一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称
z1+z2为z1与z2的和,并规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,
由复数和的定义可知,两个共轭复数的和一定是实数.
一般地,复数z=a+bi(a,b∈R)的相反数记作-z,并规定
-z=-(a+bi)=-a-bi.
复数z1减去z2的差记作z1-z2,并规定z1-z2=z1+(-z2).
一般地,如果z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=
(a-c)+(b-d)i.
激趣诱思
知识点拨
2.复数加法运算律
复数的加法运算满足交换律与结合律,即对任意复数z1,z2,z3,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
名师点析
1.复数加(减)法的规定:实部与实部相加(减),虚部与虚部相加(减),两个复数的和(差)仍然是一个复数,复数的加(减)法可以推广到多个复数相加(减),即几个复数相加(减),只需把复数的所有实部相加(减),所有的虚部相加(减).
2.若z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),当b=d=0时,与实数的加减法一致.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)复数加法运算符合实数加法的运算律.( )
(2)复数与复数相加减后结果只能是实数.( )
(3)一个复数减去另一个复数等于这个复数加上另一个复数的相反数.( )
答案:(1)√ (2)× (3)√
激趣诱思
知识点拨
微练习1
已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于( )
A.8i B.6
C.6+8i
D.6-8i
答案:B
微练习2
已知复数z满足z+i-3=3-i,则z等于( )
A.0
B.2i
C.6
D.6-2i
答案:D
激趣诱思
知识点拨
知识点二:复数加法、减法的几何意义
1.复数加法、减法的几何意义
激趣诱思
知识点拨
2.性质
由复数加法、减法的几何意义可以得出||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
激趣诱思
知识点拨
微思考
复平面内两点间距离公式及复数形式的基本图形有哪些?请举例说明.
提示:
①设复数z1,z2对应的两点Z1,Z2的距离为d,由复数减法的几何意义,可得复平面内两点间的距离公式d=|z1-z2|.②|z-z1|=r(r>0)表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心,半径为r的圆.③|z-z1|=|z-z2|,表示以复数z1,z2的对应点为端点的线段的垂直平分线.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
答案:B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
答案:-1-7i
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数的加法、减法运算
例1计算:(1)(1+3i)+(-2+i)+(2-3i);
(2)(2-i)-(-1+5i)+(3+4i);
(3)(a+bi)-(3a-4bi)+5i(a,b∈R).
解:(1)原式=(-1+4i)+(2-3i)=1+i.
(2)原式=(3-6i)+(3+4i)=6-2i.
(3)原式=(-2a+5bi)+5i=-2a+(5b+5)i.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
复数的加法、减法运算
(1)复数的加法、减法运算类似于合并同类项,实部与实部合并,虚部与虚部合并,注意符号是易错点;
(2)复数的加法、减法运算的结果仍是复数;
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算;
(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1计算:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数加法、减法运算的几何意义
例2已知平行四边形ABCD的顶点A,B,D对应的复数分别为1+i,4+3i,-1+3i.试求:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量
对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减起点对应的复数).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2在复平面内,A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求点D对应的复数z4及AD的长.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数模的最值问题
例3(1)如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)答案:A
解析:设复数-i,i,-1-i在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,
因为|z+i|+|z-i|=2,|Z1Z2|=2,
所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值,因为|Z1Z3|=1.
所以|z+i+1|min=1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)解:如图所示,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
(1)|z1-z2|表示复平面内复数z1,z2对应的点Z1与Z2之间的距离.在应用时,要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式;
(2)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题,均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断,然后通过几何方法进行求解.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值.
解:因为|z|=1且z∈C,作图如下:
所以|z-2-2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
3设z1,z2∈C,|z1|=1,|z2|=2,求|z1+2z2|的最大值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用
|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是将模长问题转化为距离问题,将看上去抽象的有关复数模的表达式,转化为直观形象的图形问题,体现了“数学探索”的核心素养.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
典例已知z∈C,指出下列等式所表示的几何图形:
(1)|z+1+i|=1;
(2)|z-1|=|z+2i|.
解:(1)表示以点(-1,-1)为圆心,以1为半径的圆.
(2)以点(1,0),(0,-2)为端点的线段的垂直平分线.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛1.|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义
设复数z,z0在复平面内分别对应点A,B,则|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是点A到点B的距离.
2.|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用
(1)判断点的集合.
(2)利用几何知识解决代数问题.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是( )
A.-2
B.4
C.3
D.-4
答案:B
解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,z的虚部是4,故选B.
2.已知复数z满足z-2i=1(其中i为虚数单位),则|z|=( )
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知x∈R,y∈R,(xi+x)+(yi+4)=(y-i)-(1-3xi),则x= ,y= .?
答案:6 11
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.计算:
(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);
(3)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
解:(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)
=-7i+5-9+8i+3-2i
=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.
=1+i.
(3)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,
z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(共16张PPT)
章末整合
专题一 复数的概念及几何意义?
例1设复数z=(1+i)m2-(2+4i)m-3+3i.试求当实数m取何值时:
(1)z是实数;(2)z是纯虚数;(3)z对应的点在直线x+y=0上;(4)|z|=0;
(5)
=-3+i.
解:z=(1+i)m2-(2+4i)m-3+3i=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i.
(1)因为z是实数,所以m2-4m+3=0,
解得m=1或m=3.
解得m=-1.
(3)由于z对应的点在直线x+y=0上,
所以(m2-2m-3)+(m2-4m+3)=0,
解得m=0或m=3.
答案:3 1
解析:因为|z|=1,所以z在复平面内所对应的点Z在以原点O为圆心,半径r=1的圆上.
专题二 复数的运算?
例3计算:
专题三 复数的三角形式及其运算?
例5化下列复数为三角形式:
专题四 逻辑推理的核心素养?
例7设关于x的方程x2-(tan
θ+i)x-(2+i)=0.
(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;
(2)证明:
设方程存在纯虚数根为bi(b∈R,且b≠0),
则(bi)2-(tan
θ+i)bi-(2+i)=0,
专题五 直观想象核心素养?
例8若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值是( )
A.2
B.3
C.4
D.5
答案:B
解析:(方法一)由|z+2-2i|=1,复数z对应的点在以(-2,2)为圆心,半径为1的圆上.
|z-2-2i|=|z-(2+2i)|表示圆上点Z到A(2,2)距离的最小值,易知选B.
(方法二)应用公式||z1|-|z2||≤|z1-z2|,
∴|z-2-2i|=|(z+2-2i)-4|
≥||z+2-2i|-4|=3,
即|z-2-2i|的最小值为3.第十章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(1+2i)(2+i)=( )
A.4+5i
B.5i
C.-5i
D.2+3i
答案B
解析(1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2=5i.
2.(2020山东)=( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
答案D
解析=-i,故选D.
3.(2020全国Ⅰ)若z=1+2i+i3,则|z|=( )
A.0
B.1
C.
D.2
答案C
解析因为z=1+2i+i3=1+2i+i2·i=1+2i-i=1+i,
所以|z|=.
4.(2020全国Ⅲ)若(1+i)=1-i,则z=( )
A.1-i
B.1+i
C.-i
D.i
答案D
解析由(1+i)=1-i,知=-i,则z=i.故选D.
5.复数4化成代数形式,正确的是( )
A.4
B.-4
C.4i
D.-4i
答案D
解析4=4[0+i(-1)]=-4i.故选D.
6.4(cos
60°+isin
60°)×3(cos
150°+isin
150°)=( )
A.6+6i
B.6-6i
C.-6+6i
D.-6-6i
答案D
解析4(cos
60°+isin
60°)×3(cos
150°+isin
150°)
=12[cos(60°+150°)+isin(60°+150°)]
=12(cos
210°+isin
210°)
=12
=-6-6i.
故选D.
7.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
答案C
解析由题意可得z=x+yi,
z-i=x+(y-1)i,
则|z-i|==1,
则x2+(y-1)2=1.故选C.
8.若复数z满足|z+3-4i|=2,则z的最大值为( )
A.9
B.81
C.7
D.49
答案D
解析由|z+3-4i|=2,得复数z在复平面内对应点的集合图形如图,
∴|z|max=7,则z
=|z|2的最大值为49.
故选D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.在复数范围内,方程2x2-3x+2=0的解是( )
A.
B.
C.
D.
答案AB
解析根据求根公式,方程2x2-3x+2=0的解是x=.故选AB.
