6.6 图形的位似 同步训练（含解析）

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初中数学苏科版九年级下册6.6 图形的位似 同步训练
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（ ）
A. 每对对应点所在的直线相交于同一点 B. 两个图形上的对应线段之比等于位似比
C. 两个图形上的对应线段必平行 D. 两个图形的面积比等于位似比的平方
2.下列图形中不是位似图形的为（ ）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（ ）
A. （﹣2，1） B. （﹣8，4） C. （﹣2，1）或（2，﹣1） D. （﹣8，4）或（8，﹣4）
4.如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
5.已知A（0，-1），B（1，-3），先将线段AB向左平移3个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内，将其扩大为原来3倍，则点A的对应点坐标为（ ）
A. （3，9） B. （6，3） C. （6，9） D. （9，3）
6.在平面直角坐标系中，矩形 的顶点坐标分别是 ， ， ， .已知矩形 与矩形 位似，位似中心是原点 ，且矩形 的面积等于矩形 面积的 ，则点 的坐标为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
7.如图，线段AB两个端点坐标分别为A（6，9），B（9，3），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的 后，得到线段CD，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为 1：2 的位似图形，点O为位似中心，若△OAB内一点P（x ， y）与△OA′B′内一点P′是一对对应点，则点P′的坐标为（ ）
A. （﹣x ， ﹣y） B. （﹣2x ， ﹣2y） C. （﹣2x ， 2y） D. （2x ， ﹣2y）
9.如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
10.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，得到点 ， ， ．下列说法正确的是（　　）
A. △ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（1，0）
B. △ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
C. △ 与△ABC是相似图形，但不是位似图形
D. △ 与△ABC不是相似图形
二、填空题（本大题共8题，每题2分，共16分）
11.如图，以点O为位似中心，将 放大后得到 ， ，则 ________．
12.如图，已知线段AB两个端点的坐标分别为A(4，6)，B(8，4)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD ， 则端点D坐标为________．
13.在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为 ．若点 恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为________．
14.如图，平面直角坐标系中有正方形 和正方形 ，若点 和点 的坐标分别为 ， ，则两个正方形的位似中心的坐标是________．
15.如图， 是 内任意一点， 分别为 上的点，且 与 是位似三角形，位似中心为 .若 则 与 的位似比为________.
16.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，两个矩形在O的同侧，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B'的坐标是________.
17.如图，在平面直角坐标系中，已知A（1.5，0），D（4.5，0），△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若DE＝7.5，则AB＝________．
18.如图，直线y＝ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为________．
三、解答题（本大题共10题，共84分）
19.如图，△ABC中，AD、BE是高．
（1）求证：；
（2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？
20.如图, OAB与 ODC是位似图形 。
试问:
（1）AB与CD平行吗？请说明理由 。
（2）如果OB=3,OC=4,OD=3.5.试求 OAB与 ODC的相似比及OA的长 。
21.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，﹣1）．
①以O为位似中心在第二象限作位似比为1：2变换，得到对应的△A1B1C1 ， 画出△A1B1C1 ， 并写出C1的坐标；
②以原点O为旋转中心，画出把△ABC顺时针旋转90°的图形△A2B2C2 ， 并写出C2的坐标．
22.如图，已知A （﹣4，2），B （﹣2，6），C （0，4）是直角坐标系平面上三点．
（1）把△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1 ， 画出平移后的图形；
（2）若△ABC内部有一点P （a，b），则平移后它的对应点Pl的坐标为________；
（3）以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2 ， 请在所给的坐标系中作出所有满足条件的图形．
