杨浦区数学测试答题纸 2011.12.
填涂样例 正确填涂错误填涂 注意事项 1．答题前，考生先将自己的姓名和准考证号填写清楚姓名及科目．2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分使用蓝、黑色字迹的钢笔、圆珠笔或签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．4．保持纸面清洁，不折叠、不破损．5．文科考生将 涂黑； 理科考生将 涂黑．
题号 一、填空题1-14 二、选择题15-18 三、解答题
19 20 21 22 23
得分
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
20．解：
21．解：
22．解：
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
√
×
一、填空题
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14.
二、选择题
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
15． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
17． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18． [ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
三、解答题
19．解：
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
23．解：
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效
不许折叠
请在黑色矩形边框内答题，超出黑色矩形边框的答题一律无效杨浦区2011学年度高三学科测试
数学试卷（理科） 2011.12.
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．
2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．计算： ．
2．不等式的解集是 ．
3．若全集，函数的值域为集合，则 .
4．若圆锥的母线长，高，则这个圆锥的体积等于 .
5．在的二项展开式中，的系数是 （结果用数字作答）.
6．若是上的奇函数，且满足，当时，
则 .
7．若行列式，则 ．
8．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．则至少含1件二
等品的概率是 .（结果精确到0.01）
9．某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在高二学生中的抽样人数应该是 ．
10.根据如图所示的某算法程序框图，则输出量与输入量之间满足的关系式是 ．
11.若直线与圆有两个不同的交点，
则点与圆的位置关系是 ．
12.已知且,若恒成立,则实数的取值范
围是 ．
13.设函数的反函数为，若关于的方程
在上有解，则实数的取值范围是 ．
14.若椭圆内有圆，该圆的切线与椭圆交于两点，
且满足（其中为坐标原点），则的最小值是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 ( )．
. . . .
16．若等比数列前项和为，则复数在复平面上对应的点位于 ( )．
第一象限 . 第二象限 . 第三象限 . 第四象限 .
17．若函数 则“”是“在上单调增函数”的
( )．
充分非必要条件. 必要非充分条件.
充要条件. 既非充分也非必要条件.
18．若分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，点的坐标为(2，0)，为的平分线．则的值为 ( )．
3 . 6. 9. 27.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）
已知在正四棱锥－中（如图），高为1 ，其体积为4 ，
求异面直线与所成角的大小.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，
第2小题满分7分 ．
在中，角、、的对边分别为、、，
已知， , 且.
1.求角的大小；
2. 若，面积为，试判断的形状，并说明理由.
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
若函数，如果存在给定的实数对，使得
恒成立，则称为“函数” .
1. 判断下列函数，是否为“函数”，并说明理由；
① ②
2. 已知函数是一个“函数”，求出所有的有序实数对.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小
题满分7分.
已知函数，数列满足，,
1. 求，，的值；
2. 求证：数列是等差数列；
3. 设数列满足，，
若对一切成立，求最小正整数的值.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知的三个顶点在抛物线:上运动，
1. 求的焦点坐标；
2. 若点在坐标原点， 且 ，点在上，且 ，
求点的轨迹方程；
3. 试研究: 是否存在一条边所在直线的斜率为的正三角形，若存在，求出这个正三角形的边长，若不存在，说明理由.
A
B
C
P
D杨浦区2011学年度高三学科测试
参考答案及评分标准
一．填空题（本大题满分56分） 2011.12.31
1. ；2. 理，文； 3. 理，文；4. ；5. 理，文4；6.；7.理0，文1；8.理0.35，文0.30； 9. 80；10. ；
11.理 在圆外，文1；12. 理，文；13. 理 ，文； 14. 理49，文
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题
15. C ； 16. A ； 17. A ； 18.B；
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题
19. 【解】 设异面直线与所成角的大小， 底边长为,
则依题意得 ……4分
故 ，
……7分
∥，故直线与所成角的大小为所求 ……9分
． ……12分
（其他解法,可根据上述【解】的评分标准给分）
20.理:
（1）【解1】.
