2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断卷 （理科试卷）
（考试时间：120分钟，满分150分） 2012.1
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、函数的反函数的图象经过点，则实数=
2、若全集，则
3、从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别为（单位：克）、、、、，则该样本方差
4、已知，则的值为
5、根据右图所示的程序框图，输出结果
6、投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则复数（是虚数单位）为实数的概率为
(结果用最简分数表示)
7、若的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中项的系数为
8、已知函数的定义域为，值域为，试确定这样的集合最多有 个
9、已知ΔABC的角A，B，C所对的边分别是，向量，，若⊥，边长，角C =，则ΔABC的面积是
10、已知函数，当时，函数的零点，则
11、已知各项为正数的等比数列若存在两项、使得，则的最小值为
12、如图所示：中，点是中点。过点的直线分别交直线、于不同两点、。若，则的值为
13、设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时， 。若函数在区间恰有3个不同的零点，则的取值范围是
14、如图所示：矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上（其中点的坐标为），矩形的面积记为，则=
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。
15、设为实数，则“”是“”的 （ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
16、已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式可以是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
17、正方体的棱长为1，线段上有两个动点，若，则下列结论中错误的是（ ）
（A） （B）平面
（C）三棱锥的体积为定值 （D）直线与平面所成角为定值
18、由9个互不相等的正数组成的矩阵中，每行中的三个数成等差数列，且、、成等比数列，下列四个判断正确的有……………………（ ）
①第2列必成等比数列 ②第1列不一定成等比数列
③ ④若9个数之和等于9，则
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
已知复数，（，是虚数单位）。
（1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.
20.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.
如图，已知平面，，，,分别是的中点.
（1）求异面直线与所成的角的大小；
（2）求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积.
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
为保护环境，某单位采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品。已知该单位每月的处理量最多不超过300吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系式可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为300元。
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）要保证该单位每月不亏损，则每月处理量应控制在什么范围？
22、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分,
第3小题满分6分.
设把三阶行列式中第一行第二列元素的余子式记为，且关于的不等式的解集为。各项均为正数的数列的前项和为，点列在函数的图象上。
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的值；
（3）令，求数列的前项中满足的所有项数之和.
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分,
第3小题满分7分.
对定义在区间上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意的都有，且对任意的都有恒成立，则称函数为区间上的“U型”函数。
（1）求证：函数是上的“U型”函数；
（2）设是（1）中的“U型”函数，若不等式对一切的恒成立，
求实数的取值范围；
（3）若函数是区间上的“U型”函数，求实数和的值.
2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学习能力诊断（理科）答题卷 2012.1
题号 一 二 19 20 21 22 23 总分
满分 56 20 12 12 14 18 18 150
得分
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）
1. 2. 3.
4. __ 5. _ 6.
7. __ 8. _ 9.
10. 11. 12.
13. 14.
二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）本大题必须使用2B铅笔填涂
15．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
17．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 18．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
三、解答题（本大题共5题，满分74分）
19．[解]（1）（2）
20．[解]（1）（2）
21．[解]（1）（2）
22．[解]（1）（2）（3）
23．[解]（1）（2）（3）
P
C
D
E
流水号
P
C
D
E2011学年第一学期徐汇区高三年级数学学科
学 习 能 力 诊 断 卷
理科试卷参考答案及评分标准（2012.1）
填空题：
2、 3、 4、 5、8 6、 7、7
8、27 9、 10、2 11、 12、2 13、 14、2
二、选择题：
15、D 16、B 17、D 18、A
三、解答题：
19、解：（1）由条件得，……………………2分
因为在复平面上对应点落在第一象限，故有…………………………4分
…………………………6分
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根
所以，即，…………………………8分
把代入，则，…………………………10分
所以…………………………12分
20、（1）解法一：取中点，连接，则，
所以就是异面直线与所成的角.…2分
由已知，，
.…………………………4分
在中，，.
所以异面直线与所成的角为（.………………6分
解法二：如图所示建立空间直角坐标系，，
，………2分
， …………………………………4分
所以异面直线与所成的角为.………6分
（2）绕直线旋转一周所构成的旋转体，是以为底面半径、为高的 圆锥中挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥，
体积.……………………12分
21、解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为
……………………4分
因为，…………………………6分
当且仅当，即时，才能使每吨的平均处理成本最低。………8分
（2）设该单位每月获利为S（元），则
………10分
即……………12分
由题意可知，所以当时，该单位每月不亏损……………14分
22、解：（1）由条件可知，……………2分
因为关于的不等式的解集为，所以……………3分
即函数的解析式为……………4分
（2）因为点列在函数的图象上，所以
代入，，即因为，所以；……………6分
当时，，
化简得：……………7分
因为所以，即数列为等差数列，且。……………9分
则，所以。……………12分
（3）在数列的前项中
为奇数时，，所以……………14分
为偶数时，要满足，则……………16分
所以，满足的所有项数之和为……………18分
23、解：（1）当时，
当时，
故存在闭区间和常数C=2符合条件，…………………………4分
所以函数是上的“U型”函数…………………………5分
（2）因为不等式对一切的恒成立，
所以…………………………7分
由（1）可知…………………8分
所以…………………………9分
解得：…………………………11分
（3）由“U型”函数定义知，存在闭区间和常数，使得对任意的，
都有
即
所以对任意的成立……………13分
所以…………………………14分
①当时，
当时，
当，即时，
由题意知，符合条件…………………………16分
②当时，
当时，
当，即时，
由题意知，不符合条件
综上所述，…………………………18分
P
C
D
E
F
P
C
D
E