10.(2020全国高一课时练习)已知i为虚数单位,下列命题正确的是( )
A.若a-bi=3+2i,则a=3,b=2
B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
C.若=0,则z1=z2=0
D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数
答案BD
解析对于A,a-bi=3+2i,则故A错误;
对于B,?a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;
对于C,取z1=i,z2=1,则=0,但z1≠z2,故C错误;
对于D,当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.
11.(2020徐州铜山大许中学高二期中)已知z=i,则以下关系成立的有( )
A.z3=-1
B.z2=-
C.
D.z2-z+1=0
答案ABD
解析因为z=i,
所以z2=i2=+2×i+i2=-i,
所以z3=-ii=i2-=-1,A正确;
因为i,
所以z2=-,B正确;
i,C不正确;
z2-z+1=-i-i+1=0,D正确.
12.复数z的共轭复数记为,复数z,在复平面内分别对应点Z,.设A是一些复数在复平面内对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A,都有∈A,就称A为“共轭点集”.下列点集中是“共轭点集”的有( )
A.{(x,y)|y=log2x}
B.{(x,y)|y2=x}
C.
D.{(x,y)|y=2x}
答案BC
解析复数z的共轭复数记为,复数z,分别对应点Z,.设A是一些复数对应的点组成的集合,若对任意的Z∈A,都有∈A,就称A为“共轭点集”.即z,表示的点(x,y),(x,-y)都满足集合,即为“共轭点集”.B,C中的集合都满足,A,D中的集合不满足.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(2020天津南开中学高三月考)已知i为虚数单位,若复数为纯虚数,则实数m= .?
答案2
解析∵i是纯虚数,
∴解得m=2.
14.(2020全国Ⅱ)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|= .?
答案2
解析设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.
又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,
∴a+c=,b+d=1.
∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.
∴2ac+2bd=-4.
∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.
∴|z1-z2|==2.
15.(2020河北石家庄二中高三开学考试)对于任意复数z1,z2,任意向量a,b,给出下列说法:①|z1+z2|≤|z1|+|z2|;②|a+b|≤|a|+|b|;③若,则z1=±z2;④若a2=b2,则a=±b.其中正确的是 (填序号).?
答案①②③
解析对于①②,复数在复平面内的运算与平面向量的运算相似,均满足平行四边形法则,根据向量的三角不等式有|a+b|≤|a|+|b|,故|z1+z2|≤|z1|+|z2|也成立.故①②正确.对于③,,则(z1+z2)(z1-z2)=0,由复数的运算可知,z1=±z2.故③正确.对于④,若a2=b2,则|a|=|b|,不一定有a=±b.故①②③正确.
16.(2020浙江高二期中)欧拉是一位杰出的数学家,他发明的公式eix=cos
x+isin
x(i为虚数单位),将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”.根据此公式,在复平面内对应的点位于第 象限,|eix-2|的最大值为 .?
答案三 3
解析=cos+isin=-i,
故其对应点的坐标为-,-,在第三象限;
|eix-2|=|cos
x+isin
x-2|
=
=≤3,
当且仅当cos
x=-1时,等号成立.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知复数z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).
(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,求|z1|,|z2|,|z1z2|;
(2)根据(1)的计算结果猜想|z1|·|z2|与|z1z2|的关系,并证明该关系的一般性.
解(1)当a=1,b=2,c=3,d=4时,
|z1|=|1+2i|=,|z2|=|3+4i|=5,
|z1z2|=|(1+2i)(3+4i)|=|-5+10i|=5.
(2)由(1)猜测,|z1|·|z2|=|z1z2|.
证明如下:
∵z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R).
∴|z1|=,|z2|=,
|z1|·|z2|=
=;
z1z2=(a+bi)(c+di)
=(ac-bd)+(ad+bc)i,
∴|z1z2|=
=.
∴|z1|·|z2|=|z1z2|.
18.(12分)已知i为虚数单位,m为实数,复数z=(m+i)(1-2i).
(1)当m为何值时,z是纯虚数?
(2)若|z|≤5,求|z-1|的取值范围.
解(1)z=(m+i)(1-2i)=(m+2)+(1-2m)i.
当即m=-2时,z是纯虚数.
(2)由|z|≤5,可知z的轨迹为以原点为圆心,以5为半径的圆及其内部,如图,
则|z-1|表示圆及其内部的点到(1,0)的距离,由图像可知,|z-1|的取值范围是[0,6].
19.(12分)已知i为虚数单位,复数z满足|z|i+z=3+9i.
(1)求z;
(2)在复平面内,O为坐标原点,向量对应的复数分别是z,c+(2-c)i,若∠AOB是直角,求实数c的值.
解(1)设z=a+bi(a,b∈R),
由|z|i+z=3+9i,得a+(b+)i=3+9i,
∴解得
∴z=3+4i;
(2)由题意,A,B,O的坐标分别为(3,4),(c,2-c),(0,0),
∴=(3,4),=(c,2-c),
∵∠AOB是直角,∴3c+4(2-c)=0,即c=8.
20.(12分)(2020江西赣州第一中学高二月考)若z∈C,4z+2=3+i,ω=sin
θ-icos
θ(θ为实数),i为虚数单位.
(1)求复数z;
(2)求|z-ω|的取值范围.
解(1)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
∴4(a+bi)+2(a-bi)=3+i,
即6a+2bi=3+i,
∴解得
∴z=i.
(2)|z-ω|=i-(sin
θ-icos
θ)
=-sin
θ++cos
θi
=
=,
∵-1≤sinθ-≤1,
∴0≤2-2sinθ-≤4.
∴0≤|z-ω|≤2,故|z-ω|的取值范围是[0,2].
21.(12分)(2020江苏徐州一中高二月考)在①|z|=,且z2的虚部是2;②z=;③.在以上三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作出解答.注:选择不同的条件,结果可能不同.
已知i为虚数单位,复数z满足 ,设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.?
解选①:设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,
由题意得a2+b2=2,且2ab=2,解得a=b=1,或a=b=-1,
所以z=1+i,或z=-1-i.
当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以S△ABC=1.
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),
所以S△ABC=1.
综上,△ABC的面积为1.
选②:z==1+i,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
所以S△ABC=1.
选③:=1-i,
故z=1+i,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.
22.(12分)已知复数z=是关于x的实系数一元二次方程mx2+nx+1=0(m,n∈R)的一个根.
(1)求m和n的值;
(2)若z1=(a-2i)z,a∈R,z1为纯虚数,求|a+2i|的值.
解(1)∵z=i=-i是一元二次方程mx2+nx+1=0的一个根,
∴-i是一元二次方程mx2+nx+1=0的另一个根,
∴=1,则m=1.
=-,得n=1;
(2)z1=(a-2i)z=(a-2i)i为纯虚数,
则即a=-2.
∴|a+2i|=|-2+2i|==4.第十章复数
10.2 复数的运算
10.2.2 复数的乘法与除法
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020山东滕州第一中学新校高一月考)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则=( )
A.2-3i
B.2+3i
C.-2-3i
D.-2+3i
答案A
解析z=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,∴=2-3i.
2.(2020重庆西南大学附中高二月考)z=的共轭复数是( )
A.i
B.i
C.1-i
D.1+i
答案B
解析由题意,复数z=i,所以z的共轭复数为i,故选B.
3.已知(1+ai)(2-i)=x+yi(a,x,y∈R),i是虚数单位,则( )
A.x-2y=0
B.2x+y-3=0
C.2x-y-5=0
D.2x+y+2=0
答案C
解析∵(1+ai)(2-i)=(2+a)+(2a-1)i=x+yi,
∴即2x-y-5=0.
故选C.
4.(2020山东滕州第一中学新校高一月考)若复数z=(m∈R)为纯虚数,则m=( )
A.2
B.1
C.-1
D.-2
答案D
解析z=i.因为复数z为纯虚数,所以得解得m=-2.
5.(2020西安高一检测)若z1=(2-mi)(3-2i)(m∈R)是纯虚数,则在复平面内复数z2=所对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案D
解析∵z1=(2-mi)(3-2i)=(6-2m)-(3m+4)i为纯虚数,则解得m=3,∴z2=i,因此,复数z2在复平面内对应的点在第四象限.
6.若复数z满足z(1-i)=1+i,i为虚数单位,则z2
021=( )
A.-2i
B.i
C.-i
D.2i
答案B
解析由z(1-i)=1+i,得z==i,∴z2
021=i2
021=i4×505+1=i.故选B.
