2021年北师大版数学八年级下册第四章单元检测题（word版含解析）

北师大版数学八年级下册第四章单元检测题
姓名：
得分：
一、选择题
1．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2
B．（x﹣8）2
C．（x+4）（x﹣4）
D．（x+8）（x﹣8）
2．下列代数式变形正确的是（　　）
A．﹣a+b=（a+b）
B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）
C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2
D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣3
3．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2﹣1
B．x2+2x﹣1
C．x2+x+1
D．4x2+4x+1
4．因式分解4﹣4a+a2正确的是（　　）
A．（2﹣a）2
B．（2+a）2
C．（2﹣a）（2+a）
D．4（1﹣a）+a2
5．把x2y﹣y分解因式，正确的是（　　）
A．y（x2﹣1）
B．y（x+1）
C．y（x﹣1）
D．y（x+1）（x﹣1）
6．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2+9=（x+3）2
B．a2+2a+4=（a+2）2
C．a3﹣4a2=a2（a﹣4）
D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4x）
7．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（　　）
A．x2﹣4
B．x3﹣4x2﹣12x
C．x2﹣2x
D．（x﹣3）2+2（x﹣3）+1
8．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）=am+an
B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
9．把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（　　）
A．a（a﹣4）
B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（
a﹣2）
D．（a﹣2
）2﹣4
10．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣2x+1=（x﹣1）2
B．ax﹣ay+a=a（x﹣y）+a
C．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）+1
D．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x
11．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（　　）
A．4
B．0
C．﹣3
D．﹣4
12．多项式x2﹣4分解因式的结果是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）
B．（x﹣2）2
C．（x+4）（x﹣4）
D．x（x﹣4）
二、填空题
13．分解因式：x2﹣4=　
　．
14．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是　
　．
15．因式分解：x2+6x=　
　．
16．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=　
　．
17．分解因式：ab﹣b2=　
　．
三、解答题
18．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．
(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．
19．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．
(1)求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；
(2)若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．
20．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最小的“和平数”是　
　，最大的“和平数”是　
　；
(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
21．
(1)计算：（﹣+）÷（﹣）
(2)分解因式：x3﹣4x．
22．将下列各式因式分解：
(1)x2﹣9
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
(3)4x2﹣3y（4x﹣3y）
(4)（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
　
23．数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：
2962=（300﹣4）2=3002﹣2×300×（﹣4）+42=90000+2400+16=92416
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．
答案与解析
1．把多项式x2﹣8x+16分解因式，结果正确的是（　　）
A．（x﹣4）2
B．（x﹣8）2
C．（x+4）（x﹣4）
D．（x+8）（x﹣8）
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣8x+16=（x﹣4）2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
　
2．下列代数式变形正确的是（　　）
A．﹣a+b=（a+b）
B．﹣4a2+b2=（2a﹣b）（2a+b）
C．（﹣x﹣y）2=（x+y）2
D．x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣3
【考点】54：因式分解﹣运用公式法；36：去括号与添括号；4C：完全平方公式．
【专题】选择题
【分析】直接利用添括号法则以及公式法分解因式、配方法的应用分别分析得出答案．
【解答】解：A、﹣a+b=﹣（a﹣b），故此选项错误；
B、﹣4a2+b2=（b﹣2a）（2a+b），故此选项错误；
C、（﹣x﹣y）2=（x+y）2，正确；
D、x2﹣4x﹣3=（x﹣2）2﹣7，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了添括号法则以及公式法分解因式、配方法的应用，正确掌握运算法则是解题关键．
　
3．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　）
A．x2﹣1
B．x2+2x﹣1
C．x2+x+1
D．4x2+4x+1
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：4x2+4x+1=（2x+1）2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解，熟记公式是解题关键．
　
4．因式分解4﹣4a+a2正确的是（　　）
A．（2﹣a）2
B．（2+a）2
C．（2﹣a）（2+a）
D．4（1﹣a）+a2
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】直接利用公式法分解因式进而得出答案．
【解答】解：4﹣4a+a2=（2﹣a）2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
　
5．把x2y﹣y分解因式，正确的是（　　）
A．y（x2﹣1）
B．y（x+1）
C．y（x﹣1）
