(共29张PPT)
11.3.1 平行直线与异面直线
课标阐释
思维脉络
1.能用平行线的传递性和等角定理解决一些简单的相关问题.
2.理解异面直线的定义,会判断两直线异面.
3.理解空间四边形并能解决与其相关的一些问题.
激趣诱思
知识点拨
如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'与DD'平行吗?AD与BB'又是什么关系呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:平行直线与等角定理
1.平行直线
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)平行于同一条直线的两条直线互相平行,也称空间平行线的传递性.
2.等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相等.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.等角定理中要注意:
(1)角的两边对应平行;(2)角的方向相同.
2.此定理也称空间等角定理.它可以用来证明空间两角相等,它是研究空间两条直线位置关系的基础.
3.由这个定理可以推出:如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行,且方向都相反,那么这两个角的大小关系怎样?若方向一个相同一个相反呢?
提示:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相反,那么这两个角相等;方向一同一反时,这两个角互补.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
已知空间两个角α,β,且α与β的两边对应平行,α=60°,则β为( )
A.60°
B.120°
C.30°
D.60°或120°
答案:D
解析:∵α与β的两边对应平行,∴α与β相等或互补,故β为60°或120°.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1( )
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.关系不确定
答案:B
激趣诱思
知识点拨
微练习3
如图,AA'是长方体ABCD-A'B'C'D'的一条棱,那么长方体中与AA'平行的棱共有 条.?
答案:3
解析:∵四边形ABB'A',ADD'A'均为长方形,
∴AA'∥BB',AA'∥DD'.
又四边形BCC'B'为长方形,∴BB'∥CC',∴AA'∥CC'.
故与AA'平行的棱共有3条,它们分别是BB',CC',DD'.
激趣诱思
知识点拨
知识点二:异面直线
1.异面直线指的是空间中既不平行也不相交的直线.
2.异面直线的画法:
为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托,如图所示.
3.异面直线的一种判断方法:与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面.
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线D1D与直线D1C的位置关系是 .?
(2)直线AB与直线B1C的位置关系是 .?
答案:(1)相交 (2)异面
激趣诱思
知识点拨
知识点三:空间四边形
空间四边形可以看成由一个四面体的4条棱构成的图形.
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
激趣诱思
知识点拨
证明:连接BD.
因为EH是△ABD的中位线,
所以EH∥BD,且EH=
BD.
同理,FG∥BD,且FG=
BD.
因此EH∥FG.
又EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
空间平行线的传递性的应用
例1如图所示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,E',F'分别是AB,BC,A'B',B'C'的中点,求证:EE'∥FF'.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:因为E,E'分别是AB,A'B'的中点,
所以BE∥B'E',且BE=B'E'.
所以四边形EBB'E'是平行四边形.
所以EE'∥BB',同理可证FF'∥BB'.
所以EE'∥FF'.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
在例1中,若M,N分别是A'D',C'D'的中点,求证:四边形ACNM是梯形.
证明:如图所示,连接A'C',
因为M,N分别是A'D',C'D'的中点,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
等角定理的应用
例2已知E,E1分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中点.求证:∠BEC=∠B1E1C1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:如图所示,连接EE1,
因为E1,E分别为A1D1,AD的中点,
所以A1E1?AE.
所以四边形A1E1EA为平行四边形,
所以A1A?E1E.
又因为A1A?B1B,
所以E1E?B1B,
所以四边形E1EBB1是平行四边形,
所以E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又∠BEC与∠B1E1C1对应边方向相同,
所以∠BEC=∠B1E1C1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行,∠A=70°,则∠B= .?
答案:70°或110°
解析:因为∠A的两边和∠B的两边分别平行,所以∠A=∠B或∠A+∠B=180°.
又∠A=70°,所以∠B=70°或110°.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
异面直线的判断
例3
如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线?
解:由异面直线的定义可知,棱AD,DC,CC',DD',D'C',B'C'所在直线分别与直线BA'是异面直线.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断两直线是不是为异面直线,只需判断它们是否相交、平行.只要既不相交,也不平行,就是异面直线.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异面直线的有几对?分别是哪几对?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:还原的正方体如图所示.有三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )
A.共面
B.平行
C.异面
D.平行或异面
答案:D
解析:若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.
2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
A.平行或异面
B.相交或异面
C.异面
D.相交
答案:B
解析:由直观想象知,它和另一条直线相交或异面.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有
对.?
答案:6
解析:如图所示,
在长方体AC1中,与体对角线AC1成异面直线的是A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC,所以组成6对异面直线.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有
对.?
答案:3
解析:AP与BC异面,BP与AC异面,PC与AB异面.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证:∠BGC=∠FD1E.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:因为E,F,G分别是正方体的棱CC1,BB1,DD1的中点,
所以CE?GD1,BF?GD1.
所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形.
所以GC∥D1E,GB∥D1F.
因为∠BGC与∠FD1E的两边分别对应平行,并且方向相同,
所以∠BGC=∠FD1E.第十一章立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.2 直线与平面平行
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设m,n是平面α外的两条直线,给出下列三个论断:①m∥n;②m∥α;③n∥α.以其中两个为条件,余下的一个为结论,可构成三个命题:①②?③,②③?①,①③?②,其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案C
解析本题考查线线平行与线面平行的判定和相互转化.m?α,n?α,m∥n,m∥α?n∥α,即①②?③;同理可得①③?②;由m∥α且n∥α,显然推不出m∥n,所以②③①.所以正确命题的个数为2,故选C.
2.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,点E,F分别为平面ABCD和平面A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案D
解析如图正方体四个侧面AA'B'B,BB'C'C,CC'D'D,DD'A'A都与EF平行.故选D.
3.点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案C
解析如图,由线面平行的判定定理可知BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.故选C.
4.
(多选题)(2020江苏高一期中)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,给出以下结论,其中正确的是
( )
A.OM∥PD
B.OM∥平面PCD
C.OM∥平面PDA
D.OM∥平面PBA
答案ABC
解析由题意知,OM是△BPD的中位线,
∴OM∥PD,故A正确;PD?平面PCD,OM?平面PCD,
∴OM∥平面PCD,故B正确;同理,可得OM∥平面PDA,故C正确;OM与平面PBA和平面PBC都相交,故D不正确.
5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G,H,则GH与AB的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行或异面
答案A
解析由长方体性质知,EF∥平面ABCD,
∵EF?平面EFGH,平面EFGH∩平面ABCD=GH,∴EF∥GH,又EF∥AB,∴GH∥AB.故选A.
6.下列两个命题,在“ ”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为直线,α为平面),则此条件为 .①?l∥α;②?l∥α.?
答案l?α
解析①由线面平行的判定定理知应填“l?α”;②易知应填“l?α”.
7.
(2020江西南昌新建一中高二期中)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,N是平面ABCD外一点,设AC∩BD=O,P为NC上一点,若OP∥平面NEF,则NP∶PC= .?
答案1∶2
解析设AC∩EF=H,连接NH.
因为OP∥平面NEF,平面NEF∩平面NHC=NH,
所以OP∥NH,
所以NP∶PC=HO∶OC.
在正方形ABCD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以HO∶OC=1∶2.所以NP∶PC=1∶2.
8.在如图所示的四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是 .(填序号)?
答案①④
解析本题考查空间直线与平面平行的判定.①中,记点B正上方的顶点为C,连接AC,图略,则易证平面ABC∥平面MNP,所以AB∥平面MNP;④中AB∥NP,根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB∥平面MNP;②③中,AB均与平面MNP相交.
9.如图所示,在四面体ABCD中,点M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是 .?
答案平面ABC、平面ABD
解析连接AM并延长,交CD于点E,连接BN,并延长交CD于点F,图略,由重心性质可知,E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由,得MN∥AB.因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
10.
如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,且AB=2CD,E,E1分别是棱AD,AA1的中点,设F是棱AB的中点,证明:直线EE1∥平面FCC1.
证明如图,取A1B1的中点为F1.连接FF1,C1F1.
由于FF1∥BB1∥CC1,
所以F1∈平面FCC1.
因此平面FCC1即为平面C1CFF1.
连接A1D,F1C,由于A1F1?D1C1?DC,
所以四边形A1DCF1为平行四边形,
因此,A1D∥F1C.
又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.
而EE1?平面FCC1,F1C?平面FCC1.
故EE1∥平面FCC1.
能力提升练
1.(2020江西南昌二中高二期末)有下列四个条件:①a?β,b?β,a∥b;②b?β,a∥b;③a∥b∥c,b?β,c?β;④a,b是异面直线,a∥c,b?β,c?β.其中能保证直线a∥平面β的条件是( )
A.①②
B.①③
C.①④
D.②④
答案C
解析对于①,∵a?β,b?β,a∥b,由线面平行的判定定理可知直线a∥平面β;对于②,∵b?β,a∥b,则直线a∥平面β或直线a?平面β;对于③,∵a∥b∥c,b?β,c?β,则直线a∥平面β或直线a?平面β;对于④,∵a,b是异面直线,b?β,则a?β,∵a∥c,c?β,∴直线a∥平面β.
2.下列命题:
①如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行;
②过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行;
③如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行.
其中正确命题的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案B
解析①直线不在平面内,可能直线与平面相交.有②正确.③中直线与某些直线异面.故选B.
3.在空间四边形ABCD中,E,F分别是边AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.在平面内
D.异面
答案
A
解析如图,由,得AC∥EF.
又EF?平面DEF,AC?平面DEF,
∴AC∥平面DEF.故选A.
4.有一正方体木块如图所示,点P在平面A'B'C'D'内,棱BC平行于平面A'B'C'D',要经过P和棱BC将木块锯开,锯开的面必须平整,有N种锯法,则N为( )
A.0
B.1
C.2
D.无数
答案B
解析∵BC∥平面A'B'C'D',
∴BC∥B'C',
在平面A'C'上过点P作EF∥B'C',则EF∥BC,
∴沿EF,BC所确定的平面锯开即可.
又由于此平面唯一确定,∴只有一种方法,故选B.
5.(2020宁夏石嘴山第三中学高三质检)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,有下列四个结论:
①AP与CM是异面直线;
②AP,CM,DD1相交于一点;
③MN∥BD1;④MN∥平面BB1D1D.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①④
B.②④
C.①④
D.②③④
答案B
解析如图,连接MP.
∵MP∥AC,MP≠AC,
∴AP,CM是相交直线,设AP∩CM=G,则G∈平面ADD1A1,且G∈平面C1CDD1,又平面ADD1A1∩平面C1CDD1=DD1,∴AP,CM,DD1相交于一点,故①不正确,②正确;设AC∩BD=O,连接ON,OD1,则有ON?D1M,∴四边形ONMD1为平行四边形,则MN∥OD1,∴③不正确;
又MN?平面BB1D1D,OD1?平面BB1D1D,
∴MN∥平面BB1D1D,则④正确.
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于 .?
答案
解析∵EF∥平面AB1C,EF?平面AC,平面AB1C∩平面AC=AC,∴EF∥AC,又E为AD的中点,点F在CD上,∴F是CD的中点,∴EF=AC=.
7.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=,过点P,M,N的平面与棱CD交于点Q,则PQ= .?
答案a
解析∵MN∥平面ABCD,平面PMN∩平面ABCD=PQ,MN?平面PMN,∴MN∥PQ.
易知DP=DQ=a,故PQ=a=a.
8.
如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱C1C,C1D1,D1D,DC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件 时,就有MN∥平面B1BDD1,其中N是BC的中点.(填上一个正确的条件即可,不必考虑全部可能的情况)?
答案M与H重合(答案不唯一,又如M∈FH)
解析∵H,N分别是CD和CB的中点,连接HN,BD,图略,易知BD∥HN.
又BD?平面B1BDD1,HN?平面B1BDD1,
故HN∥平面B1BDD1,
故取M点与H点重合便符合题意.
素养培优练
如图所示,已知P是?ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.
(1)求证:l∥BC;
(2)MN与平面PAD是否平行?试证明你的结论.
(1)证明因为BC∥AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD=l,所以BC∥l.
(2)解平行.取PD的中点E,连接AE,NE,可以证得NE∥AM且NE=AM.
可知四边形AMNE为平行四边形.
所以MN∥AE.
又因为MN?平面APD,AE?平面APD,
所以MN∥平面APD.第十一章立体几何初步
11.4 空间中的垂直关系
11.4.2 平面与平面垂直
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设平面α⊥平面β,且α∩β=l,直线a?α,直线b?β,且a不与l垂直,b不与l垂直,那么a与b( )
A.可能垂直,不可能平行
B.可能平行,不可能垂直
C.可能垂直,也可能平行
D.不可能垂直,也不可能平行
答案B
解析若a∥l,b∥l,则a∥b.假设a⊥b,在平面α内,过a上一点P作PM⊥l于点M,则PM⊥β,
所以PM⊥b.
又b⊥a,所以b⊥α,得b⊥l,与b与l不垂直矛盾,所以a与b不可能垂直.
2.如果直线l,m与平面α,β,γ满足l=β∩γ,l∥α,m?α,m⊥γ,那么必有( )
A.α⊥γ和l⊥m
B.α∥γ和m∥β
C.m∥β和l⊥m
D.α∥β和α⊥γ
答案A
解析由m⊥γ,l?γ,可得m⊥l.由m?α,m⊥γ,可得α⊥γ.
3.下列说法正确的是( )
①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;
②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直,它必和另一个平面平行;
③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直;
④如果两个平面互相垂直,经过一个平面内一点与另一平面垂直的直线在第一个平面内.
A.①③
B.②③
C.②③④
D.④
答案D
解析过平面外一点可作一条直线与平面垂直,过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直,所以①不对;若α⊥β,a⊥α,则a?β或a∥β,所以②不对;当平面外的直线是平面的垂线时,能作无数个平面与已知平面垂直,否则只能作一个,所以③也不对.④正确.
4.(2020山西高二月考)已知AB是圆柱上底面的一条直径,C是上底面圆周上异于A,B的一点,D为圆柱下底面圆周上一点,且AD⊥圆柱的底面,则必有( )
A.平面ABC⊥平面BCD
B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面BCD⊥平面ABD
答案B
解析因为AB是圆柱上底面的一条直径,所以AC⊥BC.又AD⊥圆柱的底面,所以AD⊥BC.因为AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.又BC?平面BCD,所以平面BCD⊥平面ACD.
5.三个平面两两垂直,它们的交线交于一点O,点P到三个面的距离分别是3,4,5,则OP的长为( )
A.5
B.5
C.3
D.2
答案B
解析∵三个平面两两垂直,
∴可以将P与各面的垂足连接并补成一个长方体,
∴OP即为该长方体的体对角线,
∴OP==5.
6.(2020重庆巴蜀中学高三月考)已知在矩形ABCD中,AB=2BC=4,E为AB的中点,沿着DE将△ADE翻折到△PDE,使平面PDE⊥平面EBCD,则PC的长为( )
A.2
B.2
C.4
D.6
答案A
解析如图,画出矩形ABCD沿着DE折叠后的几何图形,
因为四边形ABCD是矩形,AB=2BC=4,E为AB的中点,
所以DE==2,
EC==2.
因为DE2+CE2=DC2,所以CE⊥DE.
因为平面PDE⊥平面EBCD,平面PDE∩平面EBCD=DE,
所以CE⊥平面PDE,所以CE⊥PE.
因为PE就是AE,AE=AB=2,
所以PE=2,PC==2.
7.下列说法:①两个相交平面组成的图形叫做二面角;②异面直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直,则a,b所成的角与这个二面角相等或互补;③二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个面内作射线所成角的最小角;④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是( )
A.①③
B.②④
C.③④
D.①②
答案B
解析对①,显然混淆了平面与半平面的概念,是错误的;对②,由于a,b分别垂直于两个面,所以也垂直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角(或直角),所以应是相等或互补,是正确的;对③,因为所作射线不垂直于棱,所以是错误的;④是正确的.故选B.
8.已知平面α,β和直线m,给出条件:
①m∥α;②m⊥α;③m?α;④α⊥β;⑤α∥β.
(1)当满足条件 时,有m∥β;?
(2)当满足条件 时,有m⊥β.(填序号).?
答案③⑤ ②⑤
9.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:
①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;
②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;
③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直.
上面命题中,真命题的序号是 (填序号).?
答案①②
解析①由面面平行的判定定理可得,该命题正确.
②由线面平行的判定定理可得,该命题正确.
③如图(举反例),a?α,α∩β=l,a⊥l,但α与β不垂直.
10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C1-BD-C的大小为 .?
答案30°
解析连接AC交BD于点O,连接C1O,
∵C1D=C1B,O为BD中点,
∴C1O⊥BD,∵AC⊥BD,
∴∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,
在Rt△C1CO中,C1C=,可以计算C1O=2,
∴sin∠C1OC=,∴∠C1OC=30°.
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AD,AB的中点.
(1)求证:EF∥平面CB1D1;
(2)求证:平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
证明(1)连接BD.
在正方体AC1中,对角线BD∥B1D1.
又∵E,F为棱AD,AB的中点,
∴EF∥BD.∴EF∥B1D1.
又B1D1?平面CB1D1,EF?平面CB1D1,
∴EF∥平面CB1D1.
(2)∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,而B1D1?平面A1B1C1D1,∴AA1⊥B1D1.
又∵在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,AA1∩A1C1=A1,∴B1D1⊥平面CAA1C1.
又∵B1D1?平面CB1D1,
∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
能力提升练
1.正方形ABCD的边长为12,PA⊥平面ABCD,PA=12,则点P到对角线BD的距离为( )
A.12
B.12
C.6
D.6
答案D
解析如图,连接AC交BD于点O.则PA⊥BD,AO⊥BD.
所以BD⊥平面PAO.
所以PO⊥BD,故PO为P到BD的距离.
在Rt△AOP中,PA=12,AO=6.
所以PO=6.
2.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中,下列说法正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
答案D
解析在题图①中,因为∠BAD=90°,AD=AB,
所以∠ADB=∠ABD=45°.
因为AD∥BC,所以∠DBC=45°.
又因为∠BCD=45°,
所以∠BDC=90°,即BD⊥CD.
在题图②中,此关系仍成立.
因为平面ABD⊥平面BCD,所以CD⊥平面ABD.
因为BA?平面ADB,所以CD⊥AB.
因为BA⊥AD,所以BA⊥平面ACD.
因为BA?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD.
3.如图,A,B,C,D为空间四点,在Rt△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴旋转,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=( )
A.
B.2
C.
D.1
答案B
解析取AB的中点E,连接DE,CE(图略).因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC,又CE?平面ABC,所以DE⊥CE.由已知可求得DE=,CE=1,故在Rt△DEC中,CD==2.
4.(多选题)在正四面体ABCD中,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,下列四个结论正确的是( )
A.BC∥平面AGF
B.EG⊥平面ABF
C.平面AEF⊥平面BCD
D.平面ABF⊥平面BCD
答案ABD
解析∵F,G分别是CD,DB的中点,∴GF∥BC,
则BC∥平面AGF,故A正确;
∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,∵EG∥CD,
∴EG⊥平面ABF,故B正确;
∵E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,∴CD⊥AF,CD⊥BF,即CD⊥平面ABF,
∵CD?面BCD,
∴平面ABF⊥平面BCD,故D正确;对于选项C,假设平面AEF⊥平面BCD,
由平面AEF∩平面BCD=EF,CD?平面BCD,CD⊥AF,∴CD⊥平面AEF,CD⊥EF,与CD,EF夹角为60°矛盾,故C错误.故选ABD.
5.(多选题)(2020辽宁沈阳铁路实验中学高一月考)如图所示,等边三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A'ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,则下列四个结论正确的是( )
A.动点A'在平面ABC内的射影在AF上
B.恒有平面A'GF⊥平面BCED
C.三棱锥A'-FED的体积有最大值
D.直线A'E与BD不可能垂直
答案ABC
解析对于A选项,在等边三角形ABC中,F为BC的中点,则AF⊥BC.∵D,E分别为AB,AC的中点,
∴DE∥BC,则DE⊥AF,翻折后,对应地有DE⊥AF,DE⊥A'G,∵AF∩A'G=G,∴DE⊥平面A'GF.
∵DE?平面BCED,∴平面A'GF⊥平面BCED,且平面A'GF⊥平面BCED=AF,由面面垂直的性质定理可知,动点A'在平面ABC内的射影在AF上,故A,B正确.由于△DEF的面积为定值,当三棱锥A'-FED的高取得最大值时,即当平面A'DE⊥平面BCED时,三棱锥A'-FED的体积有最大值,故C正确.在翻折的过程中,∠A'EF有可能为直角,∵E,F分别为AC,BC的中点,则EF∥AB,即EF∥BD,∴异面直线A'E与BD所成的角为∠A'EF或其补角,则直线A'E与BD可能垂直,故D选项错误.
6.如图,在四面体P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,∠ABC=90°,AC=8,BC=6,则PC= .?
答案7
解析取AB的中点E,连接PE.
∵PA=PB,∴PE⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABC,
∴PE⊥平面ABC.连接CE,
∴PE⊥CE.∠ABC=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=2,PE=,CE=,PC==7.
7.(2020山东邹城第一中学高三月考)三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AB=BC=1,且平面PAC⊥平面ABC,则AC= ;若球O与该三棱锥除PB以外的5条棱均相切,则球O的半径为 .?
答案-1
解析如图,设M为AC的中点,
因为PA=PC,所以PM⊥AC.又因为平面PAC⊥平面ABC,所以由面面垂直的性质定理得PM⊥平面ABC,所以PM⊥MB.因为,所以PM=MB,
从而可得PM=,AC=.设O1,O2分别为对应面的内心,分别过O1,O2作MP,MB的平行线,交于点O,即O为所求的球心,易知OO1MO2是正方形,设Rt△PAC内切圆的半径为r,球O的半径为R,由图可知OM=R=r,而r=,所以R=-1.
8.如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足.设AK=t,则t的取值范围是 .?
答案
解析如图,
过D作DG⊥AF,垂足为G,连接GK,
∵平面ABD⊥平面ABC,又DK⊥AB,∴DK⊥平面ABC,
∴DK⊥AF.
∴AF⊥平面DKG,∴AF⊥GK.容易得到,当F接近E点时,K接近AB的中点,当F接近C点时,K接近AB的四等分点.∴t的取值范围是.
素养培优练
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
(1)证明如图所示,连接BD,
由ABCD是菱形且∠BCD=60°,可知△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,
所以BE⊥CD.
又因为AB∥CD,
所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,
所以PA⊥BE.
而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB.
又因为BE?平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解由(1)知BE⊥平面PAB,PB?平面PAB,
所以PB⊥BE.
又因为AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.在Rt△PAB中,tan∠PBA=,所以∠PBA=60°,
故二面角A-BE-P的大小是60°.第十一章立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.3 平面与平面平行
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(多选题)设α,β为两个不重合的平面,则下列条件能得到α∥β的是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.平面α,β平行于同一平面
C.平面α,β平行于同一条直线
D.α内有两条相交直线与β平行
答案BD
解析对于A,若这无数条直线为无数条平行线,则无法得到α∥β,A错误;
对于B,平面α,β平行于同一平面,此时α∥β,B正确;
对于C,平面α,β平行于同一条直线,此时平面α,β可以相交,C错误;
对于D,由面面平行的判定定理可知,D正确.
2.(多选题)(2020全国高一课时练习)已知a,b表示两条不重合的直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,给出下列命题,其中正确的是( )
A.若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β
B.若a,b相交且都在α,β外,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,则α∥β
C.若a∥α,a∥β,则α∥β
D.若a?α,a∥β,α∩β=b,则a∥b
答案BD
解析对于A,若α∩γ=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥β或者α与β相交,故A错误.
对于B,若a,b相交且都在α,β外,则a,b可以确定一个平面,记为γ,a∥α,b∥α,a∥β,b∥β,可得γ∥α,γ∥β,由面面平行的传递性可知α∥β,故B正确.
对于C,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交,故C错误.
对于D,由a?α,a∥β,α∩β=b,由线面平行的性质定理知a∥b,故D正确.
3.已知直线a,b,平面α,β,下列命题正确的是( )
A.若a∥α,b∥a,则b∥α
B.若a∥α,b∥α,a?β,b?β,则β∥α
C.若α∥β,b∥α,则b∥β
D.若α∥β,a?α,则a∥β
答案D
解析本题考查线面、面面平行的判定和性质.若a∥α,b∥a,则b∥α或b?α,故A错误;由面面平行的判定定理知B错误;若α∥β,b∥α,则b∥β或b?β,故C错误.故选D.
4.a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:
①?a∥b;②?a∥b;③?α∥β;
④?α∥β;⑤?a∥α;⑥?a∥α.
其中正确的命题是( )
A.②③
B.①④⑤
C.①④
D.①③④
答案C
解析本题考查直线、平面的平行.由空间平行线的传递性,知①正确;②错误,a,b可能相交、平行或异面;③错误,α与β可能相交;由面面平行的传递性,知④正确;⑤⑥错误,a可能在α内.故选C.
5.在正方体EFGH-E1F1G1H1中,四对截面彼此平行的一对是( )
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
答案A
解析如图易证E1G1∥平面EGH1,G1F∥平面EGH1.
又E1G1∩G1F=G1,E1G1,G1F?平面E1FG1.
所以平面E1FG1∥平面EGH1.即选项A符合,其他都相交.故选A.
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是
( )
A.矩形
B.菱形
C.平行四边形
D.正方形
答案C
解析因为平面和左右两个侧面分别交于ED1,BF,所以ED1∥BF,同理D1F∥EB,所以四边形D1EBF是平行四边形.故选C.
7.下列说法正确的是( )
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
D.若三条直线a,b,c两两平行,则在过直线a的平面中,有且只有一个平面与b,c均平行
答案B
解析平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交,所以A错;B正确;C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧,所以C不正确;因为过直线a的平面中,只要b,c不在其平面内,则与b,c均平行,所以D不正确.故选B.
8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点A1,C1,B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是 .?
答案l∥A1C1
解析因为过A1,C1,B三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为A1C1,与底面ABCD的交线为l,由于正方体的两底面互相平行,则由面面平行的性质定理知l∥A1C1.
9.
如图,ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是其四边上的点且共面,AC∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当EFGH是菱形时,= .?
答案
解析,而EF=FG,
∴EF=,
∴.
