§2.2.2-2标准差、方差
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长治县宏智中学 数学·必修三 第二章·统计学案
§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
第二课时 标准差、方差
学习内容：标准差、方差 学习时间：
编制人：赵杰 审核人： 编号：HZGYSX058
学习目标： 1.正确理解样本数据的标准差和方差的意义和作用，学会计算数据的标准差和方差；
2.熟记标准差和方差的计算公式，并能熟练运用；
3.能根据实际问题的需要合理地选择标准差或方差，并做出合理的解释；
学习重难点： 1.标准差和方差的计算公式的准确掌握和熟练运用；
2.能根据实际问题的需要合理地选择标准差或方差，并做出合理的解释；
☆ 知识回顾
1.众数、中位数、平均数的基本概念：
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
平均数：一组数据的算术平均数,即
2.利用频率分布直方图求样本数据的数字特征：
（1）众数是最高的矩形的底边的中点；
（2）中位数左右两侧直方图的面积相等；
（3）平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；
3.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但他们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
☆ 问题情境
众数、中位数、平均数向我们提供了样本数据的重要信息，其中以平均数最能代表样本数据去估计总体，但是由于平均数受每一个样本数据的影响，样本数据中的一些极端值使平均数估计总体的可靠性大大的降低了，甚至有时会使我们做出对总体片面的判断，因此，只用平均数还难以概况样本数据的实际状态。下面我们看一个例题：
在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：
甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们容易算出，，
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人的射击水平一样呢？
☆ 预习知识
1.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示；
标准差的计算公式：；
其中是_______，是_______，是_______。
2.方差就是标准差的平方，用表示；
方差的计算公式：；
3.标准差与方差的异同
（1）标准差和方差都反映样本数据的离散程度（稳定性或波动性），标准差或方差越大，数据的离散程度就越大；标准差或方差越小，数据的离散程度就越小；
（2）二者的关系：标准差的平方就是方差。
4.标准差和方差的取值范围都是大于等于0，当标准差和方差都为0时，说明这一组数据都相等；
☆ 案例探究
题型一 标准差和方差的简单计算
例1. 甲：1,2,3,4,5,6,7,8,9
乙：11,12,13,14,15,16,17,18,19
丙：10,20,30,40,50,60,70,80,90
丁：3,5，7,9,11,13,15,17,19
求下列各组数据的方差与标准差（结果精确到0.1）.
题后反思：
题型二 标准差和方差的应用
例2. 甲、乙两种冬水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）,
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳
题后反思：
例3. 两台机床同时生产直径为10cm的零件，为检验产品的质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下（单位：cm）：
甲机床 10 9.8 10 10.2
乙机床 10.1 10 9.9 10
如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？
题后反思：
☆ 小结
（1）标准差和方差都反映样本数据的离散程度（稳定性或波动性），标准差或方差越大，数据的离散程度就越大；标准差或方差越小，数据的离散程度就越小；
（2）当标准差和方差都为0时，说明这一组数据都相等；
（3）在刻画样本数据的离散程度时，方差和标准差是一样的，但实际中一般多采用标准差，因为它与样本数据是同一单位级的，而方差是平方级的。
☆ 巩固训练
1.已知一个样本数据是1，3，2，5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是______.
2.若样本，，，．．．，的平均数，方差，则样本，，，．．．，的平均数＝___________ ，＝_________．
3.若，…，的方差为3，则，，…，的方差为 ____ .
4.如果数据的平均数为，方差为，则，，
平均数和方差分别为 （ ）
A.， B. ， C.， D. ，
5.甲乙两组数据如下：
甲 11.2 9.8 12.3 8.9 9.0 10.7 13.1
乙 10.3 8.9 13.0 9.7 8.6 11.2 12.3
（1）求各组数据的平均数；
（2）画出茎叶图求各组数据的中位数；
（3）求各组数据的方差和标准差.
6.计算下列两组数据的平均数、标准差和方差．
甲：9.9, 10.3, 9.8, 10.1, 10.4, 10.0, 9.8, 9.7；
乙：10.2, 10.0, 9.5, 10.3, 10.5, 9.6, 9.8, 10.1.
7.对划艇运动员甲、乙二人在相同条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：
甲：27，38，30，37，35，31；
乙：33，29，38，34，28，36.
如果你是教练，你将选择谁参加比赛？
8.要从甲、乙两名工人中选出一名参加机床技术表演，先对甲、乙两人进行测试，使用同一台机床，甲、乙两人在10天内每天的次品数分别是：
甲：2，1，0，2，3，1，0，4，2，0；
乙：1，2，0，3，1，1，2，1，0，1.