23.如图在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2，得到对应的点A2 ， B2 ， C2 ， 请画出△A2B2C2；
（3）则S△A1B1C1：S△A2B2C2 ．
24.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）
①将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB1C1 ， 在图①中画出△AB1C1 ， 并求出在旋转过程中△ABC
扫过的面积；
②在图②中以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，并写出点C的对应点的坐标．
25.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，点A，B，E在x轴上．
（1）若点F的坐标为（6，3），直接写出点C和点A的坐标；
（2）若正方形BEFG的边长为6，求点C的坐标．
26.如果两个一次函数y=k1x+b1和y=k2x+b2满足k1=k2 ， b1≠b2 ， 那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．
如图，已知函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，一次函数y=kx+b与y=﹣2x+4是“平行一次函数”
（1）若函数y=kx+b的图象过点（3，1），求b的值；
（2）若函数y=kx+b的图象与两坐标轴围成的三角形和△AOB构成位似图形，位似中心为原点，位似比为1：2，求函数y=kx+b的表达式．
27.如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）
（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；
（2）
如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．
28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．且点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上第一象限内的一个点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连PO、PB，如果把△POB沿OB翻转，所得四边形POP′B恰为菱形，那么在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAB与△POB相似？若存在求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若（2）中点Q存在，指出△QAB与△POB是否位似？若位似，请直接写出其位似中心的坐标．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】位似变换
解：根据位似图形的性质：
A．每对对应点所在的直线相交于同一点，A不符合题意；
B．根据相似的性质，两个位似的图形上的对应线段之比等于位似比，B不符合题意；
C．两个图形上的对应线段可能平行，也可能共线，C符合题意；
D．根据相似的性质，两个图形的面积比等于位似比的平方，D不符合题意．
故答案为：C．
分析：位似是特殊的相似.似图形对应边平行或共线，对应点的连线交于一点，这一点是位似中心.
2.【答案】 B
【考点】位似变换
解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A三个图形中的两个图形是位似图形；故A不符合题意，
B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故B符合题意，
根据位似图形的概念，C三个图形中的两个图形是位似图形；故C不符合题意，
根据位似图形的概念，D三个图形中的两个图形是位似图形；故D不符合题意，
故选：B．
分析：根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
3.【答案】 C
【考点】位似变换
解：∵相似比是0.5，
∴点E对应的 是OE的中点，即 ，
或者是这个 关于原点O的对称点， .
故答案为：C.
分析：根据位似图形的性质，得到点E对应的 是OE的中点或者是这个点关于原点的对称点.
4.【答案】 D
【考点】位似变换
解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9．
故答案为：D．
分析：利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．
5.【答案】 D
【考点】坐标与图形变化﹣平移，位似变换
解：线段AB向左平移3个单位得到A点的对应点的坐标为（-3，-1），
以原点O为位似中心，在第一象限内，将其扩大为原来3倍，
所以点A的对应点坐标为（9，3）．
故答案为：D．
分析：先利用点平移的坐标特征写出平移后A点的对应点的坐标，然后把平移后的点的横坐标都乘以-3得到位似后点A的对应点坐标。
6.【答案】 D
【考点】坐标与图形性质，位似变换
解：∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，矩形OA1B1C1的面积＝ 矩形OABC面积，
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的位似比为1： ，
∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，位似中心是原点O，点B的坐标为（8，6），
∴点B1的坐标为为（8× ，6× ）或（ 8× ， 6× ），即（4 ，3 ）或（－4 ，－3 ），
故答案为：D.
