第五章 二次函数 单元测试卷（含解析）

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初中数学苏科版九年级下册
第五章
二次函数
单元测试卷
一、单选题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1.下列关系式中，属于二次函数的是（??
）
A.?????????????????????????B.?????????????????????????C.?????????????????????????D.?
2.抛物线y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（??
）
A.?y＝3（x﹣4）2+2?????????B.?y＝3（x﹣4）2﹣2?????????C.?y＝3（x+4）2﹣2?????????D.?y＝3（x+4）2+2
3.抛物线y=x2–3x+5与坐标轴的交点个数为（??
）
A.?无交点?????????????????????????????????????B.?1个?????????????????????????????????????C.?2个?????????????????????????????????????D.?3个
4.若
是抛物线
上的三个点，则
、
、
的大小关系是（??
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
5.直线y＝bx+c与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在同一坐标系中大致图象可能是（??
）
A.?????????????B.????????????????C.?????????????D.?
6.已知二次函数
中，自变量x与函数y之间的部分对应值如表：
x
?0
1
2
3
y
2
3
2
在该函数的图象上有
和
两点，且
，
，
与
的大小关系正确的是（??
）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
7.一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（?
）
A.?此抛物线的解析式是y=-
x2+3.5?????????????????????B.?篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C.?此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）??????????????????????D.?篮球出手时离地面的高度是2m
8.二次函数
图象上部分点的坐标
对应值列表如下：
x
…
0
1
2
3
…
y
…
-2
-3
-2
…
则下列说法错误的是（?
）
A.?抛物线开口向上．??????????????????????????????????????????????B.?抛物线的对称轴为直线
C.?当
时，
随
的增大而增大?????????????????????D.?方程
有一个根小于
9.如图，二次函数
的图象与
轴交于两点
，
，其中
.下列四个结论：①
；②
；③
；④
，正确的个数是（?
）
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
10.如图，在四边形
ABCD
中，
AD∥BC
，
∠A=45°
，
∠C=90°
，
AD=4cm
，CD=3cm?
、动点M，N同时从点A出发，点M以
cm/s
的速度沿
AB
向终点B运动，点N以2cm/s
的速度沿折线
AD-DC
向终点C运动.设点N的运动时间为ts
，△AMN
的面积为
Scm?
，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（??????
）?
?
A.???????????B.?????????????C.????????????D.?
二、填空题（本大题共8题每题2分，共16分）
11.抛物线y=3(x-2)2+3的顶点坐标是________。
12.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是
，则经过________s后，飞机停止滑行．
13.如图，抛物线
＝
与直线
＝
相交于点
，
，则关于
的方程
＝
的解为________．
14.已知二次函数y=(x-2a)2+(a-1)(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”如图分别是当a=-1，a=0，a=1，
a=2时二次函数的图象。它们的顶点在一条直线上，
这条直线的解析式是________。
15.如图，已知
的半径为2，圆心P在抛物线
上运动；当
与x轴相切时；圆心P的坐标为________.
16.如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线
y=
x2（x≥0）与
（x≥0）于点B、C，过点C作y轴的平行线交y=
x2于点D，直线DE∥AC，交
于点E，则
=________.
?????????????
17.已知函数y＝
，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范是________．
18.如图，在平面直角坐标系中，过点P(m，0)作x轴的垂线，分别交抛物线y=x2+
x+2和直线y=
x-2于点A和点C，以线段AC为对角线作正方形ABCD，则当正方形ABCD的面积最小时m的值为________。
三、解答题（本大题共10题，共84分）
19.已知抛物线的解析式为
，求证：无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点．
20.在平面直角坐标系中，若抛物线
与直线
交于点
和点
，其中
，点
为原点，求
的面积.
21.已知二次函数y1=ax2＋bx－3的图象经过点A（2，-3），B（-1，0），与y轴交于点C，与x轴另一交点交于点D.
（1）求二次函数的解析式；
（2）求点C、点D的坐标；
（3）若一条直线y2
，
经过C、D两点，请直接写出y1＞y2时，x的取值范围.