D．y（x+1）（x﹣1）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】先提取公因式y，然后利用平方差公式进行分解．
【解答】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1）．
故选：D．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
　
6．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2+9=（x+3）2
B．a2+2a+4=（a+2）2
C．a3﹣4a2=a2（a﹣4）
D．1﹣4x2=（1+4x）（1﹣4x）
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】选择题
【分析】各项利用提取公因式法及公式法分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式不能分解，错误；
B、原式不能分解，错误；
C、原式=a2（a﹣4），正确；
D、原式=（1+2x）（1﹣2x），错误，
故选C
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（　　）
A．x2﹣4
B．x3﹣4x2﹣12x
C．x2﹣2x
D．（x﹣3）2+2（x﹣3）+1
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】对各多项式进行因式分解即可求出答案．
【解答】解：（A）原式=（x+2）（x﹣2），结果中含有因式（x﹣2）；
（B）原式=x（x2﹣4x﹣12）=x（x+2）（x﹣6），结果中不含有因式（x﹣2）；
（C）原式=x（x﹣2），结果中含有因式（x﹣2）；
（D）原式=[（x﹣3）+1]2=（x﹣2）2，结果中含有因式（x﹣2）；
故选B
【点评】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解的方法，本题属于基础题型．
　
8．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（　　）
A．a（m+n）=am+an
B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选C
【点评】本题考查因式分解的意义，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
　
9．把多项式a2﹣4a分解因式，结果正确的是（　　）
A．a（a﹣4）
B．（a+2）（a﹣2）
C．a（a+2）（
a﹣2）
D．（a﹣2
）2﹣4
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】多项式提取公因式即可得到结果．
【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4）．
故选A
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．
　
10．下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．x2﹣2x+1=（x﹣1）2
B．ax﹣ay+a=a（x﹣y）+a
C．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）+1
D．x2﹣4+3x=（x+2）（x﹣2）+3x
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】根据因式分解的意义，可得答案．
【解答】解：A、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A符合题意；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；
C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解得意义是解题关键．
　
11．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（　　）
A．4
B．0
C．﹣3
D．﹣4
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】首先利用相反数的定义得出a+b=0，再利用提取公因式法将原式变形求出答案．
【解答】解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2+ab﹣4=a（a+b）﹣4
=0﹣4
=﹣4，
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式的应用以及相反数的定义，正确将原式变形是解题关键．
　
12．多项式x2﹣4分解因式的结果是（　　）
A．（x+2）（x﹣2）
B．（x﹣2）2
C．（x+4）（x﹣4）
D．x（x﹣4）
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】选择题
【分析】直接利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
　
　
13．分解因式：x2﹣4=　
　．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【专题】填空题
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．
故答案为：（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．
　
14．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是　
　．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】直接提公因式x即可．
【解答】解：原式=x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
　
15．因式分解：x2+6x=　
　．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】根据提公因式法，可得答案．
【解答】解：原式=x（6+x），
故答案为：x（x+6）．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．
　
16．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=　
　．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】通过两次提取公因式来进行因式分解．
【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．
故答案是：（x+1）（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
　
17．分解因式：ab﹣b2=　
　．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】填空题
【分析】根据提公因式法，可得答案．
【解答】解：原式=b（a﹣b），
故答案为：b（a﹣b）．
【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式法是解题关键．
　
18．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．
(1)求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；
(2)若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)根据题意可以表示出M的友谊数，然后作差再除以15即可解答本题；
(2)根据题意可以表示出N和N的团结数，然后作差即可解答本题．
【解答】解：(1)由题意可得，