能力提升练
1.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是( )
A.α∩β=a,b?α?a∥b
B.α∩β=a,a∥b?b∥α,且b∥β
C.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥β
D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b
答案D
解析选项A,α∩β=a,b?α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;
选项B,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α,且b∥β,也可能b
在平面α或β内,故B不正确;
选项C,a∥β,b∥β,a?α,b?α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;
选项D为面面平行性质定理的符号语言,故选D.
2.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A,B分别在α,β内运动时,那么所有的动点C( )
A.不共面
B.当且仅当A,B在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当A,B在两条给定的平行直线上移动时才共面
D.不论A,B如何移动都共面
答案D
解析由面面平行的性质,不论A,B如何运动,动点C均在过点C且与α,β都平行的平面上.
3.
(2020全国高二)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且,G在CC1上,平面AEF∥平面BD1G,则=( )
A.
B.
C.
D.
答案B
解析∵在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,且,∴EF∥BD1,
∵G在CC1上,且平面AEF∥平面BD1G,
∴AF∥BG,∴.
4.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若,则=( )
A.
B.
C.
D.
答案D
解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',由等角定理得∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',,
所以,故选D.
5.
(多选题)(2020福建南安侨光中学高一月考)如图是正四棱锥P-ABCD的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,P1,P2,P3,P4是顶点P对应的四个点,E,F,G,H分别为P1A,P4D,P2C,P2B的中点.在正四棱锥P-ABCD中,给出下列结论,其中正确的是
( )
A.平面EFGH∥平面ABCD
B.直线PA∥平面BDG
C.直线EF∥平面PBC
D.直线EF∥平面BDG
答案ABC
解析作出立体图形如图所示.
连接E,F,G,H四点构成平面EFGH.对于A,因为E,F分别是PA,PD的中点,所以EF∥AD.又EF?平面ABCD,AD?平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.同理,EH∥平面ABCD.又EF∩EH=E,EF?平面EFGH,EH?平面EFGH,所以平面EFGH∥平面ABCD,故A正确;
对于B,连接AC,BD,DG,BG,设AC的中点为M,则M也是BD的中点,所以MG∥PA,又MG?平面BDG,PA?平面BDG,所以PA∥平面BDG,故B正确;
对于C,由A中的分析知EF∥AD,AD∥BC,所以EF∥BC,因为EF?平面PBC,BC?平面PBC,所以直线EF∥平面PBC,故C正确;
对于D,根据C中的分析可知EF∥BC,再结合图形可得,BC∩BD=B,则直线EF与平面BDG不平行,故D错误.
6.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD,如图②.
则在四棱锥P-ABCD中,AP与平面EFG的位置关系为 .?
答案平行
解析在四棱锥P-ABCD中,∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵AB∥CD,∴EF∥AB.
∵EF?平面PAB,AB?平面PAB,∴EF∥平面PAB.同理EG∥平面PAB.
又EF∩EG=E,∴平面EFG∥平面PAB.
∵AP?平面PAB,AP?平面EFG,∴AP∥平面EFG.
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是A1D1的中点,则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是 .直线MD与平面BCC1B1的位置关系是 .?
答案
相交 平行
解析因为M是A1D1的中点,所以直线DM与直线AA1相交,所以DM与平面A1ACC1有一个公共点,所以DM与平面A1ACC1相交.
取B1C1中点M1,MM1?C1D1,C1D1?CD,
所以四边形DMM1C为平行四边形,所以DM?CM1,所以DM∥平面BCC1B1.
8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上,点M在B1C上,且CM=DN,求证:MN∥平面AA1B1B.
证明证法一:如图,作ME∥BC交B1B于点E,作NF∥AD交AB于点F,连接EF,
则EF?平面AA1B1B.
∴.
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CM=DN,
∴B1M=BN.
又B1M=BN,B1C=BD,
∴.
∴ME=NF.又ME∥BC∥AD∥NF,
∴四边形MEFN为平行四边形.
∴MN∥EF,∴MN∥平面AA1B1B.
证法二:如图,连接CN并延长交BA所在直线于点P,连接B1P.
则B1P?平面AA1B1B.
∵△NDC∽△NBP,∴.
又CM=DN,B1C=BD,
∴.
∴MN∥B1P.
∵B1P?平面AA1B1B,
∴MN∥平面AA1B1B.
素养培优练
如图所示,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE∶ED=2∶1,在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论.
解当点F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.
证明:取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE.
∵FM?平面AEC,CE?平面AEC,∴FM∥平面AEC,由EM=PE=ED,得E是MD的中点.
连接BM,BD,设BD∩AC=O,
则O是BD的中点,∴BM∥OE.
∵BM?平面AEC,OE?平面AEC,
∴BM∥平面AEC.
∵FM∩BM=M,∴平面BFM∥平面AEC.
又BF?平面BFM,∴BF∥平面AEC.(共37张PPT)
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
课标阐释
思维脉络
1.了解常见的空间几何体,能将物体抽象出的几何体画出来.
2.了解斜二测画法的概念.
3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.
4.了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系.
激趣诱思
知识点拨
从古至今,各个国家的建筑物都有各自的特色,如埃及金字塔.各城市大厦的旋转餐厅,它们都是独具匠心的建筑物,是建筑师们集体智慧的结晶.今天我们如何从数学的角度来看待这些建筑物呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:空间几何体
概念
定义
空间几何体
生活中的物体都占据着空间的一部分,如果只考虑一个物体占有的空间形状和大小,而不考虑其他因素,则这个空间部分通常可抽象为一个几何体
激趣诱思
知识点拨
微练习
观察如下各图所示的物体或建筑物,将它们可抽象出的几何体画出来.
提示:
激趣诱思
知识点拨
知识点二:斜二测画法
1.立体几何中,用来表示空间图形的平面图形,习惯上称为空间图形的直观图.
2.一般地,用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,步骤如下.
(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°).
(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与x'轴平行(或重合)的线段,且长度不变;平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半.
(3)连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
激趣诱思
知识点拨
3.一般地,用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下.
(1)在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的x轴与y轴,作出水平平面上图形的直观图(保留x'轴与y'轴).
(2)在立体图形中,过x轴与y轴的交点取z轴,并使z轴垂直于x轴与y轴.过x'轴与y'轴的交点作z轴对应的z'轴,且z'轴垂直于x'轴.
图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z'轴平行(或重合)的线段,且长度不变.
连接有关线段.
(3)擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除).
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)相等的角,在直观图中仍相等.( )
(2)长度相等的线段,在直观图中长度仍相等( )
(3)若两条直线垂直,在直观图中对应的直线也互相垂直.( )
答案:
(1)× (2)× (3)×
激趣诱思
知识点拨
微练习1
(多选题)关于“斜二测画法”,下列说法正确的是( )
A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x'轴,长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y'轴,长度变为原来的
C.在画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°
D.在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同
答案:ABD
解析:在画与直角坐标系xOy对应的x'O'y'时,∠x'O'y'可以是45°,也可以是135°.C不正确.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )
A.①②
B.①②③
C.②
D.③④
答案:C
解析:斜二测画法中,平行性保持不变,平行于x轴的长度不变,平行于y轴的长度折半.因此长方形的直观图为②.
激趣诱思
知识点拨
微练习3
在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A'= .?
答案:45°或135°
解析:由斜二测画法,∠A'=45°或∠A'=135°
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
水平放置的平面图形的直观图
例1按图示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.
解:画法:
(1)在图①中作AG⊥x轴于G,作DH⊥x轴于H.
(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去作图过程中的辅助线,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.
(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1如图是水平放置的由正方形ABCE和等边三角形CDE所构成的平面图形,请画出它的直观图.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:画法:
(1)以AB边所在直线为x轴,AB的中垂线为y轴,两轴相交于点O(如图①),画相应的x'轴和y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°(如图②).
(3)连接E'D',D'C',C'E',并擦去作图过程中的辅助线,便得到平面图形ABCDE水平放置的直观图A'B'C'D'E'(如图③).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
空间几何体的直观图
例2用斜二测画法画棱长为2
cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
解:画法:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN=2
cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1
cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.
(3)画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2
cm长的线段AA',BB',CC',DD'.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面,再作z'轴与x'轴垂直.
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x'轴的线段并且长度不变.
(3)平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段,且线段长度画成原来的二分之一.
(4)平行于z轴的线段画成平行于z'轴的线段并且长度不变.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体,它的下部是一个正四棱台,上部是一个正四棱锥,利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上截取OO',使OO'等于三视图中相应高度,过O'作Ox的平行线O'x',Oy的平行线O'y',利用O'x'与O'y'画出上底面A'B'C'D'.
(3)画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P,使PO'等于三视图中相应的高度.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(4)成图.连接PA',PB',PC',PD',A'A,B'B,C'C,D'D,整理得到三视图表示的几何体的直观图,如图②.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直观图的还原与计算
例3如图所示,水平放置的平面图形A'B'C'D'为某一平面图形的斜二测直观图,它是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形,求原来的平面图形的面积.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:如图所示,因为A'D'∥B'C',所以AD∥BC.
因为∠A'B'C'=45°,
所以∠ABC=90°,
所以AB⊥BC.
所以四边形ABCD是直角梯形,
探究一
探究二
探究三
素养形成
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反思感悟
由原图形求直观图的面积,关键是确定直观图的形状,作出直观图后,求出其边长和高,进而求出面积;如果由直观图求原图形的面积,则根据斜二测画法将直观图还原为原图形,再求边长和高,进而求面积.直观图的面积是原图形面积的
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
如图所示的直角梯形A'B'C'D'为某一平面图形的斜二测直观图,∠A'B'C'=45°,A'B'=A'D'=1,C'D'⊥B'C',求原平面图形的面积.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:在斜二测直观图中(如图①所示),作A'H⊥x轴交于H.
∵A'B'=A'D'=1,D'C'⊥B'C',∠A'B'C'=45°.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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变式训练
3已知等边三角形ABC的边长为1,那么△ABC的斜二测直观图△A'B'C'的面积为 .?
解析:图①②分别为实际图形和直观图.
探究一
探究二
探究三
素养形成
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解答平面图形直观图还原问题的易错点(一题多解)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:(方法一)如图,由斜二测画法原理知,
原梯形与直观图中的梯形上、下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛1.原梯形与直观图中梯形上、下底边的长度一样,但高的长度不一样.原梯形的高OC是直观图中OC'的长度的2倍,OC'长度是直观图中梯形的高的
倍,此处易出错.
2.解答此类问题时要注意角度的变化以及长度的变化,直观图面积S'与原图形面积S满足S'=
S.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.下列关于用斜二测画法画直观图的说法中,正确的是( )
A.水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形
B.平行四边形的直观图仍是平行四边形
C.两条相交直线的直观图可能是平行直线
D.两条垂直直线的直观图仍互相垂直
答案:B
解析:斜二测画法保持平行性不变,正方形的直观图是平行四边形,故选项A错误;平行四边形的对边平行,则在直观图中仍然平行,故选项B正确;斜二测画法保持相交性不变,故两条相交直线的直观图仍是相交直线,故选项C错误;两条垂直直线的直观图应是夹角为45°或135°的两条相交直线,故选项D错误.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.一水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A'B'C',已知A'C'=6,B'C'=4,则AB边的实际长度是 .?
答案:10
解析:易知AC⊥BC,且AC=6,BC=8,AB应为Rt△ABC的斜边,故
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.如图,Rt△O'A'B'是一平面图形的斜二测直观图,直角边O'B'=1,则这个平面图形的面积是 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
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4.如图,△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:画法:
(1)如图②,画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O'A',即CA=C'A'.
(2)在图①中,过B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于D',在图②中,在x轴上取OD=O'D',过D作DB∥y轴,并使DB=2D'B'.
(3)连接AB,BC,则△ABC即为△A'B'C'原来的图形,如图②.第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.5 旋转体
课后篇巩固提升
基础达标练
1.一个等边圆柱(底面直径等于高)的轴截面的面积是2S,则它的一个底面的面积是( )
A.
B.
C.S
D.πS
答案A
解析设底面半径为r,则4r2=2S,故底面面积=πr2=π·.故选A.
2.(多选题)(2020全国高一课时练习)下列关于球体的说法正确的是( )
A.球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B.球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C.一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D.球的对称轴只有1条
答案BC
解析空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面,所以A错误,B正确;由球体的定义,知C正确;
球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴,所以D错误.
3.
(2020河北高一期中)在长方形ABCD中挖掉半圆O,得到如图所示的图形,则将该图形绕着AB所在的直线旋转一周后得到的几何体为( )
A.一个长方体内部挖去一个球
B.一个长方体内部挖去半个球
C.一个圆柱体内部挖去一个球
D.一个圆柱体内部挖去半个球
答案C
解析根据空间几何体的结构得知,将该图形绕着AB所在的直线旋转一周后得到的几何体为一个圆柱体内部挖去一个球.故选C.
4.(2020四川泸县第四中学二模)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A.3πa2
B.6πa2
C.12πa2
D.24πa2
答案B
解析长方体的长,宽,高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线就是外接球的直径,所以球的直径长为a,所以球的半径为a,所以球的表面积是4π=6πa2,故选B.
5.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱,此圆柱的轴截面面积为( )
A.8
B.
C.
D.
答案B
解析易知2πr=4,则2r=,所以轴截面面积=×2=.故选B.
6.(2020广西壮族自治区一模)我国古代数学名著《数学九章》中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺”(注:1丈等于10尺)( )
A.29尺
B.24尺
C.26尺
D.30尺
答案C
解析由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,一条边(即木棍的高)长24尺,另一条边长5×2=10尺,因此葛藤长=26尺,故选C.
7.下列说法正确的是 .(填序号)?
①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线;
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台;
③圆柱、圆锥、圆台都有两个底面;
④圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长.
答案④
解析根据圆柱母线的定义,①错误;以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台,以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台,故②错误;圆锥只有一个底面,故③错误;根据圆锥母线的定义,④正确.
8.
(2020全国高一课时练习)图中平面图形从下往上依次由等腰梯形、矩形、半圆、圆、等腰三角形拼接形成,若将它绕直线l旋转形成一个组合体,下面说法不正确的是 (填序号).?
①该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球;
②该组合体中的圆锥和球只有一个公共点;
③该组合体中的球和半球只有一个公共点.
答案①
解析该组合体可以分割成圆锥、球、半球、圆柱、圆台,故①错,②③正确.
9.一个圆锥的轴截面为边长为a的正三角形,则其表面积为 .?
答案πa2
解析由题知,圆锥的底面半径r=,母线长l=a,则其表面积为S表=πr(r+l)=π·πa2.
10.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,求球O的半径.
解如图,设球O的半径为R,则
由AH∶HB=1∶2得HA=·2R=R,
所以OH=.
因为截面面积为π=π·(HM)2,所以HM=1.
在Rt△HMO中,OM2=OH2+HM2,
所以R2=R2+HM2=R2+1,
所以R=,即球O的半径为.
11.
(2020全国高一课时练习)如图所示,已知圆柱的高为80
cm,底面半径为10
cm,表面上有P,Q两点,若P,Q两点在轴截面ABB1A1上,且PA=40
cm,B1Q=30
cm,一只蚂蚁沿着侧面从P点爬到Q点,求蚂蚁爬行的最短路程.
解将
圆柱侧面沿母线AA1展开,得到如图所示的矩形.
设圆柱的底面半径为r,则r=10
cm.
∴A1B1=×2πr=πr=10π(cm).过点Q作QS⊥AA1于点S,在Rt△PQS中,PS=80-40-30=10(cm),QS=A1B1=10π(cm).
∴PQ==10(cm),
即蚂蚁爬过的最短路径长是10
cm.
能力提升练
1.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案C
解析设圆锥的底面半径是r,
母线长是l.如图所示,2πr=πl,
所以2r=l.所以.
所以轴截面对应的等腰三角形的底角为60°.故选C.
2.(2020河北邢台第八中学高二期中)一个四面体各棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )
A.3π
B.4π
C.3π
D.6π
答案A
解析把正四面体扩展为正方体,二者有相同的外接球,扩展后正方体的棱长为1,所以正方体对角线的长度就是外接球的直径,所以球的半径为,所以球的表面积为4πR2=4π×=3π,故选A.
3.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )
A.
B.
C.
D.
答案A
解析设圆柱的底面半径为r,高为h,则由题设知h=2πr,∴S全=2πr2+2πr·h=2πr2(1+2π).又S侧=h2=4π2r2,∴.故选A.
4.(多选题)一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面图形可能是( )
答案ABC
解析当截面平行于正方体的一个侧面时得C,当截面过正方体的体对角线时得B,当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A,但无论如何都不能截出D.
5.一个圆台上、下底面的半径分别为3
cm和8
cm,若两底面圆心的连线长为12
cm,则这个圆台的母线长为
cm,表面积为 cm2.?
答案13 216π
解析如图,
过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,AC=12
cm,BC=8-3=5
cm,所以AB==13(cm).
表面积为S=π(33+82+3×13+8×13)=216π(cm2).
6.
如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个平面去截这个几何体,若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面,那么截面图形可能是图中的 .(填序号)?
答案①③
解析在与圆柱底面垂直的截面中,随着截面位置的变化,截面图形也会发生变化.当截面经过圆柱的轴时,所截得的图形是图①.当截面不经过圆柱的轴时,截得的图形是图③.而图②④是不会出现的.
7.定义如图所示的几何体为斜截圆柱(由不平行圆柱底面的平面截圆柱得到),已知斜截圆柱底面的直径为40
cm,母线长最短为50
cm、最长为80
cm,则斜截圆柱侧面展开图的面积S=
cm2.?
答案2
600π
解析把斜截圆柱补成底面半径20
cm,高130
cm的圆柱,则侧面展开可得斜截圆柱侧面展开圆面积S=(50+80)×40π=2
600π(cm2).
8.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,且两截面位于球心的同侧,且距离等于1,求这个球的半径.
解如图,
设这两个截面的半径分别为r1,r2,球心到截面的距离分别为d1,d2,球半径为R.则π=5π,π=8π,∴=5,=8.
∵R2=,
∴=8-5=3,
即(d1-d2)(d1+d2)=3.
又d1-d2=1,∴
解得∴R==3.
素养培优练
(2020四川高一期末)如图,已知在直角三角形ABC中,AC⊥BC,BC=2,tan
∠ABC=2.
(1)若以直线AC为轴,直角三角形ABC旋转一周,试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积.
(2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B,求蚂蚁爬行的最短距离.
解(1)在直角三角形ABC中,由BC=2,tan
∠ABC=2,即tan
∠ABC==2,得AC=4.若三角形ABC以直线AC为轴旋转一周,
形成的几何体为以BC=2为半径,高AC=4的圆锥,
则AB==6,其表面积为S=π×22+π×2×6=16π.
(2)由问题(1)的圆锥,要使蚂蚁爬行的距离最短,则沿过点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形,如图所示,
所求最短距离就是点B到点B1的距离,∠BAB1=,在△ABB1中,由余弦定理得BB1==6.第十一章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.不相交
答案B
解析由棱台的定义知,各侧棱的延长线交于一点,所以选B.
2.一直线l与其外三点A,B,C可确定的平面个数是
( )
A.1
B.3
C.1或3
D.1或3或4
答案D
解析当A,B,C共线且与l平行或相交时,确定一个平面;当A,B,C共线且与l异面时,可确定3个平面;当A,B,C三点不共线时,可确定4个平面.
3.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题中正确的是( )
A.三条交线为异面直线
B.三条交线两两平行
C.三条交线交于一点
D.三条交线两两平行或交于一点
答案D
解析三平面两两相交,交线如有2条平行,由线面平行性质定理知三条都平行,如三棱柱三侧棱;三条交线也可以交于一点,如三棱锥三侧棱.
4.(2020全国Ⅰ,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A.
B.
C.
D.
答案C
解析如图,设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h',
则有
因此有h'2-ah',
化简得4-2-1=0,
解得.(负值舍去)
5.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
答案B
解析α内有无数直线与β平行是α∥β的必要不充分条件,A不符合;
α内有两条相交直线与β平行是α∥β的充要条件,B符合;
α,β平行同一条直线是α∥β的必要不充分条件,C不符合;
α,β垂直同一平面是α∥β的必要不充分条件,D不符合.
6.(2020天津)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.12π
B.24π
C.36π
D.144π
答案C
解析∵2R==6,
∴球的表面积为4πR2=36π.故选C.
7.如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则
( )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线
C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
答案B
解析如图,连接BD,BE.
在△BDE中,N为BD的中点,M为DE的中点,
∴BM,EN是相交直线,
排除选项C、D.
作EO⊥CD于点O,连接ON.
作MF⊥OD于点F,连接BF.
∵平面CDE⊥平面ABCD,平面CDE∩平面ABCD=CD,EO⊥CD,EO?平面CDE,
∴EO⊥平面ABCD.
同理,MF⊥平面ABCD.
∴△MFB与△EON均为直角三角形.
设正方形ABCD的边长为2,易知EO=,ON=1,MF=,BF=,
则EN==2,BM=,
∴BM≠EN.故选B.
8.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为α,直线PB与平面ABC所成的角为β,二面角P-AC-B的平面角为γ,则( )
A.β<γ,α<γ
B.β<α,β<γ
C.β<α,γ<α
D.α<β,γ<β
答案B
解析如图G为AC中点,连接VG,点V在底面ABC上的投影为点O,则点P在底面ABC上的投影点D在线段AO上,过点D作DE垂直AC于点E,易得PE∥VG,过点P作PF∥AC交VG于点F,过点D作DH∥AC,交BG于点H,则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,结合△PFB,△BOH,△POB均为直角三角形,可得cos
α==cos
β,所以α>β,在Rt△PEO中,tan
γ==tan
β,所以γ>β.综上所述,故选B.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中错误的是( )
A.若l∥α,l∥β,则α∥β
B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.若l⊥α,l∥β,则α∥β
D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β
答案ACD
解析A中α,β也可相交,A不正确;由垂直同一直线的两平面平行.
10.(2020山东实验中学高三月考)《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”;四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,且AA1=AB=2.下列说法正确的是( )
A.四棱锥B-A1ACC1为“阳马”
B.四面体A1-C1CB为“鳖臑”
C.四棱锥B-A1ACC1体积最大为
D.过A点分别作AE⊥A1B于点E,AF⊥A1C于点F,则EF⊥A1B
答案ABD
解析由题意知在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,侧棱AA1⊥平面ABC.
在选项A中,BC?平面ABC,所以AA1⊥BC.又AC⊥BC,且AA1∩AC=A,所以BC⊥平面AA1C1C.所以四棱锥B-A1ACC1为“阳马”,故A正确.
在选项B中,由AC⊥BC,即A1C1⊥BC,又A1C1⊥C1C且C1C∩BC=C,所以A1C1⊥平面BB1C1C.所以A1C1⊥BC1,则△A1BC1为直角三角形.又由BC⊥平面AA1C1C,得△A1BC为直角三角形.由“堑堵”的定义可得△A1C1C为直角三角形,△CC1B为直角三角形.所以四面体A1-C1CB为“鳖臑”,故B正确.
在选项C中,有4=AC2+BC2≥2AC·BC,即AC·BC≤2,当且仅当AC=BC时取等号.
×BC=AA1×AC×BC=AC·BC≤,故C不正确.
在选项D中,已知BC⊥平面AA1C1C,则BC⊥AF,AF⊥A1C且A1C∩BC=C,则AF⊥平面A1BC,所以AF⊥A1B.又AE⊥A1B且AF∩AE=A,则A1B⊥平面AEF,则A1B⊥EF,故D正确.
11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,以下结论正确的是( )
A.异面直线A1D与AB1所成的角为60°
B.直线A1D与BC1垂直
C.直线A1D与BD1平行
D.三棱锥A-A1CD的体积为a3
答案ABD
解析A1D与AB1所成角即A1D与DC1成的角,再连接A1C构成等边△A1DC1,即A正确;A1D与BC1成的角即A1D与AD1成的角,由A1D⊥AD1即B正确;由BD1⊥平面A1DC1,∴BD1⊥A1D,即C不正确;a·a2=,即D正确.
12.已知空间中两条直线a,b所成的角为50°,P为空间中给定的一个定点,直线l过点P且与直线a和直线b所成的角都是θ(0°<θ≤90°),则下列选项正确的是( )
A.当θ=15°时,满足题意的直线l不存在
B.当θ=25°时,满足题意的直线l有且仅有1条
C.当θ=40°时,满足题意的直线l有且仅有2条
D.当θ=60°时,满足题意的直线l有且仅有3条
答案ABC
解析如图,过点P作a1∥a,b1∥b,则相交直线a1,b1确定一平面α.a1与b1的夹角为50°,
设直线PA与a1,b1的夹角均为θ,
如图l绕P转动始终与a1,b1夹角相等,
当l在α内为a,b夹角平分线时,θ最小为25°,
所以AB正确,当θ为40°和60°时直线l都有2条,所以C正确,D错.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题: .?
答案如果l⊥α,m∥α,则l⊥m
解析将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:
(1)如果l⊥α,m∥α,则l⊥m,正确;
(2)如果l⊥α,l⊥m,则m∥α,不正确,有可能m在平面α内;
(3)如果l⊥m,m∥α,则l⊥α,不正确,有可能l与α斜交,l∥α.
14.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,过对角线BD'的一个平面交AA'于点E,交CC'于点F,则:①四边形BFD'E一定是平行四边形;②四边形BFD'E有可能是正方形;③四边形BFD'E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④平面BFD'E有可能垂直于平面BB'D.
以上结论正确的为 .(填序号)?
答案①③④
解析如图所示,
∵BE和D'F,BF和D'E分别是正方体两平行平面被平面BFD'E所截,
所以BE∥D'F,D'E∥BF,
∴四边形BFD'E为平行四边形.∴①正确.
②不正确,当E,F分别为AA',CC'中点时,四边形BFD'E为菱形,
设正方体棱长为a,则BF2=D'F2=a2,BD'2=3a2,
即BF2+D'F2≠BD'2,四边形BFD'E不可能为正方形.
③正确(其射影是正方形ABCD).
④正确.当E,F分别是AA',CC'中点时,
平面BFD'E⊥平面BB'D.
15.(2020山东)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为 .?
答案π
解析如图所示,
∵∠B1C1D1=∠B1A1D1=∠BAD=60°且B1C1=C1D1,
∴△B1C1D1为等边三角形.∴B1D1=2.
设O1是B1C1的中点,则O1D1=,易证D1O1⊥平面BCC1B1,设P是球面与侧面BCC1B1交线上任意一点,连接O1P,则O1D1⊥O1P,
∴D1P2=D1+O1P2,即5=3+O1P2,∴O1P=.即P在以O1为圆心,以为半径的圆上.