22.用一段长为28m的铁丝网与一面长为8m的墙面围成一个矩形菜园，为了使菜园面积尽可能的大，给出了甲、乙两种围法，请通过计算来说明这个菜园长、宽各为多少时，面积最大？最大面积是多少？
23.体育测试时，九年级一名学生，双手扔实心球．已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处
点距离地面的高度为
，当球运行的水平距离为
时，达到最大高度
的
处（如图），问该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）
24.如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外?
25.在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，计划再用30米长的篱笆围成一个矩形花园
，要求把位于图中点
处的一颗景观树圈在花园内，且景观树
与篱笆的距离不小2米．已知点
到墙体
、
的距离分别是8米、16米，如果
、
所在两面墙体均足够长，求符合要求的矩形花园面积
的最大值．
26.某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间
x（天）
1≤x＜50
50≤x≤90
售价（元/件）
x+40
90
每天销量（件）
200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
（3）在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5850元，求出a的值.
27.如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0).抛物线y=
x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D.点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S.
（1）求抛物线的函数解析式.
（2）求S关于m的函数表达式.
（3）当S最大时，①求点Q的坐标.②若点F在抛物线y=
x2+bx+c的对称轴上，且△DFQ的外心在DQ上，求点F的坐标.
28.如图，抛物线
与x轴交于点A，B，与y轴交于点
，
.直线
交
于点D，点P是直线
下方抛物线上一动点，连接PD.
?????
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，连接
，求
面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，连接
，过点P作
于点E，是否存在点P使以P，D，E三点为顶点的三角形与
相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
【考点】二次函数的定义
解：A、
属于二次函数，符合题意；
B、
是正比例函数，不符合题意；
C、
是一次函数，不符合题意；
D、
是反比例函数，不符合题意；
故答案为：A.
?
分析：利用二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0)，y是x的二次函数，再对各项逐一判断.
2.【答案】
C
【考点】二次函数图象的几何变换
解：y＝3x2向左平移4个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是y＝3（x+4）2﹣2.
故答案为：C
分析：根据抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”可求解.
3.【答案】
B
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
解：Δ=（–3）2–4×5=9–20=–11<0，∴抛物线与x轴没有交点，令x=0代入y=x2–3x+5，∴y=5，即抛物线与x轴无交点，与y轴有一个交点，
故答案为：B．
分析：将本题转化为一元二元一次方程，求一元二次方程的根的判别式，根据判别式判断即可。
4.【答案】
A
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
解：将
分别代入
，
得
∵
∴
故答案为：A.
分析：将点A，B，C的横坐标代入函数解析式，分别求出y1
，
y2
，
y3的值，然后比较纵坐标的大小，即可得到y1
，
y2
，
y3的大小关系。
5.【答案】
B
【考点】二次函数图象与系数的关系，一次函数图象、性质与系数的关系
解：选项A中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故答案为：A不符合题意；
选项B中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故答案为：B符合题意；
选项C中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＜0，故答案为：D不符合题意；
选项D中，由一次函数的图象可知b＞0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故答案为：C不符合题意；
故答案为：B.
分析：A、由抛物线的开口向下可知a＜0，与已知条件a＞0矛盾；
B、由直线过二、四象限可知b＜0，直线交于y轴正半轴可知c＞0；由抛物线的对称轴在y轴右侧可知a、b异号，结合已知可得b＜0，抛物线交于y轴正半轴可知c＞0；符合题意；
C、由直线过二、四象限可知b＜0，直线交于y轴正半轴可知c＞0；由抛物线的对称轴在y轴右侧可知a、b异号，结合已知可得b＜0，抛物线交于y轴负半轴可知c＜0；矛盾；
D、由直线过一、三象限可知b＞0，直线交于y轴正半轴可知c＞0；由抛物线的对称轴在y轴右侧可知a、b异号，结合已知可得b＜0，抛物线交于y轴正半轴可知c＞0；矛盾.
6.【答案】
D
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
解：由表格可知：抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵?1＜x1＜0，3＜x2＜4，
∴点A（x1
，
y1）到直线x＝2的距离比点B（x2
，
y2）到直线x＝2的距离要远，
而抛物线的开口向下，
∴y1＜y2
．
故答案为：D.
