四川省阆中市高级中学校2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题 Word版含答案

四川省阆中中学校高2020级2021春入学考试
数 学 试 题
（考试时间：120分钟 满分：150分 ）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
设集合A＝{x|e≤x≤4}，B＝{x|2＜x＜π}（这里e为自然对数的底数），则A∩B＝
A．{x|2＜x≤4} B．{x|e≤x＜π} C．{x|e≤x≤4} D．{x|2＜x＜π}
2. 若函数为对数函数，则a＝
A．1 B．2 C．3 D．4

A． B． C． D．
4. 已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．2 B．3 C．2 ?2 D．?3
已知中内角，，的对边分别是，，，且，，，
则
A．7 B． C． D．
若a，b，c满足，则
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
7. 已知tanA=2，则
A． B． C． D．
8. 函数f（x）＝ax﹣2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P又在幂函数g（x）
的图象上，则g（3）的值为
A．4 B．8 C．9 D．16
已知△ABC，=2，若+，则λ=
A．1 B．2 C．3 D．4
已知函数f（x）＝是R上的单调函数，则实数a的取值范围为
A．[） B．[] C．（0，] D．[）
11. 已知中，内角，，所对的边长分别为，，．若，，，则的面积等于
A． B． C． D．
12. 若定义运算a*b＝，则函数g（x）＝（﹣x2﹣2x+4）*（﹣x+2）的值域为
A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．（﹣∞，4）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 若函数y＝loga（x﹣7）+2恒过点A（m，n），则＝　　．
14. 已知，与的夹角为30°，则________．
36493452222515. 从以下七个函数：y＝x，y＝，y＝x2，y＝2x，y＝log2x，
y＝sinx，y＝cosx中选取两个函数记为f（x）和g（x），
构成函数F（x）＝f（x）+g（x），若F（x）的图象如图
所示，则F（x）＝　 　．
已知f（x）是定义在（1，+∞）上的减函数，若对于任意的x，y∈（1，+∞），均
有f（x）+f（y）＝f（2x+y），且f（2）＝1，则不等式f（x）+f（x﹣1）﹣2≥0
的解集为　 　．
三、解答题（共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
17.（本小题10分）已知全集U＝R，集合A＝{x|a＜x≤a+2，a∈R}，B＝{x|﹣1＜x＜3}．
（1）若a＝1，求（?UA）∩B；
（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
18.（12分）已知.
（1）化简；
（2）若，求的值.
19.（本小题12分）已知，，在同一平面内，且.
（1）若，且，求；
（2）若，且，求与的夹角的余弦值.
20.（本小题12分）已知向量a，b，函数．
（1）求的最大值与周期；
（2）求的单调递增区间．
21.（本小题12分）已知二次函数满足，且的图
象经过点.
（1）求的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围.
22.（本小题12分）已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的θ∈[0，]，f（cos2θ+λsinθ+2）0恒成立，求实数λ
的取值范围.
阆中中学校2021年春高2020级入学教学质量检测
数 学 试 题 参 考 答 案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
A
D
A
D
C
C
B
C
A
1、解：∵e＞2，π＜4，∴A∩B＝{x|e≤x＜π}，故选：B．
【知识点】交集及其运算
2、解：∵函数为对数函数，∴a2﹣3a+2＝0，则a＝1（舍去）或a＝2，故选：B．
【知识点】对数函数的定义
3、解：∵，
∴．故选C．
4、解：由，，得，则，．故选A．
【名师点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
5、解：由余弦定理得，所以，故选D．
6、解：∵2a＝3，∴a＝log23，∵1＝log22＜log23＜log25，∴b＞a＞1，
∵3c＝2，∴c＝log32，∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴0＜c＜1，∴b＞a＞c，故选：A．
【知识点】对数值大小的比较
7、解：tanA=2，则．故选D．
8、解：∵f（x）＝ax﹣2+3，令x﹣2＝0，得x＝2，∴f（2）＝a0+3＝4，∴f（x）的图象恒过点（2，4）．
设幂函数g（x）＝xα，把P（2，4）代入得2α＝4，∴α＝2，∴g（x）＝x2，∴g（3）＝32＝9，
376301093980故选：C．
【知识点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域
9、解：∵=2，=3=3（），
∴+3–3=3–2．
∴λ=3，μ=–2．故选C．
10、解：①a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数；∴f（x）在R上是增函数；
显然f（x）在（﹣∞，1]上不是增函数；∴a＞1的情况不存在；
②0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数；
∴f（x）在R上是减函数；
∴；解得；综上得，实数a的取值范围为．故选：B．
【知识点】函数单调性的性质与判断
11、解：由，根据正弦定理可得，又，
所以，即 ，则
所以为等边三角形，则，故选C．
12、解：定义运算a*b＝，令 （﹣x2﹣2x+4）＝（﹣x+2），可得x＝﹣2，或 x＝1．
故当﹣2≤x≤1时，（﹣x2﹣2x+4）≥（﹣x+2）；当x＜﹣2，或 x＞1时，（﹣x2﹣2x+4）＜（﹣x+2）．
则函数g（x）＝（﹣x2﹣2x+4）*（﹣x+2）＝，如图：
红色曲线为y＝﹣x2﹣2x+4的图象，蓝色曲线为y＝﹣x+2的图象，．
故g（x）的最大值为g（﹣2）＝4，g（x）没有最小值，即g（x）的值域为（﹣∞，4]，故选：A．
【知识点】函数的值域
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13
2
14
15
16
13、解：∵函数y＝loga（x﹣7）+2恒过点A（m，n），令x﹣7＝1，求得x＝8，y＝2，
可得函数的图象经过定点（8，2）．
若函数y＝loga（x﹣7）+2恒过点A（m，n），则m＝8，n＝2，则＝＝2.