设M为100a+10b+c，则它的友谊数为：100b+10a+c，
（100a+10b+c）﹣（100b+10a+c）
=100a+10b+c﹣100b﹣10a﹣c
=100（a﹣b）+10（b﹣a）
=90（a﹣b），
∵，
∴M与其“友谊数”的差能被15整除；
(2)由题意可得，
N=2×100+10a+b=200+10a+b，
N的团结数是：10×2+a+10a+2+10×2+b+10×b+2+10a+b+10b+a=22a+22b+44，
∴22a+22b+44﹣（200+10a+b）=24，
解得，或，
即N是284或218．
【点评】本题考查因式分解的应用、解二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
　
19．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．
(1)求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；
(2)若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，由于m2﹣64=20（5t2+8t），于是得到结论；
(2)根据已知条件得到10t+8=（p+q）（p﹣q），于是得到H（28）=，H（48）=或H（48）==或H（48）=，即可得到结论．
【解答】(1)证明：设m=10t+8，1≤t≤9，且t为整数，
∴m2﹣64=（10t+8）2﹣64=100t2+160t+64﹣64=20（5t2+8t），
∵1≤t≤9，且t为整数，
∴5t2+8t是正整数，
∴m2﹣64一定为20的倍数；
(2)解：∵m=p2﹣q2，且p，q为正整数，
∴10t+8=（p+q）（p﹣q），
当t=1时，18=1×18=2×9=3×6，没有满足条件的p，q；
当t=2时，28=1×28﹣3×14=4×7，
其中满足条件的p，q的数对有（8，6），即28=82﹣62，
∴H（28）=，
当t=3时，38=1×38=2×19，没有满足条件的p，q；
当t=4时，48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8，
满足条件的p，q的数对为或或，
解得：或或，
即48=132﹣92=82﹣42=72﹣12，
∴H（48）=或H（48）==或H（48）=，
∵，
∴H（m）的最大值为．
【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解”好数”和“友好数对”是解题的关键．
　
20．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．
例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．
(1)直接写出：最小的“和平数”是　
　，最大的“和平数”是　
　；
(2)求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；
(3)将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．
例如：1423与4132为一组“相关和平数”
求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)根据题意即可得到结论；
(2)设这个“和平数”为，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7，②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；
(3)设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），于是得到+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），即可得到结论．
【解答】解：(1)由题意得，最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999，
故答案为：1001，9999；
(2)设这个“和平数”为，
则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，
∴2c+a=12k，
即a=2、4，6，8，d=4、8、12（舍去）、16（舍去），
、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，
可知c+1=6k且a+b=c+d，
∴c=5则b=7，
②、当a=4，d=8时，
2（c+2）=12k，
可知c+2=6k且a+b=c+d，
∴c=4则b=8，
综上所述，这个数为2754和4848．
(3)设任意的两个“相关和平数”为，（a，b，c，d分别取0，1，2，…，9且a≠0，b≠0），
则+=1100（a+b）+11（c+d）=1111（a+b），
即两个“相关和平数”之和是1111的倍数．
【点评】本题考查了因式分解的应用，正确的理解新概念和平数”是解题的关键．
　
21．
(1)计算：（﹣+）÷（﹣）
(2)分解因式：x3﹣4x．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；1G：有理数的混合运算．
【专题】解答题
【分析】(1)原式利用除法法则变形，再利用乘法分配律计算即可得到结果；
(2)原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：(1)原式=（﹣+）×（﹣72）
=﹣56+27﹣10
=﹣39；
(2)原式=x（x2﹣4）
=x（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及有理数的混合运算，熟练掌握因式分解的方法及运算法则是解本题的关键．
　
22．将下列各式因式分解：
(1)x2﹣9
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
(3)4x2﹣3y（4x﹣3y）
(4)（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】解答题
【分析】(1)直接利用平方差公式分解因式得出答案；
(2)首先提取公因式﹣3m，进而利用十字相乘法分解因式得出答案；
(3)首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；
(4)首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：(1)x2﹣9=（x+3）（x﹣3）；
(2)﹣3ma2+12ma﹣9m
=﹣3m（a2﹣4a+3）
=﹣3m（a﹣1）（a﹣3）；
(3)4x2﹣3y（4x﹣3y）
=4x2﹣12xy+9y2，
=（2x﹣3y）2；
(4)（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3
=（a+2b）2+2（a+2b）+1，
=（a+2b+1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
　
23．数学课上老师出了一道题：计算2962的值，喜欢数学的小亮举手做出这道题，他的解题过程如下：
2962=（300﹣4）2=3002﹣2×300×（﹣4）+42=90000+2400+16=92416
老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了解题中的错误，你认为小亮的解题过程错在哪儿，并给出正确的答案．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】运用完全平方公式进行正确的计算后即可得到正确的结果．
【解答】解：答案：错在“﹣2×300×（﹣4）”，
应为“﹣2×300×4”，公式用错．
∴2962=（300﹣4）2
=3002﹣2×300×4+42?
=90000﹣2400+16
=87616．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是了解完全平方公式的形式并正确的应用．