2020--2021学年北师大版七年级数学下册5.3 简单的轴对称图形（第3课时）课件（共27张）

5.3 简单的轴对称图形
（第3课时）

北师大版 数学 七年级 下册
A
B
D
C
E
下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线,你能说明它的道理吗？
导入新知
1. 通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质.
2. 学会角平分线的画法.
素养目标
3. 能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.
做一做:
（1）在一张纸上任意画∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合；
（2）在折痕（即角平分线）上任意取一点C，过点C分别向∠AOB的两边折垂线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，折痕CD与CE能重合吗？
改变点C的位置，CD和CE还相等吗？
知识点 1
角平分线的性质
探究新知
猜想:
可以看到,第一条折痕是∠AOB的平分线OP,第二次折叠形成的两条折痕CD,CE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
探究新知
验证猜想
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
试说明：PD=PE.
C
A
O
B
P
D
E
解：
因为 PD⊥OA,PE⊥OB，
所以 ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
所以△PDO ≌△PEO(AAS).
所以PD=PE.
探究新知
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
作用：
证明线段相等.
应用格式：
因为OP 是∠AOB的平分线，
所以PD = PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
探究新知
判一判：（1）因为如下左图，AD平分∠BAC（已知），
所以 = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2)因为如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
所以 = ,
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
探究新知
例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且∠ B= ∠ C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明： 因为AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
所以 DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在△BDE 和 △CDF中，
所以△BDE ≌ △CDF(AAS).
所以EB=FC.
角平分线的性质的应用
素养考点 1
∠ B= ∠C ，
DE=DF ，
∠DEB=∠DFC
探究新知
如图，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB边上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.试说明：PM＝PN.
解：因为OD平分∠AOB，∠1＝∠2，
又因为OA＝OB，OD＝OD，
所以△AOD≌△BOD，所以∠3＝∠4，
又因为PM⊥DB，PN⊥DA，
所以PM＝PN(角平分线上的点到角两边的距离相等)．
巩固练习
变式训练
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，
PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
探究新知
利用角平分线的性质求线段的长度
素养考点 2
解析：因为AM 是∠BAC的平分线，
PD⊥OB,PE⊥OC，
所以PD = PE=4
A
B
C
P
如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB=14.
则点P到AB的距离为_______.
D
4
巩固练习
变式训练
探究1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
探究2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
探究新知
知识点 2
角平分线的画法
探究3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
B
C
(E)
D
探究新知
解： 在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
所以 △ACD≌ △ACB（SSS）
所以∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应边相等）
所以AE平分∠DAB（角平分线的定义）
A
B
M
N
C
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
探究新知
探究4：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？
利用尺规，作∠AOB的平分线．
已知：∠AOB．
求作：射线 OC，使∠AOC =∠BOC．
探究新知
2．分别以D，E为圆心．大于 DE的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．
作法：
1．在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．
3．作射线OC．
OC就是∠AOB的平分线．

O
B
A
C
E
D
探究新知
先任意画一个角，然后将它四等分.
作法：画出已知角∠AOB .
1.作∠AOB 的平分线OC.
2.分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE，即将∠AOB四等分 .
O
B
A
C
E
D
巩固练习
（2020?怀化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，
交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为（　　）
A．3 B．1.5 C．2 D．6
连接中考
A
1.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
A
B
C
D
3
E
基础巩固题
课堂检测
2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A.SSS B.ASA C.AAS
D.角平分线上的点到角两
边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
课堂检测
基础巩固题
3. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
F
解析：过点D作DF⊥AC于F，
因为AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，
所以DF=DE=2，
解得AC=3.
课堂检测
基础巩固题
4.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB=10，BC=8，AC=6，求BE，AE的长和△AED的周长.
解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）因为BD平分∠ABC ，所以∠ABD= ∠DBC
在△CDB和△EDB中，
DC=DE， ∠BED= ∠DCB ， ∠ABD= ∠DBC
所以△CDB≌△EDB(AAS)，
所以BE＝BC=8.
所以AE＝AB-BE=2.
所以△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
E
D
C
B
A
8
10
C
D
课堂检测
基础巩固题
如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.试说明：CE=CF.
解：因为CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG，
所以DE＝DF, ∠DCE= ∠DCF, ∠DEC= ∠DFC.
所以△CDE≌△CDF(AAS)，
所以CE＝CF.
课堂检测
能力提升题
如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
因为 AD∥BC，
所以 MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
因为AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB，
所以PM= PE.
同理， PN= PE.
所以PM= PN= PE=3.
所以MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
课堂检测
拓广探索题
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
课堂小结
课后作业
作业
内容
教材作业
从课后习题中选取
自主安排
配套练习册练习