湖南师大附中2021届高三下学期月考（六）数学试题 Word版含答案

湖南师大附中2021届高三月考试卷(六)
数学
一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设集合，则（ ）
A. [0，2) B. (1，3) C. [1，3) D. (1，4)
3. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（ ）
A. 4秒钟 B. 5秒钟 C. 6秒钟 D. 7秒钟
4. 下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ）
A. 且
B. 且的图象不过第二象限
C. 且
D. 且在上为增函数
5. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知三点不共线，为平面外的任一点，则“点与点共面”的充分条件的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是圆与位于轴上方的两个交点（在左支，在右支，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数若时，恒成立，则实数最小值为（ ）
A. B.
C. D.
二?多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若方程表示圆，则的取值范围是
B. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
C. 已知点在圆C：上，最大值为1
D. 已知圆和，圆和圆的公共弦长为
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；
B. 若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为；
C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.
11. 在中角所对的边分别为，能确定为锐角的有（ ）
A.
B.
C. 均为锐角，且
D.
12. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A. D1D⊥AF
B. A1G∥平面AEF
C. 异面直线A1G与EF所成角余弦值为
D. 点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设随机变量的分布列为，则的值为___________.
14. 将标号为1，2，3，4，5，66张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有________种.
15. 外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则______.
16. “横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数在至少有一个零点，则的最小值为______.
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17. 已知的内角所对的边分别是在以下三个条件中任先一个：①；②；③；
并解答以下问题：
（1）若选___________填序号，求的值；
（2）在（1）的条件下，若，当有且只有一解时，求实数的范围及面积S的最大值.
18. 已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
19. 如图，已知直三棱柱中，,是棱上的动点，是的中点，，.
（1）当是棱的中点时，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角大小是？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
20.
为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为40元(不足小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
21. 已知椭圆过点，且与曲线有共同的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于两点，设，若，点，求的取值范围.
22. 已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）设存在，使得成立，求正实数的取值集合A；
（2）若，比较与的大小，并证明你的结论.
湖南师大附中2021届高三月考试卷(六)
数学（答案版）
一?单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
2. 设集合，则（ ）
A. [0，2) B. (1，3) C. [1，3) D. (1，4)
【答案】C
3. 有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（ ）
A. 4秒钟 B. 5秒钟 C. 6秒钟 D. 7秒钟
【答案】B
4. 下列选项中，是的必要不充分条件的是（ ）
A. 且
B. 且的图象不过第二象限
C. 且
D. 且在上为增函数
【答案】A
5. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了次还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
6. 已知三点不共线，为平面外的任一点，则“点与点共面”的充分条件的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，、是圆与位于轴上方的两个交点（在左支，在右支，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
8. 已知函数若时，恒成立，则实数最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
二?多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 若方程表示圆，则的取值范围是
B. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴都相切，则该圆的标准方程是
C. 已知点在圆C：上，最大值为1
D. 已知圆和，圆和圆的公共弦长为
【答案】BD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍；
B. 若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为；
C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
D. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为.
【答案】BD
11. 在中角所对的边分别为，能确定为锐角的有（ ）
A.
B.
C. 均为锐角，且
D.
【答案】ACD
12. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A. D1D⊥AF
B. A1G∥平面AEF
C. 异面直线A1G与EF所成角余弦值为
D. 点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍
【答案】BCD
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设随机变量的分布列为，则的值为___________.
【答案】
14. 将标号为1，2，3，4，5，66张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有________种.
【答案】18.
15. 外接圆的半径为1，圆心为O，且，，则______.
【答案】3
16. “横看成岭侧成峰，远近高低各不同.”同一事物从不同角度看，我们会有不同的认识.请解决以下问题：设函数在至少有一个零点，则的最小值为______.
【答案】
四?解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17. 已知的内角所对的边分别是在以下三个条件中任先一个：①；②；③；
并解答以下问题：
（1）若选___________填序号，求的值；
（2）在（1）的条件下，若，当有且只有一解时，求实数的范围及面积S的最大值.
【答案】（1）条件选择见解析；；（2），.
18. 已知数列的前n项和，是等差数列，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令.求数列的前n项和.
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）
19. 如图，已知直三棱柱中，,是棱上的动点，是的中点，，.
（1）当是棱的中点时，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得二面角大小是？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）在棱上存在点，使得二面角的大小是，
此时
20.
为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过小时的部分每小时收费标准为40元(不足小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时.
（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)(2)见解析
21. 已知椭圆过点，且与曲线有共同的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于两点，设，若，点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
22. 已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）设存在，使得成立，求正实数的取值集合A；
（2）若，比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）答案见解析.