分析：观察表中数据可得到抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线开口向上，然后比较点A、点B离直线x＝2的距离的大小，再根据二次函数的性质可得到y1＜y2。
7.【答案】
A
【考点】二次函数的实际应用-抛球问题
解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得?
3.05=a×1.52+3.5，
∴a=-
，
∴y=-
x2+3.5．
故本选项符合题意；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项不符合题意；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项不符合题意；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，
∴当x=-2.5时，
h=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项不符合题意．
故答案为：A．
分析：根据题干中给的点坐标带入计算求出抛物线解析式，再利用函数的性质求解即可。
8.【答案】
D
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：由表格信息可知，抛物线的对称轴为
，在对称轴的右侧，
随
的增大而增大，故抛物线的开口向上，故A、B、C不符合题意；
D.由表格信息，可知抛物线经过点
，当
时，
，由抛物线的对称性，得到，当
时，
，又因为抛物线经过
，故有一个根在-1和0之间，则这个根大于-1，故D符合题意，
故答案为：D．
分析：根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴可判断B，根据点的坐标可判断A，根据增减性可判断C，根据顶点和（3,1）可判断D。
9.【答案】
C
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数图象上点的坐标特征
解：①∵抛物线开口向上，∴
，
∵抛物线对称轴在
轴的右侧，∴a,b异号，∴
，
∵抛物线与
轴的交点在
轴上方，∴
，
∴
，所以①正确；
②∵图象与
轴交于两点
，
，其中
，
∴
，∴
，
当
时，
，
∵当
时，
，
∴
，∴
，∴
，故②正确；
③当
时，
值为
，给
乘以4，即可化为
，
∵当
时，由图象可知在
和x1之间
为正值，
当
时，在
和x1之间
为负值，
∴
与0的关系不能确定，故③错误；
④∵
，∴
，∴
，
即
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，即
.
所以④正确.
综上，正确的是①②④，共3个，
故答案为：C.
分析：由于抛物线开口向上，可得，由抛物线对称轴在
轴的右侧，可得?，由抛物线与
轴的交点在
轴上方，可得，
据此判断①；由于图象与
轴交于两点
，
，其中
?，从而可得，
当
时，，
求出，
从而可得,据此求出，
据此判断②；当
时，
值为
，给
乘以4，即可化为
，
由于，
无法确定当时，所对抛物线上的点在x轴上方还是下方，据此判断③；由，
可得，
即得?，从而得出?，由于，
可得，
据此即可判断④.
?
10.【答案】
B
【考点】二次函数-动态几何问题
解：①如图，当0＜t≤2时，作MH⊥AN于N，
S=AN×MH=×2t×tcos45°=t2
，
②如图，当2＜t≤3时，连接DM，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×（4-t）+×4×t-×4×（2t-4）
=-t2+4t，
③如图，当3＜t≤3.5时，连接BN，
S=S△MND+S△AMD+S△ADN=×（2t-4）×1+×4×3-×4×（2t-4）
=-3t+12，
综上可知，符合条件的函数图象是B.
故答案为：B.
?
分析：分三种情况作答，即①当0＜t≤2时，②当3＜t≤3.5时，③当3＜t≤3.5时，用分割法分别求出
△AMN的面积表达式，根据此分段函数选出符合条件的选项即可.?