应选择哪一名工人参加技术表演？
用心 爱心 专心
§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征
第二课时 标准差、方差
学习内容：标准差、方差 学习时间：
编制人：赵杰 审核人： 编号：HZGYSX058
学习目标： 1.正确理解样本数据的标准差和方差的意义和作用，学会计算数据的标准差和方差；
2.熟记标准差和方差的计算公式，并能熟练运用；
3.能根据实际问题的需要合理地选择标准差或方差，并做出合理的解释；
学习重难点： 1.标准差和方差的计算公式的准确掌握和熟练运用；
2.能根据实际问题的需要合理地选择标准差或方差，并做出合理的解释；
☆ 知识回顾
1.众数、中位数、平均数的基本概念：
众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
平均数：一组数据的算术平均数,即
2.利用频率分布直方图求样本数据的数字特征：
（1）众数是最高的矩形的底边的中点；
（2）中位数左右两侧直方图的面积相等；
（3）平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；
3.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但他们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
☆ 问题情境
众数、中位数、平均数向我们提供了样本数据的重要信息，其中以平均数最能代表样本数据去估计总体，但是由于平均数受每一个样本数据的影响，样本数据中的一些极端值使平均数估计总体的可靠性大大的降低了，甚至有时会使我们做出对总体片面的判断，因此，只用平均数还难以概况样本数据的实际状态。下面我们看一个例题：
在一次射击选拔比赛中,甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：
甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
我们容易算出，，
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人的射击水平一样呢？
☆ 预习知识
1.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示；
标准差的计算公式：；
其中是_______，是_______，是_______。
2.方差就是标准差的平方，用表示；
方差的计算公式：；
3.标准差与方差的异同
（1）标准差和方差都反映样本数据的离散程度（稳定性或波动性），标准差或方差越大，数据的离散程度就越大；标准差或方差越小，数据的离散程度就越小；
（2）二者的关系：标准差的平方就是方差。
4.标准差和方差的取值范围都是大于等于0，当标准差和方差都为0时，说明这一组数据都相等；
☆ 案例探究
题型一 标准差和方差的简单计算
例1. 甲：1,2,3,4,5,6,7,8,9
乙：11,12,13,14,15,16,17,18,19
丙：10,20,30,40,50,60,70,80,90
丁：3,5，7,9,11,13,15,17,19
求下列各组数据的方差与标准差（结果精确到0.1）.
题后反思：
题型二 标准差和方差的应用
例2. 甲、乙两种冬水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2）,
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳
题后反思：
例3. 两台机床同时生产直径为10cm的零件，为检验产品的质量，质量检验员从两台机床的产品中各抽出4件进行测量，结果如下（单位：cm）：
甲机床 10 9.8 10 10.2
乙机床 10.1 10 9.9 10
如果你是质量检验员，在收集到上述数据后，你将通过怎样的运算来判断哪台机床生产的零件质量更符合要求？
题后反思：
☆ 小结
（1）标准差和方差都反映样本数据的离散程度（稳定性或波动性），标准差或方差越大，数据的离散程度就越大；标准差或方差越小，数据的离散程度就越小；
（2）当标准差和方差都为0时，说明这一组数据都相等；
（3）在刻画样本数据的离散程度时，方差和标准差是一样的，但实际中一般多采用标准差，因为它与样本数据是同一单位级的，而方差是平方级的。
☆ 巩固训练
1.已知一个样本数据是1，3，2，5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是______.
2.若样本，，，．．．，的平均数，方差，则样本，，，．．．，的平均数＝___________ ，＝_________．
3.若，…，的方差为3，则，，…，的方差为 ____ .
4.如果数据的平均数为，方差为，则，，
平均数和方差分别为 （ ）
A.， B. ， C.， D. ，
5.甲乙两组数据如下：
甲 11.2 9.8 12.3 8.9 9.0 10.7 13.1
乙 10.3 8.9 13.0 9.7 8.6 11.2 12.3
（1）求各组数据的平均数；
（2）画出茎叶图求各组数据的中位数；
（3）求各组数据的方差和标准差.
6.计算下列两组数据的平均数、标准差和方差．
甲：9.9, 10.3, 9.8, 10.1, 10.4, 10.0, 9.8, 9.7；
乙：10.2, 10.0, 9.5, 10.3, 10.5, 9.6, 9.8, 10.1.
7.对划艇运动员甲、乙二人在相同条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据如下：
甲：27，38，30，37，35，31；
乙：33，29，38，34，28，36.
如果你是教练，你将选择谁参加比赛？
8.要从甲、乙两名工人中选出一名参加机床技术表演，先对甲、乙两人进行测试，使用同一台机床，甲、乙两人在10天内每天的次品数分别是：
甲：2，1，0，2，3，1，0，4，2，0；
乙：1，2，0，3，1，1，2，1，0，1.
应选择哪一名工人参加技术表演？
用心 爱心 专心