四川省眉山市彭山区第一中学2020-2021学年高二下学期入学考试理科数学试题 Word版含答案

彭山一中22届高二下入学考试数学理科试题
注意事项：
1.本试卷满分为150分,考试时间为120分钟。
2.
本试卷分为试题卷（1-4页）和答题卡两部分，试题卷上不答题。请将选择题和非选择题的答案答在答题卡的相应位置。考试结束，只交答题卡。
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
直线的倾斜角是（
）
A.
B.
C.
D.
不存在
2.与双曲线共焦点，且离心率互为倒数的椭圆方程是
A.
B.
C.
D.
3．若直线与直线平行，则的值为
A．或
B．
C．或
D．
4.
若双曲线一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为（
）A.
B.
C.
D.
5．设，是不同的直线，，，是三个不同的平面，有以下四个命题，其中正确命题的序号是
①若，，，则；②若，，，则；
③若，，则.④若，，，则；
①③
B．②③
C．①④
D．③④
6．在棱长为的正方体中，点为的中点，则点到平面的距离为（
）
A．
B．
C．
D．
7.
已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
8．
如图，M，N是分别是四面体O-ABC的棱OA，BC的中点，设a，b，c，若xa＋yb＋zc，则
x，y，z
的值分别是
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
9.
已知，则是的（
）
A.
充分不必要条件B.
必要不充分条件C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
10.已知圆，从点观察点，若视线不被圆挡住（视线所在直线与圆无公共点），则实数的取值范围是
A.
B.
C.
D.
11.
已知双曲线，过其右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的左焦点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
12．已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：
①若点在线段上运动，则始终有；②若是棱中点，则直线与是相交直线；③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；
④为中点，过点且与平面平行的正方体的截面面积为
⑤若点在线段上运动，则的最小值为
以上命题为真命题的个数为
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题卡上）
13.
抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为______________．
14.．已知满足，，则的最小值为____________
15.三棱锥D﹣ABC中，△BCD是边长为2的正三角形，△BCD与△ABC所在平面互相垂直，且AC＝1，．若三棱锥D﹣ABC的四个顶点都在球O上，则球O的表面积为　　．
16.
已知中，、，、分别是直线和的斜率.关于点有如下四个命题：①若是双曲线上的点，则；
②若，则是椭圆上的点；③若，则是圆上的点；④若，则点的轨迹是圆.
其中所有真命题的序号是__________．
三、解答题
（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（本小题满分12分）已知点，圆:
若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
设为坐标原点，点在圆上运动，线段的中点为,求的最大值
18.
（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，点分别为线段的中点.求证:平面;（2）求证:平面平面;（3）求三棱锥的体积
19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝AA1＝2BC，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．（1）证明：BF∥平面A1C1E．（2）求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值．
20.（本小题满分12分）已知点，直线为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且.求动点的轨迹的方程:
过点的直线交轨迹于两点，交直线于点.若，,求的值.
21.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，四边形为矩形，且，平面平面，，.
（1）证明：平面.（2）求异面直线与所成角的余弦值.
（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分12分）在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．
彭山一中22届高二下入学考试数学理科参考答案
选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
C
D
D
C
C
C
D
B
C
D
C
2
14.
5
15.
16.
(1)(3)
17.
18.【解答】证明：（1）如图，取PA的中点G，连接BG，EG，
∵点E，G分别为PD，PA的中点，，
又∵F是BC的中点，四边形ABCD是正方形，∴BF∥EG且BF＝EG，
故四边形EFBG为平行四边形，∴EF∥BG，∵BG?平面ABP，EF?平面ABP，
∴EF∥平面ABP；
证明：（2）由条件知，
∴△PAB和△PAD都是等腰直角三角形，PA⊥AB，PA⊥AD，
又∵AB∩AD＝A，AB、AD?平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD，则PA⊥CD，
又∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，PA、AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，得CD⊥AE，∵E是PD的中点，∴AE⊥PD，
又∵PD∩CD＝D，PD、CD?平面PCD，∴AE⊥平面PCD，而AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面PCD；
解：（3）由图可知VC﹣AEF＝VE﹣ACF，
∴，即三棱锥C﹣AEF的体积为．
19.【解答】解：（1）证明：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．∴BEC1F，∴四边形BEC1F是平行四边形，∴BF∥EC1，∵BF?平面A1C1E，EC1?平面A1C1E，∴BF∥平面A1C1E．
（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，
AC＝AA1＝2BC，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．
∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC＝AA1＝2BC＝2，
则B1（0，1，2），C（0，0，0），A1（2，0，2），C1（0，0，2），E（0，1，1），
＝（0，﹣1，﹣2），＝（2，0，0），＝（0，1，﹣1），
设平面A1C1E的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（0，1，1），
设B1C与平面A1C1E所成角为θ，则sinθ＝＝＝．
∴B1C与平面A1C1E所成角的正弦值为．
20．解：（1）设点，则，由，
得
化简得曲线的方程为
（2）由于直线不能垂直于轴，且又过轴上的定点，
设直线的方程为，则
设，，联立方程组
消去得，，故
由，，得
利用对应的纵坐标相等，得，，
整理得，
所以
21.解：（1）因为平面平面，四边形为矩形，所以平面，所以……2分又因为，，，所以，
因为，所以平面.…………………………………4分
（2）记，的中点分别为，，连接，，由题知，，，两两垂直，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，
所以，，…6分因为，所以异面直线与所成角的余弦值为.……………………………………………8分
（3）假设存在，设，所以，，设平面的法向量，所以，即，令，解得，，所以，平面的法向量，因为平面与平面所成锐二面角的余弦值为，………………………………………………10分
所以，
整理化简得，解得或（舍去），
所以线段上存在一点，且.…………………………………………………12分
22.【解答】解：（1）由，得4y2＝4﹣x2，即．
故轨迹C的方程为：．
（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，
由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．
其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．
因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，
直线BN的方程为②，
所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．
而＝，
因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．所以，探究发现的结论是正确的．