四川省眉山市彭山区第一中学2020-2021学年高二下学期入学考试文科数学试题 Word版含答案

四川省眉山市彭山区第一中学2020-2021学年高二下学期入学考试文科数学试题
注意事项：
1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟。
2. 本试卷分为试题卷（1-4页）和答题卡两部分，试题卷上不答题。请将选择题和非选择题的答案答在答题卡的相应位置。考试结束，只交答题卡。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D. 不存在
2.与双曲线共焦点，且离心率互为倒数的椭圆方程是
A. B. C. D.
3．若直线与直线平行，则的值为
A．或 B． C．或 D．
4. 若双曲线一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.
5．设，是不同的直线，，，是三个不同的平面，有以下四个命题，其中正确命题的序号是①若，，，则；②若，，，则；③若，，则.④若，，，则；
①③ B．②③ C．①④ D．③④
6．已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
8．已知函数的图象在点处的切线与y轴交于点，则切点的纵坐标为（ ）A． B． C． D．4
9. 已知，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
10.已知圆，从点观察点，若视线不被圆挡住（视线所在直线与圆无公共点），则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
11. 已知双曲线，过其右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的左焦点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：
①若点在线段上运动，则始终有；②若是棱中点，则直线与是相交直线；③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；
④为中点，过点且与平面平行的正方体的截面面积为
⑤若点在线段上运动，则的最小值为
以上命题为真命题的个数为
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）
13. 抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为______________．
14．已知满足，，则的最小值为_________
15.三棱锥D﹣ABC中，△BCD是边长为2的正三角形，△BCD与△ABC所在平面互相垂直，且AC＝1，．若三棱锥D﹣ABC的四个顶点都在球O上，则球O的表面积为　　．
16. 已知中，、，、分别是直线和的斜率.关于点有如下四个命题：
①若是双曲线上的点，则；②若，则是椭圆上的点；③若，则是圆上的点；④若，则点的轨迹是圆.其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（本小题满分10分）已知点，圆:
若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
设为坐标原点，点在圆上运动，线段的中点为,求的最大值
18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点分别为线段的中点.
（1）求证:平面;
（2）求证:平面平面;
（3）求三棱锥的体积
19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，点分别为、、的中点．
（1）求证：直线平面；（2）求点到平面的距离.
20.（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）恒成立，求的取值范围.
21．（本小题满分12分）已知实数，．（1）讨论的单调性；（2）证明：．
22.（本小题满分12分）在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．
彭山一中22届高二下入学考试数学文科参考答案
选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
D
D
C
B
C
C
B
C
D
C
2 14. 5 15. 16. (1)(3)
17.
18【解答】证明：（1）如图，取PA的中点G，连接BG，EG，
∵点E，G分别为PD，PA的中点，，
又∵F是BC的中点，四边形ABCD是正方形，∴BF∥EG且BF＝EG，
故四边形EFBG为平行四边形，∴EF∥BG，
∵BG?平面ABP，EF?平面ABP，∴EF∥平面ABP；
证明：（2）由条件知，
∴△PAB和△PAD都是等腰直角三角形，PA⊥AB，PA⊥AD，
又∵AB∩AD＝A，AB、AD?平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，
又∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA、AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，得CD⊥AE，∵E是PD的中点，∴AE⊥PD，
又∵PD∩CD＝D，PD、CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PCD；解：（3）由图可知VC﹣AEF＝VE﹣ACF，
∴，
即三棱锥C﹣AEF的体积为．
19（1）连结 ，则在三角形中为中位线
于是， ……………2分
因为为中点，所以平行且等于.
所以四边形为平行四边形，从而//……4分
因为平面 ，平面
所以//面……………………6分
（2）因为垂直于， 垂直于，所以垂直于平面，于是垂直于平面， ……………………8分
三角形的面积为，三角形的面积为
由得……………………10分
， 到平面的距离为……………………12分
20.【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
a＝2时，f（x）＝2x﹣lnx，f′（x）＝2﹣＝，
令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，
故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
故f（x）极小值＝f（）＝1+ln2，无极大值；
（2）若f（x）＞0恒成立，则a＞（x＞0），
令y＝（x＞0），则y′＝，∴（0，e）上，y′＞0，（e，+∞）上，y′＜0，
∴x＝e时，函数取得最大值，∴a＞．
21.（1）函数的定义域为，．
当时，对任意的，，故在上单调递增；
若，当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由题意，该不等式等价于，即，
又可化为，即，
令，则，所以，函数在上单调递增，
当时，；当时，，所以，，
故所证不等式等价为证明不等式，构造函数，则．
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以，，故原不等式得证．
22.【解答】解：（1）由，得4y2＝4﹣x2，即．
故轨迹C的方程为：．
（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，
由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．
其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．
因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，
直线BN的方程为②，
所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．
而＝，
因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．所以，探究发现的结论是正确的．