由 得 ，故, ……2分
由正弦定理得 ……4分
……5分
……7分
【解2】. 由，
余弦定理得
整理得，
．
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）
（2）即 ……10分
又, ……12分
故 所以，为等边三角形． ……14分
文:
【解1】. 由 ,
由正弦定理得 ……4分
……5分
． ……7分
【解2】. 由，
余弦定理得
整理得，
．
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）
21. （1）【解】
①（理）若是“函数”，则存在实数对，使得，
即时，对恒成立 ……2分
而最多有两个解，矛盾，
因此不是“函数” ……-3分
（文）若是“函数”，则存在实数对，使得，
即时，对恒成立 ……2分
而最多有两个解，矛盾，
因此不是“函数” ……3分② 答案不唯一：如取，恒有对一切都成立， ……5分
即存在实数对，使之成立，所以，是“函数”． ……6分
一般地：若是“函数”，则存在实数对，使得
即存在常数对满足，故是“函数”．
（2）解 函数是一个“函数”
设有序实数对满足，则恒成立
当时，，不是常数； ……8分
因此，当时，
则有， ……10分
即恒成立，
所以 ……13分
当时，
满足是一个“函数”的实数对
……14分
22. 理:
（1）【解】由，得 ……3分
（2）【解】由 得 ……8分
所以，是首项为1，公差为的等差数列 ……9分
（3）【解】由（2）得 ……-10分
当时 ，，当时，上式同样成立， ……12分
所以
因为，所以对一切成立， ……14分
又随递增，且，所以，
所以， ……16分
文:
(1) 【解】. 由得 所以 准线为 ……3分
(2) 【解】. 由得 所以,焦点坐标为 ……4分
由作准线 的垂线,垂足为 ,当且仅当三点共线时,
的最小值，为, ……7分
此时点的坐标为 ……9分
(3)【解1】
设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的), ① ……10分
又的斜率为,则有 ,既代入① ……14分
故点轨迹为 (注:没写扣1分) ……16分【解2】
设点的坐标为,由边所在的方程过定点, ……10分
……12分
,
所以, , 既 ……16分
(注:没写扣1分)
23. 理:
(1) 【解】. 由得 所以,焦点坐标为 ……3分
(2) 【解1】设点的坐标为,边所在的方程为(显然存在的),与抛物线交于
则得, ……5分
又点在抛物线上,故有,
或(舍)
-------① ……7分
又的斜率为,则有 ,既代入①
故点轨迹为 (注:没写扣1分) ……9分
另解:由上式①过定点, ,
所以, , 既
【解2】设点的坐标为,方程为,由得方程为
,则得, 同理可得
方程为恒过定点,
,
所以, , 既
(注:没写扣1分)
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）
(3) 【解1】
若存在边所在直线的斜率为的正三角形,设,
(其中不妨设), 则 , ------① ……11分
令,则,即
将①代入得,,
-----------------② ……13分
线段的中点为,由①, ②得的横坐标为,
的纵坐标为 ……15分
又设 由得
点在抛物线上,则,即,
又因为 , ……18分
【解2】
设,
的三边所在直线的斜率分别是
------① ……12分
若边所在直线的斜率为,边所在直线和轴的正方向所成角为
,则,
所以 ……14分
即-----②
又--------------③ ……16分
所以,
将②, ③代入上式得边长 ……18分
（其他解法,可根据【解1】的评分标准给分）
文:
（1）【解】由，得 ……3分
（2）【解】由 得 ……8分
所以，是首项为1，公差为的等差数列 ……9分
（3）【解】
由（2）得 ……11分
当时 ，，当时，上式同样成立， ……13分
所以
因为，所以对一切成立， ……16分
又随递增，且，所以，
所以， ……18分杨浦区2011学年度高三学科测试
数学试卷（文科） 2011.12.
考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．
2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．计算： ．
2．不等式的解集是 ．
3．若全集，函数的值域为集合，则 .
4．若圆锥的母线长，高，则这个圆锥的体积等于 .
5．在的二项展开式中，的系数是 （结果用数字作答）.
6．若是上的奇函数，且满足，当时，
则 .
7．若行列式，则 ．
8．在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品．恰含1件二等品
的概率是 ．（结果精确到0.01）
9．某学校对学生进行该校大型活动的知晓情况分层抽样调查．若该校的高一学生、高二学
生和高三学生分别有800人、1600人、1400人．若在高三学生中的抽样人数是70，则在
高二学生中的抽样人数应该是 ．
10.根据如图所示的某算法程序框图，则输出量与输入量之间满足的关系式是 ．
11.若直线与圆相切，
则 ．
12.若点是椭圆上的动点，定点的坐标为，
则的取值范围是 ．
13.已知且,若恒成立,则实数的
取值范围是 ．
14.设函数的反函数为，若关于的方程
在上有解，则实数的取值范围是 ．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为 ( )．
. . . .
16．若等比数列前项和为，则复数在复平面上对应的点位于
( )．
第一象限 . 第二象限 . 第三象限 . 第四象限 .
17．“”是“函数在上单调增函数”的 ( )．
充分非必要条件. 必要非充分条件.
充要条件. 既非充分也非必要条件.
18．若分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，点的坐标为(2，0)，为的平分线．则的值为 ( )．
3 . 6. 9. 27.
三．解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）
已知在正四棱锥－中（如图），高为1 ，其体积为4 ，
求异面直线与所成角的大小.
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，
第2小题满分7分 ．
在中，角、、的对边分别为、、，且满足.
1. 求角的大小；
2. 若，面积为，试判断的形状，并说明理由.
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
若函数，如果存在给定的实数对，使得
恒成立，则称为“函数” .
1. 判断下列函数，是否为“函数”，并说明理由；
① ②
2. 已知函数是一个“函数”，求出所有的有序实数对.
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小
题满分7分.
已知的三个顶点在抛物线:上运动，
1.求的准线方程；
2.已知点的坐标为，为抛物线的焦点,求的最小值，
并求此时点的坐标；
3.若点在坐标原点，边过定点, 点在上，且 ，
求点的轨迹方程.
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小
题满分9分.
已知函数，数列满足，,
1. 求，，的值；
2. 求证：数列是等差数列；
3. 设数列满足，，
若对一切成立，求最小正整数的值.
A
B
C
P
D