7.(多选题)(2020山东郓城第一中学高一期中)下面关于复数z=的叙述正确的是( )
A.z的虚部为-i
B.|z|=
C.z的共轭复数为1+i
D.z2=2i
答案BD
解析z==-1-i,则其虚部为-1,A错误;|z|=,B正确;z的共轭复数为-1+i,C错误;z2=(-1-i)2=2i,D正确.故选BD.
8.定义运算=ad-bc,若复数z满足=2,其中i为虚数单位,则复数|z|= .?
答案
解析由定义运算=ad-bc,
得=zi+z=2,
即z==1-i.
∴|z|=.
9.已知复数z=2+6i,若复数m
+m2(1+i)为非零实数,则实数m的值为 .?
答案6
解析∵z=2+6i,∴m+m2(1+i)=m(2-6i)+m2+m2i=(m2+2m)+(m2-6m)i,
由题意,解得m=6.
10.四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C,D四点对应的复数分别为1+3i,2i,2+i,z.
(1)求复数z;
(2)z是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
解(1)复平面内A,B,C对应的点坐标分别为(1,3),(0,2),(2,1),
设D的坐标为(x,y),由于,
∴(x-1,y-3)=(2,-1),
∴x-1=2,y-3=-1,
解得x=3,y=2,故D(3,2),
则点D对应的复数z=3+2i;
(2)∵3+2i是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根,
∴3-2i是关于x的方程2x2-px+q=0的另一个根,
则3+2i+3-2i=,(3+2i)(3-2i)=,
即p=12,q=26.
能力提升练
1.已知i是虚数单位,则复数z1=2+ai,z2=1-i,若是实数,则实数a的值为( )
A.-2
B.2
C.0
D.
答案A
解析∵z1=2+ai,z2=1-i,
∴i,
由是实数,得2+a=0,
即a=-2.故选A.
2.设i为虚数单位,表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则=( )
A.-i
B.2i
C.-1
D.1
答案A
解析由z=1+i,得
=-i.
故选A.
3.已知复数z的共轭复数,若,则z在复平面内对应的点为( )
A.(-2,-1)
B.(2,-1)
C.(-2,1)
D.(2,1)
答案A
解析设z=x+yi(x,y∈R),
由,得(x-yi)(1+i)=x+yi-1,
即(x+y)+(x-y)i=(x-1)+yi,则
解得.
∴z在复平面内对应的点为(-2,-1).
故选A.
4.已知p,q∈R,1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则p·q=( )
A.-4
B.0
C.2
D.4
答案A
解析∵1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,
∴1-i也是方程x2+px+q=0的一个根,
则1+i+1-i=-p,
即-p=2,p=-2,
(1+i)(1-i)=q,即q=1+1=2,
则p·q=-2×2=-4.故选A.
5.已知复数z1=在复平面内对应的点为A,复数z2在复平面内对应的点为B,若向量与虚轴垂直,则z2的虚部为 .?
答案-
解析∵z1=i,
∴A.
∵向量与虚轴垂直,且复数z2在复平面内对应的点为B,∴z2的虚部为-.
6.复数z满足=a-i(其中a>0,i为虚数单位),|z|=,则a= ;复数z的共轭复数在复平面上对应的点在第 象限.?
答案2 四
解析由=a-i可得z=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i,所以|z|=,
整理得a2+2a+1+a2-2a+1=10,所以a2=4.
又因为a>0,所以a=2,所以z=3+i,=3-i.
所以在复平面内对应的点为(3,-1),位于第四象限.
7.若实数m,n满足i2
021·(4+mi)=(n+2i)2,且z=m+ni,则|z|= .?
答案
解析由i2
021·(4+mi)=(n+2i)2,
得i(4+mi)=n2+4ni-4,
即-m+4i=n2+4ni-4,∴
即
∴|z|=|3+i|=.
8.设z+1为关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的虚数根,i是虚数单位.
(1)当z=-1+i时,求p,q的值;
(2)若q=1,在复平面上,设复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,试求||的取值范围.
解(1)∵z=-1+i,∴z+1=i,
则方程x2+px+q=0的两根分别为i,-i.
由根与系数的关系有∴p=0,q=1;
(2)设z=a+bi(a,b∈R),
若q=1,则z+1,是方程x2+px+1=0的两虚数根.
则=a+1-bi.
由题意可得:(z+1)=(a+1)2+b2=1.
令a+1=cos
θ,b=sin
θ,θ∈[0,2π).
∵复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,
∴||=
=∈[4,6],其中tan
φ=-.
素养培优练
已知复数z=(a+i)2,w=4-3i,其中a是实数.
(1)若在复平面内表示复数z的点位于第一象限,求a的取值范围;
(2)若是纯虚数,a是正实数,求+…+.
解(1)∵z=(a+i)2=a2+2ai+i2=a2-1+2ai在复平面内表示的点位于第一象限,
∴解得a>1,故实数a的取值范围为(1,+∞);
(2)依题意得:i,∵是纯虚数,
∴
解得a1=-(舍)或a2=2(a>0),
当a=2时,i=i,
∴+…+=i+i2+i3+…+i2
021=i-1-i+…+i=i.第十章复数
10.1 复数及其几何意义
10.1.2 复数的几何意义
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020江苏高二期中)已知复数z=1-i,则复数z的模为( )
A.
B.
C.2
D.4
答案C
解析|z|==2.故选C.
2.在复平面内,复数1-i的共轭复数对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案A
解析复数z=1-i的共轭复数为=1+i,对应的点位于第一象限.故选A.
3.复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),若|z|≤1,则点Z的轨迹是( )
A.直线
B.线段
C.圆
D.单位圆以及圆内的部分
答案D
解析∵复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b),|z|≤1,
∴点z的轨迹是在以原点为圆心,1为半径的圆上及其内部,故选D.
4.在复平面内,O为原点,向量对应的复数为-1+2i,若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量对应的复数为( )
A.-2-i
B.-2+i
C.1+2i
D.-1+2i
答案B
解析∵A(-1,2)关于直线y=-x的对称点B(-2,1),∴向量对应的复数为-2+i.
5.当
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案D
解析∵∴3m-2>0,m-1<0,
∴点(3m-2,m-1)在第四象限.
6.若a为实数,复数z=a-2i在复平面上对应的点位于第四象限,且|z|=,则a=( )
A.±1
B.-1
C.1
D.2
答案C
解析因为z=a-2i在复平面上对应的点位于第四象限,所以a>0.又因为|z|=,所以a2+4=5,解得a=1.故选C.
7.已知复数z在复平面上对应的点为Z(2,-1),则下列说法正确的是( )
A.z=-1+2i
B.|z|=5
C.=2+i
D.z是纯虚数
答案C
解析根据复数z在复平面上对应的点为Z(2,-1),则z=2-i,故A错;|z|=,故B错;=2+i,故C正确;D显然错误.故选C.
8.已知复数z=x-2+yi的模是2,则点(x,y)的轨迹方程是 .?
答案(x-2)2+y2=8
解析由模的计算公式得
=2,
∴(x-2)2+y2=8.
9.复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 .?
答案5
解析由点(3,-5),(1,-1),(-2,a)共线可知a=5.
10.(2020上海高二课时练习)已知复数z=sin
θ+1+icos
θ(θ∈R),则|z|的最大值为 .?
答案2
解析|z|=,当sin
θ=1,即θ=2kπ+,k∈Z时,|z|取最大值为2.
11.设z=(sin
θ-1)+(sin
θ-cos
θ)i在复平面内对应的点在直线x+y+1=0上,则tan
θ的值为 ,若θ∈,则z= .?
答案-1-i
解析由题意,得sin
θ-1+sin
θ-cos
θ+1=0,∴tan
θ=.若θ∈0,,则sin
θ=,cos
θ=,则z=-1-i.
12.(2020山东高二期中)已知复数z=(a2-4)+(a+2)i,a∈R.
(1)若z为纯虚数,求实数a的值;
(2)若z在复平面上对应的点在直线x+2y+1=0上,求实数a的值.
解(1)若z为纯虚数,则a2-4=0,且a+2≠0,解得实数a的值为2;
(2)z在复平面上对应的点(a2-4,a+2)在直线x+2y+1=0上,则a2-4+2(a+2)+1=0,解得a=-1.
能力提升练
1.在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )
A.4+8i
B.8+2i
C.2+4i
D.4+i
答案C
解析A(6,5),B(-2,3),
∵C为AB的中点,∴C(2,4),
∴点C对应的复数为2+4i,故选C.