取BB1,CC1的中点分别为E,F,则B1E=C1F=O1B1=O1C1=1,EF=2,
∴O1E=O1F=,O1E2+O1F2=EF2=4,
∴∠EO1F=90°,
∴交线×2×π=π.
16.已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为 .?
答案
解析作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.
连接CO,OD,由题意知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,
∴CD⊥平面PDO,OD?平面PDO,∴CD⊥OD.
∵PD=PE=,PC=2,
∴sin∠PCE=sin∠PCD=,
∴∠PCB=∠PCA=60°.
又易知PO⊥CO,CO为∠ACB平分线,
∴∠OCD=45°,
∴OD=CD=1,OC=.
又PC=2,∴PO=.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)如图,已知E,F,G,H分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1的中点,求证:EF,HG,DC三线共点.
证明∵点E,F,G,H分别为所在棱的中点,连接BC1,GF,如图.
∴GF是△BCC1的中位线,∴GF∥BC1.
∵BE∥C1H,且BE=C1H,∴四边形EBC1H是平行四边形.
∴EH∥BC1,
∴GF∥EH.
∴E,F,G,H四点共面.
∵GF≠EH,故EF与HG必相交.
设EF∩HG=I.
∵I∈GH,GH?平面CC1D1D,
∴I∈平面CC1D1D.
同理可证I∈平面ABCD.
∴点I在平面ABCD和平面CDD1C1的交线DC上.即EF,HG,DC三线共点.
18.(12分)(2020全国Ⅰ)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,∠APC=90°.
(1)证明:平面PAB⊥平面PAC;
(2)设DO=,圆锥的侧面积为π,求三棱锥P-ABC的体积.
(1)证明由题设可知,PA=PB=PC.
由于△ABC是正三角形,
故可得△PAC≌△PAB,△PAC≌△PBC.
又∠APC=90°,故∠APB=90°,∠BPC=90°.
从而PB⊥PA,PB⊥PC,故PB⊥平面PAC,
所以平面PAB⊥平面PAC.
(2)解设圆锥的底面半径为r,母线长为l.
由题设可得rl=,l2-r2=2.
解得r=1,l=.
从而AB=.由(1)可得PA2+PB2=AB2,
故PA=PB=PC=.
所以三棱锥P-ABC的体积为×PA×PB×PC=.
19.(12分)(2020全国Ⅱ)如图,已知三棱柱ABC
-A1B1C1的底面是正三角形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和点P的平面交AB于E,交AC于点F.
(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;
(2)设O为△A1B1C1的中心.若AO=AB=6,AO∥平面EB1C1F,且∠MPN=,求四棱锥B-EB1C1F的体积.
(1)证明因为M,N分别为BC,B1C1的中点,
所以MN∥CC1.
又由已知得AA1∥CC1,故AA1∥MN.
因为△A1B1C1是正三角形,所以B1C1⊥A1N.
又B1C1⊥MN,故B1C1⊥平面A1AMN.
所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F.
(2)解AO∥平面EB1C1F,AO?平面A1AMN,平面A1AMN∩平面EB1C1F=PN,故AO∥PN.
又AP∥ON,故四边形APNO是平行四边形,
所以PN=AO=6,AP=ON=AM=,PM=AM=2,EF=BC=2.
因为BC∥平面EB1C1F,所以四棱锥B
-EB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离.
作MT⊥PN,垂足为T,则由(1)知,MT⊥平面EB1C1F,
故MT=PMsin∠MPN=3.底面EB1C1F的面积为×(B1C1+EF)×PN=(6+2)×6=24.
所以四棱锥B
-EB1C1F的体积为×24×3=24.
20.(12分)(2020全国Ⅲ)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:
(1)当AB=BC时,EF⊥AC;
(2)点C1在平面AEF内.
证明(1)如图,连接BD,B1D1.
因为AB=BC,所以四边形ABCD为正方形,故AC⊥BD.
又因为BB1⊥平面ABCD,于是AC⊥BB1.
所以AC⊥平面BB1D1D.
由于EF?平面BB1D1D,所以EF⊥AC.
(2)如图,在棱AA1上取点G,使得AG=2GA1,连接GD1,FC1,FG.
因为D1E=DD1,AG=AA1,DD1?AA1,所以ED1?AG,于是四边形ED1GA为平行四边形,故AE∥GD1.
因为B1F=BB1,A1G=AA1,BB1?AA1,所以FG?A1B1,FG?C1D1,四边形FGD1C1为平行四边形,故GD1∥FC1.
于是AE∥FC1.
所以A,E,F,C1四点共面,即点C1在平面AEF内.
21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)证明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.
(1)证明∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,
∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥BD,PA?平面PAC,PC?平面PAC,PA∩PC=P.
∴BD⊥平面PAC.
(2)解设AC与BD交点为O,连接OE.
∵PC⊥平面BDE,
即PC⊥平面BOE,
∴PC⊥BE,PC⊥OE,
∴∠BEO为二面角B-PC-A的平面角.
∵BD⊥平面PAC,
∴BD⊥AC,
∴四边形ABCD为正方形,∴BO=.
在△PAC中,,即,则OE=,
∴tan∠BEO==3,
∴二面角B-PC-A的平面角的正切值为3.
22.(12分)如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.
(1)证明:PQ∥平面ACD;
(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.
(1)证明因为P,Q分别为AE,AB的中点,
所以PQ∥EB.又DC∥EB,因此PQ∥DC,
又PQ?平面ACD,从而PQ∥平面ACD.
(2)解如图,连接CQ,DP,因为Q为AB的中点,且AC=BC,所以CQ⊥AB.
因为DC⊥平面ABC,EB∥DC,所以EB⊥平面ABC,因此CQ⊥EB.
故CQ⊥平面ABE.
由(1)有PQ∥DC,又PQ=EB=DC,
所以四边形CQPD为平行四边形,故DP∥CQ.
因此DP⊥平面ABE,∠DAP为AD和平面ABE所成的角,
在Rt△DPA中,AD=,DP=1,sin∠DAP=,因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.(共39张PPT)
11.3.2 直线与平面平行
课标阐释
思维脉络
1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中线面平行的相关定理和性质.
2.掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的相关平行问题.
激趣诱思
知识点拨
一般地,在我们的教室里,日光灯所在的直线与地面是平行的;将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面,则封面的外边缘所在直线与桌面是平行的;门的两边是平行的,当门绕着一边转动时,另一边始终与门框所在的平面是平行的.这些生活中的实例都给我们留下了直线与平面平行的印象.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:直线与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行
如果l?α,m?α,l∥m,则l∥α
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.应用判定定理时,要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备,缺一不可.
2.线面平行的判定定理体现了数学化归思想,即将判断线面平行转化为判断线线平行.
激趣诱思
知识点拨
微思考
若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线和这个平面平行吗?
提示:当直线在平面内时该结论错误.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
如下图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,
①与直线CD平行的平面是 ;?
②与直线CC'平行的平面是 ;?
③与直线BC平行的平面是 .?
答案:①平面A'B'C'D',平面A'ABB'
②平面A'ABB',平面A'ADD'
③平面A'ADD',平面A'B'C'D'
激趣诱思
知识点拨
微练习2
如图所示,E,F分别为三棱锥A-BCD的棱BC,BA上的点,且BE∶BC=BF∶BA=1∶3.求证:EF∥平面ACD.
证明:∵BE∶BC=BF∶BA=1∶3,
∴EF∥AC.
又EF?平面ACD,AC?平面ACD,
∴EF∥平面ACD.
激趣诱思
知识点拨
知识点二:直线与平面平行的性质定理
语言
叙述
如果一条直线与一个平面平行,且经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就与两平面的交线平行
符号
表示
如果l∥α,l?β,α∩β=m,则l∥m
图形
表示
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.性质定理可以作为直线与直线平行的判定方法.应用时,需经过已知直线找平面(或作平面)与已知平面相交,以平面为媒介证明线线平行;
2.定理中三个条件:(1)a∥α;(2)α∩β=b;(3)a?β.三者缺一不可.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
若直线a∥平面α,则直线a平行于平面α内的任意一条直线吗?
提示:不对.如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥平面A1B1C1D1,但AB与A1D1不平行.
微思考2
若直线a与平面α不平行,则直线a就与平面α内的任一直线都不平行,对吗?
提示:不对.若直线a与平面α不平行,则直线a与平面α相交或a?α.当a?α时,α内有无数条直线与直线a平行.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
如果直线a∥平面α,b?α,那么a与b的关系是( )
A.相交
B.平行或异面
C.平行
D.异面
答案:B
微练习2
直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线有( )
A.0条
B.1条
C.0或1条
D.无数条
答案:C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直线与平面平行的判定
例1S是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,
证明:如图所示,连接AN并延长交BC于点P,连接SP.
因为AD∥BC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.判断或证明线面平行的常用方法
(1)定义法:证明直线与平面无公共点(不易操作).
(2)判定定理法:若a?α,b?α,a∥b,则a∥α.
(3)排除法:证明直线与平面不相交,直线也不在平面内.
2.证明线线平行的常用方法
(1)利用三角形、梯形中位线的性质.
(2)利用平行四边形的性质.
(3)利用平行线分线段成比例定理.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1在四面体A-BCD中,M,N分别是△ABD和△BCD的重心,求证:MN∥平面ADC.
证明:如图所示,连接BM,BN并延长,分别交AD,DC于P,Q两点,连接PQ.
因为M,N分别是△ABD和△BCD的重心,
所以BM∶MP=BN∶NQ=2∶1.
所以MN∥PQ.
又因为MN?平面ADC,PQ?平面ADC,
所以MN∥平面ADC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直线与平面平行的性质定理的应用
例2(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,若CM∶MA=1∶4,则CN∶NP= ,MN与平面PAB的位置关系是 .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)如图,已知AB与CD是异面直线,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC∩α=H.求证:四边形EFGH是平行四边形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)答案:1∶4 MN∥平面PAB
解析:由MN∥平面PAD,MN?平面PAC,平面PAD∩平面PAC=PA,
∴MN∥PA,
∴CN∶NP=CM∶MA=1∶4,
又PA?平面PAB,MN?平面PAB,
∴MN∥平面PAB.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)证明:因为AB∥平面α,AB?平面ABC,
平面ABC∩平面α=EH,所以AB∥EH,
因为AB∥平面α,AB?平面ABD,平面ABD∩平面α=FG,
所以AB∥FG,所以EH∥FG,
同理由CD∥平面α,可证EF∥GH,
所以四边形EFGH是平行四边形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
例2(2)中若添加条件AB=CD,能否得出四边形EFGH为菱形?
因为AB=CD,所以要得到EH=EF,需CE=AE,
由题意知CE=AE不一定成立,所以由AB=CD不能得出四边形EFGH为菱形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
线面平行性质定理在探索性问题中的应用
例3如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,P为平面ABC外一点,E,F分别是PA,PC的中点.记平面BEF与平面ABC的交线为l,试判断直线l与平面PAC的位置关系,并加以证明.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:直线l∥平面PAC,证明如下:
因为E,F分别是PA,PC的中点,所以EF∥AC.
又EF?平面ABC,且AC?平面ABC,
所以EF∥平面ABC.
而EF?平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,
所以EF∥l.
因为l?平面PAC,EF?平面PAC,
所以l∥平面PAC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
解答与平行有关的探索性题目的方法与步骤
(1)有中点这一条件时,一般试探性地以中点为基础作辅助线或面,然后再证明是否满足条件.
(2)关于平行的性质定理是作证明和计算的理论依据.
(3)一般步骤:取点、连线、成形→探索论证→计算(作答).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
由棱柱的定义,知四边形A1ABB1为平行四边形,
故点O为A1B的中点.
在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1的中点,
∴OD1∥BC1.
∵OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,
∴BC1∥平面AB1D1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
“三找”——证线面平行
平面外的直线简称为“外线”,平面内的直线简称为“内线”,当内、外线有困难时可找“中点”.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
【角度一】判断线面平行——找外线
例1如图,棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.试判断直线CD与平面EFGH之间的关系.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:因为四边形EFGH为平行四边形,
所以EF∥GH.
又GH?平面BCD,
所以EF∥平面BCD.
而平面ACD∩平面BCD=CD,
EF?平面ACD,所以EF∥CD.
而EF?平面EFGH,CD?平面EFGH,
所以CD∥平面EFGH.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
【角度二】证明线面平行——找内线
例2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,AC的中点.求证:MN∥平面BCD1A1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:(方法一)如图,连接A1C,M,N分别是AA1,AC的中点,所以MN∥A1C.
又因为MN?平面BCD1A1,A1C?平面BCD1A1,
所以MN∥平面BCD1A1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(方法二)如图,分别取A1B,BC的中点P,Q,连接PQ,PM,NQ,
则PM,NQ分别是△A1BA和△CBA的中位线,
所以PM∥QN且PM=QN,
所以四边形PMNQ是平行四边形,所以PQ∥MN.
又因为MN?平面BCD1A1,PQ?平面BCD1A1,
所以MN∥平面BCD1A1.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛常用方法:利用三角形中位线;利用平行四边形的性质;利用平行线的传递性;利用平行线分线段成比例的推论;利用线面平行的性质定理.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
【角度三】确定内、外线有困难时——找中点
例3如图,已知正三棱柱ABC-A'B'C'中,D是AA'上的点,E是B'C'的中点,且A'E∥平面DBC'.试判断点D在AA'上的位置,并给出证明.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:D为AA'的中点.证明如下:取BC的中点F,连接AF,EF,设EF与BC'交于点O,连接DO,易证A'E?AF.
所以点A',E,F,A共面于平面A'EFA.
因为A'E∥平面DBC',A'E?平面A'EFA,
且平面DBC'∩平面A'EFA=DO,
所以A'E∥DO.在平行四边形A'EFA中,
因为O是EF的中点(因为EC'∥BF,且EC'=BF),
所以D为AA'的中点.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.已知直线l∥平面α,l?平面β,α∩β=m,则直线l,m的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.相交或异面
答案:B
解析:由直线与平面平行的性质定理知l∥m.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.直线l是平面α外的一条直线,下列条件中可能推出l∥α的是( )
A.l与α内的一条直线不相交
B.l与α内的两条直线不相交
C.l与α内的无数条直线不相交
D.l与α内的任意一条直线不相交
答案:D
解析:由线面平行的定义知直线l与平面α无公共点,则l与α内的任意一条直线不相交.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.(多选题)(2020江苏高一期中)在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是( )
A.E,F,G,H一定是各边的中点
B.G,H一定是CD,DA的中点
C.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC
D.四边形EFGH是平行四边形或梯形
答案:CD
解析:由于BD∥平面EFGH,所以由线面平行的性质定理,得BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC,且EH∥FG,四边形EFGH是平行四边形或梯形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.如图所示,直线a∥平面α,A?α,并且a和A位于平面α两侧,点B,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF= .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解析:由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面β,所以α∩β=EF.
因为a∥平面α,a?平面β,所以EF∥a.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.如图,在三棱锥P-ABC中,O,D分别是AC,PC的中点.求证:OD∥平面PAB.
证明:在△ACP中,∵O为AC的中点,D为PC的中点,∴OD∥AP.
∵OD?平面PAB,AP?平面PAB,
∴OD∥平面PAB.(共52张PPT)
11.1.5 旋转体
课标阐释
思维脉络
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.
2.了解柱体、锥体、台体之间的关系.
3.知道这四种几何体的结构特征,能识别和区分这些几何体.
4.了解圆柱、圆锥、圆台的表面积与侧面积公式,球的表面积公式.
激趣诱思
知识点拨
举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点.它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个几何体,我们周围的很多建筑物和它一样,也都是由一些简单图形通过旋转形成的旋转体构成.常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球等,这些几何体分别是由什么图形旋转而成的呢?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:圆柱、圆锥、圆台
1.圆柱、圆锥、圆台
圆柱可看成以矩形的一边所在直线为旋转轴,将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体;
圆锥可看成以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴,将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体;
圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体.
激趣诱思
知识点拨
用类似上述圆柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都是旋转体,其中,旋转轴称为旋转体的轴,在轴上的边(或它的长度)称为旋转体的高,垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转体的底面,不垂直于轴的边旋转而成的曲面称为旋转体的侧面.而且,无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都称为母线.
在旋转体中,通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面.由圆柱、圆锥、圆台的形成方式可以看出,三者的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
显然,圆台可以看成平行于圆锥底面的平面截圆锥所得到的几何体.
旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积,侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积).
激趣诱思
知识点拨
微思考1
圆柱、圆锥和圆台这三类几何体能通过平面图形形成吗?
提示:能,这三类几何体都是旋转体,可以分别通过矩形、直角三角形、直角梯形绕一特定轴旋转形成.
激趣诱思
知识点拨
微思考2
将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,在平面上展开得到它们的侧面展开图分别是什么图形?请画出来.
提示:将圆柱、圆锥和圆台的侧面沿它们的一条母线剪开,然后在平面上展开,侧面展开图分别是矩形、扇形和扇环,如图所示.
激趣诱思
知识点拨
2.圆柱、圆锥、圆台的相关特征
?
圆柱
圆锥
圆台
图形
表示
圆柱O1O
圆锥SO
圆台O1O
底面
两底面平行且半径相等的圆面
圆面
两底面是平行且半径不相等的圆面
激趣诱思
知识点拨
?
圆柱
圆锥
圆台
母线
平行且相等
相交于顶点
延长线交于一点
平行于底面的
截面
与两底面平行且半径相等的圆面
平行于底面且半径不相等的圆面
与两底面平行且半径不相等的圆面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
激趣诱思
知识点拨
3.几种几何体的表面积公式
?
图形
表面积公式
圆柱
底面积:S底=πr2
侧面积:S侧=2πrl
表面积:S=2πrl+2πr2
圆锥
底面积:S底=πr2
侧面积:S侧=πrl
表面积:S=πrl+πr2
圆台
上底面面积:S上底=πr'2
下底面面积:S下底=πr2
侧面积:S侧=πl(r+r')
表面积:S=π(r'2+r2+r'l+rl)
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.( )
(2)用平面去截圆锥,一定得到一个圆锥和一个圆台.( )
答案:(1)√ (2)×
激趣诱思
知识点拨
微练习1
圆台的上、下底面半径分别为3和4,母线长为6,则其表面积等于( )
A.72
B.42π
C.67π
D.72π
答案:C
解析:S表=π(32+42+3×6+4×6)=67π.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
下列图形中是圆柱的序号为 .?
答案:②
解析:由圆柱的几何特征知②为圆柱.
激趣诱思
知识点拨
微练习3
如图所示,已知圆锥SO的母线长为5,底面直径为8,则圆锥SO的高h= .?
答案:3
激趣诱思
知识点拨
微练习4
若圆柱OO'的底面半径r=2
cm,母线长l=3
cm,则圆柱OO'的表面积等于 cm2.?
答案:20π
解析:S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+3)=20π(cm2).
激趣诱思
知识点拨
知识点二:球
1.球的相关概念
球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面;球面围成的几何体,称为球.球也是一个旋转体.
形成球面的半圆的圆心称为球的球心,连接球面上一点和球心的线段称为球的半径,连接球面上两点且通过球心的线段称为球的直径.一个球可以用表示它的球心的字母来表示,如球O.
由球面的形成过程可看出,球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的截面是一个圆面(圆及其内部).
球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆,被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆.
激趣诱思
知识点拨
2.球的表面积
设球的半径为R,则球的表面积S=4πR2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
球的任意两条直径不具有的性质是( )
A.相交
B.互相平分
C.互相垂直
D.都经过球心
答案:C
解析:球的任意两条直径相交、互相平分、都经过球心,不一定互相垂直.故选C.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
有下列说法:
①球的半径是连接球面上任意一点与球心的线段;
②球的直径是连接球面上任意两点的线段;
③用一个平面截一个球,得到的是一个圆.
其中说法正确的序号是 .?
答案:①
解析:利用球的结构特征判断:①正确;②不正确,因为直径必过球心;③不正确,因为得到的是一个圆面.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
旋转体的结构特征
例1判断下列各命题是否正确.
①一直角梯形绕下底所在直线旋转一周,所形成的曲面围成的几何体是圆台;
②圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形;
③空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解:①错误.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体,如图所示.
②正确.
③错误.应为球面.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
1(1)给出下列说法:①圆柱的底面是圆面;②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面;③圆台的任意两条母线的延长线可能相交,也可能不相交;④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体.其中正确的是 .(填序号)?
(2)(2020河北博野中学高一开学考试)将直角梯形绕其一边所在的直线旋转一周,所得的几何体可能是( )
A.棱锥
B.棱台
C.球
D.圆台
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:(1)①② (2)D
解析:(1)①正确;②正确;
③不正确,圆台的母线延长相交于一点;
④不正确,夹在圆柱两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体,其他的两截面间的几何体不是旋转体.
(2)由旋转体的定义,将直角梯形绕其垂直底边的边所在的直线旋转一周,形成的几何体是圆台.故选D.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
旋转体中的基本计算
例2如图所示,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是3.
(1)求圆台O'O的母线长;
(2)若圆台上底面的半径为1,求该圆的表面积.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解:(1)设圆台的母线长为l,由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r、4r.过轴SO作截面,如图所示.
则△SO'A'∽△SOA,SA'=3.
即圆台的母线长为9.
(2)若圆台上底面的半径为1,
则下底面的半径为4,
故它的表面积为S=π(12+42+1×9+4×9)=62π.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
2一个圆台的母线长为12
cm,两底面的面积分别为4π
cm2和25π
cm2.求:
(1)圆台的高;
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
解:(1)如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面,
设圆台的高为h
cm,由条件可得圆台上底半径r'=2
cm,
下底半径r=5
cm.
由勾股定理得
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
旋转体的侧面积或表面积
(3)圆台的上、下底面半径分别是10
cm和20
cm,它的侧面展开图扇环的圆心角是180°,那么圆台的表面积是多少?(结果中保留π)
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:(1)A (2)A
解析:(1)由题意,母线长l=2,底面半径为1,所以侧面积为
(2)设底面圆的半径为r,母线为l,由已知得S=πr2,
又l=2πr,∴侧面积S'=2πrl=4π2r2=4πS.故选A.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(3)解:如图,设圆台的上底面周长为c,
因为扇环的圆心角为180°,所以c=π·SA.
又c=2π×10=20π,所以SA=20
cm.
同理SB=40
cm,所以AB=SB-SA=20(cm).
S表面积=S侧+S上底+S下底
=π(O1A+OB)·AB+π·O1A2+π·OB2
=π(10+20)×20+π×102+π×202
=1
100π(cm2).
所以圆台的表面积是1
100π
cm2.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
3(1)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于( )
A.15
B.15π
C.24π
D.30π
(2)圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为( )
A.6π(4π+3)
B.8π(3π+1)
C.6π(4π+3)或8π(3π+1)
D.6π(4π+1)或8π(3π+2)
(3)圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为( )
A.81π
B.100π
C.14π
D.169π
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:(1)B (2)C (3)B
解析:(1)S侧=πrl=π×3×5=15π.故选B.
(2)圆柱的侧面积S侧=6π×4π=24π2.由于圆柱的底面周长和母线长不明确,因此进行分类讨论:①长为6π的边为母线时,4π为圆柱的底面周长,则2πr=4π,即r=2,
∴S底=4π,∴S表=S侧+2S底=24π2+8π=8π(3π+1);②长为4π的边为母线时,6π为圆柱的底面周长,则2πr=6π,即r=3.∴S底=9π,
∴S表=S侧+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).故选C.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(3)圆台的轴截面如图,
设上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r.
因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中,有102=(4r)2+(4r-r)2.解得r=2.所以S圆台侧=π(r+4r)·10=100π.故选B.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
旋转体的截面与侧面展开
例4已知一个圆台的上、下底面半径分别是1
cm,2
cm,截得圆台的圆锥的母线长为12
cm,求圆台的母线长.
解:如图是圆台的轴截面,
由题意知AO=2
cm,A'O'=1
cm,
SA=12
cm.
所以AA'=SA-SA'=12-6=6(cm).所以圆台的母线长为6
cm.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
延伸探究
本例条件不变,若将此圆台沿一条母线展开,得到一个扇环(如图).
(1)求扇环的圆心角;
(2)求扇环的面积.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
4圆台的上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积.
解:圆台的轴截面如图所示,
O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面圆心,
过D作DF⊥AB于点F,交GH于点E.
由题意知DO1=1,AO2=4,所以AF=3.
所以圆O3的半径为3,所以这个截面的面积为9π.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
球中的计算问题
例5(1)已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于13,则球心O到△ABC所在小圆的距离为 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:(1)12 (2)D
解析:(1)因为AB=10,AC=6,BC=8,
所以△ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆的直径.所以r=5.
轴截面图如图,所以d2=R2-r2=132-52=122.
所以球心O到△ABC所在小圆的距离为12.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(2)如图,设截面圆的圆心为O',M为截面圆上任一点,
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
解决有关球的问题时常用到的性质
(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面,球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直.
(2)若分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径,用d表示球心到截面的距离,则R2=r2+d2.球的有关计算问题,常归结为解这个直角三角形问题.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(1)答案:9π
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(2)解:作出圆锥及其内切球的轴截面,
如图,设底面圆半径为r,母线长为l,因为圆锥侧面积是底面积的2倍,所以πrl=2πr2,解得l=2r,故∠ADC=30°,圆锥的轴截面为正三角
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
旋转体中的最短长度问题
典例如图,
圆台的上、下底面半径分别为5
cm和10
cm,母线长AB=20
cm,从圆台母线AB的中点M处拉一条绳子绕圆台侧面转到点A.求:
(1)绳子的最短长度;
(2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.
思路分析求几何体表面最短路径问题一般是把侧面展开,转化为平面几何知识求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解:(1)如图,将圆台侧面展开,则绳子的最短长度即为侧面展开图中A1M的长度,
设∠AOA1=n°,则由已知及弧长公式得
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(2)如图,过点O作OQ⊥A1M于点Q,交弧BB1于点P,
则PQ为所求最短距离.
