等差、等比数列习题课

等差、等比数列习题课
等差数列与等比数列是两类重要的数列，是高考中8个C级考点中的两个，所以对于等差与等比数列来说，要能解决与等差、等比数列相关的综合问题。在等差与等比数列中经常涉及到的数学思想有：分类讨论思想、函数与方程思想、等价转化思想、归纳思想，希望同学们通过例题及相关习题的复习能够有较系统的了解与理解。
【例1】（1）已知数列是等差数列，则数列是 数列；
（2）正项数列为等比数列，则数列是 数列．
【分析】作为客观题，有同学喜欢取特殊数列来判断，但本题不宜取太特殊的数列（常数数列）来判断．判断一个数列是等差或等比数列的方法很多，可以用定义、通项、等差或等比中项、前项和特点等．方法较多，要学会灵活选取．
【解】（1）因为数列是等差数列，所以，
即，所以，又因为，所以数列是等比数列．
（2）同理可得是等差数列．
【评注】等差数列与等比数列之间也有一定的联系，如：数列且是等差数列，则数列为等比数列．反之，正项数列为等比数列，则数列且是等差数列．注意 “正项”数列． 同学们还可以考虑有没有类似的结论。
【例2】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12．求这四个数．
【分析】可以抓住前三个数成等差数列来设元；也可以考虑后三个数成等比数列来设元．不同的设未知数的方法，导致本题的解法较多．我们不妨按第二种设法来求解．
【解】设四个数为，则，
解方程组得：，或．所以所求的四个数为15，9，3，1；或0，4，8，16．
【评注】本题若将四个数设为，根据题中四个条件列出四个方程，再解方程组，计算量较大，容易出错．通常情况下：三个数成等差，可设为；三个数成等比，可设为或（如果知成等比的三个数的积，常用这种设法）．正确而巧妙地设未知数，可以快捷正确求解．
【例3】已知递减的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后又成等差数列，求数列的前项和．
【分析】知等比数列的前三项积，可得首项、公比的一个关系式，也可利用性质得到等比中项，再据另一条件列式求解．
【解】由及等比数列的性质得：,设公比为,
则、、 成等差，所以 ，
（舍去），或．数列是以首项为，公比为2的等比数列，
所以数列的前项和为，即和为．
【评注】抓住数列的特征，是求一个数列的前项和的基础与关键。
【例4】 数列的前项的和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）等差数列的各项均为正数，其前项的和为，且，又，，成等比数列，求．
【分析】条件给出的是和与项之间的关系，要求通项往往将和转化为项，进而得到相邻两项之间的关系，如果是特殊关系，立即可以得到通项公式．
【解】（1）当时，，所以，又，，即，所以是公比为3的等比数列，故．
（2）设的公差为，则由，得．
依题意有，得．
故．
【评注】本题主要涉及等差、等比数列的通项公式、前项的和公式、和与项的关系等基础知识，灵活利用这些知识是解决本题的关键．