宝山区2011学年第一学期期末
高三年级数学学科质量监测试卷
本试卷共有23题，满分150分，考试时间120分钟
一．填空题
（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1、已知等差数列，，，则 ．
2、方程的复数根为 ．
3、不等式的解集是 ．
4、已知集合，
则 ．
5、已知复数满足，则.
6、如右图，若执行程序框图，则输出的结果是 .
7、方程组的解是.
8、某科技小组有6名同学，现从中选出3人参观
展览，至少有1名女生入选的概率为，则小组中
女生人数为 ．
9、用数学归纳法证明“”，在验证成立时，等号左边的式子是.
10、过抛物线的焦点，倾斜角为的直线交抛物线于（），则的值.
11、若奇函数的定义域为，其部分图像如图所示，则不
等式的解集是 ．
12、已知三条边分别为，成等差数列，若，则的最大值为．
13、两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1∶2，则它们的体积比是 ．
14、设是定义在R上的奇函数，且满足，，则实数的取值范围是.
二．选择题
（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．
15、已知是空间三条直线，则下列命题正确的是………………………（ ）
(A)若，，则；
(B)若，，则；
(C)若点A、B不在直线上，且到的距离相等，则直线；
(D)若三条直线两两相交，则直线共面.
16、已知，是数列的前n项和………………（ ）
(A） 和都存在 (B) 和都不存在
(C) 存在，不存在 (D) 不存在，存在
17、设,则在上的投影为………………………… （ ）
（A） （B） （C） （D）
18、一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为………………()（A）6 （B） 2 （C） （D）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．
19、（本题满分12分）已知函数的定义域为，求函数的值域和零点．
20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，已知正方体的棱长为2，分别是的中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线EF与AB所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数．
（1）当时，求满足的的取值范围；
（2）若的定义域为R，又是奇函数，求的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．
22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
已知椭圆的焦点，过作垂直于轴的直线被椭圆所截线段长为，过作直线l与椭圆交于A、B两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A是椭圆与y轴负半轴的交点，求的面积；
（3）是否存在实数使，若存在，求的值和直线的方程；若不存在，说明理由．
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知函数,若成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设是不等式整数解的个数，求；
(3)记数列的前n项和为，是否存在正数，对任意正整数，使恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
开始
是
否
输出
结束2011学年第一学期期末测试
高三数学参考答案
2012.1.6
一．填空题
1. 1 2. 3. 4. 5.
6. 11 7. 8. 2 9. 10.
11. 12. 4 13. 14.
二．选择题（本大题满分20分）
A 16.A 17.C 18. D
三．解答题（本大题满分74分）
19.解：化简
……………………（4分）
因为，
所以……………………（6分）
即……………………（8分）
由得……………………（9分）
零点为或……………………（12分）
20. 解：（1）……………………………………（3分）
……………………………………………（6分）
（2）连结
可知为异面直线与所成角，…………………（9分）
在中，，，……………………（10分）
所以，………………………………………（13分）
即；………………………………………（14分）
21. 解：（1）由题意，，化简得……………（2分）
解得…………………………………………………………（4分）
所以……………………………………（6分，如果是其它答案得5分）
（2）已知定义域为R，所以，…………………（7分）
又，……………………………………………………（8分）
所以；…………………………………………………………（9分）
对任意
可知…………（12分）
因为，所以，所以
因此在R上递减．……………………………………………………………（14分）
22.解：(1) 设椭圆方程为，
由题意点在椭圆上，………………………………………（2分）
所以，解得…………………………………………（4分）
（2）由题意，………………………………………………………………（5分）
所以，， …………………………………………………………（7分）
…………………………………………………………………（9分）
（3）当直线斜率不存在时，易求，
所以
由得，直线的方程为．……………………（11分）
当直线斜率存在时，
所以，
由得
即…………………………………（13分）
因为，所以
此时，直线的方程为………………………………………（16分）
注：由得是AB的中点或P、A、B、共线，不扣分．
23.解：（1）由题可知………………（2分）
得．………………………………………………………………（4分）
（2）原式化简：
……………………………………（8分）
其中整数个数．…………………………………………（10分）
（3）由题意，，…………………（12分）
又恒成立，，，
所以当取最大值，取最小值时，取到最大值．……（14分）
又，，所以……………………………………（16分）
解得………………………………………………………………（18分）
