四川省阆中市高级中学校2020-2021学年高一（仁智班）下学期开学考试数学试题 Word版含答案

四川省阆中中学校高中2020级仁智班2021春入学考试
数 学 试 题
（时间：120分钟 满分：150分）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．设全集为实数集，集合，，则
A． B．
C． D．
2． 点D是所在平面上一点，满足，则
A． B．
C． D．
3． 己知，b=lnπ，c=2ln2，则的大小关系为
A．a4． 函数的图象大致为
A．B．C．D．
5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，
则
A． B． C． D．
6．已知，则
A． B． C． D．
7．函数的最小值为
A． B． C． D．
8．函数的部分图
象如图所示，要得到函数的图象，只
需将函数的图象
A．向右平移长度单位 B．向左平移长度单位
C．向左平移长度单位 D．向右平移长度单位
9．2020年11月24日凌晨4时30分，中国文昌航天发射场，又一次“重量级”发射举世
瞩目.长征五号遥五运载火箭点火升空，托举嫦娥五号探测器至地月转移轨道，开启
我国首次地外天体采样返回之旅，已知火箭的最大速度（单位：）和燃料质
量（单位：）、火箭质量（单位：）的关系是.若火
箭的最大速度为，则（ ）（参考数值：）
A． B． C．10 D．100
10．已知函数，若实数a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝
f（c），则abc的取值范围是
A．（1，2） B．（e，2e）
C．（-∞，1）∪（2，＋∞） D．（-∞，e）∪（2e，＋∞）
11．若角满足，则
A． B．或 C． D．或
12．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面
积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减
上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”也把这种方法称为“三斜求积术”，
设的内角，，的对边分别为，，，则.
若，，则用“三斜求积术”求得的的面积为
A． B．2 C． D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上。
13．函数的最大值为___________．
14．在中，若，则___________．
15．在边长为2的等边三角形中，，为线段中点，则
____________．
16．关于函数，有下列命题：
①图象关于轴对称； ②当时，是增函数；当时，是减函数；
③的最小值是；④当和时，分别是增函数；
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知单位向量，，且，求：
（1）向量，的夹角；（2）；
（3）若向量与向量垂直，求实数k的值.
18．（本小题满分12分）已知，．试求：
（1）sin2的值； （2）的值.
19．（本小题满分12分）如图，在四边形ABCD中，AB=4，，.
（1）求sin∠B；（2）若AB=4AD，求CD的长.
20．（本小题满分12分）已知函数是定义在上的偶函数，已知当时，
.
（1）求函数的解析式；
（2）画出函数的图象，并写出函数的
单调递增区间；
（3）求在区间上的值域.
21．（本小题满分12分）2020年，突如其来的新冠肺炎疫情席卷全球，此次疫情传播速
度之快、感染范围之广、防控难度之大均创历史之最.面对疫情，我国政府快速应对，
在这次疫情大考的实践中凸显了中国社会主义制度的优越性，在向全球提供支援及
分享抗疫经验中体现出了大国担当的责任和情怀.据报载，截至目前，我国有5种疫
苗正在开展三期临床试验.下图为某种疫苗在按规定的剂量使用后，每毫升血液中的
含药量（微克）与时间（小时）之间的近似曲线，其中，，为线段，
且所在直线的斜率（形如的直线，其中k为斜率）为.当时，
与之间满足：（其中为常数）.
（1）结合图象，写出使用后与之间的函数关系
式，其中；
（2）根据进一步的测定：每毫升血液中含药量不少
于微克时治疗有效，求使用一次治疗有效的时间范围.
22.（本小题满分12分）已知向量，
函数图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求的解析式；（2）若且，求的值.
阆中中学校高2020级入学考试（仁智）数学试卷参考答案
1．B；2．A；3．A
4．D【详解】由可得，所以函数的定义域为，
当时，，所以，，可得，故排除选项AC，当时，，所以，，可得，排除选项B
5．C【详解】在中，，，由正弦定理，
得，因为，所以，所以为锐角，所以．项.
6．A【解析】∵，∴，
两边平方，得，∴．故选A．
7．B【详解】由
因为 所以当时故选：B
8．D【详解】由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象可得A=1，再根据=×=，求得ω=2，最小正周期T=π．
再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．
=,所以应该向右右平移长度单位.故答案为D
9．D【详解】由题意，火箭的最大速度和燃料质量、火箭质量的关系是，可得，即，所以，可得.故选：D.
10．B【详解】假设如图
由，所以，则
令，所以由，所以所以，故故选：B
11．B【详解】将两边平方得，
又，化简得，
当时，，此时，则，
当时，即，由倍角公式得，综上，满足条件的或.故选：B.
A【详解】因为所以，即
由余弦定理可得
所以所以故选：A
13．2
14．【解析】因为，所以．由正弦定理，知，
所以＝＝．
【详解】由题可知，，为线段中点
则：,
，且,所以：
=.故答案为:-2.
①③④
【详解】①定义域为，又满足，是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，①正确；
②当时，，令，在上是减函数，在上是增函数，故复合函数在上是减函数，在上是增函数，根据偶函数性质得复合函数在单调递增，在单调递减，②不正确；
③当时，，又是偶函数，所以函数的最小值是，正确；
④由②知在上 单调递增，在上是增函数，故在上是增函数，故④正确.故答案为：①③④.
17．【详解】（1）设向量的夹角为；由已知得，；
；；
；；.
（2）；
（3）向量与向量垂直，.
，解得.
18．【解析】（1）由，，得
∴＝
（2）∵
∴＝
19．【解析】（1）因为，
所以，
由正弦定理知，，即，解得.
（2）因为,且，所以.
因为，所以，
即，由余弦定理知，，
即，，，解得.
20．【详解】（1）∵函数是定义在上的偶函数∴对任意的都有成立∴当时，即
∴
（2）图象如右图所示函数的单调递增区间为和.（写成开区间也可以）（3）由图象，得函数的值域为.
21．【详解】（1）当，设，将代入可得；由可知线段所在的直线方程为，即，∴.将点代入可得，所以：.
（2）当时，由得，故.
当时，由可得，故.
当时，由可得，故，综上满足条件的的范围是.
22．【解析】（1）
， ，即
（2） ，