2.已知0A.(1,)
B.(1,)
C.(1,3)
D.(1,5)
答案B
解析|z|=,∵0∴13.若复数x=sin
θ-i(θ∈R)是纯虚数,则cos
θ+icos
2θ的共轭复数在复平面内对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案C
解析∵复数x=sin
θ-i(θ∈R)是纯虚数,∴即sin
θ=,cos
θ=-.
则cos
2θ=1-2sin2
θ=1-2×.
∴cos
θ+icos
2θ的共轭复数的实部小于0,虚部小于0,在复平面内对应的点位于第三象限.故选C.
4.设A,B为锐角三角形的两个内角,则复数z=(cos
B-tan
A)+itan
B对应的点位于复平面的( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案B
解析因A,B为锐角三角形的两个内角,
所以A+B>,
即A>-B,sin
A>cos
B.
cos
B-tan
A=cos
B-B-sin
A<0,
又tan
B>0,
所以点(cos
B-tan
A,tan
B)在第二象限,故选B.
5.已知复数z1=cos
x+2f(x)i,z2=(sin
x+cos
x)+i,x∈R,在复平面上,设复数z1,z2对应的点分别为Z1,Z2,若∠Z1OZ2=90°,其中O是坐标原点,则函数f(x)的最大值为( )
A.-
B.
C.-
D.
答案B
解析由题意,Z1(cos
x,2f(x)),Z2(sin
x+cos
x,1),
∵∠Z1OZ2=90°,
∴sin
xcos
x+cos2x+2f(x)=0,
即2f(x)=-sin
2x-=-sin
2x-cos
2x-,
∴f(x)=-sin,
则函数f(x)的最大值为.故选B.
6.(多选题)(2020全国高一单元测试)设z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,i为虚数单位,则以下结论正确的是
( )
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.z一定不为纯虚数
C.z一定不为实数
D.在复平面内对应的点在实轴的下方
答案CD
解析因为2t2+5t-3=2t+2-≥-,t2+2t+2=(t+1)2+1>0,
所以复数z在复平面内对应的点可能在第一象限,也可能在第二象限,故A错误;
当即t=-3,或t=时,z为纯虚数,故B错误;
因为t2+2t+2>0恒成立,所以z一定不为实数,故C正确;
由选项A的分析知,因为z对应的点在实轴的上方,所以对应的点在实轴的下方,故D正确.故选CD.
7.(2020山东泰安实验中学高一期中)下列命题正确的是
( )
A.复数z1,z2的模相等,则z1,z2是共轭复数
B.在复平面内,虚轴上的点对应的复数都是纯虚数
C.复数z是实数的充要条件是z=是z的共轭复数)
D.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i(i是虚数单位),它们对应的点分别为A,B,C,其中O为坐标原点,若=x+y(x,y∈R),则x+y=1
答案C
解析对于A,模相等的复数不一定是共轭复数,比如:z1=1+i,z2=-1+i,这两个复数的模相等,但不是共轭复数,故A不正确;对于B,除原点外,虚轴上的点都对应纯虚数,故B不正确;对于C,设z=a+bi,=a-bi,若z=,则b=0,所以复数z是实数,若z是实数,则b=0,则z=,所以C正确;对于D,由条件可知=(3,-2),=(-1,2),=(1,-1),若=x+y(x,y∈R),则(3,-2)=(-x+y,2x-y),所以
解得所以x+y=5,故D不正确.故选C.
8.已知两向量a,b对应的复数分别是z1=-3,z2=-+mi(m∈R),且a,b的夹角为60°,求m的值.
解因为a,b对应的复数分别为z1=-3,z2=-+mi(m∈R),
所以a=(-3,0),b=.
又a,b的夹角为60°,
所以cos
60°=,
即,解得m=±.
素养培优练
1.设z为纯虚数,且|1-z|=|-1+i|,求复数z.
解∵z为纯虚数,
∴设z=ai(a∈R且a≠0),
又|-1+i|=,
由|1-z|=|-1+i|,得,
解得a=±1.
∴z=±i.
2.已知复数z对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正向的夹角为120°,的终点Z在第二象限,且复数z的模为2,求复数z.
解根据题意可画图形如图所示.
设点Z的坐标为(a,b),a<0,b>0.
∵||=|z|=2,∠xOZ=120°,
∴a=-1,b=,
即点Z的坐标为(-1,),
∴z=-1+i.(共39张PPT)
10.2.2 复数的乘法与除法
课标阐释
思维脉络
1.掌握复数代数形式的乘法和除法计算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集.
激趣诱思
知识点拨
我们知道两个实数的乘法对加法来说满足分配律,即a,b,c∈R时,有(a+b)c=ac+bc,而且,实数的正整数次幂满足aman=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn.其中m,n均为正整数,那么,复数的乘法应该如何规定,才能使得类似的运算法则仍成立呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:复数的乘法
1.复数的乘法法则
一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i,即两个复数的积仍然是复数.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3∈C,有
交换律
z1z2=z2z1
结合律
(z1z2)z3=z1(z2z3)
分配律
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
激趣诱思
知识点拨
3.复数的幂
(4)需要说明的是,以前我们所学过的完全平方公式、平方差公式等,对于复数来说也是成立的,即
(5)等式两边同时乘一个复数等式仍成立,即当z1=z2时,必定有z1z=z2z.
激趣诱思
知识点拨
微拓展
in(n∈N
)的性质
根据复数乘法法则,容易得到i的n次幂的计算法则,
激趣诱思
知识点拨
微练习1
复数i(2-i)=( )
A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i
D.-1-2i
答案:A
激趣诱思
知识点拨
微练习2
如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于( )
A.1
B.-1
答案:B
解析:∵(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是实数,m∈R,得m3+1=0,即m=-1.
激趣诱思
知识点拨
微练习3
求1+i+i2+i3+…+i2
021的值.
解:i4n+1+i4n+2+i4n+3+i4n+4=i-1-i+1=0,
∴1+i+i2+i3+…+i2
021=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+i2
021=1+i505×4+1=1+i.
激趣诱思
知识点拨
知识点二:复数的除法
复数的除法法则
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微练习1
答案:B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
答案:B
解析:先进行复数的乘方运算,再进行除法运算.
激趣诱思
知识点拨
微练习3
答案:C
激趣诱思
知识点拨
微练习4
激趣诱思
知识点拨
知识点三:实系数一元二次方程在复数范围内的解集
当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且
(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程有两个互为共轭的虚数根.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
复数集内一元二次方程的解法
?
实系数一元二次方程
复系数一元二次方程
Δ的作用
可以用来判断根的情况
不能用来判断根的情况
求根公式
适用
适用
韦达定理
适用
适用
实系数一元二次方程的虚根才互为共轭复数.
激趣诱思
知识点拨
微思考
方程x2+1=0在实数范围内没有根,但在复数范围内有两个根±i,那么关于x的实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ<0时是否也有两个复数根呢?
提示:有.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
在复数范围内,方程x2+x+1=0的根为( )
答案:C
激趣诱思
知识点拨
微练习2
在复数范围内,方程2x2-2x+3=0的根为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数的乘法运算
例1计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2.
解:(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5;
(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
反思感悟
(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.
(2)像3+4i和3-4i这样的两个复数叫做互为共轭复数,其形态特征为a+bi和a-bi,其中a,b∈R,其数值特征为(a+bi)·(a-bi)=a2+b2.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
1计算:
(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);
(2)(3+4i)(3-4i);
(3)(1+i)2.
解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i;
(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;
(3)(1+i)2=1+2i+i2=2i.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数的除法运算
例2计算:
(1)(1+2i)÷(3-4i);
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
求此类题时通常先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘i).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
2计算:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
虚数单位i的幂值的周期性
例3计算i+i2+i3+…+i2
020.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.周期性
2.记住以下结果,可提高运算速度
(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)答案:0
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
在复数范围内解方程
例4(1)在复数范围内求方程x2-x+3=0的解集.
(2)已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
①求b,c的值;
②试判断x=1-i是不是方程的根.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)①∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,
∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,
即(b+c)+(2+b)i=0,
故b的值为-2,c的值为2.
②由①方程可化为x2-2x+2=0,
把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,
∴x=1-i也是方程的根.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
在实系数一元二次方程中,若判别式Δ<0,方程有两个互为共轭复数的根,根与系数的关系仍适用.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方程根中的“数学运算”
在复数范围内求方程的根或已知方程的根求解参数时,常常会涉及复数的平方运算、加减运算、复数相等的充要条件等,这时就会用到“数学运算”这一核心素养.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.(1+3i)(1-i)=( )
A.4+2i
B.2+4i
C.-2+2i
D.2-2i
答案:A
解析:(1+3i)(1-i)=1-i+3i-3i2=4+2i.故选A.