二、填空题
11.【答案】
(2，3)
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
解：抛物线的顶点坐标为（2,3）
分析：根据题意，题目中给出的为二次函数的顶点式，即可得到抛物线的顶点坐标。
12.【答案】
25
【考点】二次函数的其他应用
解：
所以当t=25时，该函数有最大值625
即第25秒时，飞机滑行最大距离625m停下来，
故答案为：25．
分析：要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数取最大值时，t的值即可，因此将函数化为顶点式即可．
13.【答案】
＝
，
＝
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：∵抛物线与直线想交于点A和点B
∴关于x的方程的解为x1=-3，x2=1
分析：根据题意，关于x的方程的解为抛物线和直线交点的横坐标即可得到答案。
14.【答案】
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
解：根据题意可知，抛物线的顶点坐标为（2a，a-1）
设x=2a①，y=a-1②
①-②×2得，x-2y=2
∴y=x-1
分析：根据抛物线的顶点式，写出顶点坐标，利用x和y代表顶点的横坐标和纵坐标，消去a，得到x和y的关系式即可。
15.【答案】
（
,2）或（-
，2）或（0，-2）
【考点】直线与圆的位置关系，二次函数的其他应用
解：∵⊙P的半径为2,圆心P在抛物线
上运动，
∴当⊙P与x轴相切时，假设切点为A，
∴PA=2，
∴
即
,或
=-2
解得x=
或x=0，
∴P点的坐标为：（
，2）或（-
，2）或（0，-2）
分析：根据切线的性质：圆心到x轴的距离等于半径列出方程求解即可。
16.【答案】
5-
【考点】二次函数图象上点的坐标特征
解：设点A（0，m）
∴x2=m
解之：x=（取正值）
∴点B（，
m）
∵
解之：x=（取正值）；
∴点C（）
∴y==5m
∴点D（）
∴
解之：x=（取正值）；
∴点E（）
∴DE=，
AB=
∴.
故答案为：.
分析：设点A（0，m）将y=m代入y=x2
，
可求出点B的坐标，将y=m代入，
求出点C的坐标；再将x=代入y=x2
，
可得到点D的坐标，将点D的纵坐标代入，
可求出点E的坐标；然后求出AB，DE的长，即可求出DE与AB的比值。
17.【答案】
k＝1或k＜-8
【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
解：y＝-（x-1）2+1的顶点坐标为（1，1），
y＝-（x-7）2+1的顶点坐标为（7，1），
当
得：x＝4，
则抛物线y＝-（x-1）2+1和抛物线y＝-（x-7）2+1相交于点（4，-8），
如图，直线y＝-8与函数图象有三个交点，
当k＜-8时，直线y＝k与函数图象有2个交点，
当k＝1时，直线y＝k与函数图象有2个交点，
所以使y＝k成立的x值恰好有2个时，k＝1或k＜-8．
故答案为：k＝1或k＜-8．
分析：根据抛物线的解析式求出顶点坐标，再作图求解即可。
18.【答案】
-1
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
解：根据题意可知，点A的坐标为（m，），点C的坐标为（m，-m-2）
∴AC=m2+2m+4
当m=-1时，AC的最小值为3
∴m的值为-1
分析：根据点P的坐标即可得到点A和点C的坐标，求出AC的长度，即可得到AC最短时，正方形的面积最小，即可得到m的最小值。
三、解答题
19.【答案】
解：令y=0，
∴
>0
∴无论m取何值，抛物线与x轴总有两个交点
【考点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
分析：将二次函数与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的判别式求解即可。
20.【答案】
解：由题意得：
解得：
或
∵点
和点
，其中
∴
，
直线
与y轴的交点坐标为：（0，1）
∴
【考点】三角形的面积，二次函数与一次函数的综合应用
分析：首先求得两个交点的坐标，然后求得直线
与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
21.【答案】
（1）解：由已知得：
，
解得
∴所求的二次函数的解析式为y=x2-2x-3
（2）解：令x=0，可得y=-3，
∴C（0，-3）
令y=0，可得x2-2x-3=0
解得：x1=3；x2=-1（与A点重合，舍去）
∴D（3，0）
（3）x<0或x>3
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用
分析：（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）
令x=0，可得y=-3，据此求出C（0，-3）；令y=0，可得x2-2x-3=0，求出x的值，即可求出D的坐标；
（2）先画出直线y2，
求利用图象求出抛物线在直线上方的x的范围即可.
22.【答案】
解：如图甲：设矩形的面积为S，
则S＝8×
（28﹣8）＝80.
所以当菜园的长、宽分别为10m、8m时，面积为80；
如图乙：设垂直于墙的一边长为xm，则另一边为
（28﹣2x﹣8）+8＝（18﹣x）m.
所以S＝x（18﹣x）＝﹣x2+18x＝﹣（x﹣9）2+81
因为﹣1＜0，
当x＝9时，S有最大值为81，
所以当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m2.