分析： 根据相似多边形的性质可求出矩形OA1B1C1与矩形OABC的位似比，根据位似变换的性质计算即可求解．

7.【答案】 C
【考点】点的坐标，位似变换
解：以原点O为位似中心，在第三象限内将线段AB缩小为原来的 ，点A的坐标为（6，9），
则点C的坐标为（ ， ），即（ ， ），
故答案为：C．
分析：根据位似的性质，将点A的横纵坐标都乘以即可得到点C的坐标。
8.【答案】 B
【考点】位似变换
解：∵P（x ， y），相似比为1：2，点O为位似中心，
∴P′的坐标是（﹣2x ， ﹣2y）．
故答案为：B ．
分析：依据点P的坐标，根据相似比和位似中心，即可得到点P的坐标。
9.【答案】 D
【考点】位似变换
解：如图，网格中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是点D．
故答案为：D．
分析：分别连接两个三角形的对应点，并进行延长，延长线的交点即为位似中心。

10.【答案】 B
【考点】坐标与图形性质，位似变换
【解析】解答：∵△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍
∴点 ， ， 的坐标分别为（2，4），（-4，6），（-2，0）
∴直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x ， y=- x ， y=0
∴对应点的连线交于原点
∴△ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）
故选：B．
分析：由已知条件△ABC三个顶点的坐标分别为（1，2），（-2，3），（-1，0），把它们的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求得直线AA′，BB′，CC′得解析式分别为y=2x ， y=- x ， y=0，可知△ 与△ABC是位似图形，位似中心是点（0，0）．此题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似图形的对应点的连线交于一点．
二、填空题
11.【答案】
【考点】位似变换
解：∵以点O为位似中心，将 放大后得到 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
分析：直接利用位似图形的性质进而分析得出答案．
12.【答案】 (4，2)
【考点】位似变换
解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的一半后得到线段CD ， B（8，4），∴端点D坐标为（8 ，4 ），即（4，2）．
故答案为：（4，2）．
分析：根据位似变换的性质解答即可．
13.【答案】
【考点】待定系数法求一次函数解析式，位似变换
解：∵以原点O为位似中心，将线段OA放大为原来的2倍，得到OA'，A（-2，1），
∴点A的对应点A′的坐标是：（-4，2）或（4，-2）．
设反比例函数的解析式为 ( )，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ．
故答案为： ．
分析：直接利用位似图形的性质以及结合A点坐标直接得出点A′的坐标．利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
14.【答案】 或
【考点】点的坐标，位似变换
解：∵平面直角坐标系中有正方形 和正方形 ，点 和点 的坐标分别为 ， ，
∴ ， ， ，（1）当点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点时，位似中心就是 与 的交点，
如图所示：连接 ，交 轴于点 ，
点 即为两个正方形的位似中心，
设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得：
故 ，
解得： ，
故 ；
当 时，即 ，解得 ，即点坐标为 ， ，
两个正方形的位似中心的坐标是： ， ．（2）当点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点时，位似中心就是 与 的交点，
如图所示：连接 ， ， ， 并延长交于点 ，
设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得：
故 ，
解得： ，
故 ；
设 所在直线解析式为： ，把 ， 代入得：
，
故 ，
联立直线BH、AG得方程组：
，
解得： ，
故 ，
综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是： ， 或 ．
故答案为： ， 或 ．
分析：根据位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点；另一种是点 和 是对应顶点， 和 是对应顶点．
15.【答案】
【考点】位似变换
解：∵
∴
∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O.
∴△ABC与△DEF的位似比为：
故答案为： .
分析：由比例的性质和已知条件可得， 再根据位似图形的性质可求解.
16.【答案】 （-2,3）
【考点】坐标与图形性质，位似变换
解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，
∴两矩形边长的相似比为：1：2，
∵B的坐标是（-4，6），且两个矩形在O的同侧
∴点B′的坐标是：（-2，3）
故答案为：（-2，3）.
分析：利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标.
