重庆市南开区高级中学校2021届高三下学期第五次质量检测考试（五）数学试题 Word版含答案

重庆南开中学高2021级高三第五次质量检测
数学试题
一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知a，b∈R，集合A＝{a＋5，a2-1}，B＝{a，b}，若A∩B＝{3}，则A∪B＝
A．{-2，3} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，7}
2．已知i是虚数单位，若复数false，其中a，b为实数，则|a＋bi|的值为
A．false B．10 C．false D．2
3．设m是直线，α、β是两个不同的平面，且α⊥β，则“m∥β”是“m⊥α”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．二项式false的展开式中，常数项为
A．-672 B．672 C．-84 D．84
5．将函数false（ω＞0）的图象向左平移false个单位后所得函数的图象关于直线false对称，则当ω取最小值时，函数f（x）的最小正周期为
A．3π B．2π C．false D．false
6．已知函数false，则false
A．false B．false C．-2 D．false
7．过抛物线C：y2＝4x的焦点F作倾斜角为false的直线l交C于A、B两点，以C的准线上一点M为圆心作圆M经过A、B两点，则圆M的面积为
A．96π B．48π C．32π D．16π
8．已知实数a、b，满足a＝log23＋log64，3a＋4a＝5b，则关于a、b下列判断正确的是
A．a＜b＜2 B．b＜a＜2 C．2＜a＜b D．2＜b＜a
二、多项选择题：本题共4小题．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．“读书破万卷，下笔如有神”、“腹有诗书气自华”，读书不仅能丰富知识、开阔视野，还能陶冶情操．但是随着学业内容的增加、升学压力的增大，学生的课外阅读也受到较大的影响．某小学为了了解学生的课外阅读情况，计划从四、五、六三个年级的学生中抽出总数的10％进行调查，已知四、五、六三个年级的学生人数之比为9︰7︰10，则下列说法正确的是
A．应该采用系统抽样的方法
B．应该采用分层抽样的方法
C．每个学生被抽到的概率为false
D．若样本中五年级的学生比六年级的学生少12人，则三个年级的学生总共有1140人
10．设平面向量false，false，false均为非零向量，则下列命题中正确的是
A．若false，则false B．若false，则false与false同向
C．若false，则false D．若false，则false
11．设集合S是由一些复数组成的一个非空集合，如果false，总有a＋b，a-b，a·b∈S，则称S是一个数环．例如：整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．则下列命题正确的是
A．集合S＝{2n|n∈Z}是一个数环 B．集合false是一个数环
C．对任意两个数环S、T，S∩T都不是空集 D．对任意两个数环S、T、S∩T都是数环
12．已知图1中的正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，体积为false，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是
A．A2B2∥平面ABC
B．false
C．四边形ABA2B2为正方形
D．正三棱柱ABC-A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球的体积相等
三、填空题：本题共4小题．
13．已知双曲线false（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，则该双曲线的离心率为________．
14．已知向量false，false，若false，则tan2θ＝________．
15．李华应聘一家上市公司，规则是从备选的10道题中抽取4道题测试，答对3道题及以上就可以进入面试．李华可以答对这10道题目中的6道题．若李华第一道题就答对了，则李华进入面试的概率为________．
16．毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据“勾股定理”所画出来的一个可以无限重复的图形，也叫“勾股树”，是由一个等腰直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到．现按照这种思想，以一个内角为30°、斜边长为2个单位的直角三角形的每一条边向外作正方形得到“类勾股树”，图1为第1代“类勾股树”，重复图1的作法得到第2代“类勾股树”（如图2），如此继续．则第2代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为________；第n（n∈N*）代“类勾股树”上的所有正方形的面积之和为________．
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在条件①（a-b）（sinA＋sinB）＝c（sinC-sinB）；②false；③cos2A-cos2B＝2sinC（sinB-sinC）中任选一个，补充以下问题并解答：
如图所示，△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，________，且BC＝3，D在AC上，AB＝AD．
（1）若BD＝2，求sin∠ACB；
（2）若BD＝2CD，求AC长．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分．
18．已知Sn为等差数列{an}的前n项和．
（1）求证：false；
（2）若a2＝3，a3是a1和S3的等差中项，设false，Tn为数列{bn}的前n项和，求证：false．
19．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD满足AB∥CD，∠BCD＝90°，且PD＝AD＝DC＝2，AB＝3，E为PC中点，false，false．
（1）求证：D，E，F，G四点共面；
（2）求四面体D-EFC的体积．
20．2020年是脱贫攻坚的收宫之年，国务院扶贫办确定的贫困县已全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为我国全面建成小康社会，实现第一个百年目标打下了坚实基础．在扶贫政策的大力支持下，某县汽车配件厂经营得十分红火，不仅解决了就业也为脱贫作出了重大贡献．现该厂为了了解其主打产品的质量，从流水线上随机抽取200件该产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
根据经验，产品的质量指数在[50，70）的称为A类产品，在[70，90）的称为B类产品，在[90，110]的称为C类产品，A、B、C三类产品的销售利润分别为每件3、7、11（单位：元）．以这200件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率．
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该厂为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用xi和年销售量yi（i＝1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．
false，false，false，false，其中ui＝lnxi，vi＝lnyi，false，false．
根据散点图判断，y＝a·xb可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程．
（ⅰ）建立y关于x的回归方程；
（ⅱ）若该厂规定企业最终收益为销售利润减去营销费用以及和营销费用等额的员工奖金，请你用（ⅰ）所求的回归方程估计该厂应投入多少营销费，才能使得该产品一年的最终收益达到最大？
参考公式和参考数据：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为false，false，e4.159＝64．
21．已知false为椭圆C1：false（a＞b＞0）上一点，过点D作抛物线C2：false的两条切线，切点分别为A，B．
（1）求AB所在直线方程；
（2）若直线AB与椭圆C1相交于P，Q两点，O为坐标原点，设直线PQ，DP，DQ的斜率分别为k，k1，k2，是否存在符合条件的椭圆使得k1＋k2＝8k成立？若存在，求出椭圆方程；若不存在，请说明理由．
22．已知函数f（x）＝x-lnx-a（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的零点个数；
（2）当a＞1时，实数x0为函数f（x）的小于1的零点，求证：
①false；
②false．