A.3+2i
B.3-2i
C.2-3i
D.2+3i
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.已知复数x满足x2-2x=-2,则x= .?
答案:1±I
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测(共38张PPT)
10.1.1 复数的概念
课标阐释
思维脉络
1.通过方程在实数系中无解的情况,了解复数概念的引入过程;
2.掌握复数的概念、复数的代数形式表示;
3.能利用复数的概念、复数相等解决有关问题.
激趣诱思
知识点拨
远古时期,人类常用“结绳计数”或“堆石”计数或刻痕计数,从中逐步产生了自然数的概念,在分配劳动成果的过程中,产生了“正分数”的概念,随着人类商品交换时代的来临,为了表示相反意义的量,又引入了“负数”的概念,至此人们认为所有的数都可以用两个互质的整数的比值来表示.然而,随着人类种植活动的兴盛,在丈量土地、计算长度、计算产量过程中产生了经验几何学,其中在勾股定理使用中发现:在求两直角边长度都是“1”的直角三角形斜边的时候,其斜边长度不能用任何有理数来表示,于是引入了无理数,把数集扩充为实数集.数集发展的动力和原因是什么?还有没有比实数集范围更大的数集呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:复数的引入
一般地,为了使得方程x2=-1有解,人们规定i的平方等于-1,即i2=-1,并称i为虚数单位.
名师点析
虚数单位i的性质
(1)i的平方等于-1,即i2=-1.
(2)实数与i可进行四则运算,并且原有的加法、乘法运算律仍然成立.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如何在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4-25?
激趣诱思
知识点拨
微练习
i4= .?
答案:1
解析:i4=(i2)2=(-1)2=1.
激趣诱思
知识点拨
知识点二:复数的概念
1.复数的概念:一般地,当a与b都是实数时,称a+bi为复数,复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为z的实部,b称为z的虚部,分别记作Re(z)=a,Im(z)=b.
2.复数集定义:所有复数组成的集合称为复数集,复数集通常用大写字母C表示.因此C={z|z=a+bi,a,b∈R}.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
两个复数一定能比较大小吗?
提示:不一定,只有当这两个复数是实数时,才能比较大小.
微思考2
复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?
提示:不一定,对于复数z=a+bi(a,b∈R),实部才是a,虚部才是b.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
答案:C
激趣诱思
知识点拨
微练习2
若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为 .?
答案:1或-3
解析:由条件知a2-3+2a=0,∴a=1或a=-3.
激趣诱思
知识点拨
知识点三:复数相等
两个复数z1与z2,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作z1=z2.
这就是说,如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di?a=c且b=d.
特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是a=0且b=0.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
两个复数不一定能比较大小
1.根据复数相等的定义,知在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c+di.
2.若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较大小,则它们必须都是实数(即虚部均为0).
3.若两个复数不全是实数,则不能比较大小.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
若(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别是( )
A.1,1
B.-1,1
C.1,0
D.1,-1
答案:D
激趣诱思
知识点拨
微练习2
若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于 .?
答案:-3
激趣诱思
知识点拨
知识点四:复数的分类
不难看出,任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定,虚部为0的复数实际上是一个实数.特别地,称虚部不为0的复数为虚数,称实部为0的虚数为纯虚数.
对于复数a+bi,当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,叫做虚数;当a=0且b≠0时,叫做纯虚数.
这样,复数z=a+bi可以分类如下:
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( )
(2)若a为实数,则z=ai一定是虚数.( )
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.( )
答案:(1)× (2)× (3)√
激趣诱思
知识点拨
微练习
若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为( )
A.-1 B.0
C.1
D.-1或1
答案:A
解析:∵z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数的概念
例1判断以下命题是否正确.
(1)复数由实数、虚数、纯虚数构成;
(2)复数m+ni中,实部和虚部分别是m和n;
(3)在复数a+bi(a,b∈R)中,若a≠0,则a+bi一定不是纯虚数;
(4)满足x2=-1的数x只能是i;
(5)若a∈R,则复数(a+2)i是纯虚数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)不正确.复数是由实数和虚数构成的,虚数中包含纯虚数;
(2)不正确.对于复数m+ni,由于没有条件“m,n∈R”,所以其实部和虚部不一定是m和n;
(3)正确.在复数a+bi(a,b∈R)中,只要a≠0,不论b=0还是b≠0,它一定不是纯虚数;
(4)不正确.满足x2=-1的数x=±i;
(5)不正确.当a=-2时,复数(a+2)i是实数0,不是纯虚数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
(1)数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立.如:两数大小的比较,某数的平方是非负数等.但i与实数的运算及运算律仍成立.
(2)两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等,要先确定是否为代数形式,确定实部、虚部后再应用.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1(多选题)(2020山东潍坊高一检测)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( )
A.若a≠0,则ai是纯虚数
B.虚部为-
的虚数有无数个
C.实数集是复数集的真子集
D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:BCD
解析:对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为
-
的虚数可以表示为m-
i(m∈R),有无数个,故B正确;根据复数的分类,C正确;对于D,两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数的分类
(1)是实数?
(2)是虚数?
(3)是纯虚数?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时,要采用复数的标准形式的代数式,若不是复数的标准代数形式,应先化为复数的标准代数形式z=a+bi(a,b∈R),再依据概念判断.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
复数相等
例3(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中x,y∈R,求x与y.
(2)已知关于x,y的方程组
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2(1)若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a= .?
(2)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x,y的值.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
易错点1 对复数的概念理解不透彻致误
典例1在下列命题中,正确命题的个数是( )
①两个复数不能比较大小;②若z1和z2都是虚数,且它们的虚部相等,则z1=z2;③若a,b是两个相等的实数,则a-b+(a+b)i是纯虚数.
A.0
B.1
C.2
D.3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
正解:当两个复数都是实数时,是可以比较大小的,故①是错误的;设z1=3+2i,z2=4+2i,它们虚部相等,z1≠z2,故②是错误的;③当a=b=0时,a-b+(a+b)i=0是实数,故③错误.因此选A.
辨析:两个复数当它们都是实数时,是可以比较大小的,①中忽视了这一特殊情况导致错误;②中将虚数与纯虚数概念混淆,事实上纯虚数集是虚数集的真子集,在代数形式上,纯虚数为bi(b∈R且b≠0),虚数为a+bi(a,b∈R,且b≠0);③中要保证a+b≠0才可能是纯虚数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛复数有许多与实数不同的性质,在引用实数的一些结论时,一定要考虑在复数集中是否还成立,如两个实数可以比较大小,但不全为实数的两个复数就不能比较大小.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
易错点2 错将复数大小比较与实数大小比较相混淆
典例2求满足条件-2+a-(b-a)i>-5+(a+2b-6)i的实数a,b的取值情况.
方法点睛不要想当然地认为大的复数所对应的实部和虚部都大,而忽视了只有实数才能比较大小的前提,因此本题中的复数应为实数.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.设i是虚数单位,m,n为实数,复数z=m+ni为虚数,则( )
A.m=0
B.n≠0
C.m=0且n≠0
D.mn≠0
答案:B
解析:若复数是虚数,则n≠0,故选B.
2.复数z=1-i(i为虚数单位)的虚部是( )
A.1
B.i
C.-1
D.-i
答案:C
解析:复数z=1-i(i为虚数单位)的虚部是-1.故选C.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.已知m∈R,设复数z=(m2-2m-3)+(m2-1)i.若复数z为纯虚数,实数m= .?
答案:3
解析:依题意,复数z为纯虚数,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)若z是虚数,求m的取值范围;
(2)若z是纯虚数,求m的值.第十章复数
10.1 复数及其几何意义
10.1.1 复数的概念
课后篇巩固提升
1.(2020浙江)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案C
解析由条件可知a-2=0,即a=2,故选C.
2.若z=(m2+m-6)+(m-2)i为纯虚数,则实数m的值为( )
A.-2
B.2
C.3
D.-3
答案D
解析∵z=(m2+m-6)+(m-2)i为纯虚数,
∴解得m=-3.故选D.
3.(多选题)下列命题是假命题的有( )
A.若x,y∈R,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1
B.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i
C.若x2+y2=0,则x=y=0
D.若a∈R,则(a+1)i为纯虚数
答案BCD
解析A项中,由复数相等的充要条件知,A是真命题.B项中,由于两个虚数不能比较大小,B是假命题.C项中,当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,C是假命题.D项中,当a=-1时,a∈R,但(a+1)i=0不是纯虚数.D是假命题.
