1.4
三元一次方程组
1．下列方程组中不是三元一次方程组的是( )
A．
B．
C．
D．
2．三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组的是( )
A．
B．
C．
D．
3.
若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－|a|＝10是一个三元一次方程，则( )
A．a＝1，b＝0
B．a＝－1，b＝0
C．a＝±1，b＝0
D．a＝0，b＝0
4．下列四组数中，是三元一次方程组的解的是( )
A．
B．
C．
D．
5．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是( )
A．要消去z，先①＋②，再①×2＋③
B．要消去z，先①＋②，再①×3－③
C．要消去y，先①－③×2，再②－③
D．要消去y，先①－②×2，再②＋③
6．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元；若购买甲1件、乙2件、丙3件，共需210元，则购买甲、乙、丙各一件共需( )
A．105元
B．95元
C．85元
D．88元
7．已知方程组那么代数式8x－y－z的值是( )
A．6
B．7
C．8
D．9
8．已知是三元一次方程组的解，则m2－7n＋3k的值为( )
A．125
B．119
C．113
D．71
【易错题】一个三位数的三个数位上的数字之和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数为________．
已知二元一次方程组则x－y＝________，
x＋y＝________．
已知三元一次方程组则x＋y＋z＝____．
12．已知有理数a，b，c满足2a＋13b＋3c＝90，3a＋9b＋c＝72，则＝________．
对于实数x，y，定义新运算：x
y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知3
5＝15，47＝28，那么11＝________.
解方程组
(1)
(2)
(3)
(4)用两种消元法解方程组：
14．已知|x－8y|＋2(4y－1)2＋3|8z－3x|＝0，求x＋y＋z的值．
15.二元一次方程组的解互为相反数，求m的值．
16．如图是一个有三条边的算法图，每个“
”里有一个数，这个数等于它所在边的两个“
”里的数之和，请你通过计算确定三个“”里的数之和，并且确定三个“
”里应填入的数．
已知甲、乙二人解关于x，y的方程组甲正确地解得而乙把c抄错了，解得求a，b，c的值．
某汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于行程中有一坡度均匀的小山，该汽车由甲地到乙地需用2小时30分，而从乙地到甲地需用2小时18分．若汽车在平地上的速度为30千米/小时，上坡的速度为20千米/小时，下坡的速度为40千米/小时，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？
便民蔬菜批发市场将120吨蔬菜运往各地商家，现有三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示(假设每辆车均满载)．
车型
A
B
C
运载量(吨/辆)
5
8
10
运费(元/辆)
400
500
600
若全部蔬菜都用A和B两种车来运送，需运费8
200元，则分别需要两种车各几辆？
(2)为了节约运费，市场可以调用三种车参与运送(每种车至少1辆)，已知三种车的总数为16辆，请你通过列方程组的方法分别求出三种车的辆数．
【方法体验】已知方程组求4
037x＋y的值．小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦．后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题．请你体验一下这种快捷思路，解答下列问题．
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组则3x＋y－z＝_____．
【探究升级】已知方程组求－2x＋y＋4z的值．小明凑出－2x＋y＋4z＝2·(x＋2y＋3z)＋(－1)·(4x＋3y＋2z)＝20－15＝5.虽然问题得到解决，但他觉得凑数很辛苦！他问数学老师有没有不用凑数的方法，老师提示道：假设－2x＋y＋4z＝m·(x＋2y＋3z)＋n·(4x＋3y＋2z)，对照方程
两边各项的系数可列出方程组它的解就是你凑的数！
根据老师的提示，填空：2x＋5y＋8z＝________(x＋2y＋3z)＋______(4x＋3y＋2z)．1.4
三元一次方程组
1．下列方程组中不是三元一次方程组的是( B )
A．
B．
C．
D．
2．三元一次方程组消去未知数z后，得到的二元一次方程组的是( A )
A．
B．
C．
D．
【点拨】
①－③，得4x＋3y＝2.
③×4＋②，得7x＋5y＝3.故选A.
3.