因为OA1·OM=A1M·OQ,
即40×30=50·OQ,
所以OQ=24
cm,
所以PQ=OQ-OP=OQ-OB=24-20=4(cm),
即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4
cm.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
方法点睛求解旋转体表面上距离最短问题,要“化曲为直”,这一点与多面体的“化折为平”相似,体现了化归与转化的思想,即将空间问题转化为平面问题来处理.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
1.(2020四川高一月考)以下空间几何体是旋转体的是( )
A.圆锥
B.棱台
C.正方体
D.三棱锥
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
2.(多选题)下列几何体不是台体的是( )
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:ABC
解析:台体包括棱台和圆台两种,A的错误在于四条侧棱延长后没有交于一点.B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥.结合棱台和圆台的定义可知D是台体.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
3.圆柱OO'的底面直径为4,母线长为6,则该圆柱的侧面积为 ,表面积为 .?
答案:24π 32π
解析:由已知得圆柱OO'的底面半径为2,则其侧面积
S侧=2πrl=2×π×2×6=24π,
表面积S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+6)=32π.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
4.如图几何体是由第 个平面图形旋转得到的.?
答案:③
解析:因为题图为一个圆台和一个圆锥的组合体,因此平面图形应是由一个直角三角形和一个直角梯形构成的.由此可知①②④不正确.③正确.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
5.如图甲、乙、丙、丁是不是棱锥、圆柱、圆锥、圆台等几何体?
解:图甲中的六个三角形不是有一个公共顶点,故不是棱锥,只是一个多面体;图乙不是圆柱,因为上、下两底面不平行(或不是由一个矩形旋转而成);图丙不是由一个直角三角形旋转而成,故不是圆锥;图丁截圆锥的平面与底面不平行,故截面与底面之间的几何体不是圆台.第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
课后篇巩固提升
基础达标练
1.圆台的体积为7π,上、下底面的半径分别为1和2,则圆台的高为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案A
解析由题意,V=(π+2π+4π)h=7π,∴h=3.
2.若一圆柱与圆锥的高相等,且轴截面面积也相等,那么圆柱与圆锥的体积之比为( )
A.1
B.
C.
D.
答案D
解析设圆柱底面半径为R,圆锥底面半径r,高都为h,由已知得2Rh=rh,∴r=2R.故V柱∶V锥=πR2h∶πr2h=.故选D.
3.(2020全国高一课时练习)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
A.π
B.
C.
D.
答案B
解析绘制圆柱的轴截面如图所示,
由题意可得AC=1,AB=,所以圆柱的底面半径r=,所以圆柱的体积是V=πr2h=π××1=π.
4.
(2020全国高一课时练习)如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为( )
A.π
B.π
C.π
D.π
答案D
解析由题意,设球的半径为r,作出球的组合体的轴截面(图略),可得一个半径为r的圆内切于一个边长为4的正三角形,此时正三角形的高为h=2,根据三角形重心的性质可得,球的半径为r=h=,所以球的体积为V=πr3=π×π,即溢出溶液的体积为π.
5.(2020全国高一课时练习)《算数书》中记载有求“盖”的体积的方法:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.这相当于给出了圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A.
B.
C.
D.
答案B
解析设圆锥底面圆的半径为r,高为h,依题意,L=2πr,πr2h=(2πr)2h,
所以π=π2,即π的近似值为,故选B.
6.若两球的体积之和是12π,经过两球球心的截面圆周长之和为6π,则两球的半径之差为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案A
解析设两球的半径分别为R,r(R>r),则由题意得解得故R-r=1.故选A.
7.(多选题)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论正确的是( )
A.AC⊥平面BEF
B.AE,BF始终在同一个平面内
C.EF∥平面ABCD
D.三棱锥A-BEF的体积为定值
答案ACD
解析由AC⊥平面BB1D1D,即AC⊥平面BEF,
∴A对;
∵EF∥BD,BD?面ABCD,EF?面ABCD,得EF∥平面ABCD,∴C对;
∵S△BEF=×1=,设AC,BD交于点O,
AO⊥平面BB1D1D,AO=
∴VA-BEF=,∴D对;
∵B,E,F同在平面BB1D1D上,而A不在平面BB1D1D上,∴AE,BF不在同一个平面内,B错误.
故选ACD.
8.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r= .?
答案
解析设底面半径为r,则πr2×4=4π,解得r=,即底面半径为.
9.(2020全国高一课时练习)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是 .?
答案10
解析因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,所以AB·BC·CC1=120.因为E为CC1的中点,所以CE=CC1,由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱锥E-BCD的体积V=CD·BC·CE=AB·BC·CC1=×120=10.
10.一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上,则正方体的表面积为 .?
答案8
解析由πR3=π,得R=1.
设正方体的棱长为a,则a=2R,所以a=,
故正方体的表面积S表=6a2=6×=8.
11.某街心花园有许多钢球(钢的密度为7.9
g/cm3),每个钢球的质量为145
kg,并且外径等于50
cm,试根据以上数据,判断钢球是空心的还是实心的.如果是空心的,空心部分也为球心相同的球.请你计算出它的内径(π取3.14,结果精确到1
cm,2.243≈11.240
98).
解由于外径为50
cm的钢球的质量为7.9×π×≈516
792(g),
街心花园中钢球的质量为145
000
g,而145
000<516
792,
所以钢球是空心的.
设球的直径为2x
cm,那么球的质量为7.9×=145
000.
解得x3≈11
240.98,
∴x≈22.4,2x≈45.
即钢球是空心的,其内径约为45
cm.
能力提升练
1.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛
B.22斛
C.36斛
D.66斛
答案B
解析设底面圆半径为R,米堆高为h.
∵米堆底部弧长为8尺,
∴·2πR=8,∴R=.
∴体积V=·πR2h=×π××5.
∵π≈3,∴V≈(尺3).
∴堆放的米约为≈22(斛).
2.
三棱锥P-ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M,N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2x(x∈[0,3]),下列四个图象大致描绘了三棱锥N-AMC的体积V与x的变化关系,其中正确的是( )
答案A
解析V=S△AMC·NO=·(8-2x)=-(x-2)2+2,x∈[0,3].故选A.
3.已知半球内有一个内接正方体,则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )
A.π∶6
B.π∶2
C.π∶2
D.5π∶12
答案B
解析作出过正方体的对角面的截面,如图所示,
设球的半径为R,正方体的棱长为a,则CC'=a,OC=,在Rt△C'CO中,得CC'2+OC2=OC'2,即a2+=R2,解得R=a,所以半球的体积为V1=πR3=π×πa3,正方体的体积为V2=a3,所以半球与正方体的体积比为πa3∶a3=π∶2,故选B.
4.有64个直径都为的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则( )
A.V甲>V乙且S甲>S乙
B.V甲
C.V甲=V乙且S甲>S乙
D.V甲=V乙且S甲=S乙
答案C
解析计算得V甲=πa3,S甲=4πa2,V乙=πa3,S乙=πa2,∴V甲=V乙,且S甲>S乙.故选C.
5.(多选题)(2020全国高一课时练习)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是( )
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球面面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
答案CD
解析依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,A错误;圆锥的母线长为R,故圆锥的侧面积为πR×R=πR2,B错误;球面面积为4πR2,等于圆柱的侧面积,C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,
∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,D正确.
6.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1
cm和半径为3
cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20
cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28
cm,则这个几何体的总高度为
cm.?
答案29
解析设半径为1
cm和半径为3
cm的两个圆柱的高分别为h1
cm和h2
cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.
7.(2019全国Ⅱ)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .?
图1
图2
答案26 -1
解析由题图2可知第一层与第三层各有9个面,共计18个面,第二层共有8个面,所以该半正多面体共有18+8=26个面.如图,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB与FE的延长线交于点G,延长BC交正方体的另一条棱于点H.由半正多面体的对称性可知,△BGE为等腰直角三角形,所以BG=GE=CH=x,所以GH=2×x+x=(+1)x=1,解得x=-1,即该半正多面体的棱长为-1.
8.(2020全国高一课时练习)在半径为15的球O内有一个底面边长为12的内接正三棱锥A-BCD,求此正三棱锥的体积.
解①如图所示,
由题意知OA=OB=OC=OD=15.设H为△BCD的中心,则A,O,H三点在同一条直线上.
∵HB=HC=HD=×12=12,
∴OH==9.
∴正三棱锥A-BCD的高h=9+15=24.
又S△BCD=×(12)2=108,
∴VA-BCD=×108×24=864.
②如图所示,同理,可得正三棱锥A-BCD的高h'=15-9=6,
S△BCD=108,∴VA-BCD=×108×6=216.
综上,正三棱锥A-BCD的体积为864或216.
素养培优练
如图,某种水箱用的“浮球”,是由两个半球和一个圆柱筒组成.已知半球的直径是6
cm,圆柱筒高为2
cm.
(1)这种“浮球”的体积是多少
cm3(结果精确到0.1)?
(2)要在2
500个这样的“浮球”表面涂一层胶,如果每平方米需要涂胶100克,那么共需胶多少克?
解(1)因为半球的直径是6
cm,可得半径R=3
cm,
所以两个半球的体积之和为
V球=πR3=π·27=36π(cm3).
又圆柱筒的体积为
V圆柱=πR2·h=π×9×2=18π(cm3).
所以这种“浮球”的体积是
V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6(cm3).
(2)根据题意,上下两个半球的表面积是
S球表=4πR2=4×π×9=36π(cm2),
又因为“浮球”的圆柱筒的侧面积为
S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12π(cm2),
所以1个“浮球”的表面积为
S=(m2).
因此,2
500个这样的“浮球”表面积的和为
2
500S=2
500×=12π(m2).
因为每平方米需要涂胶100克,
所以共需要胶的质量为100×12π=1
200π(克).(共41张PPT)
11.1.6 祖暅原理与几何体的体积
课标阐释
思维脉络
1.理解柱体、锥体和台体体积公式的推导,利用“祖暅原理”将空间问题转化为平面问题.
2.了解球的体积公式,会计算球的体积.
3.熟练运用体积公式求多面体和简单旋转体的体积.
4.掌握柱体、锥体、台体体积公式之间的关系,了解求几何体体积的几种技巧.
激趣诱思
知识点拨
祖暅是我国南北朝时期的数学家,是祖冲之的儿子.他提出了一条原理:“幂势既同,则积不容异.”这里的“幂”指水平截面的面积,“势”指高.这句话的意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.祖暅不仅首次明确提出了这一原理,还成功地将其应用到球体积的推算上.我们把这条原理称为祖暅原理.这一原理在西方文献中称为“卡瓦列里原理”,由意大利数学家卡瓦列里(1598—1647年)独立提出,对微积分的建立有重要影响.
激趣诱思
知识点拨
知识点一:祖暅原理
1.祖暅原理“幂势既同,则积不容异”,即“夹在两个平行平面间的两个几何体,如果被平行于这两个平面的任意平面所截,两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积一定相等”.
2.作用:等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.
3.说明:祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想,是推导柱、锥、台体积公式的理论依据.
激趣诱思
知识点拨
微思考
运用祖暅原理来证明两个几何体的体积相等,需要几个条件?分别是什么?
提示:需要三个条件,分别是:
①这两个几何体夹在两个平行平面之间.
②平行于两个平行平面的每一个平面可截得两个截面.
③两个截面的面积总相等.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)等底等高的两个柱体的体积相同.( )
(2)等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的9倍.( )
(3)在三棱柱A1B1C1-ABC中,有
( )
答案:(1)√ (2)× (3)×
激趣诱思
知识点拨
知识点二:柱、锥、台的体积
柱体、锥体、台体的体积公式如下表,其中,棱柱、棱锥的底面积为S,圆柱、圆锥的底面圆半径为r,高为h,台体的上、下底面面积分别为S1,S2,高为h,上、下底面圆的半径分别为r'和r.
名称
体积(V)
柱体
棱柱
Sh
圆柱
πr2h
锥体
棱锥
Sh
圆锥
πr2h
台体
棱台
h
圆台
πh(r2+rr'+r'2)
激趣诱思
知识点拨
名师点析
柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
激趣诱思
知识点拨
微思考
求三棱锥的体积时有什么技巧?
提示:因为三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面,因此求三棱锥的体积时可以更换三棱锥的顶点和底面,寻求底面积与高易求的三棱锥.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出.( )
(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的.( )
(3)圆台的高就是相应母线的长.( )
答案:(1)√ (2)× (3)×
激趣诱思
知识点拨
微练习1
圆锥底面半径为3,母线长为5,则这个圆锥的体积为( )
A.36π
B.18π
C.45π
D.12π
答案:D
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知棱台的上、下底面面积分别为4,16,高为3,则该棱台的体积为 .?
答案:28
激趣诱思
知识点拨
知识点三:球的体积
一般地,如果球的半径为R,那么球的体积计算公式为V球=
πR3.
名师点析
求解与球有关切接问题时要认真分析题中已知条件,明确切点与接点位置,正确作出截面图,再分析相关量间的数量关系.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)决定球的大小的因素是球的半径.( )
(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径.( )
(3)球的体积V与球的表面积S的数值关系为V=
S.( )
(4)两个球的体积之比等于其半径比的立方.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√
激趣诱思
知识点拨
微练习1
答案:B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
已知某球的体积与其表面积的数值相等,则此球的体积为 .?
答案:36π
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
柱体的体积
例1用一块长4
m,宽2
m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒,如何制作可使铁筒的体积最大?
解:①若以矩形的长为圆柱的母线l,
则l=4
m,
此时圆柱底面周长为2
m,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
1如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中截去三棱锥D-A1B1C1,若AB⊥AC,AB=4
cm,AC=3
cm,
AA1=5
cm,BD=2
cm,则剩余部分的体积为 cm3.?
答案:24
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
锥体的体积
(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,过顶点B,D,A1截下一个三棱锥,求剩余部分的体积.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)答案:A
解析:作圆锥的轴截面(如图所示).
由题设,在△POB中,∠APB=90°,PA=PB.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
2(1)将若干毫升水倒入底面半径为2
cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6
cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为( )
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:(1)B (2)B
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
台体的体积
例3已知一个三棱台上、下底面分别是边长为
20
cm和30
cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高和体积.
解:如图,在三棱台ABC-A'B'C'中,O'、O分别为上、下底面的中心,D,D'分别是BC,B'C'的中点,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
3已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.
解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R,l,高为h.
作A1D⊥AB于点D,则A1D=3.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
球的体积
例4已知正四面体ABCD的外接球的体积为4
π,求正四面体的体积.
解:将正四面体ABCD置于正方体中.
正四面体的外接球即为正方体的外接球(如图所示),正方体的体对角线长即为球的直径.设外接球的半径为R,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
4如果三个球的半径之比是1∶2∶3,那么最大球的体积是其余两个球的体积之和的( )
A.1倍
B.2倍
C.3倍
D.4倍
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
逻辑推理、数学运算在求体积中的体现
典例如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为( )
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法点睛逻辑推理、数学运算是解决数学问题的基本素养,它将新的问题转化为已知问题,复杂问题转化为简单问题,最终将不易解决的问题转化为已解决的问题.如若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等方法进行转化求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
1.(2020四川广元川师大万达中学高二期中)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为( )
答案:A
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
2.在棱长为1的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是( )
答案:
D
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
3.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8,体积为14
cm3,则该棱台的高为 .?
答案:2
cm
解析:如图所示,设正四棱台AC'的上底面边长为2a
cm,则斜高EE',下底面边长分别为5a
cm,8a
cm.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
5.如图所示,四棱锥的底面ABCD是一个矩形,AC与BD交于点M,VM是四棱锥的高.若VM=4
cm,AB=4
cm,VC=5
cm,求四棱锥的体积.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测(共54张PPT)
11.1.3 多面体与棱柱
11.1.4 棱锥与棱台
课标阐释
思维脉络
1.通过观察实例,理解并掌握多面体、棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征及其关系.
3.在描述和判断几何体结构特征的过程中,培养学生的观察能力和空间想象能力.
4.了解常见多面体、棱柱、棱锥与棱台的表面积与侧面积公式.
激趣诱思
知识点拨
日常生活中常见到一些多面体,如棱柱,棱锥,棱台.它们可以是我们日常用到的物品,也可以是建筑物的形状.你能说出各种几何体的特征吗?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:多面体与棱柱
1.多面体的概念
定义
一般地,由若干个平面多边形所围成的封闭几何体称为多面体,围成多面体的各个多边形称为多面体的面;相邻两个面的公共边称为多面体的棱;棱与棱的公共点称为多面体的顶点
凸多面体
把多面体的任意一个面延展为平面,如果其余的各面都在这个平面的同一侧,则称这样的多面体为凸多面体.本书说到的多面体如不特别声明,均指凸多面体
面对角线、
体对角线
一个多面体中,连接同一面上两个顶点的线段,如果不是多面体的棱,就称其为多面体的面对角线;连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线
激趣诱思
知识点拨
截面
一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),称为这个几何体的一个截面
表面积
多面体所有面的面积之和称为多面体的表面积(或全面积)
激趣诱思
知识点拨
2.棱柱的概念
定义
多面体,有两个面互相平行,且该多面体的顶点都在这两个面上,其余各面都是平行四边形,这样的多面体称为棱柱
底面、侧面、侧棱、高、侧面积
棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面(底面水平放置时,分别称为上底面、下底面),其他各面称为棱柱的侧面,两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱,过棱柱一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱柱的高,棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的
侧面积
激趣诱思
知识点拨
直棱柱、斜棱柱、正棱柱
如果棱柱的侧棱垂直于底面,则可知棱柱所有的侧面都是长方形,这样的棱柱称为直棱柱(不是直棱柱的棱柱称为斜棱柱),特别地,底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱
三棱柱、四棱柱、五棱柱
棱柱可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱柱,可分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱
平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体
底面是平行四边形的棱柱也称为平行六面体,侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体.底面是矩形的直平行六面体就是以前我们学过的长方体,而棱长都相等的长方体就是正方体.在平行六面体中,相对的面都是互相平行的
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.如图,进一步了解多面体中的概念.
2.多面体至少有四个面、四个顶点、六条棱,并不是所有的多面体都有体对角线.
3.面对角线和体对角线是两个不同的概念.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
观察下面物体,你能说出各组图形的共同点吗?
提示:几何体的表面由若干个平面多边形围成.
激趣诱思
知识点拨
微思考2
观察下列多面体,有什么共同特点?
提示:有两个面相互平行;其余各面都是平行四边形;每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
激趣诱思
知识点拨
微思考3
棱柱的侧面一定是平行四边形吗?
提示:根据棱柱的特点知侧棱平行、底面平行,所以棱柱的侧面一定是平行四边形.
微思考4
多面体最少有几个面?多面体如何命名?
提示:至少有4个面.多面体可以按照围成它的面的个数来命名.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形.( )
(2)多面体的一个面可以是曲面.( )
(3)棱柱的棱都相等.( )
答案:(1)× (2)× (3)×
激趣诱思
知识点拨
微练习1
下面属于多面体的是 (填序号).?
①建筑用的方砖;②埃及的金字塔;③球.
答案:①②
微练习2
一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形,每个矩形的长和宽分别为6
cm,4
cm,则该棱柱的侧面积为 .?
答案:72
cm2
解析:棱柱的侧面积S侧=3×6×4=72(cm2).
激趣诱思
知识点拨
知识点二:棱锥与棱台
1.棱锥的概念
定义
如果一个多面体有一个面是多边形,且其余各面都是有一个公共顶点的三角形,则称这个多面体为棱锥
底面、侧面、
顶点、侧棱
底面:是多边形的那个面称为棱锥的底面,
侧面:有公共顶点的各三角形称为棱锥的侧面,
顶点:各侧面的公共顶点称为棱锥的顶点,
侧棱:相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧棱
三棱锥、
四棱锥、
五棱锥
棱锥可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱锥,可分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥
激趣诱思
知识点拨
高、侧面积
过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线,所得到的线段(或它的长度)称为棱锥的高,棱锥所有侧面的面积之和称为棱锥的侧面积
正棱锥、斜高
如果棱锥的底面是正多边形,且棱锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面,则称这个棱锥为正棱锥.可以看出,正棱锥的侧面都全等,而且都是等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高也都相等,称为棱锥的斜高
激趣诱思
知识点拨
2.棱台的概念
定义
一般地,用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,所得截面与底面间的多面体称为棱台
上底面、
下底面、
侧面、
侧棱、
顶点
上底面:原棱锥的截面
下底面:原棱锥的底面
侧面:其余各面
侧棱:相邻两侧面的公共边
顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
高、
侧面积
过棱台一个底面上的任意一个顶点,作另一个底面的垂线所得到的线段(或它的长度)称为棱台的高,棱台所有侧面的面积之和称为棱台的侧面积
激趣诱思
知识点拨
三棱台、
四棱台、
五棱台
棱台可以按底面的形状分类,例如底面是三角形、四边形、五边形的棱台,可分别称为三棱台、四棱台、五棱台
正棱台、
高、斜高
由正棱锥截得的棱台称为正棱台.不难看出,正棱台上、下底面都是正多边形,两者中心的连线是棱台的高,而且,正棱台的侧面都全等,且都是等腰梯形,这些等腰梯形的高也都相等,称为棱台的斜高
激趣诱思
知识点拨
微思考1
观察下列多面体,有什么共同特点?
提示:有一个面是多边形;其余各面都是有一个公共顶点的三角形.
激趣诱思
知识点拨
微思考2
观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?
提示:①区别:有两个面相互平行.
②联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间的部分即为该几何体.
激趣诱思
知识点拨
微思考3
棱台的上、下底面互相平行,各侧棱延长线一定相交于一点吗?
提示:根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
在三棱锥A-BCD中,可以当作棱锥底面的三角形的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:D
解析:每个面都可作为底面,有4个.
微练习2
(多选题)棱台具备的特点是( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱都平行
D.侧棱延长后都交于一点
答案:ABD
解析:由棱台的定义和结构特征知C为棱台不具备的特点.
激趣诱思
知识点拨
微练习3
下面各图形所表示的几何体中,不是棱锥的为( )
答案:A
解析:A不符合棱锥定义,不是棱锥,B为四棱锥,C,D均为五棱锥.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
多面体的识别与判断
例1如图所示为长方体ABCD-A'B'C'D',当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分形成的多面体还是棱柱吗?如果不是,请说明理由;如果是,指出底面及侧棱.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解:条件为一个长方体被一个平面所截,观察所得几何体上、下底面的关系与侧棱间的位置关系,抓住图中线段EF和B'C'的位置关系,根据定义得出结论.
截面BCFE右侧部分是棱柱,因为它满足棱柱的定义.
它是三棱柱BEB'-CFC',其中△BEB'和△CFC'是底面,EF,B'C',BC是侧棱.
截面BCFE左侧部分也是棱柱.
它是四棱柱ABEA'-DCFD',其中四边形ABEA'和四边形DCFD'是底面.A'D',EF,BC,AD为侧棱.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
1如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1,过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF,PQ,则长方体被分成的三个几何体中,棱柱的个数是 .?
答案:3
解析:由棱柱的定义可得有3个.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
棱柱的结构特征
例2(多选题)下列四个命题中,真命题为( )
A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B.棱柱的各个侧面都是平行四边形
C.棱柱的两底面是全等的多边形
D.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
答案:BCD
解析:A错,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行,但不是棱柱的底面,B,C,D是正确的.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
反思感悟
棱柱的性质
(1)棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都平行且相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.
(2)棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.
(3)过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.
(4)直棱柱的侧棱长与高相等;直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形.
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
变式训练
2下列关于棱柱的性质正确的是( )
A.只有两个面相互平行
B.所有棱都相等
C.所有面都是四边形
D.各侧面都是平行四边形
答案:D
解析:棱柱的两个底面一定是平行的,但在棱柱中并不一定只有两个面相互平行,故A错;棱柱所有的侧棱长都相等,但它们不一定等于底面多边形的边长,故B错;棱柱的侧面都是四边形,但底面可以不是四边形,故C错;棱柱的所有侧面都是平行四边形,故D正确,选D.
探究一
探究二
探究三
探究四
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棱锥、棱台的结构特征
例3下列几种说法中,正确的有( )
①用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台;
②棱台的侧面一定不会是平行四边形;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案:B
解析:必须用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分才是棱台,故①不正确;棱台的侧面一定是梯形,故②正确;③不一定是棱台,因为各条侧棱延长后不一定相交于一点,故③不正确.
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反思感悟
关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法
(1)举反例法.
结合棱锥、棱台的定义举反例判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法.
?
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形,此面即底面
两个互相平行的面,即底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
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变式训练
3下列关于棱锥、棱台的说法:
①棱台的底面一定不会是平行四边形;
②棱锥的侧面只能是三角形;
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中所有正确说法的序号是 .?
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答案:②③
解析:①不正确,棱台的底面可以是平行四边形还可以是其他多边形;
②正确,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;
③正确;
④错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
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多面体的侧面积或表面积
例4(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,
∠AA1B1=∠AA1C1=60°,∠BB1C1=90°,侧棱长为b,则其侧面积为( )
(2)已知四棱锥S-ABCD的棱长均为5,底面为正方形,求它的侧面积和表面积.
(3)已知正四棱台(上、下底是正方形,上底面的中心在下底面的投影是下底面的中心)上底面边长为6,高和下底面边长都是12,求它的侧面积.
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(1)答案:C
解析:如图,由已知条件可知,侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为一般的平行四边形,侧面BB1C1C为矩形.
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(2)解:因为四棱锥S-ABCD的各棱长均为5,所以各侧面都是全等的正三角形.
设E为AB的中点,连接SE,
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(3)解:如图,E,E1分别是BC,B1C1的中点,
O,O1分别是下、上底面正方形的中心,
则O1O为正四棱台的高,则O1O=12.
连接OE,O1E1,
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变式训练
4(1)一个四棱台的上、下底面都为正方形,且上底面的中心在下底面的投影为下底面中心(即为正四棱台),两底面边长分别为1,2,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为( )
(2)已知一个四棱锥底面为正方形,且顶点在底面正方形的投影为底面正方形的中心(即为正四棱锥),底面正方形的边长为4
cm,高与斜高的夹角为30°,如图所示,求正四棱锥的侧面积和表面积(单位:cm2).
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提示:利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形求解,然后代入公式.
(1)答案:A
解析:如图所示,设O1,O分别为棱台的上、下底面中心,M1,M分别为B1C1,BC的中点,连接O1O,O1M1,OM,MM1,则M1M为斜高.过M1作M1H⊥OM于H点,则M1H=OO1,
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(2)解:正棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组成Rt△POE.
∵OE=2,∠OPE=30°,
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多面体的表面展开图
例5如图是三个几何体的表面展开图,请问各是什么几何体?
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解:(1)五棱柱;(2)五棱锥;(3)三棱台.如图所示.