4.以2i-的虚部为实部,以i-2的实部为虚部的新复数是( )
A.2+i
B.2-2i
C.-i
D.i
答案B
解析以2i-的虚部为实部,以i-2的实部为虚部的新复数是2-2i.故选B.
5.(多选题)(2020山东潍坊高一检测)下列说法错误的是
( )
A.(-i)2=-1
B.-i2=-1
C.若a>b>0,则a+i>b-i
D.若z∈C,则z2>0
答案BCD
解析(-i)2=i2=-1,A正确;-i2=-(-1)=1,B错误;虚数无法比较大小,C错误;若z=i,则z2=-1<0,D错误.
6.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是( )
A.|a|=|b|
B.a<0且a=-b
C.a>0且a≠b
D.a≤0
答案D
解析复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0.
7.若z=sin
θ-+i是纯虚数,则tan(θ-π)的值为( )
A.
B.
C.-
D.-
答案C
解析∵z=sin
θ-+i是纯虚数,
∴sin
θ-=0且cos
θ-≠0,
即sin
θ=且cos
θ≠,即cos
θ=-,
则tan
θ==-,
则tan(θ-π)=tan
θ=-,故选C.
8.如果(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为 .?
答案2
解析由题意得解得m=2.
9.如果x-1+yi与i-3x为相等复数,x,y为实数,则x= ,y= .?
答案 1
解析由复数相等可知,
∴
10.已知集合M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数a= .?
答案-1
解析由M∩N={3}知,3∈M,即有(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3,所以解得a=-1.
11.(2020上海高二课时练习)设z=(m2-2m-2)+(2m2+3m+4)i(m∈R).若Re(z)≥Im(z),求实数m的取值范围.
解由题意可知Re(z)=m2-2m-2,Im(z)=2m2+3m+4.
∵Re(z)≥Im(z),∴m2-2m-2≥2m2+3m+4,即m2+5m+6≤0,解得-3≤m≤-2.故实数m的取值范围为[-3,-2].
12.设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当m为何值时:
(1)z是实数?
(2)z是纯虚数?
解(1)要使复数z是实数,需满足解得m=-2,或m=-1.
即当m=-2或m=-1时,z是实数;
(2)要使复数z是纯虚数,需满足解得m=3.
即当m=3时,z是纯虚数.(共45张PPT)
10.1.2 复数的几何意义
课标阐释
思维脉络
1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对应关系.
2.掌握实轴、虚轴、模等概念.
3.掌握用向量的模表示复数的模的方法.
4.理解共轭复数的概念.
激趣诱思
知识点拨
提出虚数这个假设是需要勇气的,人们在最初时还无法接受,认为它是想象的、不存在的,但这丝毫不影响数学家对虚数的假设和研究.第一次认真讨论这种数的是文艺复兴时期意大利数学家卡丹,他是1545年开始讨论这种数的,但是复数被他称为“诡辩量”.几乎过了100年笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数.但是又过了140年,欧拉还是说这种数只是存在于“幻想之中”并用i(imaginary,即虚幻的缩写)来表示它的单位.后来德国数学家高斯给出了复数的定义,并在1830年详细论述了用直角坐标系的复平面内的点表示复数a+bi,使复数有了立足之地,人们才最终承认了复数.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:复平面的概念和复数的几何意义
1.复平面的概念
如图所示,点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示.
建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为实轴;y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为虚轴.
激趣诱思
知识点拨
2.复数的几何意义
一方面,根据复数相等的定义,复数z=a+bi(a,b∈R)被它的实部与虚部唯一确定,即复数z被有序实数对(a,b)唯一确定;另一方面,有序实数对(a,b)在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a,b).因此不难发现,可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi?点Z(a,b).这是复数的一种几何意义.
激趣诱思
知识点拨
复数还有另外一种几何意义:在平面直角坐标系中的点Z(a,b)能唯一确定一个以原点O为始点,Z为终点的向量
,所以复数也可用向量
来表示,这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系,即复数z=a+bi?向量
=(a,b).这是复数的另一种几何意义.
如图所示,设复平面内的点Z表示复数z=a+bi,连接OZ,显然向量
由点Z唯一确定;反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量
唯一确定.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.复数z=a+bi(a,b∈R)可用复平面内的点Z(a,b)表示,复平面内点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).
2.为了方便,我们常把复数z=a+bi(a,b∈R)说成点Z(a,b)或说成向量
,并且规定相等向量表示同一复数.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上.( )
(2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.( )
答案:(1)√ (2)×
激趣诱思
知识点拨
微练习1
复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案:C
解析:z=-1-2i对应点Z(-1,-2),位于第三象限.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知复数z=i,复平面内对应点Z的坐标为( )
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,0)
D.(1,1)
答案:A
微练习3
向量a=(1,-2)所对应的复数是( )
A.z=1+2i
B.z=1-2i
C.z=-1+2i
D.z=-2+i
答案:B
激趣诱思
知识点拨
知识点二:共轭复数、复数的模
1.共轭复数
一般地,如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有
=a-bi.
显然,在复平面内,表示两个共轭复数的点关于实轴对称;反之,如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称,则这两个复数互为共轭复数.
激趣诱思
知识点拨
结论:
(1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①z1,z2互为共轭复数的充要条件是a=c且b=-d.
②z1,z2互为共轭虚数的充要条件是a=c且b=-d≠0.
激趣诱思
知识点拨
(2)任一实数的共轭复数是其本身,反之,若z=
,则z∈R.
(3)复数的共轭复数的共轭复数是它本身,即
=z.
激趣诱思
知识点拨
2.复数的模
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.( )
(2)若z1,z2∈C,且z1+z2=0,则z1=z2=0.( )
(3)两个共轭虚数的差为纯虚数.( )
(4)在复平面内,两个共轭复数的对应点关于实轴对称.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
激趣诱思
知识点拨
微练习1
已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为( )
A.1或3
B.1
C.3
D.2
答案:A
激趣诱思
知识点拨
微练习2
(2020辽宁高二期中)在复平面内,复数z的对应点为(1,-1),则
= .?
答案:1+i
解析:由题可知复数z的对应点为(1,-1),则z=1-i,所以
=1+i.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数与点的对应
例1已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点满足下列条件时,求a的值(或取值范围).
(1)在实轴上;
(2)在第三象限;
(3)在直线y=x上.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:复数z=(a2-1)+(2a-1)i在复平面内对应的点是(a2-1,2a-1).
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
例2试确定在复平面内,满足下列条件的复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点的集合分别是什么图形.
(1)y=2;
(2)1≤x≤4;
(3)x=y;
(4)|z|≤5.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)复数z对应点的坐标是(x,y),而y=2,所以点的集合是一条与实轴平行的直线.
(2)复数对应的点为(x,y),而1≤x≤4,所以点的集合是夹在垂直于实轴的两条直线之间的一个带形区域(含两条边界直线).
(3)复数对应的点是(x,y),而x=y,所以点的集合是一条直线,它是复平面的第一、三象限的平分线.
(4)复数对应的点是(x,y),而|z|≤5的集合是一个以原点为圆心,半径等于5的圆的内部,包含圆的边界.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
(1)确定复数对应的点在复平面内的位置时,关键是理解好复数与该点的对应关系,复数的实部就是该点的横坐标,复数的虚部就是该点的纵坐标,据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程或不等式求解.
(2)确定复数对应点的集合的图形时,首先根据复数与点的对应关系找出点的横坐标、纵坐标之间的关系,再结合平面解析几何的相关知识确定图形形状.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
在复平面内,将复数改为“z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i”,对应点满足:
(1)在虚轴上;
(2)在第二象限;
(3)在直线y=x上.
分别求实数m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.
(1)由题意得m2-m-2=0.
解得m=2或m=-1.
∴-1(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2.m=2.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数与向量的对应
A.-10+8i
B.10-8i
C.0
D.10+8i
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
反思感悟
(1)以原点为起点的向量对应的复数等于它的终点对应的复数;向量平移后,此向量表示的复数不变,但平移前后起点、终点对应的复数要改变.
(2)复数的模从几何意义上来讲,表示复数对应的点到原点的距离,类比向量的模,可以进一步引申|z-z1|表示点Z到点Z1之间的距离.如|z-i|=1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
1在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
复数的模及其计算
例4(1)若复数z对应的点在直线y=2x上,且|z|=
,则复数z=( )
A.1+2i
B.-1-2i
C.±1±2i
D.1+2i或-1-2i
(2)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.(-1,1)
C.(1,+∞)
D.(0,+∞)
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探究三
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素养形成
当堂检测
答案:(1)D (2)B
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟
(1)复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离;
(2)求复数的模时,应先确定复数的实部与虚部,再套用复数模的计算公式计算求解;
(3)若两个复数相等,它们的模一定相等;反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等;
(4)两个复数不一定能比较大小,但复数的模一定可以比较大小.
