抛物线的简单几何性质

(共27张PPT)
抛物线的简单几何性质
图 形 焦 点 准 线 方 程
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:
(1)范围
(2)对称性
(3)顶点
类比探索
x≥0,y∈R
关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.
抛物线和它的轴的交点.
x
O
y
（4）离心率:
l
F
y
x
O
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示。
由抛物线的定义可知，e=1
特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
P越大,开口越开阔
方程
图
形
范围
对称性
顶点
离心率
y2 = 2px
（p＞0）
y2 = -2px
（p＞0）
x2 = 2py
（p＞0）
x2 = -2py
（p＞0）
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
x∈R
y≥0
y≤0
x∈R
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于x轴对称
关于y轴对称
关于y轴对称
（0,0）
（0,0）
（0,0）
（0,0）
e=1
e=1
e=1
e=1
例3、已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M ,求它的标准方程.
解:∵抛物线关于x轴对称,顶点在坐标原点,经过点M , ∴设它的标准方程为
∵点M在抛物线上,∴
即p=2 ,∴所求抛物线方程是以y2=4x
思考:顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴,并且经过点M 的抛物线有几条 求出它们的标准方程.
抛物线标准方程的求法：①直接法、②待定系数法——先定位、后定量
先定位
后定量
练习 ： 课本63页练习1
例4.斜率为1的直线 经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
l
F
y
x
O
A
B
解:由抛物线 ,得 ∴焦
点F的坐标为(1,0),
由(1)代入(2),得,
∵斜率为1的直线 经过抛物线的焦点F,
∴直线 的方程为
由
∴由两点间的距离公式,得
线段AB的长为8
解:由抛物线 ,得 ∴焦
点F的坐标为(1,0),
由(1)代入(2),得,
∵斜率为1的直线 经过抛物线的焦点F,
∴直线 的方程为
由
解法二:
设A,B两点到准线的距离分别是
线段AB的长为8
x
y
O
F
A
B
B’
A’
焦点弦的长的求法:到焦点的距离转为到准线的距离
特别地:如果直线过抛物线的焦点与对称轴垂直，则弦长为
l
F
y
x
O
A
B
B‘
A’
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，
交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆
和这抛物线的准线相切．
证明：如图．
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜
＝｜AF｜＋｜BF｜
＝｜AD｜＋｜BC｜
=2｜EH｜
练习：创新 预习测评 4
分析:
直线与抛物线有两个公共点时△>0
分析:
直线与抛物线没有公共点时△<0
注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论
作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形
判断直线与抛物线位置关系的操作程序
把直线方程代入抛物线方程
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与抛物线的
对称轴平行
相交（一个交点）
计 算 判 别 式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
y
O
x
B
A
课本64页 B2