17.【答案】 2.5
【考点】位似变换
解：∵A（1.5，0），D（4.5，0），
∴ = = ，
∵△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心，
∴ = = ,
∴AB= DE= ×7.5=2.5．
故答案为2.5．
分析：利用以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k得到位似比为 ，然后根据相似的性质计算AB的长．
18.【答案】 （﹣8，﹣3）或（4，3）．
【考点】坐标与图形性质，位似变换
解：∵直线y＝ x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B
令x=0可得y=1；
令y=0可得x=-2，
∴点A和点B的坐标分别为（-2，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，

∴O′B′=3，AO′=6，
∴B′的坐标为（-8，-3）或（4，3）．
故答案为：（-8，-3）或（4，3）．
分析：先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．
三、解答题
19.【答案】 （1）证明：∵AD、BE是高，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴；
（2）解：如图，△CDE与△CAB不是位似图形．
因为DE、AB的交点不为点A．
【考点】位似变换
分析：（1）利用三角形相似可求得各对应边成比例；
（2）两三角形不相似，不是位似图形．
20.【答案】 （1）解：∵AB和CD是对应线段，△AOB和△DOC是位似图形，
∴AB∥CD
（2）解：∵OB=3，OC=4， ∴OB:OC=3:4，
∵OB和OC是两个位似三角形的对应线段， ∴△OAB和△ODC的相似比为： ；
∵ ，即 ， ∴OA=
【考点】位似变换
分析：（1）根据位似图形的性质位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比可得位似图形的对应线段平行或在同一直线上；由题意可得AB∥CD；
（2）根据位似图形的性质位似图形对应线段的比等于相似比可求解。
21.【答案】解：①如图所示：△A1B1C1 ， 即为所求， C1的坐标为：（﹣8，2）；
②如图所示：△A2B2C2 ， 即为所求，
C2的坐标为：（﹣1，﹣4）．
【考点】作图﹣位似变换
分析：①直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；②直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案．
22.【答案】 （1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）（a+4，b﹣1）
（3）解：如图所示，△A2B2C2即为所求
【考点】作图﹣平移，作图﹣位似变换
解： （2）∵△ABC向右平移4个单位再向下平移1个单位，得到△A1B1C1 ，
∴点P （a，b）的对应点Pl的坐标为（a+4，b﹣1），
故答案为：（a+4，b﹣1）；
分析：（1）根据向右平移4个单位再向下平移1个单位得到△A1B1C1 ， 画出平移后的图形即可；（2）根据向右平移4个单位再向下平移1个单位，可知横坐标增加4，纵坐标减小1；（3）根据以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的一半，得到△A2B2C2即可．
23.【答案】 （1）解：如图所示：△A1B1C1 ， 即为所求；
（2）解：如图所示：△A2B2C2 ， 即为所求；
（3）解：∵△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐同时乘以﹣2，得到对应的点A2 ， B2 ， C2 ，
∴△A1B1C1与△A2B2C2 ， 关于原点位似，位似比为1：2，
∴S△A1B1C1：S△A2B2C2=1：4
【考点】作图﹣轴对称，作图﹣位似变换
分析：（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；（2）利用对应点横坐标与纵坐同时乘以﹣2，进而得出各点的位置；（3）利用位似图形的性质得出面积比即可．
24.【答案】解：①如图所示：△AB1C1 ， 即为所求， △ABC扫过的面积为： + ×4×2=10π+4；
②如图所示：△A′B′C′以及△A″B″C″即为所求，
C点对应点位：（2，﹣2）或（﹣2，2）．
【考点】扇形面积的计算，作图﹣位似变换
分析：①直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及三角形面积求法得出答案；②直接利用位似图形的性质得出对应点位置即可．
25.【答案】 （1）解：C点坐标为（2，1），A点坐标为（1，0）；
（2）解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
∴正方形BEFG的边长为6，则正方形ABCD的边长为2，OB：OE=1：3，
∴OB：（OB+6）=1：3，解得OB=3，
∴点C的坐标为（3，2）．
【考点】坐标与图形性质，正方形的性质，位似变换