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变式训练
5纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,如下图①,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到右侧的平面图形,如图②.则标“△”的面的方位是( )
A.南
B.北
C.西
D.下
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答案:A
解析:将所给图形还原为正方体,如图所示,最上面为△,最左面为西,最里面为上,将正方体旋转后让左面向西,让“上”面向上可知标“△”的方位为南.
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截面周长最小问题
典例如图所示,在侧棱长为2
的正三棱锥V-ABC中,
∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°,过点A作截面AEF分别交VB,VC于点E,F,求截面△AEF周长的最小值.
分析将正三棱锥沿侧棱VA展开→求截面周长转化为求线段长→
利用正三棱锥的性质求解
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解:将三棱锥V-ABC沿侧棱VA剪开,将其侧面展开图平铺在一个平面上,如图所示,
则△AEF的周长=AE+EF+FA1.
因为AE+EF+FA1≥AA1,
所以线段AA1(即A,E,F,A1四点共线时)的长即
所求△AEF周长的最小值.作VD⊥AA1,垂足为点D.
由VA=VA1,知D为AA1的中点.
由已知∠AVB=∠BVC=∠CVA1=40°,得∠AVD=60°.
即AA1=2AD=6.
所以截面△AEF周长的最小值是6.
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方法点睛空间图形求表面上曲线段(或折线段)最小值的方法
空间图形求表面上曲线段(或折线段)最小值时,关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系.解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上,根据“平面内连接两点的线段最短”来解决.借助平面几何的知识来解决立体几何中的问题,是处理立体几何问题的最佳方法.
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1.给出下列命题:
①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;
②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥;
③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体;
④若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;
⑤各个面都是三角形的几何体是三棱锥.
其中所有错误命题的序号是( )
A.②③④
B.①②③
C.①②④
D.①②③④⑤
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答案:D
解析:认识棱柱一般要从侧棱与底面的垂直与否和底面多边形的形状两方面去分析,故①③错误,对等腰三角形的腰是不是侧棱未作说明,故②错误,平行六面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行,故④错误.由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥,故⑤错误.
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2.(多选题)如图所示,不是正四面体(正四面体是各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
答案:CD
解析:可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现选项A,B可折成正四面体,选项C,D不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.故选CD.
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3.下列几何体中, 是棱柱, 是棱锥, 是棱台(填序号).?
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答案:①③④ ⑥ ⑤
解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱锥,⑤是棱台.
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4.如图,将封闭的装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是 .?
答案:四棱柱(或三棱柱)
解析:倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱(或三棱柱).
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5.(2020黑龙江牡丹江一中高一月考)如图,在正三棱柱A1B1C1-ABC中,AB=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是BC上一点,且从点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线长为
,设这条最短路线与CC1的交点为N,求PC的长.
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解:将三棱柱A1B1C1-ABC中侧面ACC1A1与侧面BCC1B1沿CC1展开成一个平面,如图所示,则从点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线长为PM.
设PC=x,则PA=3+x,在Rt△MAP中,PM2=AM2+AP2,
即(
)2=22+(3+x)2,解得x=2,所以PC=2.第十一章立体几何初步
11.2 平面的基本事实与推论
课后篇巩固提升
基础达标练
1.空间中,可以确定一个平面的条件是( )
A.两条直线
B.一点和一条直线
C.一个三角形
D.三个点
答案C
2.(2020黑龙江牡丹江一中高一月考)下列命题正确的是
( )
A.三点确定一个平面
B.圆心和圆上两个点确定一个平面
C.如果两个平面相交有一个交点,则必有无数个公共点
D.如果两条直线没有交点,则这两条直线平行
答案C
解析共线的三点不能确定一个平面,故A错误;当圆上的两个点恰为直径的端点时,不能确定一个平面,故B错误;如果两个平面相交有一个交点,则这两个平面相交于过该点的一条直线,故C正确;如果两条直线没有交点,则这两条直线平行或异面,故D错误.
3.若平面α和平面β有三个公共点A,B,C,则平面α和平面β的位置关系为( )
A.平面α和平面β只能重合
B.平面α和平面β只能交于过A,B,C三点的一条直线
C.若点A,B,C不共线,则平面α和平面β重合;若点A,B,C共线,则平面α和平面β重合或相交于过A,B,C的一条直线
D.以上都不对
答案C
解析应分点A,B,C共线与不共线两种情况讨论.
4.(多选题)(2020江苏响水中学高一月考)已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,α,β表示不同的平面,则下列推理正确的是( )
A.如果A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.如果l?α,A∈l,则A?α
C.如果A∈α,A∈l,l?α,则l∩α=A
D.如果A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
答案ACD
解析对于A,由A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,根据平面的基本事实2,可得l?α,所以A正确;对于B,由l?α,A∈l,根据直线与平面的位置关系,则A?α或A∈α,所以B不正确;对于C,由A∈α,A∈l,l?α,根据直线与平面位置关系,则l∩α=A,所以C正确;对于D,由A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,根据平面的基本事实3,可得α∩β=AB,所以D正确.
5.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是( )
A.C1,M,O三点共线
B.C1,M,O,C四点共面
C.C1,O,A,M四点共面
D.D1,D,O,M四点共面
答案D
解析连接A1C1,AC,由于平面A1C∩平面C1BD=OC1,故有C1,M,O三点共线,C1,M,O,C四点共面,C1,O,A,M四点共面,而D1,D,O,M四点不共面.故选D.
6.下图中正确表示两个相交平面的是( )
答案D
解析A中无交线;B中不可见线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画,也不正确.D的画法正确.
7.
如图所示,平面α∩β=l,A,B∈α,C∈β且C?l,AB∩l=R,设过A,B,C三点的平面为γ,则β∩γ等于( )
A.直线AC
B.直线BC
C.直线CR
D.以上都不对
答案C
解析由C,R是平面β和γ的两个公共点,可知β∩γ=CR.故选C.
8.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α.且AB∩l=C,则AB∩β= .?
答案C
解析因为A∈α,B∈α,AB∩l=C,所以C∈AB,又因为C∈l,l?β,所以C∈β,所以AB∩β=C.
9.过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定的平面的个数是 .?
答案6
解析如图,这4条直线每2条直线确定1个平面,共确定的平面的个数是6.
10.下列命题中,不正确的是 (填序号).?
①一直线与两平行直线都相交,那么这三条直线共面;
②三条两两垂直的直线共面;
③两两相交直线上的三个点确定一个平面;
④每两条都相交但不共点的四线共面.
答案②③
解析三条两两垂直的直线最多可确定三个平面,故②错误;两两相交直线上的三个点若共线就无法确定平面,故③错误;①④正确.
11.
如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:
(1)点C与平面β: .?
(2)点A与平面α: .?
(3)直线AB与平面α: .?
(4)直线CD与平面α: .?
(5)平面α与平面β: .?
答案(1)C?β (2)A?α (3)AB∩α=B (4)CD?α (5)α∩β=BD
12.(2020江苏南京师大附中高一期中)(1)用符号表示下列语句,并画出同时满足这四个语句的一个几何图形:
①直线l在平面α内;②直线m不在平面α内;③直线m与平面α交于点A;④直线l不经过点A.
(2)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,F为棱CC1的三等分点,画出由D1,E,F三点所确定的平面β与平面ABCD的交线.(保留作图痕迹)
解(1)l?α;m?α;m∩α=A;A?l;示意图如下:
(2)如图,直线IL即为所求.
能力提升练
1.(多选题)给出下列四个说法,其中正确的是( )
A.若线段AB在平面α内,则直线AB不在平面α内
B.两条平行直线共面
C.两个不重合的平面有一个公共点,则一定有无数个公共点
D.空间三点确定一个平面
答案BC
解析对A,如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内,故A不正确;对B,两条平行直线共面,故B正确;对C,如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,则一定有无数个公共点,故C正确;对D,过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面,但若三个点共线,不能确定一个平面,故D不正确.综上所述,只有C正确.
2.下列四个命题:
①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;
②两条直线可以确定一个平面;
③若M∈α,M∈β,α∩β=l,则M∈l;
④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内.
真命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案A
解析①错,如果两个平面有三个公共点,那么这三个公共点共线,或这两个平面重合;
②错,两条异面直线不能确定一个平面;
③对;
④错,空间中,相交于同一点的三条直线不一定在同一平面内.
3.(多选题)设α,β表示两个平面,l表示直线,A,B,C表示三个不同的点,给出下列命题,正确的是( )
A.若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α
B.α,β不重合,若A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,则α∩β=AB
C.若l?α,A∈l,则A?α
D.若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合
答案ABD
解析若A∈l,A∈α,B∈l,B∈α,则l?α,由平面的基本事实2,可得A正确;
由平面的基本事实2,知AB?α,AB?β,即α∩β=AB,可得B正确;
若l?α,A∈l,则A∈α或A?α,可得C不正确;
若A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线,则α与β重合,由平面的基本事实1和过A,B,C确定一平面且与α,β重合,可得D正确.故选ABD.
4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α?a?α
②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α
④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A.①②
B.②③
C.①④
D.③④
答案D
解析当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a?α,∴①错;
a∩β=P时,②错;如图,
∵a∥b,P∈b,∴P?a,
∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b?α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.故选D.
5.
如图所示,A,B,C,D为不共面的四点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,DA上.如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线 上.?
答案AC
解析若EF∩GH=Q,则点Q∈平面ABC,Q∈平面ACD.而平面ABC∩平面ACD=AC,所以Q∈AC.
6.如图所示的正方体中,P,Q,M,N分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是 (填序号).?
答案①③
解析图形①中,连接MN,PQ(图略),则由正方体的性质得MN∥PQ,可知两条平行直线可以确定一个平面,故图形①正确.分析可知③中四点与另外两棱中点构成正六边形,所以四点共面,②④中四点均不共面.
7.如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
(2)求证:D,E,P三点共线.
(1)解延长AB交平面α于点P,如图所示.
(2)证明平面ABC∩平面α=DE,P∈AB,AB?平面ABC,所以P∈平面ABC.
又P∈α,所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上,即P∈DE.故D,E,P三点共线.
8.
如图所示,在三棱锥A-BCD中,作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.求证:M,N,K三点共线.
证明因为PQ∩CB=M,所以M∈直线PQ.
因为PQ?平面PQR,所以M∈平面PQR.
又因为M∈直线CB,CB?平面BCD,
所以M∈平面BCD,从而M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,即M在平面PQR与平面BCD的交线(设为l)上.
同理可证,K,N也在l上,所以M,N,K三点共线.
素养培优练
如图,不共面的四边形ABB'A',BCC'B',CAA'C'都是梯形.
求证:三条直线AA',BB',CC'相交于一点.
证明因为在梯形ABB'A'中,A'B'∥AB,
所以AA',BB'在同一平面A'B内.
设直线AA',BB'相交于点P,如图所示.
同理BB',CC'同在平面BB'C'C内,CC',AA'同在平面AA'C'C内.
因为P∈AA',AA'C'C?平面AA'C'C,所以P∈平面AA'C'C.同理点P∈平面BB'C'C,所以点P在平面AA'C'C与平面BB'C'C的交线上,而平面AA'C'C∩平面BB'C'C=CC',故点P∈直线CC',即三条直线AA',BB',CC'相交于一点.第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.1 空间几何体与斜二测画法
课后篇巩固提升
基础达标练
1.(2020北京八十中高一期中)下列说法正确的是( )
A.相等的角在直观图中仍然相等
B.相等的线段在直观图中仍然相等
C.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°
D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
答案D
解析等腰三角形的两底角相等,但在直观图中不相等,故A错误.正方形的两邻边相等,但在直观图中不相等,故B错误.画与平面直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'可以是45°也可以是135°,故C错误.故选D.
2.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,它的斜二测直观图是等边三角形A'B'C',则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
答案C
解析如图所示,斜二测直观图还原为平面图形,故△ABC是钝角三角形.
3.
如图所示的正方形O'A'B'C'的边长为1
cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )
A.6
cm
B.8
cm
C.(2+3)cm
D.(2+2)cm
答案B
解析直观图中,O'B'=,OB=2.原图形中OC=AB==3,OA=BC=1,∴原图形的周长是2×(3+1)=8(cm).
4.
如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )
A.AB
B.AD
C.BC
D.AC
答案D
解析还原△ABC,即可看出△ABC为直角三角形,故其斜边AC最长.
5.已知两个圆锥,底面重合在一起(底面平行于水平面),其中一个圆锥顶点到底面的距离为2
cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3
cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A.2
cm
B.3
cm
C.2.5
cm
D.5
cm
答案D
解析圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行的线段长度不变,仍为5
cm.故选D.
6.已知等边三角形ABC的边长为a,那么等边三角形ABC的直观图△A'B'C'的面积是( )
A.a2
B.a2
C.a2
D.a2
答案D
解析如图①为实际图形,建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
如图②,建立坐标系x'O'y',使∠x'O'y'=45°,由直观图画法知:A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,过点C'作C'D'⊥O'x'于点D',则C'D'=O'C'=a.所以△A'B'C'的面积是S=·A'B'·C'D'=·a·a=a2.
7.
如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状四边形ABCD为 .?
答案正方形
解析因为∠D'A'B'=45°,由斜二测画法规则知∠DAB=90°,又因四边形A'B'C'D'为平行四边形,且AB=BC,所以原四边形ABCD为正方形.
8.(2020天津高一期末)用斜二测画法画边长为2的正方形ABCD的直观图时,以射线AB,AD分别为x轴、y轴的正半轴建立直角坐标系,在相应的斜角坐标系中得到直观图A'B'C'D',则该直观图的面积为 .?
答案
解析设原图的面积为S,直观图的面积为S',则S=2S',即S'=S.
因为正方形ABCD的面积为S=2×2=4,所以其直观图的面积为S'=S=×4=.
9.
如图,平行四边形O'P'Q'R'是四边形OPQR的直观图,若O'P'=3,O'R'=1,则原四边形OPQR的周长为 .?
答案10
解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形,且OP=3,OR=2,所以原四边形OPQR的周长为2×(3+2)=10.
10.
(2020天津滨海新区塘沽第三中学高一期中)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的长度为 .?
答案
解析在直观图中,A'C'=3,B'C'=2,所以在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,C=90°,
∴AB==5,因此,AB边上的中线的长度为AB=.
11.
(2020全国高一课时练习)如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4
cm,CD=2
cm,∠DAB=30°,AD=3
cm,试画出它的直观图.
解第一步:如图①所示,在梯形ABCD中,以边AB所在直线为x轴,A为原点,建立平面直角坐标系xOy;如图②所示,画出对应的x'轴、y'轴,使∠x'O'y'=45°;
第二步:在图①中,过点D作DE⊥x轴,垂足为点E;在图②中,在x'轴上取A'B'=AB=4
cm,A'E'=AE=≈2.598(cm),过点E'作E'D'∥y'轴,使E'D'=ED==0.75(cm),再过点D'作D'C'∥x'轴,且使D'C'=DC=2
cm;
第三步:连接A'D',B'C',并擦去x'轴与y'轴多余的部分及其他一些辅助线,如图③所示,则四边形A'B'C'D'就是所求作的直观图.
能力提升练
1.(2020河南周口郸城实验高中高一月考)下列说法正确的是( )
A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线
B.梯形的直观图可能是平行四边形
C.矩形的直观图可能是梯形
D.正方形的直观图可能是平行四边形
答案D
解析A项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误.
B项,原图形中平行的两条线段仍然平行,不平行的两条线段也不会平行,所以梯形的直观图不可能为平行四边形,故B项错误.
C项,原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,但是原图形中相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平行,所以矩形的直观图中对边仍然平行,所以矩形的直观图可能为平行四边形而不可能为梯形.故C项错误,故D项正确.
2.
(2020黑龙江齐齐哈尔实验中学高一期中)如图,一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图为直角梯形O'A'B'C',且O'A'=2,O'C'=1,A'B'平行于y'轴,则这个平面图形OABC的面积为( )
A.5
B.5
C.
D.
答案B
解析
根据斜二测画法的规则可知,水平放置的平面图形OABC为直角梯形,由题意可知上底为OA=2,高为AB=2,下底为BC=2+1=3,所以这个平面图形OABC的面积为S=×(3+2)×2=5.
3.如图所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,B'在x'轴上,A'O'与x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为( )
A.2
B.4
C.2
D.4
答案D
解析设△AOB的边OB上的高为h,因为S原图形=2S直观图,所以×OB×h=2×O'B'×2,
又OB=O'B',所以h=4.
4.
如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是( )
A.正方形
B.矩形
C.菱形
D.梯形
答案C
解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2.在原图形中,OD=4,CD=2,且OD⊥CD,所以OC==6=OA,所以原图形是菱形.
5.
如图所示,四边形OABC是上底为2,下底为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O'A'B'C',在直观图中梯形的高为 ,面积为 .?
答案 2
解析因为OA=6,CB=2,所以OD=2.
又因为∠COD=45°,
所以CD=2.梯形的直观图如图,则C'D'=1.所以梯形的高C'E'=.面积为=2.
6.(2020黑龙江鸡西第一中学高一期末)如图是水平放置的△AOB用斜二测画法画出的直观图△A'O'B',则△AOB的周长是 .?
答案4+4
解析根据直观图画出原图如图所示,
根据原图和直观图的关系可知,OB=4,OD=BD=2,AD=8,所以OA=AB==2,所以△AOB的周长是4+2×2=4+4.
7.
如图所示,已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的等边三角形,那么原△ABC的面积为 .?
答案a2
解析法一:过C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于M'.
过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于D',则C'D'=a.
所以∠C'M'D'=45°,所以C'M'=a.
所以原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2.
法二:因为S△A'B'C'=×a×a=a2.
由S直观图=S原图得,
S△ABC=S△A'B'C'=a2=a2.
8.(2020全国高一课时练习)画出各条棱长都相等的正六棱柱(底面是正六边形,侧棱垂直于底面)的直观图.
解第一步:画x'轴、y'轴、z'轴,使∠x'O'y'=45°,∠x'O'z'=90°;
第二步:按x'轴、y'轴,画正六边形的直观图ABCDEF;
第三步:过A,B,C,D,E,F各点分别作z'轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA',BB',CC',DD',EE',FF'都等于棱AB的长;
第四步:顺次连接A',B',C',D',E',F',去掉辅助线及字母,将被遮挡的部分改为虚线,就得到所求作的正六棱柱的直观图.
素养培优练
一个圆锥的底面直径是1.6
cm,在它的内部有一个底面直径为0.7
cm,高为1
cm的内接圆柱.
(1)画出它们的直观图;
(2)求圆锥的母线长.
解(1)①画轴.取x轴、y轴、z轴,记坐标原点为O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°(如图①所示).
②画底面.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于1.6
cm的圆的直观图.
③画内接圆柱.以O为中心,按x轴、y轴画一个直径等于0.7
cm的圆的直观图,然后在z轴上取线段OO'=1
cm,过点O'作平行于x轴的x'轴,平行于y轴的y'轴,再以O'为中心,利用x'轴、y'轴画一个直径为0.7
cm的圆的直观图.再画圆柱的两条母线,使它们与这两个椭圆相切.
④成图.画圆锥的两条母线,再加以整理,就得到所要画的直观图(如图②所示).
(2)设圆锥的高为h,则,解得h=.
所以圆锥的母线长为
l=.(共57张PPT)
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
课标阐释
思维脉络
1.理解平面的抽象特征,并会表示平面.
2.理解构成几何体的基本元素,并能从运动的角度理解点、线、面、体之间的关系.
3.了解简单几何体中点、线、面的位置关系.
4.逐步掌握立体几何中的三种语言——文字语言、符号语言、图形语言以及这三种语言之间的相互转化.
激趣诱思
知识点拨
国家体育场的主体建筑“鸟巢”主要由巨大的门式钢架组成,共有24根桁架柱,其结构科学简单,设计新颖独特,为国际上极富特色的巨型建筑.与“鸟巢”相呼映的是“水立方”——国家游泳中心.国家游泳中心也是北京奥运会标志性建筑,它以冰晶状的亮丽身姿,装点着奥林匹克公园.你能说出它们作为一个空间几何体是由哪些基本元素构成的吗?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:空间中的点、线、面
1.几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、平静的湖面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.
2.长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体(几何体也简称为“体”),包围着几何体的是“面”,面与面相交给人“线”的形象,线与线相交给人“点”的形象.这就是说,可以将点、线、面看作构成空间几何体的基本元素.
另外,点运动的轨迹可以是线,线运动的轨迹可以是面,面运动的轨迹可以是体.
激趣诱思
知识点拨
3.一些文字语言与数学符号的对应关系:
文字语言表达
数学符号表示
文字语言表达
数学符号表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
直线l,m相交于点A
l∩m=A
平面α,β相交于直线l
α∩β=l
激趣诱思
知识点拨
微思考
平静的湖面、课桌面、黑板面、一望无垠的草原给你什么样的感觉?
问题1:生活中的平面有大小之分吗?
提示:有.
问题2:几何中的“平面”是怎样的?
提示:从物体中抽象出来的,绝对平,无大小之分.
激趣诱思
知识点拨
微练习
(1)图①的平面可表示为 、 、 或 .?
(2)在图①中,A∈AB,B AB,C AB,?
(3)在图②中,E∈EF,E∈AB,则AB∩EF= .EF?α,EF?β,则α∩β= .?
答案:(1)(答案不唯一)平面α 平面ABC 平面ABD 平面ABCD (2)∈ ? (3)E EF
激趣诱思
知识点拨
知识点二:空间中点与直线、直线与直线的位置关系
1.空间中点与直线的位置关系.
2.空间中直线与直线的位置关系.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
不能误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线.
如图所示,
虽然有a?α,b?β,即a,b分别在两个不同的平面内,但是因为a∩b=O,所以a与b不是异面直线.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)没有公共点的两条直线是平行直线.( )
(2)互相垂直的两条直线是相交直线.( )
(3)既不平行又不相交的两条直线是异面直线.( )
(4)不在同一平面内的两条直线是异面直线.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)×
激趣诱思
知识点拨
微练习1
若空间两条直线a和b没有公共点,则a与b的位置关系是( )
A.共面
B.平行
C.异面
D.平行或异面
答案:D
解析:若直线a和b共面,则由题意可知a∥b;若a和b不共面,则由题意可知a与b是异面直线.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
A.平行或异面
B.相交或异面
C.异面
D.相交
激趣诱思
知识点拨
答案:B
解析:如图,
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线,又AA1∥BB1,AA1∥DD1,显然BB1∩BC=B,DD1与BC是异面直线.
激趣诱思
知识点拨
知识点三:空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
1.直线在平面内
不难看出,图中,点A,B确定的直线l上的所有点都在平面α内,这称为直线l在平面α内(或平面α过直线l),记作l?α.
激趣诱思
知识点拨
2.直线在平面外
直线m上至少有一个点不在平面α内,这称为直线m在平面α外,记作m?α;图中的m与α有且只有一个公共点(称为直线m与平面α相交),一般简写为m∩α=B.
激趣诱思
知识点拨
3.直线与平面平行
一般地,如果l是空间中的一条直线,α是空间中的一个平面,则l∩α≠?与l∩α=?有且只有一种情况成立.而且,当l∩α≠?时,要么l?α,要么l与α只有一个公共点;当l∩α=?时,称直线l与平面α平行,记作l∥α.
激趣诱思
知识点拨
4.平面与平面相交
如图α与β有公共点,这称为平面α与平面β相交,记作α∩β≠?.
更进一步可以看出,一个点是α与β的公共点,当且仅当这个点在直线k上,这可记作α∩β=k.
激趣诱思
知识点拨
5.平面与平面平行
如果α与β是空间中的两个平面,则α∩β≠?与α∩β=?有且只有一种情况成立.而且,当α∩β≠?时,α与β的公共点组成一条直线;当α∩β=?时,称平面α与平面β平行,记作α∥β.
激趣诱思
知识点拨
6.直线与平面的位置关系列表比较
位置关系
公共点
符号表示
图形表示
直线a在平面α内
无数个公共点
a?α
直线a与平面α相交
一个公共点
a∩α=A
直线a与平面α平行
无公共点
a∥α
激趣诱思
知识点拨
7.两个平面的位置关系列表比较
位置关系
图形表示
符号表示
公共点个数
两平面平行
α∥β
无公共点
两平面相交
α∩β=l
有无数个公共点,这些点在一条直线上
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.一般地,直线a在平面α内时,应把直线a画在表示平面α的平行四边形内,切勿画出边框外;直线a与平面α相交时,应画成直线a与平面α只有一个公共点,被平面α遮住的部分画成虚线或不画;直线a与平面α平行时,应画成直线a与表示平面α的平行四边形的一条边平行,并画在表示平面α的平行四边形外.
2.画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行,两个平行四边形上下放置.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?
提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况;而后者仅指直线与平面平行.
微思考2
分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系?
提示:这两条直线没有公共点,故它们的位置关系是平行或异面.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.( )
(2)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.( )
(3)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.( )
答案:(1)× (2)× (3)√
激趣诱思
知识点拨
微练习1
若M∈平面α,M∈平面β,则α与β的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
答案:B
解析:因为M∈α,M∈β,所以α与β相交于过点M的一条直线.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
空间三个平面如果每两个都相交,那么它们的交线有 条.?
答案:1或3
解析:空间三个平面两两相交,则有一条交线或三条交线,三条交线平行或相交于一点.
激趣诱思
知识点拨
知识点四:直线与平面垂直
1.直线与平面垂直的定义
(1)文字语言:一般地,如果直线l与平面α相交于一点A,且对平面α内的任意一条过点A的直线m,都有l⊥m,则称直线l与平面α垂直(或
l是平面α的一条垂线,α是直线l的一个垂面),记作l⊥α.
其中,点A称为垂足.
(2)图形语言:如图.
画直线l与平面α垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
(3)符号语言:任意m?α,都有l⊥m?l⊥α.
激趣诱思
知识点拨
2.投影、点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面之间的距离的定义
给定空间中一个平面α及一个点A,过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面α内的射影(也称为
投影),线段AB为平面α的垂线段,AB的长为点A到平面α的距离.
特别地,当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离;当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.
激趣诱思
知识点拨
微思考
鲁班是我国古代一位出色的发明家,他在做木工时,常遇到有关直角的问题.虽然他手头有画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次,如图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.
激趣诱思
知识点拨
(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗?
(1)提示:不能.
(2)上述内容说明了直线与平面垂直的条件是什么?
(2)提示:直线垂直于平面内的两条相交直线.
(3)若直线垂直于平面内的无数条直线,则直线与平面垂直吗?