若(a＋1)x＋5yb＋1＋2z2－|a|＝10是一个三元一次方程，则( A )
A．a＝1，b＝0
B．a＝－1，b＝0
C．a＝±1，b＝0
D．a＝0，b＝0
4．下列四组数中，是三元一次方程组的解的是( C )
A．
B．
C．
D．
5．利用加减消元法解方程组下列做法正确的是( A )
A．要消去z，先①＋②，再①×2＋③
B．要消去z，先①＋②，再①×3－③
C．要消去y，先①－③×2，再②－③
D．要消去y，先①－②×2，再②＋③
6．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元；若购买甲1件、乙2件、丙3件，共需210元，则购买甲、乙、丙各一件共需( C )
A．105元
B．95元
C．85元
D．88元
【点拨】设购买甲、乙、丙各一件分别需要x元、y元、z元，
根据题意得
把这两个方程相加得4x＋4y＋4z＝340，
则x＋y＋z＝85，即购买甲、乙、丙各一件共需85元．
7．已知方程组那么代数式8x－y－z的值是( B )
A．6
B．7
C．8
D．9
【点拨】
①＋②×2，得8x－y－z＝5＋2＝7.
8．已知是三元一次方程组的解，则m2－7n＋3k的值为( C )
A．125
B．119
C．113
D．71
【点拨】因为是三元一次方程组的解，所以解得
所以m2－7n＋3k＝49＋70－6＝113.
【易错题】一个三位数的三个数位上的数字之和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数为__287______．
【点拨】在解决数字问题时，易出现相应数位上的数字没有乘以相应的进率，而是直接把相应数位上的数字相加的错误.
解决数字问题的关键是正确用式子表示数，例如：一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，那么这个两位数表示为10a＋b，而不是a＋b.
已知二元一次方程组则x－y＝___－1_____，
x＋y＝_____5___．
已知三元一次方程组则x＋y＋z＝___11___．
12．已知有理数a，b，c满足2a＋13b＋3c＝90，3a＋9b＋c＝72，则＝___1_____．
【点拨】根据题意，得
②×3－①，得7a＋14b＝126，即a＋2b＝18，
①×3－②×2，得21b＋7c＝126，即3b＋c＝18，
所以＝＝1.
对于实数x，y，定义新运算：x
y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知3
5＝15，47＝28，那么11＝__－11.______.
【点拨】依题意，得
由3×①－2×②可得a＋b＋c＝－11，
即11＝－11.
解方程组
(1)
【点拨】解此三元一次方程组时，在变形过程中，易漏乘常数项而出现方程①变形为4x＋2y＋6z＝1的错误．
解：由②＋①×2，得7x＋8z＝4.④
由③＋②×2，得2x＋3z＝3.⑤
由④⑤组成方程组，得
解得
把代入①，得y＝－2.
所以原方程组的解为
(2)
点拨】本题运用了换元法，将，，分别用a，b，c表示，将原方程组化为关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c的值后，进一步再求x，y，z的值，这种方法可使解题过程变简便．
解：设＝a，＝b，＝c，
则原方程组可化为
①＋②，得2a＋2c＝1，④
②＋③，得2a＋4c＝4.⑤
④与⑤组成方程组，得
解这个方程组，得
把代入①，得b＝6.
因此，x＝－1，y＝，z＝，
所以原方程组的解为
(3)
【点拨】像这种已知未知数之间数量比的问题，通常采用设参数的方法，将“多元”化为“一元”，使解题过程变简便．
解：设x＝k，y＝2k，z＝3k，代入②，得2k＋2k－9k＝15.解得k＝－3.
所以原方程组的解为
解方程组：
【点拨】本题没有采用常规的消元方法求解，而是利用整体加减的方法求出未知数的值，给解题过程带来了简便．
解：①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝12，
所以x＋y＋z＝6.④
④－①，得z＝3.
④－②，得x＝1.
④－③，得y＝2.
所以原方程组的解为
(4)用两种消元法解方程组：
解：(方法一)用代入法解方程组．
把②变形为2y＝3x－4z－8，④
将④代入①，得2x＋2(3x－4z－8)－3z＝9，
整理，得8x－11z＝25.⑤
将④代入③，得5x－3(3x－4z－8)－5z＝7，
整理，得4x－7z＝17.⑥
由⑤⑥组成方程组，得
解得将代入④，得y＝.
