卢湾2011学年第一学期高三年级期末考试
数学试卷（理科） 2012.1
（本卷完成时间为120分钟，满分为150分）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式的解集为 ．
2．若，则 ．
3．函数的反函数为 ．
4．若集合，，则 （用列举法表示）．
5．若函数的零点为，则函数的零点是和 ．
6．已知二元一次方程组，若记，，，则该方程组存在唯一解的条件为 （用、、表示）．
7．若，则 ．
8．若常数满足，则 ．
9．已知数列，若，（），则使成立的的
值是 ．
10．甲、乙、丙三人同在某公司上班，若该公司规定，每位职工可以在每周七天中任选两天休息（如选定星期一、星期三），以后不再改动，则他们选定的两个休息日相同的概率是 （结果用数值表示）．
11．已知甲射手射中目标的概率为80%，乙射手射中目标的概率为70%．若甲乙两射手的射击相互独立，则甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的概率为
（结果用数值表示）．
12．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前组的频数成等比数列，后组的频数成等差数列，那么最大频率为 ，视力在到之间的学生数为 ．
13．已知函数，，若其值域为，则该函数的一个解析式可以为 ．
14．若对于满足的一切实数，不等式恒成立，则的取值范围为 ．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．“”是“”成立的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
17．若函数同时满足下列三个条件：①有反函数 ②是奇函数 ③其定义域与值域相同，则函数可以是（ ）．
A．（） B．
C． D．
18．已知函数，若，且，则（ ）．
A．（） B．（）
C．（） D．（）
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）
在△中，角的对边分别为，且，．
求的值．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．
已知函数，（为正常数），且函数与的图像在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）若（为常数），试讨论函数的奇偶性．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知、是两个不共线的非零向量．
（1）设，（），，当、、三点共线时，求的值．
（2）如图，若，，与夹角为，，点是以为圆心的圆弧上一动点，设（），求的最大值．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
已知数列，若存在正整数，对一切都有，则称数列为周期数列，是它的一个周期．例如：
数列，，，，… ① 可看作周期为1的数列；
数列，，，，… ② 可看作周期为2的数列；
数列，，，，，，… ③ 可看作周期为3的数列…
（1）对于数列②，它的一个通项公式可以是试再写出该数列的一个通项公式；
（2）求数列③的前项和；
（3）在数列③中，若，且它有一个形如的通项公式，其中、、、均为实数，，，，求该数列的一个通项公式．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知函数（为常数）．
（1）当时，在图中的直角坐标系内作出函数的大致图像，并指出该函数所具备的基本性质中的两个（只需写两个）．
（2）设（），当，且时，试判断数列的单调性并由此写出该数列中最大项和最小项（可用来表示不超过的最大整数）．
（3）利用函数构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，令，，…，（，），…
在上述构造过程中，若（）在定义域中，则构造数列的过程继续下去；若不在定义域中，则构造数列的过程停止．
若取定义域中的任一值作为，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，求实数的值．
频率
组距
视力
第（2）小题卢湾2011学年第一学期高三年级期末考试
数学参考答案及评分标准 2012.1
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1． 2． 3． 4． 5．
6．与不平行 7． 8． 9．
10． 11．（理）（文） 12．，
13．（满足的均可） 14．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，选对得5分，否则一律得零分．
15．B 16．D 17．C 18．D
三、解答题（本大题满分74分）
19．（本题满分12分）
由及正弦定理，得，又，
可化为，展开整理得，（4分）
在三角形中得，即，可得，（6分）
于是由，得，因此，（8分）
可得，（10分）
故．（12分）
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分．
（1）由题意，，即，又，故．（4分）
（2），其定义域为，（8分）
．
若为偶函数，即，则有，此时，，
故，即不为奇函数；
若为奇函数，即，则，此时，，
故，即不为偶函数；
综上，当且仅当时，函数为偶函数，且不为奇函数，（10分）
当且仅当时，函数为奇函数，且不为偶函数，（12分）
当时，函数既非奇函数又非偶函数．（14分）
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（1）由题意，可设，（2分）
将，代入上式，
得，解得，．（6分）
（2）以为原点，为轴建立直角坐标系，则，．
设（），则，由，得，，于是，，（10分）
于是，
故当时，的最大值为．（14分）
另解：设（），由，
，可得，，
于是，
故当时，的最大值为．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．
（1）或等．（3分）
（2）当时，；（5分）
当时，；（7分）
当时，（）．（9分）
（3）由题意，，应有，得，（10分）
于是，
把，，代入上式得（12分）
由(1)(2)可得，再代入(1)的展开式，可得，与(3)联立得，（13分）
，于是，因为，所以，（14分）
于是可求得．（15分）
故（）
或写成（,）．（16分）
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
（1）当时，．
图像如图（2分）
基本性质：（每个2分）
奇偶性：既非奇函数又非偶函数；
单调性：在和上分别递增；
零点：；
最值：无最大、小值．（6分）
（2），
当，时，数列单调递增，且此时均大于，
当，时，数列单调递增，且此时均小于，（8分）
因此，数列中的最大项为，（10分）
最小项为．（12分）
（3）（理）由题意，在中无实数解，
亦即当时，方程无实数解．（14分）
由于不是方程的解，（16分）
因此对任意，使方程无实数解，则为所求．（18分）
（文）根据题意，只需当时，方程有解，
亦即方程有不等于的解，（14分）
将代入方程左边，得左边为，故方程不可能有的解．（16分）
由，解得或，
即实数的取值范围是．（18分）