综上：当矩形的长、宽分别为9m、9m时，面积最大，最大面积为81m2.
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
分析：根据矩形的面积公式甲图列出算式可以直接求面积，乙图设垂直于墙的一边为x，则另一边为（18﹣x）（包括墙长）列出二次函数解析式即可求解.
23.【答案】
解：以
所在直线为
轴，过点
作
的垂线为
轴，建立平面直角坐标系，则有
，如图所示：
设函数解析式为：
，则把点A代入得：
，解得：
，
∴函数解析式为
，
令
，则有
，解得：
（舍），
，
所以，该同学把实心球扔出
米．
【考点】二次函数的实际应用-抛球问题
分析：由题可知函数顶点坐标及点A的坐标，利用顶点式求二次函数表达式即可，再将y=0
带入计算即可。
24.【答案】
解：以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，
设y=a(x-1)2+2.25，则当x=0时，y=1.25，故a+2.25=1，a=-1.
由y=0得-(x-1)2+2.25=0，得(x-1)2=2.25，解得x1=2.5，x2=-0.5(舍去)
故水池的半径至少要2.5米.
【考点】二次函数的实际应用-喷水问题
分析：以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，由题意可设y=a(x-1)2+2.25，再根据x=0时，y=1.25即可求得函数关系式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到结果.
25.【答案】
解：设矩形花园
的宽
为
米，则长
为
米
由题意知，
解得
即
显然，
时
的值随
的增大而增大
所以，当
时，面积
取最大值
答：
符合要求的矩形花园面积
的最大值是216米2
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
分析：设AB=x米，可知BC=（30-x）米，
根据点
到墙体
、
的距离分别是8米、16米，求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式得出
关于x的函数关系式即可得出结论．
26.【答案】
（1）解：当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000，
综上所述：y
（2）解：当1≤x＜50时，
y＝﹣2x2+180x+2000，
y＝﹣2（x﹣45）2+6050.
∴a＝﹣2＜0，
∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x＝45，
当x＝45时，y最大＝6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x＝50时，y最大＝6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元
（3）解：根据题意得，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝﹣2x2+（180+4a）x+2000﹣400a，
x+40≥80，则x≥40，即40≤x＜50，
函数的对称轴x＝45+a，在40≤x＜50内（a＜5时），
当x＝45+a时，函数取得最大值，
即y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝（200﹣90﹣2a）（45+a+10﹣2a）＝2（55﹣a）（55﹣a）＝5850，
即（55﹣a）＝±
±15
解得：a＝55﹣15
（不合题意的值已舍去）；
故a的值为55﹣15
.
【考点】一次函数的实际应用，二次函数的实际应用-销售问题
分析：（1）分成两种情况：?①当1≤x＜50时，②当50≤x≤90时，利用利润=每件的利润×销售的件数，分别求出解析式即可；
（2）利用（1）结论，分别利用二次函数的性质及一次函数的性质分别求出最值，然后比较即得；
（3）
根据题意得y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝﹣2x2+（180+4a）x+2000﹣400a，
?且
40≤x＜50?，
函数的对称轴x＝45+a，在40≤x＜50内（a＜5时）?可得
当x＝45+a时，函数取得最大值，
将x=45+a代入解析式中，得y=5850，可得关于a的一元二次方程，解出a并检验即可.
27.【答案】
（1）解：将A、C两点坐标代入抛物线，得
,
解得：,
∴抛物线的解析式为：
y=??x2-x+8；
（2）解：如图，过点Q作QE⊥BC于点E，
∵OA=8，OC=6，
∴AC==10，
∴sin∠ACB=，
∴QE=（10-m）,
∴S△CPQ=CP×QE=×（10-m）m=-m2+3m；
（3）解：S=-m2+3m=-（m-5）2+，
∴当m=5时，S取最大值，
∴QE=（10-m）=3,EC=QE×tan∠ACB=4，
∴Q（3,4），
∵y=??x2-x+8对称轴为x=,
∴D（3,8），
如图，∵△DFQ的外心在DQ上，
∴∠DFQ=90°，
设F（，
n）,
则FD2+FQ2=DQ2
，
即+（8-n）2+（n-4）2=16,
解得n=6±，
∴F点的坐标为：（，
6+），（，
6-）.