(3)提示:不一定.
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.垂直
答案:A
解析:∵直线l⊥平面α,∴l与α相交.
∵m?α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
文字、图形、符号三种语言的转化
例1用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β交于PA,平面α与平面γ交于PB,平面β与平面γ交于PC;
(2)平面ABD与平面BCD交于BD,平面ABC与平面ADC交于AC.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解:(1)符号语言表示:α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC.
图形表示:如图①所示.
(2)符号语言表示:平面ABD∩平面BCD=BD,平面ABC∩平面ADC=AC.
图形表示:如图②所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
学习几何问题,三种语言间的互相转化是一种基本技能.要注意符号语言的意义,如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“?”,直线与平面间的位置关系只能用“?”或“?”.由图形语言表示点、线、面的位置关系时,要注意实线和虚线的区别.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
1(1)若点M在直线a上,a在平面α内,则M,a,α间的关系可记为 .?
(2)根据右图,填入相应的符号:A 平面ABC,A 平面BCD,BD 平面ABC,平面ABC∩平面ACD= .?
(3)根据下列条件画出图形:平面α∩平面β=MN,△ABC的三个顶点满足条件A∈MN,B∈α,B?MN,C∈β,C?MN.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:(1)M∈a,a?α,M∈α
(2)∈ ? ? AC
(3)如图所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
空间两条直线位置关系的判定
例2已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位置关系?并画图说明.
解:直线a与c的位置关系有三种情况.
直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
判定两条直线位置关系的方法
判定两条直线的位置关系时,若要判定直线平行或相交,可用平面几何中的定义和方法来处理;判定异面直线的方法往往根据连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线来判断.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
2
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;?
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 .?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:(1)平行 (2)异面
解析:(1)因为A1D1?B1C1,B1C1?BC,所以A1D1?BC,即四边形A1D1CB为平行四边形,所以A1B∥D1C.
(2)因为直线A1B?平面A1B,B1∈平面A1B,且B1?直线A1B,直线CB1?平面A1B,所以直线A1B与直线CB1为异面直线.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
直线与平面的位置关系
例3下列五个命题中正确命题的个数是( )
①如果a,b是两条直线,a∥b,那么a平行于经过b的任何一个平面;
②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;
③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,那么a∥b;
④如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b?α,那么b∥α;
⑤如果a与平面α上的无数条直线平行,那么直线a必平行于平面α.
A.0
B.1
C.2
D.3
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:B
解析:如图所示,
序号
正误
理由
①
×
在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥BB',AA'却在过BB'的平面ABB'A'内
②
×
AA'∥平面BB'C'C,BC?平面BB'C'C,但AA'不平行于BC
③
×
AA'∥平面BB'C'C,A'D'∥平面BB'C'C,但AA'与A'D'相交
④
√
A'B'∥C'D',A'B'∥平面ABCD,
C'D'?平面ABCD,则C'D'∥平面ABCD
⑤
×
AA'显然与平面ABB'A'中的无数条直线平行,但AA'?平面ABB'A'
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时,这三种情况都要考虑到,避免遗漏.正方体(长方体)是立体几何中的重要模型,直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映,故我们可以把要判断位置关系的直线、平面放在正方体(长方体)中,以便正确作出判断,避免凭空臆断.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
3下列命题中的真命题是( )
A.若点A∈α,点B?α,则直线AB与平面α相交
B.若a?α,b?α,则a与b必异面
C.若点A?α,点B?α,则直线AB∥平面α
D.若a∥α,b?α,则a∥b
答案:A
解析:选项A正确.对于选项B,如图①显然错误.对于选项C,如图②显然错误.对于选项D,如图③显然错误.故选A.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
两个平面的位置关系
例4α,β是两个不重合的平面,下面说法正确的是( )
A.平面α内有两条直线a,b都与平面β平行,那么α∥β
B.平面α内有无数条直线平行于平面β,那么α∥β
C.若直线a与平面α和平面β都平行,那么α∥β
D.平面α内所有的直线都与平面β平行,那么α∥β
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
答案:D
解析:
选项
正误
理由
A,B
×
不能保证α,β无公共点.如图
C
×
当a∥α,a∥β时,α与β可能相交.如图
D
√
平面α内所有直线都与平面β平行,说明α,β一定无公共点,则α∥β
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断两平面之间的位置关系时,可把文字语言转化为图形语言,搞清图形间的相对位置是确定的还是可变的,借助于直观想象能力,确定平面间的位置关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
4如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.不能确定
答案:C
解析:由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行.解答本题可逆向考虑画两个平行面,看是否能在此两面内画两条平行线.同样画两相交面,看是否能在此两面内画两条平行线,再作出选择(如图所示).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
直线和平面垂直的定义
例5直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是( )
A.l和平面α平行
B.l和平面α垂直
C.l在平面α内
D.不能确定
答案:D
解析:如图所示,直线l和平面α平行,或直线l和平面α垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
直线和平面垂直的定义是描述性定义,对直线的任意性要注意理解.实际上,“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
5在长方体ABCD-A1B1C1D1中,不能作为平面ABCD垂线的是( )
A.AA1
B.BB1
C.CC1
D.AD1
答案:D
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
线、面位置关系图形的画法
典例作出下列各题的图形.
(1)画直线a,b,使a∩α=A,b∥α.
(2)画平面α,β,γ,使α∥β,γ∩α=m,γ∩β=n.
解:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
在图中画出三个两两相交的平面.
解:如图所示:
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
1.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作( )
A.Q∈b∈β
B.Q∈b?β
C.Q?b?β
D.Q?b∈β
答案:B
解析:因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以Q∈b.又因为直线b(集合)在平面β(集合)内,所以b?β.所以Q∈b?β.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
2.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行,那么这条直线与另一平面的位置关系为( )
A.平行
B.相交
C.直线在平面内
D.平行或直线在平面内
答案:D
解析:由题知这条直线可能在另一平面内也可能与另一平面平行.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
3.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 对.?
答案:6
解析:如图所示,
在长方体AC1中,与对角线AC1成异面直线的是:A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC,所以组成6对异面直线.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
4.下列命题:
①两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合;
②若l,m是异面直线,l∥α,m∥β,则α∥β.
其中错误命题的序号为 .?
答案:①②
解析:对于①,两个平面相交,也有无数多个公共点,故①错误;对于②,借助于正方体ABCD-A1B1C1D1,AB∥平面DCC1D1,B1C1∥平面AA1D1D,又AB与B1C1异面,而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交,故②错误.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
5.简述结论,并画图说明.
直线a在平面α内,直线b与直线a相交,则直线b与平面α的位置关系如何?
解:直线b与平面α的位置关系有两种:
b?α,或b∩α=A.(共41张PPT)
11.3.3 平面与平面平行
课标阐释
思维脉络
1.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面平行的相关定理、推论和性质.
2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的平行性问题.
激趣诱思
知识点拨
观察:(1)三角板的一条边所在的直线与桌面平行,这个三角板所在的平面与桌面平行吗?
(2)三角板的两条边所在直线分别与桌面平行,情况又如何?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:平面与平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示法
公共点个数
两平面
平行
α∥β
无
两平面
相交
α∩β=a
无数个
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.画两个平行平面时,要使表示平面的两个平行四边形的相邻两边分别画成平行线;画两个相交平面时,要把交线画出,并且被遮住的部分要画成虚线或不画.
2.用符号表示两个相交平面时,必须写出交线,不能写成α∩β.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
点P是平面α外一点,过点P且平行于平面α的平面有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个
答案:B
激趣诱思
知识点拨
微练习2
(多选题)若平面α∥平面β,直线a?α,直线b?β,那么直线a,b的位置关系可能是( )
A.平行
B.异面
C.相交
D.以上都不对
答案:AB
解析:直线a,b可以是平面α,β内的任意两条直线,它们可以平行,也可以异面,但不可能相交,故选AB.
激趣诱思
知识点拨
知识点二:两个平面平行
1.
激趣诱思
知识点拨
2.符号表示:(1)面面平行的判定定理:如果l?α,m?α,l∩m≠?,l∥β,m∥β,则α∥β.
(2)面面平行判定定理的推论:如果a?α,b?α,a∩b=A,m?β,n?β,a∥m,b∥n,则α∥β.
(3)面面平行的性质定理:如果α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m,则l∥m.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.应用判定定理证明两个平面平行,必须具有两个条件:(1)一个平面内有两条直线平行于另一个平面;(2)这两条直线必须相交.
2.该定理应用时,只要在一个平面内找到(作出)两条相交直线与另一个平面平行即可.
3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于另一个平面.
4.夹在两个平行平面间的平行线段相等.
5.经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行.
激趣诱思
知识点拨
微思考
两个平面平行,则这两个平面内的所有直线一定互相平行吗?
提示:不一定.也可能是异面直线,但可以肯定它们不相交.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与平面AB1D1平行的平面是( )
A.平面BCD
B.平面BCC1
C.平面BDC1
D.平面CDC1
答案:C
激趣诱思
知识点拨
微练习2
在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形.则平面ABC与平面A1B1C1平行吗? .(填“是”或“否”)?
答案:是
激趣诱思
知识点拨
知识点三:三个平面平行的性质
两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
名师点析
1.该性质是利用面面平行推得线线平行.
2.平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性).
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任一直线均平行于另一个平面.( )
(2)夹在两个平行平面间的平行线段相等.( )
(3)经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行.( )
(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.( )
(5)平行于同一平面的两个平面平行(即平行平面的传递性).( )
(6)如果三个平面α,β,γ满足α∥β∥γ,且平面δ与这三个平面相交,交线分别为a,b,c,则有a∥b∥c成立.( )
答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)√
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平面与平面平行的判定定理
例1如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点.
求证:平面A1BD1∥平面AC1D.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:如图所示,连接A1C交AC1于点E,
因为四边形A1ACC1是平行四边形,
所以E是A1C的中点,连接ED,
因为A1B∥平面AC1D,
平面A1BC∩平面AC1D=ED,
所以A1B∥ED.
因为E是A1C的中点,所以D是BC的中点.
又因为D1是B1C1的中点,
所以BD1∥C1D,A1D1∥AD.
又A1D1∩BD1=D1,AD∩C1D=D,
所以平面A1BD1∥平面AC1D.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明面面平行的方法
证明面面平行主要是利用面面平行的判定定理,即从其中一个平面内找到两条相交直线分别平行于另一平面,其次是利用面面平行的推论,即从其中一个面内找到两条相交直线分别平行于另一平面内的两条直线.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.
求证:平面MNQ∥平面PBC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:在△PAD中,
∵PM∶MA=PQ∶QD,
∴MQ∥AD.又AD∥BC,
∴MQ∥BC.
∵MQ?平面PBC,BC?平面PBC,
∴MQ∥平面PBC.
在△PBD中,∵BN∶ND=PQ∶QD,
∴NQ∥PB.∵NQ?平面PBC,PB?平面PBC,
∴NQ∥平面PBC.
∵MQ∩NQ=Q,∴平面MNQ∥平面PBC.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
平面与平面平行的性质定理
例2(1)如图,已知平面α∥β,P?α且P?β,过点P的直线m与α,β分别交于A,C,过点P的直线n与α,β分别交于B,D,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD= .?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
(1)将例2(1)改为:若点P位于平面α,β之间(如图),其他条件不变,试求BD的长.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探索型问题
例3如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ∥平面PAB?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:存在.点Q在底面ABCD的中位线GH上,理由如下:
取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH.
因为F,G分别为DP,DA的中点,所以FG∥PA.
因为FG?平面PAB,PA?平面PAB,
所以FG∥平面PAB.
因为AB∥CD,EF∥CD,所以EF∥AB,
而EF?平面PAB,AB?平面PAB,
所以EF∥平面PAB.
因为EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面PAB.
又点Q∈平面ABCD,所以点Q∈GH.
所以点Q在底面ABCD的中位线GH上.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
解探索型问题常用策略
(1)(条件探索型)所给问题结论明确,需要完备条件或条件需探索,或条件增删需确定,或条件正误需判断.
(2)(结论探索型)先探索结论再去证明,在探索过程中常先从特殊情况入手,通过观察、分析、归纳进行猜测,得出结论,再就一般情况去证明结论.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.
∵P,O分别为DD1,DB的中点,∴D1B∥PO.
而PO?平面PAO,PA?平面PAO,PO∩PA=P,D1B?平面D1BQ,QB?平面D1BQ,D1B∩QB=B,
∴平面D1BQ∥平面PAO.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
要注意将立体问题向平面问题转化
典例如图所示,已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点.求证四边形BED1F是平行四边形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
证明:取D1D的中点G,连接EG,GC,
∵E是A1A的中点,G是D1D的中点,∴EG?AD.
由正方体性质知AD?BC,∴EG?BC.
∴四边形EGCB是平行四边形,∴EB?GC.①
又∵G,F分别是D1D,C1C的中点,∴D1G?FC.
∴四边形D1GCF为平行四边形,∴D1F?GC.②
由①②知EB?D1F,
∴四边形BED1F是平行四边形.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
方法点睛立体几何问题只有在转化为平面几何问题后才能直接使用平面几何知识解决,正确的解题思路是将立体几何问题转化为平面几何问题再证明,不能凭想当然将平面几何中的结论或性质随意推广到立体几何中来.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1.(2020江苏高一月考)已知直线l是平面α的斜线,过l作平面β,使β∥α,这样的β( )
A.恰能作一个
B.至多作一个
C.至少作一个
D.不存在
答案:D
解析:若存在过直线l的平面β,使得β∥α,则直线l与平面α无公共点,与直线l是平面α的斜线矛盾,不合题意,所以这样的平面β不存在.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2.若α∥β,a?α,下列四个命题中正确的是( )
①a与β内所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不相交;④a与β无公共点.
A.①②
B.②③④
C.②③
D.①③④
答案:B
解析:由性质知①错误;由定义知②正确;由定义知③正确;由定义知④正确,故选B.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3.如图是正方体的平面展开图:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
在这个正方体中,①BM∥平面ADE;②CN∥平面BAF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.
以上说法正确的是 .(填序号)?
3.如图是正方体的平面展开图:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
答案:①②③④
解析:以ABCD为下底还原正方体,如图所示,
则易判定四个说法都正确.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4.已知直线a∥平面α,平面α∥平面β,则a与β的位置关系为 .?
答案:a?β或a∥β
解析:若a?β,则显然满足题目条件;
若a?β,过直线a作平面γ,γ∩α=b,γ∩β=c,于是由直线a平面α得a∥b,由α∥β得b∥c,所以a∥c,又a?β,c?β,所以a∥β.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5.已知三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点.求证:平面DEF∥平面ABC.
证明:如图所示,
在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,
所以DE∥AB.
又AB?平面ABC,DE?平面ABC,
因此DE∥平面ABC.
同理,EF∥平面ABC.
又因为DE∩EF=E,所以平面DEF∥平面ABC.(共21张PPT)
章末整合
专题一 共点、共线、共面问题?
例1如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
证明:(1)因为BG∶GC=DH∶HC,
所以GH∥BD.
又因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD.
所以EF∥GH.所以E,F,G,H四点共面.
(2)因为G,H不是BC,CD的中点,
所以EF∥GH,且EF≠GH.
所以EG与FH必相交,设交点为M.
而EG?平面ABC,HF?平面ACD,
所以点M∈平面ABC,且点M∈平面ACD.
因为平面ABC∩平面ACD=AC,
所以点M∈AC,即EG与HF的交点在直线AC上.
专题二 空间中的平行关系?
例2如图所示,四边形ABCD是平行四边形,PB⊥平面ABCD,MA∥PB,PB=2MA.在线段PB上是否存在一点F,使平面AFC∥平面PMD?若存在,请确定点F的位置;若不存在,请说明理由.
解:当点F是PB的中点时,平面AFC∥平面PMD.证明如下:如图连接BD和AC交于点O,连接FO,则PF=
PB.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴O是BD的中点.
∴OF∥PD.
又OF?平面PMD,PD?平面PMD,
∴OF∥平面PMD.
∴四边形AFPM是平行四边形.
∴AF∥PM.又AF?平面PMD,PM?平面PMD.
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF=F,AF?平面AFC,OF?平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.
专题三 空间中的垂直关系?
例3如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=AA1.
(1)求证:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;
(2)求证:BC1⊥AB1.
证明:(1)设BC的中点为M,连接B1M.
∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M,
∴B1M⊥平面ABC.
∵AC?平面ABC,∴B1M⊥AC.
又∵BC⊥AC,B1M∩BC=M,∴AC⊥平面B1C1CB.
又∵AC?平面ACC1A1,
∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.
(2)连接B1C.
∵AC⊥平面B1C1CB,
∴AC⊥BC1.
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∵BC=CC1.
∴四边形B1C1CB是菱形,∴B1C⊥BC1.
又∵B1C∩AC=C,∴BC1⊥平面ACB1,∴BC1⊥AB1.
专题四 空间角的计算?
例4如图,在Rt△AOB中,∠OAB=30°,斜边AB=4,Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到,且二面角B-AO-C是直二面角,动点D在斜边AB上.
(1)求证:平面COD⊥平面AOB;
(2)当D为AB的中点时,求异面直线AO与CD所成角的正切值;
(3)求CD与平面AOB所成角的正切值的最大值.
(1)证明:由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,
∴∠BOC是二面角B-AO-C的平面角,
又∵二面角B-AO-C是直二面角.∴CO⊥BO.
又∵AO∩BO=O,∴CO⊥平面AOB.
又CO?平面COD,∴平面COD⊥平面AOB.
(2)解:作DE⊥OB,垂足为点E,连接CE(如图),则DE∥AO.
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.
(3)解:由(1)知,CO⊥平面AOB,
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角,
例5在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.
如图,在阳马P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.
(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是不是鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由.
解:(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,由底面ABCD为长方形,有BC⊥CD,而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.而DE?平面PCD,所以BC⊥DE.
又因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DE⊥PC.
而PC∩BC=C,所以DE⊥平面PBC.
而PB?平面PBC,所以PB⊥DE.
又PB⊥EF,DE∩EF=E,所以PB⊥平面DEF.
又DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF,
可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,
即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.
(2)如图,在平面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.
由(1)知,PB⊥平面DEF,所以PB⊥DG.
又因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥DG.
而PD∩PB=P,所以DG⊥平面PBD.
故∠BDF是平面DEF与平面ABCD所成二面
角的平面角,设
专题五 逻辑推理的核心素养?
例6如图所示,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD⊥平面ABC,AE⊥BD于点E,AF⊥CD于点F.
求证:BD⊥平面AEF.
证明:∵AB为☉O直径,C为☉O上一点,∴BC⊥AC,
?BD⊥平面AEF.
专题六 函数与方程思想?
例7如图所示,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动,若CM=BN=a(0).
(1)求MN的长;
(2)求当a为何值时,MN的长度取最小值.
解:(1)如图所示,作MP∥AB交BC于点P,
NQ∥AB交BE于点Q,连接PQ,
依题意可得四边形MNQP是平行四边形,
∴MN=PQ.第十一章立体几何初步
11.4 空间中的垂直关系
11.4.1 直线与平面垂直
课后篇巩固提升
基础达标练
1.
如图所示,PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案A
解析因为PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AC,PA⊥AB.又AC⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,
所以直角三角形有△PAB,△PAC,△ABC,△PBC,共4个.故选A.
2.在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面ABC,PA=8,则点P到BC的距离是( )
A.
B.2
C.3
D.4
答案D
解析由题得PB=PC=,则P到BC的距离d=,即d==4.
3.下列命题中,正确的有( )
①如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直.
②过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直.
③如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.
④垂直于角的两边的直线必垂直于这个角所在的平面.
⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案C
解析②③④⑤正确,①中当平面内的两条直线平行时,直线可能与平面平行、垂直或在平面内.
4.
如图所示,PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,则下列说法不正确的是( )
A.PA⊥BC
B.BC⊥平面PAC
C.AC⊥PB
D.PC⊥BC
答案C
解析因为PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,即PA⊥平面ABC,又BC?平面ABC,所以PA⊥BC,故A正确;又C为圆上异于A,B的任一点,AB为圆O的直径,所以BC⊥AC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,故B,D均正确.故选C.
5.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角等于( )
A.40°
B.50°
C.90°
D.150°
答案B
解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等,知b与α所成的角也是50°.
6.
(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
答案ABC
解析∵BD∥B1D1,B1O1?平面CB1D1,故A正确;∵AC⊥BD,BD⊥CC1,∴BD⊥平面ACC1,∴BD⊥AC1,故B正确;与B同理有AC1与B1D1,CB1垂直,则AC1⊥平面CB1D1,故C正确;D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°,故D错误.故选ABC.
7.空间四边形ABCD的四条边相等,则对角线AC与BD的位置关系为 .?
答案垂直
解析如图,取AC的中点E,连接BE,DE.
由AB=BC,得AC⊥BE.
同理AC⊥DE,
所以AC⊥平面BED.
因此,AC⊥BD.
8.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是 .?
答案菱形
解析由于PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.又PC⊥BD,且PC?平面PAC,PA?平面PAC,PC∩PA=P,所以BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC,所以BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形,所以四边形ABCD是菱形.
9.
如图所示,M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中点.
(1)则MN与CD1所成的角为 .?
(2)则MN与AD所成的角为 .?
答案(1)60° (2)45°
解析(1)由图易知MN∥AD1,
∵△ACD1构成正三角形.
∴AD1与CD1成60°角,∴MN与CD1成60°角.
(2)AD1与AD成45°角,而MN∥AD1,
∴MN与AD成45°角.
10.
如图,在三棱锥A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BE⊥CD于点E,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.
证明取AB的中点F,连接CF,DF(图略).
∵CA=CB,DA=DB,∴CF⊥AB,DF⊥AB.
∵CF∩DF=F,∴AB⊥平面CDF.
∵CD?平面CDF,∴AB⊥CD.
又CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE.
∵AH?平面ABE,∴CD⊥AH.
∵AH⊥BE,BE∩CD=E,∴AH⊥平面BCD.
能力提升练
1.(2020江苏高一月考)已知α是一个平面,m,n是两条直线,有下列四个结论,正确的是( )
A.如果m∥α,m∥n,则n∥α
B.如果m⊥α,n∥α,则m⊥n
C.若直线m垂直于平面α内的无数条直线,则m⊥α
D.如果m⊥α,m∥n,则n⊥α
答案BD
解析对于A,如果m∥α,m∥n,则n∥α或n?α,所以不正确;对于B,若m⊥α,n∥α,那么m⊥n,所以正确;对于C,根据线面垂直的定义,直线m垂直于平面α内的任意直线,则m⊥α,而直线m垂直于平面α内的无数条直线,则m与α不一定垂直,所以不正确;对于D,根据平行线中的一条垂直一个平面,另一条也垂直于这个平面,可得若m⊥α,m∥n,那么n⊥α,所以正确.
2.
如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论错误的是
( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A-BEF的体积为定值
D.△AEF的面积与△BEF的面积相等
答案D
解析由AC⊥平面DBB1D1,BE?平面DBB1D1知A正确;由EF?平面A1B1C1D1,且平面A1B1C1D1∥平面ABCD知B正确;由△BEF面积S=×1×.VA-BEF=知C正确;D中两三角形以EF为底边,高不等,则面积不等,故D错误.
3.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列结论正确的是( )
A.EF⊥B1C
B.BC1∥平面EFG
C.A1C⊥平面EFG
D.异面直线FG,B1C所成角的大小为
答案ABC
解析如图,连接AD1,则EF∥AD1∥BC1,又BC1⊥B1C,
∴EF⊥B1C,故A正确;
∵BC1∥EF,EF?平面EFG,BC1?平面EFG,
∴BC1∥平面EFG,故B正确;A1C⊥EF,A1C⊥EG,EF∩EG=E,∴A1C⊥平面EFG,故C正确;
∵FG∥AB1,∴∠AB1C为异面直线FG,B1C所成角,连接AC,可得△AB1C为等边三角形,则∠AB1C=,即异面直线FG,B1C所成角的大小为,故D错误.故选ABC.
4.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
答案C
解析
如图,取BC的中点E,连接AE,则AE⊥平面BCC1B1.故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为a,则AE=a,DE=a.所以tan∠ADE=.所以∠ADE=60°.
5.
如图,三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,点P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于点H,则垂足H是△ABC的( )
A.外心
B.内心
C.垂心
D.重心
答案C
解析∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB,∴AB⊥PC.
又AB⊥PH,PH∩PC=P,∴AB⊥平面PCH.
又CH?平面PCH,∴AB⊥CH.
同理BC⊥AH,AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心.
6.(2020上海高三专题练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,则与直线A1O垂直的立方体的截面为 .(写出一个即可)?
答案GBD(或AFC1H或ED1B1)
解析如图所示,
连接OG,A1C1,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,故BD⊥平面ACC1A1,A1O?平面ACC1A1,故BD⊥A1O.设正方体边长为2,
则A1O=,OG=,A1G==3,
故A1G2=A1O2+OG2,故A1O⊥OG,
OG∩BD=O,故A1O⊥平面GBD.
7.等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为 .?
答案45°
解析如图,
设C在平面α内的射影为点O,连接AO,MO,则∠CAO=30°,∠CMO就是CM与α所成的角.
设AC=BC=1,则AB=,
∴CM=,CO=.∴sin∠CMO=,
∴∠CMO=45°.
8.△ABC的三个顶点A,B,C到平面α的距离分别为2
cm,3
cm,4
cm,且它们在α的同侧,则△ABC的重心到平面α的距离为 .?
答案3
cm
解析如图,设A,B,C在平面α内的射影分别为A',B',C',△ABC的重心为G,连接CG并延长交AB于中点E,
又设E,G在平面α内的射影分别为E',G',
则E'∈A'B',G'∈C'E',EE'=(A'A+B'B)=,CC'=4,CG∶GE=2∶1,
在直角梯形EE'C'C中,取GC,G'C'的中点H,H',
设GG'=x1,HH'=x2,
则解得x1=3,即△ABC的重心到平面α的距离为GG'=3.
9.
如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M为AC的中点.
(1)求证:PM⊥平面ABC;
(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值.
(1)证明∵PA=PC,M为AC的中点,
∴PM⊥AC.
①
又∠ABC=90°,AB=8,BC=6,
∴AM=MC=MB=AC=5.
在△PMB中,PB=13,MB=5.
PM==12.
∴PB2=MB2+PM2,
∴PM⊥MB.
②
由①②可知PM⊥平面ABC.