故答案为：2．
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
14、．
15、解：由图象可知，函数F（x）的定义域为R，故排除y＝，y＝log2x，
又F（x）的图象过定点（0，1），
当x＞0时，F（x）＞1且为增函数，当x＜0时，F（x）大于0与小于0交替出现，
故排除y＝x，y＝x2，
∵y＝2x过（0，1），且当x＞0时，y＞1，当x＜0时，0＜y＜1．
若包含y＝cosx，当x＝0时，y＝1，y＝2x+cosx不满足过点（0，1），
∴只有y＝2x+sinx满足．
故答案为：2x+sinx．
【知识点】函数的图象与图象的变换
16、解：根据f（x）+f（y）＝f（2x+y），f（2）＝1，可得2＝1+1＝f（2）+f（2）＝f（24），
由f（x）+f（x﹣1）﹣2≥0，得f（x）+f（x﹣1）≥2，可化为f（22x﹣1）≥f（24），
由f（x）是定义在（1，+∞）上的减函数， 得，解得，
所以不等式f（x）+f（x﹣1）﹣2≥0的解集为．故答案为：．
【知识点】抽象函数及其应用
三、解答题（共70分）
17．已知全集U＝R，集合A＝{x|a＜x≤a+2，a∈R}，B＝{x|﹣1＜x＜3}．
（1）若a＝1，求（?UA）∩B；（2）若A∪B＝B，求实数a的取值范围．
解：（1）a＝1时，全集U＝R，集合A＝{x|1＜x≤3}，B＝{x|﹣1＜x＜3}．
∴?UA＝{x|x≤1或x＞3}，
（?UA）∩B＝{x|﹣1＜x≤1}． ……………………………………5分
（2）∵集合A＝{x|a＜x≤a+2，a∈R}，B＝{x|﹣1＜x＜3}，A∪B＝B，
∴A?B，
∴，解得﹣1≤a＜1．
∴实数a的取值范围是[﹣1，1）． ……………………………………10分
18.已知.
（1）化简；（2）若，求的值.
解:（1） ……………6分
（2），两边平方并化简得，
……………………………………9分
. ……………………………………12分
19、已知，，在同一平面内，且.
（1）若，且，求；（2）若，且，求与的夹角的余弦值.
解: （1）设，因，，，
所以，解得或，所以或； ……………6分
（2）因为，所以，
又，，
所以，所以，
所以. ……………………………………12分
20、已知向量a，b，函数．
（1）求的最大值与周期；（2）求的单调递增区间．
解:（1）因为，……………4分
所以的最大值为，此时，即 ……7分
所以． ……………………………………8分
（2）令，所以，
所以单调增区间为：． ……………………………………12分
21、已知二次函数满足，且的图象经过点.
（1）求的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数x的取值范围.
解:（1）设，
则，
因为，，得，，
又因为图象经过点，，则，
故； ……………………………………6分
（2）设，，
因为当时，不等式恒成立，
，即，解得.
故的取值范围是 ……………………………………12分
22、已知定义域为R的函数f（x）是奇函数．
（1）求a，b的值；（2）证明：函数f（x）在R上是减函数；
（3）若对任意的θ∈[0，]，f（cos2θ+λsinθ+2）0恒成立，求实数λ的取值范围.
解:（1）由题意，定义域为R的函数是奇函数．
得f（0）＝0，f（﹣1）＝﹣f（1），
∴b＝1，a＝2，
那么f（x），
由f（﹣x）f（x），
故得b＝1，a＝2符合题意； ……………………………………3分（无验证给2分，扣1分）
（2）由（1）可得f（x），
设x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1），
∵x1＜x2，∴
则f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）；
∴函数f（x）在R上是减函数； ……………………………………6分
（3）由，即，
∵f（1），f（x）在R上是减函数；
∴cos2θ+λsinθ+2＞1，θ∈[0，]，
即2﹣sin2θ+λsinθ＞0，θ∈[0，]恒成立， ……………………………………8分
设sinθ＝t，（0≤t≤1），
∴2﹣t2+λt＞0， ……………………………………9分
当t＝0时，2＞0恒成立， ……………………………………10分
当0＜t≤1时，转化为，
∵函数y在（0，1]递增，
∴，
即λ>﹣1； ……………………………………11分
故得实数λ的取值范围(﹣1，+∞）． ……………………………………12分