所以原方程组的解为
(方法二)用加减法解方程组．
＋②×2，得8x－11z＝25.④
①×3＋③×2，得16x－19z＝41.⑤
由④⑤，得
解得
将代入①，得y＝.
所以原方程组的解为
14．已知|x－8y|＋2(4y－1)2＋3|8z－3x|＝0，求x＋y＋z的值．
解：由题意得解得
故x＋y＋z＝2＋＋＝3.
15.二元一次方程组的解互为相反数，求m的值．
解：依题意知：得
∴＋＝0，∴m＝－10.
16．如图是一个有三条边的算法图，每个“
”里有一个数，这个数等于它所在边的两个“
”里的数之和，请你通过计算确定三个“”里的数之和，并且确定三个“
”里应填入的数．
解：如图，如果把三个“
”里的数分别记作x，y，z，
则
①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝142，即x＋y＋z＝71.④
④－①，得z＝－12.④－②，得x＝50.
④－③，得y＝33.
所以三元一次方程组的解为
所以三个“”里的数之和为71，三个“”里应填入的数按先上后下，先左后右的顺序依次为50，33，－12.
已知甲、乙二人解关于x，y的方程组甲正确地解得而乙把c抄错了，解得求a，b，c的值．
解：甲正确地解得
故可把代入原方程组．
乙仅抄错了题中的c，解得
故可把代入第一个方程．
由题意得
解得
某汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于行程中有一坡度均匀的小山，该汽车由甲地到乙地需用2小时30分，而从乙地到甲地需用2小时18分．若汽车在平地上的速度为30千米/小时，上坡的速度为20千米/小时，下坡的速度为40千米/小时，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？
解：设甲地到乙地行驶过程中平路、上坡路、下坡路分别有x
km，y
km，z
km，则解得
答：从甲地到乙地的行程中，平路54
km，上坡路12
km，下坡路4
km.
便民蔬菜批发市场将120吨蔬菜运往各地商家，现有三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示(假设每辆车均满载)．
车型
A
B
C
运载量(吨/辆)
5
8
10
运费(元/辆)
400
500
600
若全部蔬菜都用A和B两种车来运送，需运费8
200元，则分别需要两种车各几辆？
(2)为了节约运费，市场可以调用三种车参与运送(每种车至少1辆)，已知三种车的总数为16辆，请你通过列方程组的方法分别求出三种车的辆数．
(1)解：设需要A种车a辆，B种车b辆，根据题意，
得解得
答：需要A种车8辆，B种车10辆．
(2)：设调用A种车x辆，B种车y辆，C种车z辆，根据题意，
得
消去z得5x＋2y＝40，即x＝8－y.由题意，易得x,
y是正整数，
且不大于14，所以x＝6，y＝5或x＝4，y＝10.
所以或
所以有两种运送方案：
①A种车6辆，B种车5辆，C种车5辆；
②A种车4辆，B种车10辆，C种车2辆．
方案①的运费为400×6＋500×5＋600×5＝7
900(元)，
方案②的运费为400×4＋500×10＋600×2＝7
800(元)．
因为7
900＞7
800，所以为了节约运费，采用方案②.
所以调用A种车4辆，B种车10辆，C种车2辆．
【方法体验】已知方程组求4
037x＋y的值．小明同学发现解此方程组代入求值很麻烦．后来他将两个方程直接相加便迅速解决了问题．请你体验一下这种快捷思路，解答下列问题．
【方法迁移】根据上面的体验，填空：
已知方程组则3x＋y－z＝___5___．
【探究升级】已知方程组求－2x＋y＋4z的值．小明凑出－2x＋y＋4z＝2·(x＋2y＋3z)＋(－1)·(4x＋3y＋2z)＝20－15＝5.虽然问题得到解决，但他觉得凑数很辛苦！他问数学老师有没有不用凑数的方法，老师提示道：假设－2x＋y＋4z＝m·(x＋2y＋3z)＋n·(4x＋3y＋2z)，对照方程
两边各项的系数可列出方程组它的解就是你凑的数！
根据老师的提示，填空：2x＋5y＋8z＝________(x＋2y＋3z)＋______(4x＋3y＋2z)．