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当堂检测
(2)(2020山西太原高一检测)设复数z满足|z-1|=|z-i|(i为虚数单位),z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.y=-x
B.y=x
C.(x-1)2+(y-1)2=1
D.(x+1)2+(y+1)2=1
探究一
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素养形成
当堂检测
解析:(1)∵z为实数,
∴a2-a-6=0,
∴a=-2或a=3.
当a=-2时,z无意义.当a=3时,
(2)设z=x+yi(x,y∈R),∵|z-1|=|z-i|,
∴|x+yi-1|=|x+yi-i|,即(x-1)2+y2=x2+(y-1)2,化简得y=x.故选B.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
共轭复数及其应用
例5已知x-1+yi与i-3x是共轭复数,求实数x与y的值.
思路分析根据共轭复数及复数相等的概念列方程组求x,y.
解:i-3x的共轭复数为-3x-i,
所以x-1+yi=-3x-i,
探究一
探究二
探究三
探究四
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探究一
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探究三
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当堂检测
变式训练
3(多选题)(2020江苏高二期中)下列关于复数的说法中,正确的是( )
A.复数z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0
B.复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0
C.若z1,z2互为共轭复数,则在复平面内它们所对应的点关于实轴对称
D.若z1,z2互为共轭复数,则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称
探究一
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当堂检测
答案:AC
解析:复数z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是b=0,故A正确;若复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数,则a=0且b≠0,故B错误;若z1,z2互为共轭复数,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi(a,b∈R),所对应的点的坐标分别为(a,b),(a,-b),这两点关于实轴对称,故C正确,D错误.故选AC.
探究一
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当堂检测
与复数的模有关的直观想象、数学抽象问题
典例已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.
思路分析由题目可获取以下主要信息:
①已知复数及其模的范围;
②求复数虚部的取值范围.
解答本题可利用模的直观想象求解.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
(方法二)利用复数的几何意义,由|z|<4知,z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界),
由z=3+ai知z对应的点在直线x=3上,
所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合,
探究一
探究二
探究三
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素养形成
当堂检测
1.设复数z=-1+2i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数
在复平面上对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案:C
解析:∵z=-1+2i,∴
=-1-2i,则复数z的共轭复数
在复平面上对应的点的坐标为(-1,-2),位于第三象限.故选C.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,则下列各式正确的是( )
A.z1>z2
B.z1C.|z1|>|z2|
D.|z1|<|z2|
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
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答案:9
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
4.(2020苏州大学附属中学高二月考)已知复数z=(m2-4m+3)+(m2-m)i,其中i为虚数单位.
(1)若复数z是纯虚数,求实数m的值;
(2)复数z在复平面内对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测第十章复数
10.3 复数的三角形式及其运算
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(cos
30°+isin
30°)×2(cos
60°+isin
60°)×3(cos
45°+isin
45°)=( )
A.i
B.i
C.-i
D.-i
答案C
解析(cos
30°+isin
30°)×2(cos
60°+isin
60°)×3(cos
45°+isin
45°)=×2×3[cos(30°+60°+45°)+isin(30°+60°+45°)]=3(cos
135°+isin
135°)=3=-i.故选C.
2.×3=( )
A.i
B.i
C.-i
D.-i
答案C
解析×3
=3
=3
=-i.
故选C.
3.4(cos
π+isin
π)÷=( )
A.1+i
B.1-i
C.-1+i
D.-1-i
答案C
解析4(cos
π+isin
π)÷
=2
=2
=-1+i.
故选C.
4.2÷[2(cos
60°+isin
60°)]=( )
A.i
B.i
C.i
D.i
答案B
解析2÷2[(cos
60°+isin
60°)]
=2(cos
0°+isin
0°)÷[2(cos
60°+isin
60°)]
=cos(0°-60°)+isin(0°-60°)
=cos(-60°)+isin(-60°)
=i.
故选B.
5.9(cos
3π+isin
3π)÷[3(cos
2π+isin
2π)]=( )
A.3
B.-3
C.i
D.-i
答案B
解析9(cos
3π+isin
3π)÷[3(cos
2π+isin
2π)]
=3[cos(3π-2π)+isin(3π-2π)]
=3(cos
π+isin
π)
=-3.
故选B.
6.复数z=(sin
25°+icos
25°)3的三角形式是( )
A.cos
195°+isin
195°
B.sin
75°+icos
75°
C.cos
15°+isin
15°
D.cos
75°+isin
75°
答案A
解析z=(sin
25°+icos
25°)3
=(cos
65°+isin
65°)3
=cos
195°+isin
195°.
故选A.
7.复数z=(cos
40°+isin
40°)6的结果是( )
A.i
B.i
C.-i
D.-i
答案D
解析z=(cos
40°+isin
40°)6
=cos
240°+isin
240°
=-i.
故选D.
8.2(cos
15°+isin
15°)×5= .?
答案5+5i
解析2(cos
15°+isin
15°)×5
=2(cos
15°+isin
15°)×5(cos
30°+isin
30°)
=10[cos(15°+30°)+isin(15°+30°)]
=10(cos
45°+isin
45°)
=10
=5+5i.
9.已知复数z=cos+isin是关于x的方程x5-α=0的一个根,那么α的值等于 .?
答案i
解析因为复数z=cos+isin是方程x5-α=0的一个根,
所以α=z5=cos+isin5=cos+isin
=i.
10.2(cos
210°+isin
210°)×5(-sin
30°+isin
60°)= .?
答案5-5i
解析2(cos
210°+isin
210°)×5(-sin
30°+isin
60°)
=10(cos
210°+isin
210°)×(cos
120°+isin
120°)
=10[cos(210°+120°)+isin(210°+120°)]
=10(cos
330°+isin
330°)
=10
=5-5i.
11.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75°,求与所得向量对应的复数.
解所得向量对应的复数为
(-2+2i)×(cos
75°+isin
75°)
=2(cos
135°+isin
135°)×(cos
75°+isin
75°)
=2[cos(135°+75°)+isin(135°+75°)]
=2(cos
210°+isin
210°)
=2
=-i.
能力提升练
1.复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,则tan(α+β)等于( )
A.
B.-
C.-1
D.1
答案D
解析复数2+i和-3-i的辐角主值分别是α,β,
所以tan
α=,tan
β=,
所以tan(α+β)==1.
故选D.
2.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是
( )
A.i
B.-i
C.±i
D.±i
答案D
解析-i=cos+isin
∴-i的立方根为cos+isin(其中,k=0,1,2).
当k=0时,得cos+isin=i.
当k=1时,得cos+isin=-i.
当k=2时,得cos+isini.
故选D.
3.把复数z1与z2对应的向量分别按逆时针方向旋转后,重合于向量且模相等,已知z2=-1-i,则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是( )
A.-i,
B.-i,
C.-i,
D.-i,
答案A
解析由复数乘法的几何意义得,
z1=z2.
又z2=-1-i=2,
∴z1=
=2
=-i,
z1的辐角主值为.
故选A.
4.在复平面内,复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应向量(O为坐标原点),设||=r,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为θ,则z=r(cos
θ+isin
θ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cos
θ1+isin
θ1),z2=r2(cos
θ2+isin
θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cos
θ+isin
θ)]n=rn(cos
nθ+isin
nθ),则(-1+i)10=( )
A.1
024-1
024i
B.-1
024+1
024i
C.512-512i
D.-512+512i
答案D
解析根据复数乘方公式:
zn=[r(cos
θ+isin
θ)]n=rn(cos
nθ+isin
nθ),得
(-1+i)10=210
=1
024
=1
024
=-512+512i.
故选D.
5.设复数z=cosπ+isinπ,则=
( )
A.0
B.1
C.
D.
答案B
6.设=f(x)+ig(x),其中f(x),g(x)均为实系数多项式,则f(x)的系数之和是( )
A.-
B.1
C.-
D.
答案C
解析因为=f(x)+ig(x),取x=1,
所以=f(1)+ig(1),
所以cos+isin=f(1)+ig(1)=-i.
则f(1)=-,故选C.
7.6÷[3(cos
135°+isin
135°)]= .?