【考点】二次函数-动态几何问题
分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
（2）过点Q作QE⊥BC于点E，利用勾股定理求出AC的长，根据正弦三角函数的定义把高QE用含m的代数式表示出来，则可求出S关于m的函数表达式；
（3）?将S关于m的函数式配方，求出当m=5时，S有最大值，根据三角函数的定义求出QE的长，则Q点坐标可求，再根据抛物线的解析式求出对称轴，进而求出D点坐标，根据外心的特点，可知∠DFQ=90°，设F（，
n）,最后根据勾股定理列式求出n值，则F点坐标可求.
28.【答案】
（1）解：
，
，
在
中，
，
，即
，
将点
代入抛物线的解析式得：
，
解得
，
则此抛物线的解析式为
；
（2）解：设直线BC的函数解析式为
，
将点
代入得：
，解得
，
则直线BC的函数解析式为
，
当
时，
，即
，
则
，
要使
的面积最大，则需要点P到CD的距离最大，
设与直线BC平行的直线
的函数解析式为
，则
，
如图，过点C作
于点E，则CE为直线BC与直线
间的距离，
在
中，
，则
，
，
，
，
在
中，
，
解得
，
越小，CE越大，当直线
要与抛物线
有交点，
即当直线
与
有且只有一个交点时，
最小，此时的交点即为点P，
联立
，
整理得：
，
则其根的判别式
，
解得
，
则此时
，
面积的最大值为
，
将
代入
得：
，
当
时，
，
面积取得最大值时，点P的坐标为
；
（3）解：对于
，
当
时，
，解得
，
，
，
，
，
是直角三角形，且
，
设点P的坐标为
，
，直线BC的函数解析式为
，
设直线PE的函数解析式为
，
将
代入得：
，
解得
，
则直线PE的函数解析式为
，
联立
，解得
，
即
，
，
，
由题意，分以下两种情况：
①当
时，
则
，即
，
解得
或
，
则此时
或
；
②当
时，
则
，即
，
解得
，
则此时
；
综上，存在这样的点P，此时点P的坐标为
或
或
.
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
分析：（1）在Rt△BOC中，根据tan∠ABC=可求得OB的值，将点B、C的坐标代入抛物线的解析式可得关于a、c的方程组，解之可求解；
（2）由题意可用待定系数法求得直线BC的解析式，由题意把x=1代入直线BC的解析式可求得点D的坐标；由勾股定理可求得CD的值；
要使△PCD的面积最大，则需要点P到CD的距离最大；
设与直线BC平行的直线??的函数解析式为y=x+d，则F（0，d）,于是CF可用含d的代数式表示出来，
如图，过点C作??于点E，则CE为直线BC与直线??间的距离，
解直角三角形BOC和直角三角形CEF可将CE用含d的代数式表示出来，由一次函数的性质可知：d越小，CE越大，当直线l与抛物线有交点即当直线l与抛物线有且只有一个交点时，d最小，此时的交点即为点P，把直线l和抛物线的解析式联立解方程组整理可得关于x
的一元二次方程，根据两个图像只有一个交点可得这个一元二次方程的b2-4ac=0，则可得关于d的方程，解之可求得d的值，则结论可求解；
（3）由题意先求得抛物线与x轴的交点A的坐标，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，设点P的横坐标为m，根据点P在抛物线上，点P的纵坐标可用含m的代数式表示出来，根据PE⊥BC可知直线PE的k值与直线BC的k值互为负倒数，于是直线PE可用含n的代数式表示，把点P的坐标代入直线PE的解析式可得关于m、n的方程，则n可用含m的代数式表示，于是直线PE的解析式可用含m的代数式表示，把直线PE和直线BC的解析式联立解方程组可得点E的坐标，用勾股定理可将PE2和DE2用含m的代数式表示，由题意分两种情况讨论求解：①当Rt△PDE∽Rt△ABC时，可得比例式求解；
②当Rt△DPE∽Rt△ABC时，可得比例式求解.
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