(2)解∵PM⊥平面ABC,
∴MB为BP在平面ABC内的射影,
∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角.
在Rt△PMB中,tan∠PBM=.
素养培优练
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=,PA=,∠ABC=120°.G为线段PC上的点.
(1)证明:BD⊥平面APC;
(2)若G为PC的中点,求DG与平面APC所成角的正切值;
(3)若G满足PC⊥平面BGD,求的值.
(1)证明设点O为AC,BD的交点.
由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分线段AC.
所以O为AC的中点,BD⊥AC.
又因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面APC.
(2)解连接OG.由(1)可知OD⊥平面APC,则DG在平面APC内的射影为OG,所以∠OGD是DG与平面PAC所成的角.
由题意得OG=PA=.
在△ABC中,因为AB=BC,∠ABC=120°,AO=CO,所以∠ABO=∠ABC=60°,
所以AO=OC=AB·sin
60°=.
在Rt△OCD中,OD==2.
在Rt△OGD中,tan∠OGD=.
所以DG与平面APC所成角的正切值为.
(3)解因为PC⊥平面BGD,OG?平面BGD,
所以PC⊥OG.
在Rt△PAC中,PC=.
所以GC=.
从而PG=,所以.(共43张PPT)
11.2 平面的基本事实与推论
课标阐释
思维脉络
1.理解平面的三个基本事实与三个推论,会运用三种语言表示事实和推论.
2.能进行文字语言、图形语言、符号语言之间的互相转化.
激趣诱思
知识点拨
日常生活中存在如下的现象:固定照相机或测量用的平板仪的支撑架都设计成三脚架;自行车、摩托车加一个侧撑就可平稳地放在地面上;一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了.你知道这些设计的原理吗?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:点、线、面之间的位置关系及表示
文字语言
图形语言
符号语言
点A在直线l上
A∈l
点A不在直线l上
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A不在平面α内
A?α
激趣诱思
知识点拨
文字语言
图形语言
符号语言
直线l在平面α内
l?α
直线l不在平面α内
l?α
直线l和直线m
相交于点A
l∩m=A
平面α与平面β
相交于直线a
α∩β=a
激趣诱思
知识点拨
微思考1
“直线l不在平面α内”就是说“直线l与平面α平行”对吗?
提示:不对,直线l不在平面α内说明直线l与平面α平行或者直线l与平面α相交.
微思考2
若A∈a,a?α,是否可以推出A∈α?
提示:根据直线在平面内定义可知,若A∈a,a?α,则A∈α.
激趣诱思
知识点拨
微练习
如图所示,平面ABEF记作平面α,平面ABCD记作
平面β,根据图形填写:
(1)A∈α,B α,E α,C α,D α.?
(2)α∩β= .?
(3)A∈β,B β,C β,D β,E β,F β.?
(4)AB α,AB β,CD α,CD β,BF α,BF β.
答案:(1)∈ ∈ ? ? (2)AB (3)∈ ∈ ∈ ? ? (4)? ? ? ? ? ?
激趣诱思
知识点拨
知识点二:平面的基本事实
?
文字语言
图形语言
符号语言
基本
事实
1
经过不在一条直线上的3个点,有且只有一个平面,即不共线的3点确定一个平面
若A,B,C三点不共线,则有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α
基本
事实
2
如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
如果A∈α,B∈α,那么直线AB?α
基本
事实
3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,这条直线通常称为两个平面的交线
如果A∈α,A∈β,则α∩β=a且A∈a
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.基本事实1中,“有且只有一个”有两层含义,“有”表示存在,“只有一个”表示唯一,故“有且只有一个”表示存在并且唯一.本事实的作用:①确定平面;②证明点、线共面.
2.基本事实2中,阐述了两个观点:一是整条线在平面内;二是直线上所有点在平面内.本事实的作用:可判断直线是否在平面内,点是否在平面内,也可用直线来检验平面.
3.基本事实3中,此事实中强调的是两个不重合的平面,只要它们有公共点,其交集就是一条直线,若无特别说明,提到的两个平面,都指不重合的两个平面.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
经过空间中的三点,能作出几个平面?
提示:当三点共线时,能作出无数个平面,当三点不共线时,只能过这三点作出唯一的一个平面.
微思考2
两个平面的交线可能是一条线段吗?
提示:不可能.由基本事实3知,两个平面若相交,则它们的交线是一条直线.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
如果直线a?平面α,直线b?平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么( )
A.l?α
B.l?α
C.l∩α=M
D.l∩α=N
答案:A
解析:因为M∈a,N∈b,a?α,b?α,所以M∈α,N∈α,根据基本事实2可知l?α.故选A.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
若两个不重合的平面有公共点,则公共点有( )
A.1个
B.2个
C.1个或无数个
D.无数个且在同一条直线上
答案:D
解析:利用基本事实3可知若两个平面有一个公共点,则它们就一定有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点.
激趣诱思
知识点拨
微练习3
已知直线m?平面α,P?m,Q∈m,则( )
A.P?α,Q∈α
B.P∈α,Q?α
C.P?α,Q?α
D.Q∈α
答案:D
解析:∵Q∈m,m?α,∴Q∈α.∵P?m,∴有可能P∈α,也可能有P?α.
激趣诱思
知识点拨
知识点三:平面基本事实的推论
?
文字语言
图形语言
符号语言
推论1
经过一条直线与直线外一点,有且只有一个平面,即直线与直线外一点确定一个平面
点A?直线BC?存在唯一的平面α,使A∈α,直线BC?α
推论2
经过两条相交直线,有且只有一个平面
直线AB∩直线AC=A?存在唯一的平面α,使
直线AB?α,且
直线AC?α
推论3
经过两条平行直线,有且只有一个平面
l∥m?存在唯一的平面α,使l?α,且m?α
激趣诱思
知识点拨
微思考
经过空间任意两条直线能确定一个平面吗?
提示:不一定.只有经过空间两条相交或平行的直线才能确定一个平面.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
三点可确定平面的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.1或无数个
答案:D
解析:当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确定一个平面.
微练习2
三条直线两两相交,可确定 个平面.?
答案:一或三
解析:当三条直线共点时可确定三个或一个,当三条直线不共点时可确定一个平面.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
文字、图形、符号三种语言的转化
例1用符号语言和文字语言分别表示下面的图形.
解:符号语言:l?α,m∩α=M,M?l.
文字语言:直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点M,点M不在直线l上.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
1用文字语言表示下列符号语言,并画图表示(其中P是点,a,b,m是直线,α,β是平面):
α∩β=m,a?α,b?β,a∩m=P,b∩m=P.
解:用文字语言表示为:分别在两个相交平面α,β内的两条直线a和b相交,且交点P在平面α,β的交线m上.图形如图所示(画法不唯一).
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
证明多线共面问题
例2求证:如果两两平行的三条直线a,b,c都与另一条直线l相交,那么这四条直线共面.
证明:如图所示,
因为a∥b,可知直线a与b确定一个平面,
设为α.
因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α.
又因为A∈l,B∈l,所以由基本事实2可知l?α.
因为b∥c,所以直线b与c确定一个平面β,同理可知l?β.
因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由经过两条相交直线,有且只有一个平面,可知平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l共面.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
2过直线l外一点P,引两条直线PA,PB和直线l分别交于A,B两点.求证:三条直线PA,PB,l共面.
证明:如图所示,∵PA∩PB=P,
∴过PA,PB确定一个平面α.∴A∈α,B∈α.
∵A∈l,B∈l,∴l?α.
∴PA,PB,l共面.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
证明多点共线问题
例3已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求证:P,Q,R三点共线.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
证明:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.
又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.
∴由基本事实3可知:
点P在平面ABC与平面α的交线上,
同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明点线共面的常用方法
(1)归一法:先由部分元素确定一个平面,再证其余元素也在这个平面内,其中第一步要应用基本事实1,第二步要应用基本事实2.
(2)重合法:应用基本事实2,先由部分元素分别确定平面,然后应用基本事实1证明这几个平面重合.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
变式训练
3
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M.求证:C1,O,M三点共线.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
证明:由AA1∥CC1,则AA1与CC1确定一个平面ACC1A1.
∵A1C?平面ACC1A1,而O∈A1C,∴O∈平面ACC1A1.
又A1C∩平面BC1D=O,
∴O∈平面BC1D.
∴O点在平面BC1D与平面ACC1A1的交线上.
又AC∩BD=M,∴M∈平面BC1D且M∈平面ACC1A1.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面ACC1A1,
∴平面ACC1A1∩平面BC1D=C1M,
∴O∈C1M,即C1,O,M三点共线.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
证明三线共点问题
例4如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求证:EF,GH,BD交于一点.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
证明:如图可知,平面ABD∩平面BCD=BD.
所以FH∥GE且GH,EF交于点O.
因为GH?平面ABD,O∈GH.
所以O∈平面ABD.
因为EF?平面BCD,O∈EF,
所以O∈平面BCD.
所以O∈BD.所以EF,GH,BD交于一点.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明三线共点的常用方法
先说明两条直线共面且交于一点,再说明这个点在两个平面内.于是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
延伸探究
(1)例4中将证明EF,GH,BD交于一点改为判断E,F,G,H四点是否共面并证明.
(2)例4中如果将条件改为在AB,BC,CD,DA上分别取点G,E,F,H并且满足GH与EF相交于一点O,结论如何?
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
故GE∥HF且GE≠HF,
所以E,F,G,H四点共面且组成梯形.
(2)EF,GH,BD交于点O.
证明:因为GH与EF相交于一点O,GH在平面ABD内,EF在平面BCD内,所以O在两平面的交线上,而平面ABD与平面BCD交于直线BD,
所以O在BD上,即EF,GH,BD交于点O.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
交线问题
例5如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正方体表面的交线.
(1)过点G及直线AC;
(2)过三点E,F,D1.
分析找出两个平面的两个公共点,则过这两个公共点的直线为两平面的交线.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解:(1)画法:连接GA交A1D1于点M;连接GC交C1D1于点N;连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示.
(2)画法:连接EF交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q;连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N;连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
反思感悟
(1)画两平面的交线时,关键是找到这两个平面的两个公共点,这两个公共点的连线即是.在找公共点的过程中往往要借助于基本事实2和基本事实3.
(2)还要注意:①在平面几何中,凡是所引的辅助线都要画成虚线.
②在立体几何中,被遮挡的部分画成虚线,没被遮挡的部分则画成实线.在学习时,一定要正确添加辅助线,否则将影响空间立体感的形成,不利于空间想象力的培养.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
分类讨论思想的应用
典例三个平面将空间分成几部分?请画出图形.
分析平面具有无限延展性,任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论,再让第三个平面以不同的情况介入,分类解决.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
解:(1)当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)时,将空间分成4部分,如图①所示.
①
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(2)当平面α与平面β平行,平面γ与它们相交(即α∥β,γ与其相交)时,将空间分成6部分,如图②所示.
②
(3)当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线重合时,将空间分成6部分,如图③所示.
③
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(4)当平面α、平面β、平面γ都相交,且三条交线共点,但互不重合时,将空间分成8部分,如图④所示.
④
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
(5)当平面α、平面β、平面γ两两相交,且三条交线平行时,将空间分成7部分,如图⑤所示.
⑤
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
1.下面是一些命题的叙述语(A,B表示点,a表示直线,α,β表示平面):
①∵A∈α,B∈α,∴AB∈α;
②∵A∈α,A∈β,∴α∩β=A;
③∵A?α,a?α,∴A?a;
④∵A∈a,a?α,∴A?α.
其中命题和叙述方法都正确的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:B
解析:③正确.①错,其中的AB∈α应为AB?α.②错,其中α,β应该交于一条过A点的直线.④错,因为点A可能是直线a与平面α的交点.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
2.(2020陕西绥德中学高一期末)下列说法错误的是( )
A.平面α与平面β相交,它们只有有限个公共点
B.经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面
C.经过两条相交直线,有且只有一个平面
D.如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合
答案:A
解析:对于A,平面与平面相交成一条直线,因此它们有无数个公共点,A错误;对于B,直线和直线外一点确定一个平面,B正确;对于C,两条相交直线确定一个平面,C正确;对于D,不共线的三点确定一个平面,D正确.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
3.(1)空间任意4点,没有任何3点共线,它们最多可以确定 个平面.?
(2)空间5点,其中有4点共面,它们没有任何3点共线,这5个点最多可以确定 个平面.?
答案:(1)4 (2)7
解析:(1)可以想象三棱锥的4个顶点,它们总共确定4个平面.
(2)可以想象四棱锥的5个顶点,它们总共确定7个平面.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列叙述正确的是 .(填序号)?
①直线AC1?平面CC1B1B;
②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别
为O,O1,则平面AA1C1C∩平面BB1D1D=OO1;
③点A,O,C只能确定一个平面;
④由点A,C1,B1确定的平面是ADC1B1;
⑤由点A,C1,B1确定的平面和由点A,C1,D确定的平面是同一平面.
答案:②④⑤
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
素养形成
当堂检测
5.判断下列说法是否正确,并说明理由:
(1)一点和一条直线确定一个平面;
(2)经过一点的两条直线确定一个平面;
(3)两两相交的三条直线确定一个平面;
(4)首尾依次相接的四条线段在同一平面内.
解:(1)不正确.如果点在直线上,这时有无数个平面;
(2)正确.经过同一点的两条直线是相交直线,有唯一一个平面.
(3)不正确.三条直线可能交于同一点,也可能有三个不同交点,可以确定1个或3个平面.
(4)不正确.四边形中三点可确定一个平面,而第四点不一定在此平面内,因此,这四条线段不一定在同一平面内.第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.2 构成空间几何体的基本元素
课后篇巩固提升
1.(2020江西南昌新建一中高二开学考试)若平面α和直线a,b满足a∩α=A,b?α,则a与b的位置关系一定是
( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.相交或异面
答案D
解析当A∈b时,a与b相交,当A?b时,a与b异面.
2.“a,b是异面直线”是指:
①a∩b=?,且a,b不平行;②a?平面α,b?平面β,且a∩b=?;③a?平面α,b?平面β,且α∩β=?;④a?平面α,b?平面α;⑤不存在平面α,使a?α,且b?α成立.上述说法中正确的是( )
A.①④⑤
B.①③④
C.②④
D.①⑤
答案D
解析说法①等价于a与b既不相交,又不平行,所以a与b为异面直线.①正确;②③④中a与b可能平行,都不正确;说法⑤等价于a与b不同在任何一个平面内,即a,b异面,⑤正确.
3.(多选题)下列命题中,不正确的命题为( )
A.若直线a上有无数个点不在平面α内,则a∥α
B.若a∥α,则直线a与平面α内任意一条直线都平行
C.若a?α,则a与α有无数个公共点
D.若a?α,则a与α没有公共点
答案ABD
解析AD中,a与α可相交;B中a与α内的直线可异面;故ABD不正确,C正确.
4.已知异面直线a与b满足a?α,b?β,且α∩β=c,则c与a,b的位置关系一定是( )
A.c与a,b都相交
B.c至少与a,b中的一条相交
C.c至多与a,b中的一条相交
D.c至少与a,b中的一条平行
答案B
解析∵a?α,c?α,∴a与c相交或平行.同理,b与c相交或平行.若c∥a,c∥b,则a∥b,这与a,b异面矛盾.∴a,b不能都与c平行,即直线a,b中至少有一条与c相交.
5.(多选题)给出的下列四个命题中,其中不正确的命题是
( )
A.平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面不一定平行
B.平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行
C.平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等,则α与β平行
D.若两个平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交或重合
答案BCD
解析如图,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对于A,在平面A1D1DA中,AD∥平面A1B1C1D1,分别取AA1,DD1的中点E,F,连接EF,则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的,交线为A1D1,故命题A正确.对于B,在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1D1D中,与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条,但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行,而是相交于直线A1D1,故命题B错误.对于C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,分别取AA1,DD1,BB1,CC1的中点E,F,G,H,A1,B,C到平面EFHG的距离相等,而△A1BC与平面EFHG相交,故命题C错误.对于D,两平面位置关系中不存在重合,若重合则为一个平面,故命题D错误.
6.(2020上海高三专题练习)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4
B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行
D.l1与l4的位置关系不确定
答案D
解析如图,
构建长方体ABCD-A1B1C1D1,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA.若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4;若l4=C1D,则l1与l4相交;若取l4=BA,则l1与l4异面;若取l4=C1D1,则l1与l4相交且垂直,因此l1与l4的位置关系不能确定.
7.如图,点G,H,M,N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形是 ,表示直线GH,MN平行的图形是 .(填序号)?
答案②④ ①
解析①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,②④中GH,MN为异面直线.
8.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1、面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有 个.?
答案3
解析如图所示,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.
9.A,B是直线l外两点,过A,B且与l平行的平面有 个.?
答案0,1或无数
解析当直线AB与l相交时,有0个;当直线AB与l异面时,有1个;当直线AB∥l时,有无数个.
10.
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,指出B1C,D1B所在直线与正方体各面所在平面的位置关系.
解B1C所在直线与正方体各面所在平面的位置关系是:B1C在平面BB1C1C内,B1C∥平面AA1D1D,B1C与平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD,平面A1B1C1D1都相交.
D1B所在直线与正方体各面所在平面都相交.(共54张PPT)
11.4.2 平面与平面垂直
课标阐释
思维脉络
1.理解平面与平面垂直的定义.
2.通过直观感知、操作确认,归纳出空间中面面垂直的有关判定方法及性质.
3.掌握平面与平面垂直的判定定理和性质定理,能利用以上定理解决空间中的垂直性问题.
4.理解二面角的定义并能求解二面角大小.
激趣诱思
知识点拨
日常生活中有很多关于面面垂直的例子.如:建筑工人砌墙,请问砌墙时如何使所砌的墙面和水平面垂直?观察门的转动情况,请问门在每个位置是否都与地面垂直?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:二面角
概念
一般地,平面内的一条直线把一个平面分成两部分,其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.这条直线称为二面角的棱,这两个半平面称为二面角的面
图示
激趣诱思
知识点拨
平
面
角
文字
在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足,分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB,则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角
图示
符号
OA?α,OB?β,α∩β=l,O∈l,OA⊥l,OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角
激趣诱思
知识点拨
平
面
角
范围
[0,π]
规定
二面角的大小用它的平面角的大小来度量,即二面角大小等于它的平面角大小.特别地,平面角是直角的二面角称为直二面角
记法
棱为l,面分别为α,β的二面角记为α-l-β.如图所示,也可在α,β内(棱以外的半平面部分)分别取点P,Q,将这个二面角记作二面角P-l-Q
激趣诱思
知识点拨
一般地,两个平面相交时,它们所成角的大小,指的是它们所形成的4个二面角中,不大于90°的角的大小
激趣诱思
知识点拨
微思考
二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关?
提示:无关.如图,
根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角.( )
(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.( )
(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角.( )
(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√
激趣诱思
知识点拨
知识点二:两个平面垂直及其判定定理、性质定理
定义:一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面互相垂直,记作α⊥β.
?
判定定理
性质定理
文字
语言
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直
如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
图形
语言
符号
语言
?α⊥β
?a⊥β
激趣诱思
知识点拨
名师点析
对判定定理的理解此定理不仅是判定两个平面互相垂直的理论依据,还是找出或作出与已知平面垂直的平面的理论依据,该定理实现了线面垂直和面面垂直之间的转化,可以简单记为“线面垂直得面面垂直”.应用时可先固定一个平面,再在另一个平面内找到一条直线与第一个平面垂直即可.
对性质定理的理解此定理实现了面面垂直和线面垂直之间的转化,可以简单记为“面面垂直得线面垂直”,该定理也给出了过一点引一个平面垂线的方法.
两个平面垂直的性质还有:(1)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内;(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.
激趣诱思
知识点拨
微思考1
过平面α的一条垂线能作多少个平面与平面α垂直?
提示:无数个.可以将自己的课本打开立放在桌面上进行观察.
微思考2
两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系是怎样的?
提示:两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系可能是平行,也可能是相交,还可能是在平面内.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
如图所示,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有( )
A.1对 B.2对
C.3对
D.4对
激趣诱思
知识点拨
答案:C
解析:∵AB⊥平面BCD,且AB?平面ABC和AB?平面ABD,
∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥CD.
又∵BC⊥CD,AB∩BC=B,∴CD⊥平面ABC.
∵CD?平面ACD,∴平面ABC⊥平面ACD.
故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD,平面ABC⊥平面ACD.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:平面ABCD⊥平面BDD1B1.
证明:∵BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
∴BB1⊥平面ABCD.又BB1?平面BDD1B1,
∴平面ABCD⊥平面BDD1B1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
求二面角的大小
例1如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.
(1)求二面角A-PD-C的平面角的度数;
(2)求二面角B-PA-D的平面角的度数;
(3)求二面角B-PA-C的平面角的度数;
(4)求二面角B-PC-D的平面角的度数.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
因为四边形ABCD为正方形,所以CD⊥AD.
又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.
又CD?平面PCD,所以平面PAD⊥平面PCD.
所以二面角A-PD-C的平面角的度数为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AD⊥PA.
所以∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.
又由题意知∠BAD=90°,
所以二面角B-PA-D的平面角的度数为90°.
(3)因为PA⊥平面ABCD,所以AB⊥PA,AC⊥PA.
所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.
又四边形ABCD为正方形,所以∠BAC=45°.
所以二面角B-PA-C的平面角的度数为45°.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(4)作BE⊥PC于点E,连接DE,BD,且BD与AC交于点O,连接EO,如图.
由题意知△PBC≌△PDC,则∠BPE=∠DPE,
从而△PBE≌△PDE.
所以∠DEP=∠BEP=90°,且BE=DE.
所以∠BED为二面角B-PC-D的平面角.
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,
所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.
设AB=a,则PA=AB=BC=a,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
作二面角的平面角的方法
方法一(定义法):在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.
如图所示,∠AOB为二面角α-a-β的平面角.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法二(垂线法):过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线,过垂足作棱的垂线,利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.
如图所示,∠AFE为二面角A-BC-D的平面角.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
方法三(垂面法):过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即二面角的平面角.
如图所示,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
1(1)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面分别平行,则这两个二面角的大小关系是( )
A.相等
B.互补
C.相等或互补
D.大小关系不确定
(2)已知Rt△ABC,斜边BC?α,点A?α,AO⊥α,O为垂足,∠ABO=30°,∠ACO=45°,求二面角A-BC-O的大小.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)答案:C
解析:可作出这两个二面角的平面角,易知这两个平面角的两边分别平行,故这两个二面角相等或互补.
(2)解:如图所示,在平面α内,过点O作OD⊥BC,垂足为点D,连接AD.
设OC=a,
∵AO⊥α,BC?α,
∴AO⊥BC.又∵AO∩OD=O,
∴BC⊥平面AOD.
而AD?平面AOD,
∴AD⊥BC,∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角.
由AO⊥α,OB?α,OC?α知AO⊥OB,AO⊥OC.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
面面垂直的判定
例2如图所示,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA=60°,又SA=SB=SC.求证:平面ABC⊥平面SBC.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
证明:(方法一)
∵∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,
∴△ASB和△ASC是等边三角形,
令SA=SB=SC=AB=AC=a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D,如图所示,连接AD,SD,
则AD⊥BC,SD⊥BC,
∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(方法二)
∵SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
∴SA=AB=AC,
∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
∵△SBC为直角三角形,
∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,
∴AD⊥平面SBC.
又∵AD?平面ABC,
∴平面ABC⊥平面SBC.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
证明面面垂直的方法
(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;
(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,
AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
证明:由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1,
又BM?平面BCC1B1,
所以A1B1⊥BM.
又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.
又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,
从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M=B,所以BM⊥平面A1B1M,
因为BM?平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
面面垂直的性质
例3如图,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平面PAC⊥平面ABC.
(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明;
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)BC⊥平面PAC.
证明:因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,
所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.
又因为平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,BC?平面ABC,
所以BC⊥平面PAC.
(2)因为BC⊥平面PAC,且BC?平面PBC,
所以平面PBC⊥平面PAC.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
3如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,P,A,B均是定点,则动点C运动形成的图形是( )
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:D
解析:因为平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC?平面PAC,且平面PAC∩平面PBC=PC,
所以AC⊥平面PBC.
又因为BC?平面PBC,
所以AC⊥BC,所以∠ACB=90°,
所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆,
除去A和B两点,故选D.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探索型问题
例4在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,且AB=BC,能否在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC⊥侧面AA1C1C?若能,指出点E的位置,并求解;若不能,请说明理由.
解:如图,
作EM⊥A1C于点M,
因为截面A1EC⊥平面AA1C1C,
所以EM⊥平面AA1C1C.
取AC的中点N,连接BN,MN.
因为AB=BC,所以BN⊥AC.
而AA1⊥平面ABC,AA1?平面AA1C1C,
所以平面ABC⊥平面AA1C1C,且交于AC,
所以BN⊥平面AA1C1C.
所以BN∥EM,BN⊥MN.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
又BE∥平面AA1C1C,平面BEMN∩平面AA1C1C=MN,所以BE∥MN∥A1A.
所以四边形BEMN为平行四边形.
因为AN=NC,所以A1M=MC.
即E为BB1的中点时,平面A1EC⊥平面AA1C1C.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
1.垂直关系的相互转化
2.探究型问题的两种解题方法
(1)(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件.
(2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛盾,否定假设,确定使结论成立的条件不存在.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
延伸探究
如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且
=λ(0<λ<1).
(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC;
(2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(1)证明:因为AB⊥平面BCD,
所以AB⊥CD.
因为CD⊥BC,且AB∩BC=B,
所以CD⊥平面ABC.
所以不论λ为何值,恒有EF∥CD.
所以EF⊥平面ABC,EF?平面BEF.
所以不论λ为何值,恒有平面BEF⊥平面ABC.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)解:由(1)知,BE⊥EF,
因为平面BEF⊥平面ACD,
所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC.
因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
注意由几何体的所属范围不同而进行的分类讨论
典例已知在四边形ABCD中,四个角∠ABC,∠BCD,∠CDA,∠DAB都是直角.求证:四边形ABCD是矩形.
证明:(1)当四边形ABCD是平面四边形时,易得其是矩形.
(2)若四边形ABCD是空间四边形,可设点C在平面ABD之外,如图所示,设C'是点C在平面ABD内的射影,
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
因为AD?平面ABD,CC'⊥平面ABD,所以CC'⊥AD.又CD⊥AD,CC'∩CD=C,所以AD⊥平面CC'D,
所以C'D⊥AD.同理C'B⊥AB.