答案-2-2i
解析6÷3[(cos
135°+isin
135°)]
=6(cos
0°+isin
0°)÷[3(cos
135°+isin
135°)]
=2[cos(0°-135°)+isin(0°-135°)]
=4[cos(-135°)+isin(-135°)]
=-2-2i.
8.已知复数z=cos+isin,则z3+= .?
答案i
解析根据题意,有z3+=1+z2=-z=i.
9.复数z=16(cos
40°+isin
40°)的四次方根分别是 .?
答案2(cos
10°+isin
10°),2(cos
100°+isin
100°),
2(cos
190°+isin
190°),2(cos
280°+isin
280°)
解析z=16(cos
40°+isin
40°)的四次方根分别是
(k=0,1,2,3),
当k=0时,结果为2(cos
10°+isin
10°);
当k=1时,结果为2(cos
100°+isin
100°);
当k=2时,结果为2(cos
190°+isin
190°);
当k=3时,结果为2(cos
280°+isin
280°).
10.设复数z1=+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1的对应点在虚轴的负半轴上,且arg
z2∈(0,π),求z2的代数形式.
解因为z1=2,
设z2=2(cos
α+isin
α),α∈(0,π),
所以z1=8.
由题设知2α+=2kπ+(k∈Z),
所以α=kπ+(k∈Z).
又α∈(0,π),所以α=.
所以z2=2=-1+i.
素养培优练
已知复数z=i,ω=i,复数,z2ω3在复平面上所对应的点分别为P,Q.求证:△OPQ是等腰直角三角形(其中O为原点).
证明z=i=cos+isin
ω=i=cos+isin,
∴zω=cos+isin
=cos+isin,
∴=cos+isin.
又z2ω3=cos-+isin-cos+isin=cos+isin,
因此OP,OQ的夹角为.
∴OP⊥OQ,
又|OP|=||=1,|OQ|=|z2w3|=1,
∴|OP|=|OQ|,∴△OPQ为等腰直角三角形.(共47张PPT)
10.3 复数的三角形式及其运算
课标阐释
思维脉络
1.知道复数的模和辐角的定义.
2.会求复数的模和辐角主值.
3.能求出复数的三角形式.
4.会进行复数三角形式的乘除运算.
激趣诱思
知识点拨
1.如图①,角θ的终边上一点P(x,y),设P到原点O的距离|OP|=r,那么怎样用角θ和r表示x,y?
图①
激趣诱思
知识点拨
图②
激趣诱思
知识点拨
知识点一:复数的三角形式
由下图可以看出,对于复数z=a+bi,有
所以z=a+bi=(rcos
θ)+(rsin
θ)i=r(cos
θ+isin
θ).
激趣诱思
知识点拨
一般地,任何一个非零复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成r(cos
θ+
isin
θ)的形式.其中,r是复数z的模,θ是复数z的辐角.r(cos
θ+isin
θ)叫做非零复数z=a+bi的三角形式,为了与三角形式区分开来,a+bi叫做复数的代数形式.
任何一个非零复数z的辐角都有无穷多个,而且任意两个辐角之间都相差2π的整数倍.特别地,在[0,2π)内的辐角称为z的辐角主值,记作arg
z,即0≤arg
z<2π.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
激趣诱思
知识点拨
微练习2
答案:BCD
激趣诱思
知识点拨
微练习3
已知复数:
其中,是三角形式的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
激趣诱思
知识点拨
答案:A
解析:①中,不满足模r≥0;②中,满足复数三角形式的特征;③中,不满足同一个角θ;④中,不满足i与sin
θ相乘;⑤中,不满足cos
θ与isin
θ之间用加号连接.综上可知,只有②是复数的三角形式.故选A.
激趣诱思
知识点拨
知识点二:复数的三角形式与代数形式的互化
1.复数的三角形式z=r(cos
θ+isin
θ)化为复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R),只要计算出三角函数值(应用a=rcos
θ,b=rsin
θ)即可.
2.复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为复数的三角形式一般步骤:
(3)写出复数的三角形式.
激趣诱思
知识点拨
3.每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角主值,并且由它的模与辐角主值唯一确定.因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角主值分别相等,即z1=z2?
激趣诱思
知识点拨
名师点析
复数三角形式的判断依据和变形步骤
1.依据:三角形式的结构特征“模非负,角相同,余弦前,加号连”.
2.步骤:首先确定复数z的对应点所在象限,其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.可简记为“定点→定名→定角”.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
把一个复数表示成三角形式时,辐角θ一定要取主值吗?
微思考2
每一个复数都有唯一的模与辐角主值吗?
提示:
不一定,复数0的辐角主值有无数个,每一个不等于零的复数才有唯一的模与辐角主值.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=z2成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
答案:A
解析:当两个复数z1,z2的模与辐角分别相等时,一定可以推出z1=z2,充分性成立;但当z1=z2时,不一定非要z1,z2的辐角相等,它们可以相差2π的整数倍,故必要性不成立.综上,两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=z2成立的充分不必要条件.故选A.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
把下列复数表示成代数形式:
激趣诱思
知识点拨
知识点三:复数三角形式的乘法及运算律
1.复数三角形式的乘法
若z1=r1(cos
θ1+isin
θ1),z2=r2(cos
θ2+isin
θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和.简单地说,两个复数三角形式相乘的法则为:模数相乘,辐角相加.
激趣诱思
知识点拨
2.复数乘法运算的几何意义
激趣诱思
知识点拨
3.复数的三角形式乘法法则有如下推论
(1)有限个复数相乘,结论亦成立,即z1z2…zn=r1(cos
θ1+isin
θ1)·r2
(cos
θ2+isin
θ2)…rn(cos
θn+isin
θn)
=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].
(2)当z1=z2=…=zn=z,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ时,zn=
[r(cos
θ+isin
θ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)].这就是复数三角形式的乘方法则,即:模数乘方,辐角n倍.
(3)在复数三角形式的乘方法则中,当r=1时,则有(cos
θ+isin
θ)n=
cos
nθ+isin
nθ.这个公式叫做棣莫弗公式.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
使用复数的三角形式进行运算的条件是什么,辐角要求一定是主值吗?
提示:使用复数的三角形式进行运算的条件是复数必须是三角形式的标准式,辐角不要求一定是主值.
微思考2
两个复数的积仍然是一个复数吗?任意多个复数的积呢?
提示:
两个复数的积仍然是一个复数,可推广到任意多个复数,任意多个复数的积仍然是一个复数.
激趣诱思
知识点拨
微练习
计算下列各式,并把结果化为代数形式.
激趣诱思
知识点拨
激趣诱思
知识点拨
知识点四:复数三角形式的除法及运算律
1.复数三角形式的除法运算
若z1=r1(cos
θ1+isin
θ1),
z2=r2(cos
θ2+isin
θ2),
这就是说,两个复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.简单地说,两个复数三角形式相除的法则为:模数相除,辐角相减.
激趣诱思
知识点拨
2.复数除法运算的几何意义
激趣诱思
知识点拨
微练习1
计算下列各式:
激趣诱思
知识点拨
微练习2
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数的模与辐角
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:(1)A (2)C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数的三角形式与代数形式的互化
例2将下列复数化为三角形式:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
2将下列复数化为三角形式:
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数乘、除运算及其几何意义
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:(1)B (2)C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数乘、除运算的综合应用
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
复数代数形式与三角形式转化出错
典例下列复数的形式是不是三角形式,若不是,化为三角形式:
(1)z1=-2(cos
θ+isin
θ);
(2)z2=cos
θ-isin
θ;
(3)z3=-sin
θ+icos
θ;
(4)z4=-sin
θ-icos
θ;
(5)z5=cos
60°+isin
30°.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)由“模非负”知不是三角形式.
z1=2(-cos
θ-isin
θ)=2[cos(π+θ)+isin(π+θ)].
(2)由“加号连”知不是三角形式.
z2=cos
θ-isin
θ=cos(-θ)+isin(-θ)或z2=cos
θ-isin
θ=cos(2π-θ)+
isin(2π-θ).
(3)由“余弦前”知不是三角形式.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法点睛1.复数的三角形式要符合z=r(cos
θ+isin
θ)(r>0).
2.如果不符合即利用诱导公式转化为三角形式.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.8i÷[2(cos
45°+isin
45°)]= .?
解析:8i÷[2(cos
45°+isin
45°)]
=8(cos
90°+isin
90°)÷[2(cos
45°+isin
45°)]
=4[cos(90°-45°)+isin(90°-45°)]
=4(cos
45°+isin
45°)
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测