分析：（1）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把F点的横纵坐标都乘以 即可得到C点坐标，然后利用正方形的性质写出A点坐标；（2）先利用位似的性质得到正方形ABCD的边长为2，再利用相似比求出OB，从而可得到C点坐标．
26.【答案】 （1）解：由已知得：k=﹣2，
把点（3，1）和k=﹣2代入y=kx+b中得：1=﹣2×3+b，
∴b=7；
（2）解：根据位似比为1：2得：函数y=kx+b的图象有两种情况：
①不经过第三象限时，过（1，0）和（0，2），这时表达示为：y=﹣2x+2；
②不经过第一象限时，过（﹣1，0）和（0，﹣2），这时表达示为：y=﹣2x﹣2；
【考点】两一次函数图象相交或平行问题，位似变换
分析：（1）根据平行一次函数的定义可知：k=﹣2，再利用待定系数法求出b的值即可；（2）根据位似比为1：2可知：函数y=kx+b与两坐标的交点坐标，再利用待定系数法求出函数y=kx+b的表达式．
27.【答案】 （1）解：如图2，
DM=FM，DM⊥FM，
证明：连接DF，NF，
∵四边形ABCD和CGEF是正方形，
∴AD∥BC，BC∥GE，
∴AD∥GE，
∴∠DAM=∠NEM，
∵M是AE的中点，
∴AM=EM，
在△MAD与△MEN中，
∴△MAD≌△MEN，
∴DM=MN，AD=EN，
∵AD=CD，
∴CD=NE，
∵CF=EF，∠DCF=∠DCB=90°，
在△DCF与△NEF中，
，
∴△MAD≌△MEN，
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠EFN+∠NFC=90°，
∴∠DFC+∠CFN=90°，
∴∠DFN=90°，
∴DM⊥FM，DM=FM
（2）
解：猜想：DM⊥FM，DM=FM，
证明如下：如图3，连接DF，NF，连接DF，NF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∵点E、B、C在同一条直线上，
∴AD∥CN，
∴∠ADN=∠MNE，
在△MAD与△MEN中，
，
∴△MAD≌△MEN，
∴DM=MN，AD=EN，
∵AD=CD，
∴CD=NE，
∵CF=EF，
∵∠DCF=90°+45°=135°，∠NEF=180°﹣45°=135°，
∴∠DCF=∠NEF，
在△DCF与△NEF中，
，
∴△MAD≌△MEN，
∴DF=NF，∠CFD=∠EFN，
∵∠CFD+∠EFD=90°，
∴∠NFE+∠EFD=90°，
∴∠DFN=90°，
∴DM⊥FM，DM=FM．
【考点】平行四边形的性质，作图﹣平移，作图﹣位似变换
解：（1）连接DF，NF，由四边形ABCD和CGEF是正方形，得到AD∥BC，BC∥GE，于是得到AD∥GE，求得∠DAM=∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，证出△DFN是等腰直角三角形，即可得到结论；
（2）连接DF，NF，由四边形ABCD是正方形，得到AD∥BC，由点E、B、C在同一条直线上，于是得到AD∥CN，求得∠DAM=∠NEM，证得△MAD≌△MEN，得出DM=MN，AD=EN，推出△MAD≌△MEN，证出△DFN是等腰直角三角形，于是结论得到．
分析：此题考查了正方形的性质和图形的平移变换及位似变换，另涉及等腰直角三角形证明，全等三角形性质等知识点.
28.【答案】 （1）解：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：在抛物线的对称轴上存在点Q，使△QAB与△POB相似，如图所示．
∵四边形POP′B为菱形，
∴PO=PB，
∴∠POB=∠PBO．
∵点Q在抛物线的对称轴上，
∴QA=QB，
∴∠QAB=∠QBA．
由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA，
∴点Q、P、B共线．
∵PO=PB，
∴点P在OB的垂直平分线上，
∴xP= ，
此时yP=﹣（ ）2+2× +3= ，
点P的坐标为（ ， ）．
设直线PB的解析式为y=mx+n，
则有 ，
解得 ．
∴直线PB的解析式为y=﹣ x+ ．
∵抛物线的对称轴为x=﹣ =1，
∴xQ=1，yQ=﹣ ×1+ =5，
∴点Q的坐标为（1，5）
根据对称性点Q坐标还可以为（1．﹣5）
（3）解：△QAB与△POB位似，位似中心为点B，点B的坐标为（3，0）．
【考点】待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质，位似变换
分析：（1）点A、B、C的坐标已知，只需运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；（2）由四边形POP′B为菱形可得PO=PB，从而有∠POB=∠PBO．由点Q在抛物线的对称轴上可得QA=QB，从而有∠QAB=∠QBA．由△QAB与△POB相似可得∠PBO=∠QBA，从而可得点Q、P、B共线．由PO=PB可得点P在OB的垂直平分线上，从而可得xP= ，代入抛物线即可求出点P的坐标，设直线PB的解析式为y=mx+n，运用待定系数法就可求出直线PB的解析式．由抛物线的对称轴方程可得到点Q的横坐标，代入直线PB的解析式，即可得到点Q的坐标；（3）观察图象，易知△QAB与△POB位似，位似中心即为点B，由此可得到位似中心的坐标．
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