将②③代入①得BD2>BD2,矛盾,故四边形ABCD不可能是空间四边形,只能是平面四边形,
所以四边形ABCD是矩形.
探究一
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探究三
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当堂检测
方法点睛1.要避免错误,一定要将有关定理或性质的适用条件及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证.
2.涉及空间中讨论问题,不能仅局限于初中所学平面几何的范畴.一些平面几何中的结论也不能随意照搬到立体几何中.
探究一
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探究三
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变式训练
如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正方形,则平面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗?
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探究三
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当堂检测
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD.
∵BB1⊥底面ABCD,∴AC⊥B1B.
∵B1B∩BD=B,∴AC⊥对角面BB1D1D.
又∵AC?平面ACB1,
∴平面ACB1⊥对角面BB1D1D.
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1.(多选题)已知两条直线l,m及三个平面α,β,γ,下列条件中能推出α⊥β的是( )
A.l?α,l⊥β
B.l⊥α,m⊥β,l⊥m
C.α⊥γ,β∥γ
D.l?α,m?β,l⊥m
答案:ABC
解析:如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直,知选项A正确;选项B显然正确;如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面,那么另一个平面也垂直于这个平面,知选项C正确;D选项α与β可能平行.
探究一
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探究三
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当堂检测
2.过两点与已知平面垂直的平面有( )
A.一个
B.无数个
C.一个或无数个
D.可能不存在
答案:C
解析:当两点连线与平面垂直时,有无数个平面与已知平面垂直;当两点连线与平面不垂直时,有且只有一个平面与已知平面垂直.
探究一
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探究三
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当堂检测
3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的大小是 .?
答案:45°
解析:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥平面AD1,则AB⊥AD1.又AB⊥AD,所以∠D1AD为二面角D1-AB-D的平面角,在Rt△D1AD中,∠D1AD=45°.
探究一
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探究三
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当堂检测
4.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则折叠后BC= .?
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
答案:1
解析:因为在△ABC中,AD⊥BC,
所以折叠后有AD⊥BD,AD⊥CD,
所以∠BDC是二面角B-AD-C的平面角.
因为平面ABD⊥平面ACD,所以∠BDC=90°.
探究一
探究二
探究三
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当堂检测
5.如图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SCD⊥底面ABCD.求证:平面SCD⊥平面SBC.
证明:∵底面ABCD是矩形,∴BC⊥CD.
又平面SCD⊥平面ABCD,
平面SCD∩平面ABCD=CD,BC?平面ABCD,
∴BC⊥平面SCD.
又∵BC?平面SBC,∴平面SCD⊥平面SBC.第十一章立体几何初步
11.3 空间中的平行关系
11.3.1 平行直线与异面直线
课后篇巩固提升
1.如果直线a,b相交,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是( )
A.b∥α
B.b∥α或b与α相交
C.b与α相交
D.b在α内
答案B
2.异面直线是指( )
A.空间中两条不相交的直线
B.分别位于两个不同平面内的两条直线
C.平面内的一条直线与平面外的一条直线
D.空间中既不平行也不相交的两条直线
答案D
解析对于A,空间两条不相交的直线有两种可能,一是平行(共面),另一个是异面.∴A应排除.对于B,分别位于两个平面内的直线,既可能平行也可能相交也可能异面,如图,就是相交的情况,∴B应排除.
对于C,如图的a,b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b,显然它们是相交直线,∴C应排除.只有D符合定义.故选D.
3.(多选题)(2020江苏西亭高级中学高一期中)a,b,c是空间中的三条直线,下列说法正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交
C.若a,b分别在两个相交平面内,则这两条直线可能平行、相交或异面
D.若a与c相交,b与c异面,则a与b异面
答案AC
解析由平行线的传递性知A正确;若a与b相交,b与c相交,则a与c可能平行、相交或异面,B错误;易知C正确;若a与c相交,b与c异面,则a与b可能相交、平行或异面,故D错误.
4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是棱AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是( )
A.直线GH和MN平行,GH和EF相交
B.直线GH和MN平行,MN和EF相交
C.直线GH和MN相交,MN和EF异面
D.直线GH和EF异面,MN和EF异面
答案B
解析易知GH∥MN,又因为E,F,M,N分别为中点,由平面基本事实3可知EF,DC,MN交于一点.故选B.
5.已知a,b为异面直线,且a?α,b?β,若α∩β=l,则直线l
( )
A.与a,b都相交
B.与a,b都不相交
C.至少与a,b之一相交
D.至多与a,b之一相交
答案C
解析若a,b与l都不相交,则a∥l,b∥l,即a∥b,与a,b是异面直线矛盾.故选C.
6.已知直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是( )
A.相交
B.平行
C.异面
D.以上都有可能
答案D
解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交.
因为A1B1与AA1相交,
所以AB∥A1B1.
因为AD与AA1相交,所以AB与AD相交.
因为A1D1与AA1相交,
所以AB与A1D1异面.故选D.
7.已知a,b,c均是直线,则下列命题一定成立的是( )
A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
B.若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.若a与b异面,b与c异面,则a与c也是异面直线
答案C
解析A中a,c可以平行或相交,A不正确;B中a,c可以平行或异面,B不正确;由平行直线的传递性可知C正确,D中a,c可以平行或相交.故选C.
8.设a,b,c表示直线,给出以下四个论断:①a⊥b;②b⊥c;③a⊥c;④a∥c.以其中任意两个为条件,另外的某一个为结论,写出你认为正确的一个命题 .?
答案④①?②
解析由两平行线中一条直线垂直一条直线,则另一直线也垂直这条直线,即④①?②.
9.空间中角A的两边和另一个角B的两边分别平行,A=70°,则B= .?
答案70°或110°
解析∵角A的两边和角B的两边分别平行,
∴A=B或A+B=180°.
又A=70°,∴B=70°或110°.
10.已知a,b,c是空间中的三条直线,a∥b,且a与c的夹角为θ,则b与c的夹角为 .?
答案θ
解析本题考查空间中直线的夹角问题.因为a∥b,所以a,b与c的夹角相等.因为a与c的夹角为θ,所以b与c的夹角也为θ.
11.
如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:E,F,G,H四点共面;
(2)若四边形EFGH是矩形,求证:AC⊥BD.
证明(1)在△ABD中,∵E,H分别是AB,AD的中点,∴EH∥BD.
同理FG∥BD,则EH∥FG.
故E,F,G,H四点共面.
(2)由(1)知EH∥BD,同理AC∥GH.
又四边形EFGH是矩形,∴EH⊥GH.故AC⊥BD.(共54张PPT)
11.4.1 直线与平面垂直
课标阐释
思维脉络
1.理解异面直线所成角的含义,结合实例概括出直线与平面垂直的定义,了解直线与平面垂直的性质.
2.理解线面垂直的判定定理,能运用文字语言、图形语言和符号语言对该定理加以表述,初步学习运用该定理判定或论证直线与平面垂直问题.
3.理解线面垂直的有关性质,并能运用这些性质进行论证.
4.了解点到平面的距离的定义.
激趣诱思
知识点拨
英国发明家瓦特(1736—1819)获得了蒸汽机专利后,从一个大学实验员一跃成为博尔顿—瓦特公司的老板,还成为英国皇家学会的会员,引起了许多旧贵族的不满.据说,在一次皇家音乐会上,有个贵族故意嘲讽地对瓦特说:“乐队指挥手里拿的东西在物理学家眼里仅仅是棒子而已.”瓦特回答道:“是的,那的确是根棒子,但是我可以用这样3根棒子组成12个直角,而你做不到.”
那个贵族不服气地用3根指挥棒在桌上摆来摆去,可始终无法摆出12个直角.你能拼出12个直角吗?
激趣诱思
知识点拨
知识点一:直线与直线所成角
一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a',b',则a'与b'所成角的大小,称为异面直线a与b所成角的大小.
为了方便起见,规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°,这样一来,空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.特别地,空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,称l与m垂直,记作l⊥m.
显然,若a∥b且b⊥c,则一定有a⊥c.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线( )
A.有无数条
B.有两条
C.至多有两条
D.有一条
答案:A
解析:我们现在研究的平台是锥空间.如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为 .?
解析:设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,
所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.
激趣诱思
知识点拨
知识点二:直线与平面垂直
1.定义:直线l与平面α垂直,指的是直线l与平面α内过它们公共点的所有直线都垂直.
2.充要条件:由空间中两条直线相互垂直的定义可知,直线l与平面α垂直的充要条件是直线l与平面α内的任意直线都垂直.这可以用符号表示为l⊥α??m?α,l⊥m.
3.画法:
通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示.
激趣诱思
知识点拨
名师点析
对线面垂直定义的理解
1.定义中的“任何一条直线”的含义是所有,而不是无数,这里要避免两个错误:(1)一条直线垂直于一个平面内的一条直线,它就垂直于这个平面;(2)一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,它就垂直于这个平面.
2.直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形,类似于平面内两条相交直线垂直是两直线相交的特殊情形.
激趣诱思
知识点拨
微思考
如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,能说这条直线与这个平面垂直吗?这时该直线与这个平面的位置关系是怎样的?
提示:如果一条直线与平面内的无数条直线垂直,这条直线与这个平面不一定垂直,此时该直线与这个平面可能平行,可能相交,也可能在平面内.
激趣诱思
知识点拨
微判断
(1)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α.( )
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.( )
(3)垂直于同一条直线的两条直线垂直.( )
(4)垂直于同一个平面的两条直线平行.( )
(5)垂直于同一条直线的直线和平面平行.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线l⊥平面α,直线m?α,则l与m不可能( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.垂直
答案:A
解析:∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,
又∵m?α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.
激趣诱思
知识点拨
知识点三:直线与平面垂直的判定定理与推论
1.判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直
图形语言
符号语言
若l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=P,则l⊥α
激趣诱思
知识点拨
2.结论
文字语言
如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面
图形语言
符号语言
若m∥n,m⊥α,则n⊥α
激趣诱思
知识点拨
3.性质定理
文字语言
如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行
图形语言
符号语言
若a⊥α,b⊥α,则a∥b
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1.判定定理中三个条件:两个线线垂直和一个线线相交,缺一不可.此定理可简记为线线垂直?线面垂直.
2.结论及性质定理将线线平行和线面垂直融合在一起,完成了平行与垂直关系的转化.
激趣诱思
知识点拨
微练习1
一条直线分别垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.其中不能保证该直线与平面垂直的是( )
A.①③
B.②
C.②④
D.①②④
答案:C
解析:因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而②④中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选C.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.
证明:∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB?平面ABCD,AD?平面ABCD,
∴AA1⊥平面ABCD.
又∵EF⊥平面ABCD,
∴EF∥AA1.
激趣诱思
知识点拨
知识点四:直线与平面所成的角
1.定义:如果A是平面α外一点,B是平面α内一点,则AB⊥α时,AB是平面α的垂线段.类似地,如果C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称AC是平面α的斜线段(相应地,直线AC称为平面α的斜线,称C为
斜足).
因为B为A在平面α内的射影,所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影.特别地,∠ACB称为直线AC与平面α所成的角.
结论:平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线.
激趣诱思
知识点拨
2.规定:一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角等于90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角等于0°.因此,直线与平面所成的角的范围是[0°,90°].
激趣诱思
知识点拨
微练习1
如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则直线AB与平面α所成的角是( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.120°
答案:A
解析:∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=
,即∠ABO=60°.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于 .?
激趣诱思
知识点拨
答案:45°
解析:因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,
即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
直线与直线所成角
例1如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2
,D,E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC所成角的大小.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:如图,取AC的中点F,连接DF,EF,
在△PAC中,∵D是PC的中点,F是AC的中点,
∴DF∥PA,同理可得EF∥BC,
∴∠DFE为异面直线PA与BC所成的角(或其补角).
在△DEF中,DE=3,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
求异面直线所成的角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
1在四面体A-BCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别是BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.
解:如图,取BD的中点G,连接EG,FG.
∵E,F,G分别是BC,AD,BD的中点,
∴∠EGF(或∠EGF的补角)为AB与CD
所成的角,又AB与CD成30°角,
即∠EGF=30°或150°.
∵AB=CD,∴EG=GF,
故由等腰三角形EGF知∠GFE=75°或15°.
而由FG∥AB知,∠GFE就是EF和AB所成的角.
从而EF和AB所成的角为75°或15°.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
线面垂直的判定
例2
如图所示,Rt△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点,
所以SD⊥AC.
因为AD=BD,又因为SB=SA,SD=SD,
所以△ADS≌△BDS.所以SD⊥BD.
又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.
(2)因为BA=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC.
又由(1)知SD⊥BD,
AC∩SD=D,所以BD⊥平面SAC.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧
证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形或正方形的对角线、直角三角形中的勾股定理及其逆定理等都是找线线垂直的方法.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,DD1=2,P为DD1的中点.求证:直线PB1⊥平面PAC.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
证明:连接B1C,
所以△PB1C是直角三角形,所以PB1⊥PC.
同理可得PB1⊥PA.
因为PC∩PA=P,所以直线PB1⊥平面PAC.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
线面垂直性质定理的应用
例3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交,垂足分别为F,E.求证:EF∥BD1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
证明:如图所示,连接AB1,B1C,BD.
因为DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以DD1⊥AC.
又AC⊥BD,DD1∩BD=D,
所以AC⊥平面BDD1.
又BD1?平面BDD1,
所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.
又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥AC,EF⊥A1D,又A1D∥B1C,
所以EF⊥B1C.又AC∩B1C=C,
所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:(1)MN∥AD1;
(2)M是AB的中点.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
证明:(1)因为四边形ADD1A1为正方形,
所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
(2)如图,设AD1与A1D的交点为O,连接ON,
在△A1DC中,
A1O=OD,A1N=NC,
所以ON∥AM.
又因为MN∥OA,∴四边形AMNO为平行四边形.
所以ON=AM.
所以M是AB的中点.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
线面角
例4在正方体ABCD-A1B1C1D1中:
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
解:(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,
∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角.
(2)连接A1C1交B1D1于点O,连接OB,
在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,
∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1,
∴BB1⊥A1C1.
又BB1∩B1D1=B1,
∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为点O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
∴∠A1BO=30°.
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
反思感悟
求线面角的方法
求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.
探究一
探究二
探究三
探究四
素养形成
当堂检测
变式训练
4如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( )
探究一
探究二
探究三
探究四
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当堂检测
答案:D
解析:∵AA1⊥平面A1B1C1D1,
∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角,
∵AA1=1,AB=BC=2,∴AC1=3,
探究一
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逻辑推理、数学运算在求解距离中的应用
典例如图所示,已知P为△ABC外一点,PA,PB,PC两两垂直,PA=PB=PC=a,求点P到平面ABC的距离.
思路分析方法一:作出点到平面的垂线,进一步求出垂线段的长.方法二:利用等积法转化求解.
探究一
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解:(方法一)过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,
所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC.
因为PA=PB=PC=a,
所以△PAO≌△PBO≌△PCO.
所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.
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方法点睛1.求点到平面距离的基本步骤是:
(1)找到或作出要求的距离;
(2)使所求距离在某一个三角形中;
(3)在三角形中根据三角形的边角关系求出距离.
2.求点到平面距离的常用方法:
(1)直接过点作面的垂线,求垂线段的长,通常是化归到某一个直角三角形中去求解;
(2)转移法:借助于线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离求解;
(3)等积法:利用三棱锥的特征选择恰当的底面来求点到面的距离(即棱锥的高).
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变式训练
在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,取对角线BD上一点E,连接PE,PE⊥DE,则PE的长为 .?
解析:如图所示,连接AE.
因为PA⊥平面ABCD,
BD?平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又因为BD⊥PE,PA∩PE=P,
所以BD⊥平面PAE,所以BD⊥AE.
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1.(2020上海高二期末)①垂直于同一直线的两条不同的直线平行;②垂直于同一平面的两条不同的直线平行;③平行于同一平面的两条不同的直线平行;④平行于同一直线的两条不同的直线平行.以上4个命题中真命题的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B
解析:对于①,在空间中,垂直于同一直线的两条不同的直线可能平行、相交或异面,故①错误;对于②,由线面垂直的性质可得垂直于同一平面的两条不同的直线平行,故②正确;对于③,平行于同一平面的两条不同的直线可能平行、相交或异面,故③错误;对于④,由平行的传递性可得平行于同一直线的两条不同的直线平行,故④正确.
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2.如图,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是( )
A.平行
B.垂直且相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
答案:C
解析:连接AC,因为ABCD是菱形,所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD,则BD⊥MC.因为AC∩MC=C,所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC,所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面,因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
探究一
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3.如图所示,AB是☉O的直径,PA⊥平面☉O,C为圆周上一点,AB=5
cm,AC=2
cm,则点B到平面PAC的距离为 .?
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解析:连接BC,因为
C为圆周上的一点,AB为直径,
所以BC⊥AC.
又因为PA⊥平面☉O,BC?平面☉O,
所以PA⊥BC.
又因为PA∩AC=A,
所以BC⊥平面PAC,点C为垂足,
所以线段BC的长度即为点B到平面PAC的距离.
在Rt△ABC中,
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4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,
AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.
(1)求PB和平面PAD所成的角的大小;
(2)求证:AE⊥平面PCD.
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(1)解:在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,AB?平面ABCD,
所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,PA∩AD=A,
所以AB⊥平面PAD.
所以PB在平面PAD内的射影为PA,
即∠APB为PB和平面PAD所成的角.
在Rt△PAB中,AB=PA,
故∠APB=45°.
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(2)证明:在四棱锥P-ABCD中,
因为PA⊥底面ABCD,CD?平面ABCD,
所以CD⊥PA.
因为CD⊥AC,PA∩AC=A,
所以CD⊥平面PAC.
又AE?平面PAC,所以AE⊥CD.
由PA=AB=BC,∠ABC=60°,
可得AC=PA.
因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.
又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.第十一章立体几何初步
11.1 空间几何体
11.1.3 多面体与棱柱 11.1.4 棱锥与棱台
课后篇巩固提升
基础达标练
1.下列四种说法:
①底面是矩形的平行六面体是长方体;
②棱长相等的直四棱柱是正方体;
③有两条侧棱垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;
④侧面对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
其中,正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案A
解析①不正确,除底面是矩形外还应满足侧棱与底面垂直才是长方体;②不正确,当底面是菱形时就不是正方体;③不正确,两条侧棱垂直于底面一边不一定垂直于底面,故不一定是直平行六面体;④正确,对角线相等的平行四边形是矩形,由此可以推测此时的平行六面体是直平行六面体.故选A.
2.(2020山东高一期中)下列命题正确的是( )
A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体是棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱
C.若棱柱被一平面所截,则分成的两部分一定是棱柱
D.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
答案B
解析对于A,如图①所示的几何体中有两个面平行,其余各面都是四边形,该几何体不是棱柱,故A不正确;对于B,由棱柱的定义可知正确;对于C,分成的两部分不一定是棱柱,故C不正确;对于D,如图②所示的几何体中有两个面平行,其余各面都是平行四边形,该几何体不是棱柱.
3.下列命题中正确的是( )
A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.棱台的底面是两个相似的正方形
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
答案D
解析A中的平面不一定平行于底面,故A错;B中侧棱不一定交于一点;C中底面不一定是正方形.故选D.
4.
(2020河北衡水中学高三月考)如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1
cm,高为5
cm,一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为( )
A.12
B.13
C.
D.15
答案C
解析将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱展开,
再拼接一次,其侧面展开图如图所示,在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.由已知求得矩形的长等于6×1=6,宽等于5,由勾股定理d=.
5.(多选题)(2020全国高一课时练习)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )
A.①是棱台
B.②是圆台
C.③是棱锥
D.④是棱柱
答案CD
解析题图①中的几何体不是由棱锥被一个平面所截得到的,且上、下底面不是相似的图形,所以不是棱台;
题图②中的几何体上、下两个面不平行,所以②不是圆台;题图③中的几何体是三棱锥;题图④中的几何体前、后两个面平行,其他面都是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行,所以④是棱柱.
6.如图是正方体外面朝上的展开图,则在这个正方体中:①AF与CN是异面直线;②BM与AN平行;③AF与BM成60°角;④BN与DE平行.以上四个命题中,所以正确命题的序号是( )
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③④
答案A
解析将
正方体的展开图还原为正方体EFMN-ABCD,如图所示,可得AF与CN是异面直线,故①正确;连接AN,则BM与AN平行,故②正确;因为BM∥AN,
所以∠NAF是异面直线AF与BM所成的角,因为△NAF为等边三角形,所以∠NAF=60°,故③正确;BN与DE是异面直线,故④错误.
7.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8
cm
和18
cm,侧棱长为13
cm,则其表面积为 .?
答案1
012
cm2
解析由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h==12(cm),
所以S侧=4××(8+18)×12=624(cm2),S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),于是表面积为S=624+64+324=1
012(cm2).
8.(2020上海高三专题练习)若A={四棱柱},B={平行六面体},C={直平行六面体},D={正方体},E={正四棱柱},F={长方体},则它们之间的包含关系为 .?
答案D?E?F?C?B?A
解析四棱柱:底面是四边形的柱体是四棱柱;平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;直平行六面体:侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面体;长方体:底面是长方形的直平行六面体是长方体;正四棱柱:底面是正方形的长方体是正四棱柱;正方体:各个面都是正方形的正四棱柱.根据以上概念,可得D?E?F?C?B?A.
9.(2020山东烟台理工学校高一期中)已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16,侧棱长为4,则这个棱锥的斜高为 ,高为 .?
答案2 2
解析如图所示,
由题意知,正四棱锥底面边长为4,又侧棱长为4,所以侧面为等边三角形,取G为CD的中点,在等边三角形VCD中,VG=VC=2,V在平面ABCD的投影为正方形ABCD的中心O,在Rt△BCD中,DB==4.
则DO=DB=2,所以在Rt△VOD中,VO==2.
10.如图,M是棱长为2
cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.?
答案
解析由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2
cm,3
cm,故两点之间的距离是
cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是
cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm.
11.观察下列四张图片,结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征.
解(1)是上海世博会中国馆,其主体结构是四棱台.
(2)是法国卢浮宫,其主体结构是四棱锥.
(3)是国家游泳中心“水立方”,其主体结构是四棱柱.
(4)是美国五角大楼,其主体结构是五棱柱.
能力提升练
1.
(2020陕西咸阳实验中学高一月考)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒,如图所示,则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)( )
答案A
解析根据正方体礼品盒的表面展开图的对面是相同的图案可知,展开图同图案不能相邻,B,C,D中都有相同的图案相邻,故选A.
2.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图,若图中“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是
( )
A.1
B.0
C.快
D.乐
答案B
解析如图得到正方体,从图中可以看到“1”在正方体的后面,“快”在正方体的右面,“乐”在前面,下面、左面均为“0”.故选B.
3.(多选题)正方体截面的形状有可能为( )
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
答案ABD
解析画出截面图形如图,
可以画出正三角形但不是直角三角形(如图①);可以画出正方形(如图②);经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形.但此时不可能是正五边形(如图③);正方体有六个面,用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形,且可以画出正六边形(如图④).故选ABD.
4.(2020河北沧州一中高一期末)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于中国古代建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.如图①,这是一种常见的鲁班锁玩具,图②是该鲁班锁玩具的直观图,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为( )
A.8(6+6)
B.6(8+8)
C.8(6+6)
D.6(8+8)
答案A
解析由题图可知,该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+2的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体,且被截去的正三棱锥的底面边长为2,侧棱长为,则该几何体的表面积为S=6×[(2+2)2-4×]+8××2×=8(6+6).故选A.
5.在五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱的对角线共有 条.?
答案10
解析在上底面选一个顶点,同时在下底选一个顶点,且这两个顶点不在同一侧面上,这样上底面每个顶点对应两条对角线,所以共有10条.
6.已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC(即正四面体S-ABC),则其表面积为 .?
答案a2
解析由于四面体S-ABC的四个面是全等的等边三角形,所以四面体的表面积等于其中任何一个面的面积的4倍.所以S△SBC=a2sin
60°=a2.
因此,四面体S-ABC的表面积S=4×a2=a2.
7.中国古代,建筑工匠们非常注重在建筑中体现数学美,方形和圆形的应用比比皆是.在唐、宋时期的单檐建筑中较多存在∶1的比例关系,这是当时工匠们着意设计的常见比例,今天,A4纸之所以流行的重要原因之一,就是它的长与宽的比无限接近∶1,我们称这种满足了∶1的矩形为“优美”矩形.现有一长方体ABCD-A1B1C1D1,AD1=2,AC=2,AC1=2,则此长方体的表面六个矩形中,“优美”矩形的个数为 .?
答案4
解析由题意,
该长方体如图所示,∵AD1=2,AC=2,AC1=2,
∴CC1==2,AD==4,
CD==2,
∴AB=CD=2,AA1=CC1=2,∴.
=2,∴此长方体的表面六个矩形中,“优美”矩形的个数为4.
8.
(2020全国高一课时练习)正六棱锥被过棱锥高的中点且平行于底面的平面所截,得到正六棱台和较小的棱锥.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比;
(2)若大棱锥的侧棱长为12
cm,小棱锥的底面边长为4
cm,求截得的棱台的侧面积与全面积.
解(1)设小棱锥的底面边长为a,斜高为h,则大棱锥的底面边长为2a,斜高为2h,∴S大棱锥侧=6××2a×2h=12ah,S小棱锥侧=6×ah=3ah,
∴棱台的侧面积为12ah-3ah=9ah,因此,大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比为4∶1∶3.
(2)∵小棱锥底面边长为4
cm,∴大棱锥底面边长为8
cm.∵大棱锥的侧棱长为12
cm,
∴其斜高为=8(cm),
∴S大棱锥侧=6××8×8=192(cm2),
∴棱台的侧面积为×192=144(cm2),S棱台上底面=6××42=24(cm2),S棱台下底面=6××82=96(cm2),
∴S棱台全=144+120(cm2).故棱台的侧面积为144
cm2,全面积为(144+120)cm2.
素养培优练
在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着某底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中:
(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗?
(2)水的形状不断变化,可能是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗?
(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对?
解(1)不对.水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状,因而可以是矩形,但不可能是其他非矩形的平行四边形.
(2)不对.水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后,剩余部分的几何体,此几何体是棱柱,水比较少量,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱或五棱柱,但不可能是棱台或棱锥.
(3)①不对.只有一条棱着地水面才是矩形;②不对.只有一条棱着地水才是棱柱.